CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

(Parte 2 de 10)

Resta-noso consolo de ter envidado esforços para empregar utilmenteo nossotempo.

cônicas quádrica

O autor

"Namaiorpartedasciências,asseveraHermanHankel,umageração põe abaixoo quea outra construiu,eo que uma estabeleceua outra desfaz. Somente na Matemáticaé que uma geração constrói um novo andarsobrea antigaestrutura."Comonaformaçãodeumaestrutura geológica, as descobertas matemáticas se sedimentame se estratificam ao longo dos séculos. Entretanto não se infira quea Matemáticaé uma ciênciaestáticae simemcontínuaevolução.Asformulaçõesinicialmentetênuese difusas percorrem um espinhoso caminho até atingira magnitude de seudesenvolvimento.

Nopresenteepítomehistórico,vamo-nosateraoperíodoconsiderado por muitos historiadores como a da Matemática da antigüidade. Esse período se inicia coma Escola Pitagórica (séc. VI a.C.), tem seqüência com Euclidese Arquimedese termina com Apolônio (séc. I a.C.).

Este apanágio, por si só, não justificaria esta resenha histórica no presente livro-texto que trata das . No entanto,é justamente nesseperíodoquesedápraticamentetodoo desenvolvimentogeométrico das cônicas. Porém,o enfoque analítico das cônicas só acontece com (1601-1665), uma vez que os matemáticos gregos não possuíam umanotaçãoalgébricaadequada.

Credita-sea Fermat:

-o estabelecimento do princípio fundamental de que uma equação do 1.º grau, no plano, representa uma retae que uma equação do 2.º grau,noplano,representaumacônica;

-a determinação das equações mais simples da reta, da circunferência,daelipse,daparábolae dahipérbole;

-a aplicação darotação deeixospara reduzir uma equaçãodo 2.º grauà suaformamaissimples.

A palavra Matemática ( , em grego) surgiu com

Pitágoras,quefoio primeiroa concebê-lacomoumsistemadepensamento,fulcradoemprovasdedutivas.

Existem, no entanto, indícios de queo chamado fase áurea

Cônicas Fermat

Mathematike Teorema de

Pitágoras (a = b +c) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medidadotempoe namedidadosângulos.

Pitágorasnasceu naÁsiaMenor, nailhade Samos.Percorreupor 30 anoso Egito, Babilônia, Síria, Feníciae quiçá Índiae Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismoe religião.É oportuno lembrara sua contemporaneidade comBuda,Confúcioe Lao-Tsé.

Retornandoa Samos, indispôs-se como tirano Polícratese emigrou parao meridião da Itália, na Ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundoua Escola Pitagórica,a quem se concedea glória de sera "primeira Universidadedomundo".

AEscolaPitagóricae suasatividadesseviramdesdeentãoenvoltasporumvéudelendas.Foiumaentidadeparcialmentesecretacomcentenasdealunosquecompunhamumairmandadereligiosae intelectual:

- prática de rituais de purificaçãoe crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma apósa morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavama reencarnaçãoea imortalidade da alma;

- lealdade entre os seus membrose distribuição comunitária dos bensmateriais;

-austeridade,ascetismoe obediênciaà hierarquiadaEscola;

- proibição de beber vinhoe comer carne (portantoé falsaa informação que seus discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstraçãododenominadoTeoremadePitágoras);

- purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Músicae Astronomia;

- classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos efatoráveis;

- "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremase provas, segundoo quala estrutura intrincada da Geometriaé obtida de um pequenonúmerodeafirmaçõesexplicitamentefeitase daaçãodeumraciocíniodedutivorigoroso"(GeorgeSimmons);

- grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágorasa respeitodairracionalidadedo .Utilizandonotaçãoalgébrica,a equação

x =2 nãoadmitiasoluçãonuméricaparaospitagóricos,poisestessóadmitiam os números racionais. Dadaa conotação mística atribuída a, comenta-se que, quandoo infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução parao impasse, os outros discípuloso expulsaram da Escolaeo afogaramnomar;

-naAstronomia,idéiasinovadoras,emboranemsempreverdadeiras:a Terraé esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades em suas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astroscristalizou-sea idéiadequeháumaordemquedominao Universo;

- aos pitagóricos deve-se provavelmentea construção do cubo, tetraedro,octoedro,dodecaedroea bemconhecida"seçãoáurea";

-naMúsica,umadescobertanotáveldequeosintervalosmusicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas:

No entanto, Pitágoras deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudoo que dele sabemos deve-seà tradição oral. Nada deixou escrito,e os primeiros trabalhos sobreo mesmo deve-sea Filolau, quase 100 anos apósa morte de Pitágoras. Mas nãoé fácil negar aospitagóricos- assevera CarlBoyer- "opapelprimordialparao estabelecimentodaMatemáticacomodisciplinaracional".A despeitodealgumexagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesseo 'teorema Pitágoras',nãoexistiriaa Geometria".

A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verve de

Euclidese Platão, na antiga erac ristã, na Idade Média, na Renascençae atéemnossosdiascomo Neopitagorismo.

Ignora-s eo locale ano de nasciment o de Euclides.

Provavelmente,tenharecebidoosprimeirosensinamentosdeMatemática dosdiscípulosdePlatão.

PtolomeuI- general macedônio favorito de Alexandre,o Grande, mortoem323a.C.-trouxeEuclidesdeAtenasparaAlexandria .Estatornara-sea nova capital egípcia no litoral mediterrâneoe centro econômicoe intelectual do mundo helenístico. Euclides fundoua Escola de Matemática na renomada Biblioteca de Alexandria, que pode ter alcançadoa cifra de 700.000rolos(papirose pergaminhos).

Alexandria,a partir de Euclides atéo séc. IV d.C., reinou quase absoluta não só comoa mais ecléticae cosmopolita cidade da antigüidade,mastambémcomoprincipa lcentrodeproduçãomatemática.

A mais conspícua obra de Euclides, (c. 300 a.C.), constitui um dos mais notáveis compêndios de Matemática de todos os tempos,commaisdemilediçõesdesdeo adventodaimprensa(aprimeira versão impressa de apareceu em Veneza em 1482). Tem sido- segundo George Simmons- “considerado como responsável por uma influência sobrea mente humana maior que qualquer outro livro, com exceçãodaBíblia".

Os Elementos Os Elementos

Conta-se queo rei Ptolomeu, tenho folheado , perguntou esperançosamentea Euclides se não havia um caminho mais suave para aprender Geometria. Lacônico, Euclides teria respondido: "Nãoháumaestradarealparaa Geometria".

são uma compilaçãometódicae ordenada de 465 proposições reunidas em 13 livros. Sua característicaéo rigor das demonstrações,o encadeamentológicodosteoremas,axiomase postuladosea clareza na exposição. Sua propostaé uma Geometria dedutiva, despreocupada das limitações práticas, contrastando coma Geometria egípcia,decaráterindutivoe fulcradaemproblemasconcretos.

Dos 13 livros em que se subdividem , os6 primeiros tratam da Geometria Plana Elementar; os3 seguintes, da Teoria dos Números,o livroX trata dos Incomensuráveis (números irracionais)e os3 últimos,daGeometrianoEspaço.

O livro XIII de aborda exclusivamente as propriedades dos5 sólidos regulares- denominados. Lembramos que um poliedro (do grego poli (muitas)+ edro (faces))é um sólido cuja superfícieé constituída de faces poligonais.O poliedroé regularsesuasfacesforempolígonosregulares.Háapenas5 poliedrosregulares:o tetraedro (4facestriangulares),o cuboouhexaedro(6facesquadradas),o octaedro(8facestriangulares),o dodecaedro(12facespentagonais)eo icosaedro(20facestriangulares).

Faz-se oportunaa asserção de George Simmons: "A construção de poliedros regulares fornece um clímax soberboà Geometria de Euclides,e alguns conjecturam que esse foio propósito primeiro pelo qual foram escritos: o de glorificar os Poliedros de Platão". Na proposição 18,a última de , Euclides prova que não pode haverumoutropoliedroregular,alémdos5 mencionados.

Euclides foi sinônimo de Geometriae reinou absoluto atéos éc.

XIX, quando foi parcialmente contestadoo seu famoso 5.º postulado, por Riemann, Lobatchewskie Bolyai (criadores das geometrias nãoeuclidianas).

A bibliografia de Euclidesé ecléticae valiosa: (solução de problemas geométricos planos, que complementavam os6 primeiros volumes de ); (trata da divisão de figuras planas); (geometria esférica aplicadaà astronomia); (que trata da geometria dos raios refletidose dos raios refratados); (música).

E para desfortuna de milhares de matemáticos, muitas das obras de Euclides se perderam: Lugares de superfície, Pseudaria, Porismas (que pode ter representado algo próximo da nossa atual Geometria Analítica). Precipuamente, lamenta-seo desaparecimento de de Euclides, que, conforme referências, deve ter tratado de

OsElementos OsElementos

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