CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

(Parte 5 de 10)

Coubea Pierre de Fermat (1601-1665)a descoberta das equaçõesdaretae dacircunferência,e asequaçõesmaissimplesdaelipse,da parábolae da hipérbole. Aplicoua transformação equivalenteà atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua forma mais simples.É cristalina em Fermata percepção de uma Geometria Analíticaa três dimensões: "Mas seo problema proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazera equação, não apenas um ponto ou uma curva,mastodaumasuperfície".

Éoportunoobservarquea usualdenominação ( éa forma latinizada de Descartes)é anacrônica historicamente, pois sua obra não contém eixos perpendiculares, eixos oblíquos, nem tampoucoa equação de uma reta. Por mérito,o sistema cartesiano al-Khowarizmi Al-Jabr Al-Jabr

Al-Jabr deslocação arábicos

Pierre de Fermat Ad locos planos et solidos isagoge

Último Teorema de Fermat Arithmética

Álgebra Vetoriale Geometria Analítica

As Cônicas sistemacartesiano Cartesius deveriadenominar-se.

Indubitavelmente, Renê Descartes (1596-1650)é consideradoo pela sua obra , publicadaem 1637.O terceiroapêndicedesta obra chama-see éumaaplicaçãodaálgebraaos problemasgeométricos,masquasenada trata do que se entende hoje por Geometria Analítica. Segundo George Simmons " foi pouco lida entãoe menos lida hoje,e bem merecidamente".

sistemafermatiano pai da filosofia moderna Discours de la Méthode LaGéométrie

La Géométrie

O autor

Uma vez conhecidas as coordenadas de um pontooua equação de uma curva em relaçãoa um certo sistema de referência, trataremos neste capítulo das novas coordenadas do ponto ou da nova equação da curva em relaçãoa um novo sistema de referência. Assim,a curva cuja equaçãof(x, y)=0 quando referidaa um transformar-se-á numa equação do tipo F(x ,y)= 0, quando referidaa umnovosistem adecoordenadascartesianasxOy.

Este novo sistemaé obtido através de e/ou uma . Enfatize-se que numa (mediante uma rotação ou translação) nãoé afetadaa formadacurvaouo gráficodacurva.Noentanto,háalteraçãonaequação dacurva.

No plano cartesiano xOy considere um ponto O = (x , y ).

Introduza um sistema xO y' tal que O' sejaa nova origemeo eixoO'x'tenhaa mesma direçãoe sentido de Oxe O'y' tenhaa mesma direçãoe sentidodeOy.

Dizemos que o siste- ma por uma do sistema xOy. Em ambos os sistemas se conservamasunidadesdemedida.

sistemadecoordenadascartesianas xOy uma translação de eixos rotação de eixos transformação de coordenadas novo novo translação antigo xO y' foi obtido

1.TRANSLAÇÃODEEIXOS y y O

Um pontoP do plano tem coordenadas:

xey em relação ao sistemaxOy.

x'e y' em relação ao sistemax'O'y'.

Obtemosfacilmentedafiguraas:

x= x +x' y= y +y'

Exemplo:

Considerea circunferência de equação x + y 6x 8y+ 21=0 emrelaçãoaosistemaxOy.Façaumatranslaçãodeeixotalquea novaorigem seja O'= (3, 4). Obtenhaa equação da circunferência em relação ao novosistemax'O'y'.

a)Fórmulasdetranslação:

b) Substituindoxey por seusvaloresnaequaçãodacircunferência:

A circunferência x + y 6x 8y+ 21=0 se transforma na equação x' + y' =4 mediante uma translação de eixos, sendoa nova origem O'= (3,4)e raioiguala 2.

fórmulasdetranslação --

4yy 3xxy y O x

2.ROTAÇÃODEEIXOS

Preliminarmente consideremosumsistemade coordenadascartesianas ortogonai s xOy. Mantendo fixaa origem O, faz-se uma rotação nos eixos Oxe Oy de um mesmo ângulo, no sentido anti-horário. Obtemos assim um novo sistema x'O'y' por uma rotação de xOy.

Um pontoP que tem coordenadas (x, y) em relação ao sistema xOy, após uma rotação de eixos assume coordenadas (x', y') em relação aonovosistemax'O'y'.

Nafiguraaolado: (P O)= (P O')

onde i, j, i'e j' são respectivamente os versores doseixosx,y,x'e y'.

a) Multiplicando escalarmente1 pori:

a)Fórmulasderotação --

CÔNICASE QUÁDRICAS y xxO ” q y P

(xi.i+yj. i)= (x'i'.i+ y'j'. i)2

Mas: i.i=1 j.i=0 i'.i=l i'llil cos x'x= cos j'.i=l j'llil cosy'x= cos (90º + ) = sen

Substituindo3 em2: x= x'cos y'sen b) Multiplicando escalarmente1 porj obtemos por cálculos análogos:

Comoseviu,deduzimosvetorialmenteas:

x= x'cos y'sen y= x'sen +y'cos

Como escopo mnemônico, transcrevemosa tabela abaixo. Observequea 2.ªcolunanadamaisédoqu e da1.ªcoluna.

Exemplo:A equação5x +6xy+ 5y 8=0 representauma no sistema xOy. Obtera equação da mesma elipse uma vez efetuadaa

rotaçãodeeixosdeamplitude =45º.

a)Fórmulasderotação:

q q -q q - q q fórmulasderotação b)Tabeladasfórmulasderotação aderivada elipse RESOLUÇÃO:

cos q sen q – sen q cos q x x y x' y'

45º x b)Substituindoxey porseusvaloresnaequaçãodada:

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