CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

(Parte 6 de 10)

c)Desenvolvendoe simplificando,a equaçãoacimareduz-sea: 4x' +y' =4

Aequação 5x + 6xy+ 5y 8=0 foi transformada na equa- uma rotação de = 45º. Veremos quea equação transformadaé de longe, muito mais fácil de se representargraficamente.

Parábola, elipsee hipérbole serão estudadas nos três próximos capítulos.Didaticamentemereceressalvasa posturadesereportara umacurvaqueaindanãofoiapresentada.

Justifiquemos:

1)Asequaçõesmaissimples(ditascanônicas)daparábola,elipsee hipérbolefazempartedoconteúdoprogramáticodoEnsinoMédio.

2) Nosso escopono presente capítulonãoé enfatizaro gráfico da curvae sima rotaçãoe/outranslaçãodeeixoscartesianos.

Exercícios

"Deus dáa todos uma estrela, uns fazem da estrela um sol. Outros nem conseguem vê-la." Helena Kolody, poetae escritora paranaense.

Transformara equação x + 4y 2x 16y+5=0 por meio de umatranslaçãodeeixos,considerandoa novaorigemnoponto(1,2).

Por meio de uma rotação de eixos de amplitude , transformara equaçãox y =4.

Obtera nova equação da reta 3x 4y+ 10=0 quando se efetuaumarotaçãodeeixosdeamplitude ,sabendo-seque

Pormeiode umarotaçãode eixosde amplitude =30º, transformara equação

Transformara equação xy=1 através de uma rotação de eixosde

Oestudoemepígrafeteráaplicaçõesassazimportantesnoscapítulosvindouros: elipse,parábola,hipérbole,cônicas.

Assim,sejaa equaçãodo2.ºgrauemduasvariáveis:

Ax + Bxy+ Cy + Dx+ Ey+F=0

3.APLICAÇÃODASTRANSLAÇÕESE ROTAÇÕES NOESTUDODEUMAEQUAÇÃODO2.ºGRAU rad. 4 rad. 4

Nossoescopoé eliminarnestaequação,umoumaistermos,utilizando uma e/ou uma . Afloram dois tipos de problemas,queserãoanalisadosdepersi:

Exemplo: Calcular as coordenadas da nova origem O'= (x , y )à qual se deve transladar os eixos, para que na equação da circunferência x +y 4x 6y+4=0 desapareçamostermosdo1.ºgrau.

a)Fórmulasdetranslação:

c)Desenvolvendoe agrupandoconvenientementeostermos:

fazendoo coeficientedex'iguala zero: 2x 4= 0 x =2 fazendoo coeficientedey'iguala zero: 2y 6=0 y =3 d)Substituindo x =2e y =3 em(*):

que representaa equação de uma circunferência com centro na origem do sistemax'O'y'e cujoraioé 3.

Parecem-nos úteise práticas as seguintes propriedades (que podem ser verificadasnoexemploacima):

translação rotação a)Pormeiodeumatranslaçã oeliminarostermosdo1.ºgrau.

-fi -

RESOLUÇÃO: fi

'y 'x o

1.Dadaa equaçãoAx + Bxy+ Cy + Dx+ Ey+F= 0,a translaçãonãoafetaoscoeficientesdostermosdo2.ºgrau(A,B,C).

2. Após uma translação com O'= (x , y )o novo termo independenteF'podeserobtido:

b)Pormeiodeumarotaçãoeliminarotermoemxy.

termo em xy pode ser eliminado são eliminados quando feita uma translação para O'= (1, 1). Em relação aosistemax'O'y'a novaequaçãoteráa forma5x' +6x'y'+ 5y' +F'= 0.

Dadaa equaçãoAx +Bxy+ Cy + Dx+ Ey+F=0 (1 ),o mediante uma rotação de eixos correspon- dentea umângulo talque:

DEMOSTRAÇÃO: a)Fórmulasderotação:

b)Substituindo2 em1:

ordenandoostermosemx' ,y' ex'y':

(A cos +B sen cos +C sen )x' + [ 2A senc os+ +B (cos sen )+ 2C sen cos ] x' y'+ (A sen Bsen cos +C cos )y' +...=0

O termo em xy desaparecerá na equação acima seo seu coeficientefornulo:

q q q q q q q q q q q q q q

C)A(para CA

Dividindoporcos2:

Cumpredestacar:

£q£ Þ ÞÞq q q q q

q q q

1)A rotaçãonãoafetao termoindependente.

4)O grau de uma equação nãoé alterado quando se aplica umatransformaçãodecoordenadas.

C)(A4 CA

tg2 2tgmas

Exercícios Resolvidos

"Todos sabemoso que somos, mas nãoo que podemos ser." William Shakespeare (1564-1616),o maior dramaturgo inglês.

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