Pré-Cálculo - vol3

Pré-Cálculo - vol3

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Pre-Calculo, Vol. 3: Polinomios com Coeficientes Reais

Jorge J. Delgado – Maria Lucia Torres Villela IM-UFF 2007

Conteudo

§1. Polinomios e operac oes9
Aula 25: Polinomios - operac oes e propriedades1
Aula 26: Divisibilidade - raızes23
Aula 27: Dispositivo de Briot-Ruffini37
§2. Numeros complexos e a fatorac ao em R[x]47
Aula 28: Numeros complexos49
Aula 29: Forma polar dos numeros complexos61
Aula 30: Fatorac ao em R[x]75

3 Polinomios com coeficientes reais 7 5

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6

Capıtulo 3

Polinomios com coeficientes reais

Em tais ocasioes, sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, o verdadeiro sentido de √ −1, mas creio que sera

extraordinariamente difıcil exprimi-lo com palavras

Gauss

O objetivo deste volume e estudar os polinomios com coeficientes reais, suas operac oes de adic ao e multiplicac ao e algumas propriedades elementares, tais como: os conceitos de divisibilidade e fatorac ao de polinomios em produto de potencias de fatores da forma x − a, onde a ∈ R, e x2 + bx + c, onde b e c sao numeros reais tais que b2 − 4c < 0.

Veremos que a construcao desta fatoracao esta relacionada com a existencia de raızes complexas para os polinomios com coeficientes reais. O conjunto dos numeros reais nao tem raızes para todos os polinomios com coeficientes reais. Para determinarmos todas as raızes, precisamos de um conjunto de numeros maior, o conjunto dos numeros complexos C.

Vamos definir o conjunto dos numeros complexos C, que contem R, suas operac oes de adic ao e multiplicac ao, e estudar algumas das propriedades relevantes para obter a fatorac ao dos polinomios com coeficientes reais.

Gauss 1777-1855, Alemanha.

Carl Friedrich Gauss, um mes antes de completar 19 anos, havia feito uma importante descoberta - a construcao com regua e compasso do polıgono regular de 17 lados. Esse foi um avanco consideravel em relac ao a Matematica grega. Havia 2000 anos que sabia-se construir com regua e compasso o triangulo equilatero, o pentagono regular, assim como outros polıgonos regulares com numero de lados multiplo de dois, tres e cinco, mas nenhum outro polıgono com numero de lados primo. Entre as contribuic oes de Gauss, ainda como estudante, estao o metodo dos mınimos quadrados, a lei de reciprocidade quadratica e o Teorema Fundamental da Algebra.

No endereco: http://w-history.mcs.st -andrews.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Gauss.html podem ser encontradas mais informacoes sobre Gauss. Finalmente, conhecendo os numeros complexos, finalizamos este volume com o famoso Teorema Fundamental da Algebra, a saber: Todo polinomio de grau n ≥ 1 com coeficientes reais possui exatamente n raızes complexas. Este teorema foi demonstrado por Gauss em 1799 que, no decorrer de sua vida, apresentou ainda tres demonstracoes desse mesmo teorema, e D’Alembert dispendeu grandes esforcos tentando demonstra-lo.

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Conceitos: Numeros reais e operacoes, frac oes irredutıveis.

Nesta sec ao definiremos o conjunto dos polinomios com coeficientes reais e suas operac oes de adic ao e multiplicac ao. Estudaremos as propriedades destas operacoes, relacionadas diretamente com as propriedades da adic ao e multiplicac ao de numeros reais, e aprenderemos a efetua-las na pratica.

Daremos o algoritmo de Euclides para polinomios e ensinaremos a determinar o quociente e o resto do algoritmo, em um problema do tipo “arme a conta e efetue os calculos”. A existencia de raiz real em um polinomio com coeficientes reais sera relacionada com a divisibilidade por polinomios lineares. Veremos que ha polinomios com coeficientes reais sem raızes reais.

Determinar, quando existem, as raızes reais de um polinomio nao e um problema facil. Discutiremos um metodo para procurar as raızes racionais de polinomios com coeficientes inteiros.

Considerando a importancia da divisao de um polinomio por um polinomio linear, vamos apresentar o dispositivo de Briot-Ruffini. Finalizaremos com a divisao sucessiva por polinomios lineares, relacionada com o conceito de raızes multiplas.

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Polinomios - operac oes e propriedades Polinomios

Aula 25: Polinomios - operac oes e propriedades

Conceitos: Numeros reais, operac oes de adic ao e multiplicac ao de numeros reais.

Objetivos • Definir polinomios com coeficientes reais.

• Identificar monomios e o grau de um monomio.

• Aprender as operac oes de adic ao e multiplicac ao de polinomios com coeficientes reais e suas propriedades.

• Aprender o conceito de grau de polinomio e as suas propriedades.

Nas Aulas 15 e 20, estudamos expressoes do tipo ax + b e ax2 + bx + c, sendo a, b e c numeros reais fixados e a 6= 0, sob o ponto de vista geometrico. Estas expressoes sao polinomios com coeficientes reais e serao estudadas nesta aula sob o ponto de vista algebrico, isto e, essas expressoes serao manipuladas, usando operacoes de adicao e multiplicac ao.

Seja x um sımbolo nao pertencente ao conjunto dos numeros reais, chamado uma indeterminada ou variavel sobre R.

Para cada numero natural j, designamos a j-esima potencia de x por xj e escrevemos x1 = x e x0 = 1.

Um polinomio com coeficientes reais e uma expressao do tipo

Para 0 ≤ j ≤ n, os numeros reais aj sao chamados de coeficientes, as parcelas ajxj de termos e os termos ajxj tais que aj 6= 0 de monomios de grau j do polinomio f(x). O coeficiente a0 e chamado de termo constante.

Convenc ao:

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Polinomios - operac oes e propriedades

(b) Chamar f(x) = a0 de polinomio constante. (c) Escrever o polinomio f(x) com as j-esimas potencias de x em ordem

(d) Nao escrever o termo ajxj sempre que aj = 0, quando houver algum termo nao-nulo no polinomio.

Exemplo 1

nao sao polinomios porque nem todos os expoentes da variavel x sao numeros naturais.

f(x) e g(x), e possıvel assumir que os termos de ambos tem as mesmas potencias de x.

Igualdade de polinomios:

Isto e, f(x) e g(x) sao iguais apenas quando todos os coeficientes

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Polinomios - operac oes e propriedades Polinomios

O sımbolo gr(f(x)) le-se como grau de f de x.

Em todo polinomio nao identicamente nulo, f(x) 6≡ 0, algum coeficiente deve ser diferente de zero, entao ha um maior numero natural n, tal

Os polinomios de grau n com coeficiente lıder an = 1 sao chamados de polinomios monicos.

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