Fisica - Centro - de - Massa

Fisica - Centro - de - Massa

(Parte 1 de 2)

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA1

1. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA

Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos P1 e P2, localizados num eixo horizontal Ox. Sejam x1 e x2, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto C do eixo Ox, de abscissa xC, em relação ao qual é nula a soma dos momentos de P1 e de P2.

Tema especial

Figura 2.

x Px P x

O ponto C recebe o nome de centro de gravidade do sistema de pontos materiais 1 e 2.

Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível, suspendendo-se a barra pelo ponto C, o sistema fica em equilíbrio (figura 2). Considerando no local o campo gravitacional uniforme, isto é, a acelera- ção da gravidade g constante, e sendo m1 e m2 as massas dos pontos 1 e 2, respectivamente, temos:

x mg x m gx

x

mx m x

Neste caso, o centro de gravidade chama-se também centro de massa.

Figura 1.

x 2CO x x d m m d P

Os Fundamentos da Física (8a edição)

OS FUNDAMENTOS DA FÍSICAEditora Moderna Ltda.

Dado um sistema de pontos materiais de massas m1, m2,, mi, ..., mn e de
coordenadas cartesianas (x1, y1, z1), (x2, y2, z2),, (xi, yi, zi), ..., (xn, yn, zn) que

2 definem as posições desses pontos (figura 3), temos de modo geral que a posi- ção do centro de massa C é definida pelas coordenadas cartesianas (xC, yC, zC), dadas por:

x mx m x mx m x m m m x

C i n n in C i i i i

ou112212

y my m y my m y

m m m y

C i n n in C i i i i

ou112212

z mz m z mz m z

m m m z

C i n n in C i i i i

ou112212

Observe que cada coordenada do centro de massa é uma média ponderada das correspondentes coordenadas dos pontos materiais e os pesos da média são as respectivas massas.

m m x y x Figura 3.

Exercício Resolvido

R.1Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.

x (cm) y (cm) m mB

Solução: A abscissa do centro de massa C é dada por:

x mx mx mx mmmC ABD x m

02 4

mC

xC  2 cm

Para a ordenada do centro de massa C, temos:

y my my my mmmC ABD y m

03 0
yC  1 cm

3 Resposta: C (2 cm; 1 cm)

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA3

P.1Cinco pontos materiais de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelos cinco pontos materiais.

Exercícios Propostos x (cm) y (cm)

P.2Determine a posição do centro de massa C do sistema formado por duas partículas de massas mA e mB, fixas nas extremidades de uma barra de peso desprezível.

Analise os casos:

Seja um sistema de pontos materiais de massas m1, m2,, mi, mi1, ..., mn e com centro de massa C.

2. PROPRIEDADE DA CONCENTRAÇÃO DE MASSAS Vamos separar este sistema em dois outros sistemas:

• Um de massas m1, m2,, mi, de centro de massa C’ e de massa total m’  m1  m2  ...  mi.
• E outro de massas mi1,, mn, de centro de massa C” e de massa total m”  mi1  ...  mn.

O centro de massa C do sistema todo é obtido a partir dos centros de massa C’ e C”, considerando concentradas nesses pontos as massas m’ e m”, respectivamente. De fato:

x mxm mx mx x m m m m mmC i i i i i i i i ni C i i

Mas: mx m x

∑ e xii i

” Logo, substituindo-se as expressões e na expressão , temos:

x mx m x mC ’” ’”

Analogamente, demonstra-se para as coordenadas yC e zC que:

y my m y mC ’” ’”

e z

mC ’” ’”

60 cm

BA m m

OS FUNDAMENTOS DA FÍSICAEditora Moderna Ltda.

3. PROPRIEDADE DE SIMETRIA

Se um sistema de pontos materiais admite um elemento de simetria, então o centro de massa do sistema pertence a esse elemento. O elemento de simetria pode ser um ponto (centro de simetria), um eixo ou um plano.

Vamos supor que um ponto O seja um centro de simetria. Provemos que O coincide com o centro de massa. Considere o sistema de pontos materiais situados num plano e seja Oxy um sistema cartesiano com origem no ponto O (figura 4). Se existe mixi, existe também mi( xi). Logo:

mx mx m i

∑⇒ 00

Figura 4. xO y m x x

Na figura 5, com base na propriedade de simetria, apresentamos o centro de massa C de alguns corpos homogêneos. Observe que ele coincide com o centro geométrico desses corpos.

Figura 5.

Por meio das propriedades dos itens 2 e 3, podemos determinar o centro de massa de uma placa homogênea, de espessura constante e de massa m, como por exemplo a indicada na figura 6a.

Para tanto, dividimos a placa em duas partes, e , de massas m’ e m”, e pela propriedade de simetria localizamos os centros de massa C’ e C” destas partes (figura 6b). Pela propriedade da concentração de massas, concluímos que o centro de massa C da placa toda coincide com o centro de massa dos pontos C’ e C”, cujas massas m’ e m” estão concentradas neles (figura 6c).

Figura 6. O centro de massa C da placa de massa m pertence ao segmento de reta que passa pelos pontos C’ (de massa m’) e C”(de massa m”).

m' C'' m'' x y O

C' (m')

2 (a) (b) (c)

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA5

Exercício Resolvido

R.2Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura.

Solução: Vamos dividir a placa em dois quadrados. O primeiro, de lado 2a e cujo centro de massa é o ponto A de coordenadas (a, a), e o segundo, de lado a e de centro de massa B cujas coordenadas são (2,5a, 0,5a).

y (cm) y (cm)

2aa

A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por:

x mx mx mmC A B BAB

Como a placa é homogênea e de espessura constante, temos que as massas são proporcionais às respectivas áreas, ou seja:

mA  KAA e mB  KAB 

em que K é a constante de proporcionalidade. Assim, substituindo-se as expressões e na expressão , temos:

x KA x KA x

x

KA KA Ax Ax x a a a

xC  1,3 a

Para a ordenada do centro de massa, temos:

y Ay Ay y a a a

yC  0,9a

Resposta: C (1,3a; 0,9a)

OS FUNDAMENTOS DA FÍSICAEditora Moderna Ltda.

P.3Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea e de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura.

Exercícios Propostos

30 cm 10 cm

30 cm

5 cm

P.4Três placas circulares idênticas, homogêneas, de espessura uniforme e de raio R estão dispostas conforme a figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelas três placas.

x R

P.5A ordenada do centro de massa de uma placa triangular, homogênea e de espessura constante é igual a um terço da altura (figura 1). Determine a ordenada do centro de massa de uma placa trapezoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b (figura 2).

P.6A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R e possui um furo circular de raio r. Determine, em função de r e R, as coordenadas do centro de massa da placa.

R r

P.7A massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é 60R, em que R é o raio da Terra. Determine a distância do centro da Terra ao centro de massa do sistema Terra-Lua.

Terra

Lua R h C h h a

Figura 1.Figura 2.

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA7

Considere um sistema de pontos materiais cujas massas são m1, m2,, mn, e sejam v1, v2, ..., vn, res-

4. VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA pectivamente, suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade vC dada por uma média ponderada das velocidades dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as respectivas massas, ou seja:

v v vC

m  m1  m2  mn

Chamemos de m a massa total do sistema, isto é: Substituindo-se a expressão na expressão , resulta:

mvC  m1v1  m2v2  mnvn
Mas m1v1  m2v2  mnvn representa a quantidade de movimento total do sistema de pontos

materiais (Qsistema). Logo:

Portanto:

A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.

Considere um sistema de pontos materiais m1, m2,, mn, e sejam a1, a2, ..., an, respectivamente, suas

5. ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui aceleração aC dada por uma média ponderada das acelerações dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as res- pectivas massas, ou seja:

m  m1  m2  mn

Seja m a massa total do sistema, isto é: Substituindo-se a expressão na expressão , resulta:

maC  m1a1  m2a2  mnan
Mas m1a1, m2a2,, mnan representam, respectivamente, as forças resultantes F1, F2, ..., Fn, que agem

nos pontos materiais. Portanto:

maC  F1  F2  Fn
Entretanto, F1  F2  Fn representa a resultante de todas as forças externas que agem no siste-

ma de pontos materiais (Fext.), uma vez que a resultante das forças que uma partícula do sistema exerce sobre as outras (forças internas) é nula, devido ao princípio da ação e reação. Assim, temos:

Portanto:

O centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema e sob ação da resultante das forças externas que atuam no sistema.

OS FUNDAMENTOS DA FÍSICAEditora Moderna Ltda.

Por exemplo, considere um corpo lançado obliquamente nas proximidades da superfície terrestre (figura 7). Embora seus pontos descrevam um movimento complexo, o centro de massa (ponto marcado em vermelho) desloca-se como se fosse um ponto material de massa igual à massa do corpo e sob ação do peso do corpo. Nestas condições, o centro de massa descreve uma trajetória parabólica em relação à Terra.

Figura 7. Como conseqüência das considerações anteriores, concluímos que:

As forças internas não alteram o movimento do centro de massa.

Quando um atleta pula de um trampolim, realizando um salto ornamental, ele movimenta seus braços, pernas e cabeça, alterando a posição do centro de massa de seu corpo. As forças responsáveis por estas alterações são internas e não alteram o movimento do centro de massa, que descreve uma trajetória parabólica em relação à Terra (figura 8).

Figura 8.

R.3As partículas A e B, de massas m e 2m, deslocam-se ao longo do eixo Ox, com velocidades escalares vA 5,0 m/s e vB 8,0 m/s. Qual é a velocidade escalar do centro de massa?

Solução: A velocidade do centro de massa C é dada por:

v vvC

A B BABmm m

Como as velocidades vA e vB têm a mesma direção, a igualdade vetorial anterior transforma-se numa igualdade escalar. Assim, vem:

v mv mv v m m 5,0 2 8,0

vC  7,0 m/s

Exercícios Resolvidos

Eixo adotado v A

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA9

R.4As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades vA e vB perpendi- culares entre si e de módulos vA 2,0 m/s e vB 4,0 m/s. Calcule o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas par- tículas.

Solução: A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é a quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda massa do sistema está concentrada nele, ou seja:

Qsistema mvC Vamos, inicialmente, determinar o módulo da quantidade de movimento do sistema em que:

Portanto: 5,0  2,5  vC ⇒vC  2,0 m/s

Resposta: 2,0 m/s

R.5As esferas A e B possuem massas m e 3m, respectivamente. A esfera A é abandonada de uma altura h 0,45 m do solo e B está em repouso. Seja g 10 m/s2 a aceleração da gravidade. Determine: a)o módulo da aceleração do centro de massa do sistema constituído pelas esferas A e B, enquanto A estiver em queda livre. b)o módulo da velocidade do centro de massa do sistema, no instante em que a esfera A atinge o solo.

vB mB mA A

Q sistem a

Solução: a)A aceleração do centro de massa é dada por:

a am m a g a g a g

C Cmmm m m 3 4 4

Em módulo, temos: ag a 4

⇒ ⇒aC  2,5 m/s2
vghvAA 22 10 0,45⇒ ⇒ vA  3,0 m/s

b)A velocidade da esfera A no instante em que atinge o solo é: A velocidade do centro de massa é dada por:

v vvC

A B BABmm m

Sendo vB 0, temos, em módulo:

v m v m

⇒ ⇒vC  0,75 m/s

3 Respostas: a) 2,5 m/s2; b) 0,75 m/s h g

OS FUNDAMENTOS DA FÍSICAEditora Moderna Ltda.

R.6Duas partículas, A e B, de massas mA 0,1 kg e mB 0,4 kg, são abandonadas no instante t 0, na posição indicada na figura.

a)Localize a posição do centro de massa das partículas no instante t 0. b)Sabendo-se que as partículas se atraem, pois foram eletrizadas com cargas elétricas de sinais opostos, a que distância da posição inicial da partícula A ocorrerá a colisão? Considere o sistema isolado de forças externas.

Solução: a)Sendo xA 0 e xB 3 m, temos para o centro de massa C:

x mx mx m xC A B B

0,1 0 0,4 3

xC  2,4 m

b)O sistema de partículas está isolado de forças externas. Como o centro de massa estava inicialmente em repouso, pois as partículas foram abandonadas, ele permanece em repouso. Logo, a colisão ocorre exatamente na posição do centro de massa, isto é, a 2,4 m da posição inicial da partícula A:

x (m)03 BA

Instante da colisão

Respostas: a) 2,4 m; b) 2,4 m

Exercícios Propostos

P.8As partículas A e B, de massas m e 3m, deslocam-se na direção do eixo Ox, com velocidades de módulos vA 10 m/s e vB 2,0 m/s. Determine o módulo da velocidade do centro de massa para cada um dos casos abaixo:

a) b) x B vA vB A

P.9(UFC-CE) Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está situado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xy. Em dado instante, uma delas é atirada na direção x, com velocidade constante de módulo VX 9,0 m/s e outra é atirada na direção y, com velocidade constante de módulo Vy 12,0 m/s, ficando a terceira em repouso na origem. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto.

P.10Num certo instante, duas partículas A e B possuem velocidades indicadas na figura. As partículas possuem mesma massa e suas velocidades são iguais, em módulo, a 10 m/s. Determine, no instante considerado, o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.

v v x B vA vB A

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA11

P.1(FEI-SP) Duas esferas, A e B, de massas MA 0,10 kg e MB 0,20 kg constituem um sistema físico e não interagem entre si. Na esfera B atua uma força externa F constante e de intensidade 30 N.

Calcule: a)Os módulos das acelerações das esferas A e B. b)O módulo da aceleração do centro de massa do sistema (AB).

P.12(PUC-RJ) Duas partículas carregadas A e B estão inicialmente em repouso. A partícula B está à distância d 6,0 cm da partícula A, que está na origem do sistema de coordenadas, como mostra a figura.

A partícula A tem carga q e massa m. A partícula B tem carga q e massa 2m. Considere as partículas constituindo um sistema físico isolado de forças externas. A que distância da origem elas colidirão?

ExercíciosPropostos de recapitulação e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em relação à posição da partícula de massa M1?

90 cm

P.14(UFPE) A figura mostra uma estrutura vertical formada por três barras iguais, homogêneas e de espessuras desprezíveis. Se o comprimento de cada barra é 90 cm, determine a altura, em centímetros, do centro de massa do sistema, em relação ao solo.

P.15(UnB) Na figura abaixo, que representa uma placa homogênea, admita que cada quadrado tenha lado igual a 10 cm. Determine, em centímetros, a soma das coordenadas do ponto correspondente ao centro de massa da placa, caso exista.

OS FUNDAMENTOS DA FÍSICAEditora Moderna Ltda.

P.16(UnB) Admitindo-se, no sistema de coordenadas da figura abaixo, que cada quadradinho tenha 10 cm de lado, determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído de duas placas homogêneas, uma circular e outra triangular, cujas massas são iguais. Calcule, em centímetros, o valor da soma das coordenadas obtidas e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

P.17(UFC-CE) Dois discos, de densidades uniformes e espessuras desprezíveis, são colocados no plano xy, confor- me mostra a figura. Se R 102 cm, calcule, em centímetros, a distância entre o centro de massa do conjunto e a origem, do sistema cartesiano xy.

na figura. Note que o centro de cada disco tem projeção sobre o eixo x. Determine a coordenada x do centro de massa do conjunto.

Editora Moderna Ltda.

TEMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA13

P.19(UFC-CE) A figura ao lado mostra uma peça metálica plana, de espessura e densidade uniformes. A parte horizontal tem comprimento L e largura D e os ramos verticais têm comprimento C e largura D, cada um deles. Se L 98 cm e D 16 cm, determine o valor do comprimento C, em centímetros, sabendo que o centro de massa da peça está sobre a linha MN. Veja a figura.

m m

P.20(Fuvest-SP) Uma placa retangular de comprimento L é constituída pela união de duas partes 1 e 2, como mos- tra a figura abaixo. A parte 1 é feita de material de massa específica ρ1 e a parte 2 de material de massa específica ρ2. Suspendendo-se a placa pelo ponto P, de acordo com a figura (AB horizontal), ela permanece em equilí- brio. Sabe-se que APL 2 a)A que distância do lado AD encontra-se o centro de massa da placa?

(Parte 1 de 2)

Comentários