Geometria Analítica-vol1

Geometria Analítica-vol1

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M o d u l o I: Geometria Analıtica Plana

Jorge Delgado Katia Frensel Nedir do Espırito Santo (IMUFF) (IMUFF) (IMUFRJ)

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Conteudo

Vetores no Plano - Segmentos Orientados9
Vetores no Plano - Operac oes21
A Reta e a Dependencia Linear35
Produto Interno51
Produto interno - Aplicac oes73
Produto interno - Aplicac oes (continuac ao)83
Simetrias e simetrias das conicas101
Conicas - Translac ao de sistemas de coordenadas117
Conicas - Rotac ao de sistemas de coordenadas129
Regioes e inequac oes no plano149
Coordenadas polares167
Equac oes parametricas das conicas187
Apendice: Parametrizac oes de curvas planas197

1 Geometria Analıtica Plana 7 5

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Geometria Analıtica Plana

Geometria una et aeterna est in mente Dei refulgens.

A Geometria e unica e eterna, brilhando na mente de Deus.

Conversation with the Sidereal Messenger: carta aberta a Galileo Galilei. Johannes Kepler

Pre-requisitos.

Bibliografia. [1] Lehman, C., Geometria

Analıtica. Editora Globo. [2] Lima, E., Coordenadas no

Plano. SBM.

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano

Praga, Austria

(Hoje Republica Tcheca).

Filosofo, matematico e teologo, fez contribuic oes significativas a Matematica. A sua teoria sobre o infinito matematico antecipou-se a

Teoria de Conjuntos Infinitos de George Cantor. http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/

Mathematicians/Bolzano. html

A geometria cartesiana descoberta por Pierre de Fermat e Rene

Descartes, por volta de 1636, foi de grande importancia na Matematica, permitindo estudar problemas da Geometria Classica por meio de metodos algebricos e reciprocamente, interpretar e resolver geometricamente problemas algebricos.

No entanto, em meados do seculo XIX, comecou a busca por um metodo mais simples, que permitisse obter informac oes geometricas a partir de equac oes algebricas, e obter as equac oes algebricas de conceitos geometricos, de uma forma mais direta. Para isso foi fundamental o desenvolvimento da noc ao de vetor.

Segundo os historiadores, os vetores surgiram informalmente no inıcio do seculo XIX, nas publicac oes de Bernard Bolzano. Em 1804, Bolzano publicou o livro Betrachtungen uber einige Gegenstande der Elementargoemetrie (Reflexoes sobre algumas ideias relativas a Geometria Elementar). Nesse livro, ele considera pontos, retas e planos como sendo noc oes primitivas e define operac oes entre eles. Este foi um grande progresso no sentido de abstrair as propriedades inerentes as noc oes primitivas, que originaram a nocao de vetor. Neste Modulo aprenderemos os fundamentos da geometria vetorial e veremos como utilizar o conceito de vetor no estudo da Geometria do plano e do espaco.

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados M ODULO 1 - AULA 1

Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Objetivos • Definir os conceitos de orientac ao, direc ao e modulo de um segmento.

• Analisar a noc ao de equipolencia entre segmentos orientados.

• Apresentar a noc ao de vetor no plano.

Para saber mais...

Sobre a nocao de vetor e as suas implicac oes no desenvolvimento da Matematica, consulte:

http://w-groups.dcs.

st-and.ac.uk/∼history/

HistTopics/ Abstract linear spaces. html

Giusto Bellavitis 1803 - 1880, Italia

Matematico autodidata. Refinou o calculo baricentrico de Mobius e sua teoria de vetores foi muito importante no desenvolvimento da

Geometria. http://w-groups.dcs.

st-and.ac.uk/∼history/

Mathematicians/ Bellavitis.html

Em 1832, Giusto Bellavitis publicou uma obra sobre Geometria onde apareceu explicitamente a noc ao de vetor.

Dados dois pontos A e B do plano, Bellavitis considerou os segmentos AB e BA, de extremidades A e B, como objetos distintos. Ele adotou esta convencao porque o segmento de reta limitado pelos pontos A e B, pode ser percorrido de duas maneiras distintas: partindo de A para chegar ate B, ou partindo de B para chegar ate A.

Bellavitis classificou os segmentos orientados por meio de uma relac ao que chamou equipolencia. Essa relac ao deu origem a noc ao de vetor.

Nesta aula caracterizaremos a noc ao de equipolencia.

Segmentos orientados

Daqui em diante, todos os elementos considerados (pontos, retas etc.), pertencem a um plano fixo.

Designamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A para B. No segmento AB, o ponto A e chamado origem e o ponto B extremidade.

Mesmo que os segmentos AB e BA representem o mesmo conjunto de pontos do plano (os pontos da reta que passa por A e B que estao entre A e B, incluindo A e B), a sua orientac ao (isto e, o sentido de percurso) e contraria (ou oposta). Veja as figuras abaixo.

Fig. 1: Segmento de extremidades A e B. Fig. 2: Percurso de A ate B: segmento AB. Fig. 3: Percurso de B ate A: segmento BA. 9 CEDERJ

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