CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

(Parte 3 de 10)

Os Elementos

Os Elementos Poliedros de Platão

Os Elementos Os Elementos

OsDados

Os Elementos Da Divisão Fenômenos Óptica

IntroduçãoHarmônica esfera,cilindro,cone,elipsóide,parabolóide,hiperbolóide,etc.

A Biblioteca de Alexandria estava muito próxima do que se entende hoje por Universidade.E se faz apropriadoo depoimento do insigne Carl B. Boyer, em a : "A Universidade de Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de cultura superior. Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como administradorese outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que possuímos, parece que Euclides definitivamente pertenciaà última categoria. Nenhuma descoberta novaé atribuídaa ele, mas era conhecido pela sua habilidade ao expor. Essaéa chave do sucesso de sua maior obra- ."

A genialidade de Arquimedes como físico-matemático sóé comparável com Isaac Newton, no séc. XVIII. Sua produçãoé completamente originale muito vasta, incluindo Geometria Planae Sólida, Astronomia, Aritmética,Mecânicae Hidrostática.

Nasceu na ilha grega da Sicília, na cidade de Siracusa. Quando jovem estudou em Alexandria,o templo do saber da época, com os discípulosdeEuclides.

Suasinvençõesengenhosas,suasmáquinasdecaráterutilitárioe bélico,o memorizaramatravésdosséculosporhistoriadoresromanos,gregos,bizantinose árabes.

Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicos como fator episódicoe que, de certa forma, tiravama dignidade da ciência pura. "Sua mentalidade não eraa de um engenheiro, mas sim,a de um matemático".

Alguns de seus feitos são clássicose conhecidos, mas merecem serrelembrados:

Por descrição de Vitrúvio, conhecemosa história da coroa do rei

Herão. Este havia encomendadoa um ourives uma coroa de ouro puro. Umavezpronta,o desconfiadoreiHerãosolicitouaA rquimedesqueanalisassea coroae dirimissea dúvida: eraa coroa de ouro puro ou feita de umaamálgamacomprata?

Quando tomava banho, Arquimedes observou que,à medida que seu corpo mergulhava na banheira,a água transbordava. Foio pararesolvero problema.

Contao historiador Vitrúvio que Arquimedes, eufórico, teria saído pelas ruas, completamente nu, gritando "Eureka, eureka", que significa "Achei,achei".

Refeitodovexame,Arquimedescomprovouquehouvefraudepor

História da Matemática

Os Elementos parte do ourives. Destarte, tomou dois recipientes cheios de águae num recipiente imergiu um bloco de ouroe noutro recipiente, um bloco de prata. Comoambososblocoscontinhamo mesmopesoquea coroa,comprovou afraude,poisconstatouqueosblocosdeslocavamquantidadesdiferentes deágua. Deste fato decorre o , lei básica da

Hidrostática: Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixoparacimaigualaopesodovolumedofluidodeslocado.

Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado àforçaparabanhar-seoupassaróleonocorpo,quecostumavatraçarfiguras geométricas nas cinzas do fogo,e diagramas no óleo de seu corpo, estandoemumestadodepreocupaçã ototale depossessãodivina,nosentidomaisverdadeiro ,porseuamore deleitepelaciência".

Na 2.ª Guerra Púnica, contraa poderosa razia do exércitoe marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo,a sagacidade de Arquimedescriouaparatosdevastadores:

- catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre asgalerasinimigas;

- gigantescos guindastes que elevavama proa dos navios romanos,afundando-ospelapopa;

- um enorme espelho que incendiava os navios hostisa distância, umavezquerefletiamosraiossolares.

Plutarco conta que se instalou tamanho temore angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de SiracusaeraconsideradoumaartimanhadiabólicadeArquimedes.

Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assaltoe infligiu um cerco de3 anos.Em212a.C.acidaderendeu-se.

Adentrando-se às muralhas de Siracusa as hostes romanas promoverama pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-sedeumencanecidosenhorde75anos,queindiferenteà chacina, desenhava diagramas na areiae absorto balbuciou: "Não perturbes os meus círculos".O soldado enraivecido trespassou-o coma espada. ForamasderradeiraspalavrasdeArquimedes.

Marcelo,quehaviadadoordensexpressasparaquesepoupasse avidadeseuarquirival,ficoumuitoentristecidoe providenciouquelheconcedesse um enterro com honras. Mandou erigir um monumento e, satisfazendoo desejo de Arquimedes, foi gravada na lápide de seu túmuloa representaçãodeumaesferainscritanumcilindrocircularretocujaalturaé igual ao seu diâmetro,p ois ele havia descobertoe provado as relações princípio de Arquimedes

CÔNICASE QUÁDRICAS matemáticas(notaçãohodierna):

OutrosinventosnotáveisouestudosdeArquimedes:

-Ummecanismofeitodetubosemhélice,fixosa umeixoinclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevara águaa um planosuperior,conhecidocomo"parafusodeArquimedes".É umprocesso rudimentar,masqueaindaéusadoaolongodorioNilo.

- Descobriuo princípio da alavancae cunhouo célebre aforisma: "Dê-meumpontodeapoioe levantareio mundo".

- Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei

Herão tão suavee uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendoapenascomsuamãoa extremidadedeumengenhoqueconsistiaemumblococompoliasecordas.

- Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante mecanismo hidráulico, com esferas móveis que representavamo Sol,a Lua, os cinco planetas (conhecidos), podendo-se observar as fasese os eclipses daLua.Enfim,umpequenoplanetário.

AgrandezatambémsemanifestanaMatemática:

- No tratado , Arquimedes, em um círculo dado, inscreveue circunscreveu um polígono de 96 ladose obteve a fórmula parao cálculo da área do círculo e, por muitos séculos,o mais acertadovalorpara:

A obtençãoda área docírculo através depolígonos ficou conhecidacomoa "quadraturadocírculo".Apenasà guisadeilustração,o símbolo não foi usado na antigüidade grega no sentido atual.A introduçãodo símbolo sóaconteceuem 1706,porWilliam Jones, umamigodeNewton.

Sobre as Medidas do Círculo p

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A letra éa inicial da palavra grega que significa periferia, circunferência. Sabemos que = 3,1415926535...é um número irracional.Em1988,o japonês YasumasaKanadaconse- guiu calcular o com 200 milhões de casas decimais.O supercomputadordaépoca,usadoporY.Kanadalevouapenas6 horas parafazeroscálculos.

- No tratado a , Arquimedes demonstra

quea áreacontidaporumparábola(S )e umaretatransversalé daárea dotriângulo(S )coma mesmabasee cujovérticeéo pontoondea tangenteà parábolaé paralelaà base.

Ainda neste mesmo tratado,o ilustre siracusano foi provavelmen- teo primeiroa sabere provarquea áreadaesferaé 4 R ,em notaçãoatual.

- No livro , trata do centro de gravidade de figurassólidase planas(triângulo,trapézio,segmentodeparábola,etc.).

- No tratado , Arquimedes obtéma área de uma elipse (S = ab)e descreve sólidos de revolução gerados por parábolas,elipsese hipérbolesemtornodeseuseixos(quádricasderevolução).

-O tratado descrevea curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação

= k )e pela primeira vez determinaa tangentea uma curva que não seja ocírculo.

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