CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

CÔNICAS E QUÁDRICAS-Jacir J Venturi

(Parte 7 de 10)

Dadaa equação3x 4xy 1= 0,pede-separa: a)acharo ânguloderotaçãoqueeliminao termoemxy.

Efetuando-se:2 tg 3tg 2=0 Equaçãodo2.ºgraucujasraízessão:-- q- q-

RESOLUÇÃO: 1.

OBSERVAÇÃO: Oânguloagudo éobtidopelatg =2 =63º25'.

b)Calcularasfórmulasderotação(para0º 90º).

b.1)Cálculodosen edocos Obtivemosquetg =2

b.2)Fórmulasderotação:

c)Obtera novaequaçãonosistemax'Oy'apósa rotaçãodeeixos deamplitude:

c.1)Substituindoasfórmulasderotaçãonaequaçãodada:

c.2)Efetuando-seosprodutose assomas: 4y' x' 1=0 qÞ q q q

Resp.:

£q£

2 sen

2 sendoSubstituin

translação2) rotação2) translação1)

O x q@ 63º x'

VeremosnoCap.4 quea equação4y' x' 1=0 representauma hipérbole referida ao sistema x'Oy'ea equaçã o dada

3x 4xy 1=0 representaa mesmahipérbole porém referida ao sistema xOy.A rotação dos eixos foi de 63º. Ao lado

(apenasa título de ilustração) representou-sea hipérbole.

Naequação3x +2xy+ 3y 6x 6y+1=0 devemoseliminar: 1)ostermosdo1.ºgrau(translação) 2)o termoemxy(rotação)

Pode parecer natural quea translação necessariamenteprecedaà rotação. Masnemsempre istoé verdadeiro.Há exercícios cuja ordem das transformaçõesé contráriaà citada. Alvitramosa seguinteregraprática:

NaequaçãoAx +Bxy+ Cy +Dx+ Ey+F=0 se:

Nopresenteexercício: B 4AC= (2) 4(3)(3)0 Ordemdastransformações:

RESOLUÇÃO: 2.

Importante:

2.a)TRANSLAÇÃO Fórmulasdetranslação:

Fazendooscoeficientesdex'e dey'iguala zero:

Resolvendoo sistema temos: ou seja,

Como na translação paraa nova origem sãoeli- minadosostermosdo1.ºgrau,resultaumaequaçãodotipo: 3x' +2x'y'+3 y' +F'= 0,onde:

Assim pela translaçãoa equação dada se transforma numa equaçãodotipo:

Selevássemos em1 obteríamosigualmente2 ,porémnãooptadoporserummétodomaislaborioso ,viaderegra.

2.b)ROTAÇÃO(paraseeliminaro termoemx'y'naequação2 ). Comonaequaçãodada A= C =45º

Þq OBSERVAÇÃO:

o o

'y 'x o

Exercícios

CÔNICASE QUÁDRICAS :rotaçãodeFórmulas produtos :somasaseosetuandoEf

:2em3doSubstituin

O x 45º

No Capítulo3 veremos quea equação4 representa uma elipse.

Ao lado, apenasa título de ilustração, figurou-sea elipse fetuadauma translaçãopara e uma rotação de amplitude =45º.

Mediante uma translação de eixos, eliminar os termos do 1.º graunaequaçãox +4y 2x 16y+5= 0.

em relação ao novo q

"Pior queo ódioéa falta de amor." Nelson Rodrigues (1912-1980), dramaturgoe jornalista pernambucano.

sistema x"O'y",após e

Eliminar os termos do 1.º grau em 2xyx y+3=0 por meio deumatranslaçãodeeixos.

Resp.: 4x'y'+5=0

Transformea equação x + y 8x 10y = 37 numa equação dotipox +y =k.Construaa figura.

Na equação dada devemos eliminar os termos do 1.º grau translação.

Eliminaro termoemxynaequaçãox +4xy+ y 2=0 medianteumarotaçãodeeixos.

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