Geometria Analítica Plana - Apostilas - Matemática Computacional Part1, Notas de estudo de Matemática

Baixe Geometria Analítica Plana - Apostilas - Matemática Computacional Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! M ó d u l o I: Geometria Analı́tica Plana Jorge Delgado Katia Frensel Nedir do Espı́rito Santo (IMUFF) (IMUFF) (IMUFRJ) CEDERJ 2 Módulo 1 Geometria Analı́tica Plana Geometria una et aeterna est in mente Dei refulgens. A Geometria é única e eterna, brilhando na mente de Deus. Conversation with the Sidereal Messenger: carta aberta a Galileo Galilei. Johannes Kepler Pré-requisitos. • Pré-Cálculo. • Geometria Básica. Bibliografia. [1] Lehman, C., Geometria Analı́tica. Editora Globo. [2] Lima, E., Coordenadas no Plano. SBM. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano 1781 - 1848, Praga, Áustria (Hoje República Tcheca). Filósofo, matemático e teólogo, fez contribuições significativas à Matemática. A sua teoria sobre o infinito matemático antecipou-se à Teoria de Conjuntos Infinitos de George Cantor. http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Bolzano. html A geometria cartesiana descoberta por Pierre de Fermat e René Descartes, por volta de 1636, foi de grande importância na Matemática, permitindo estudar problemas da Geometria Clássica por meio de métodos algébricos e reciprocamente, interpretar e resolver geometricamente pro- blemas algébricos. No entanto, em meados do século XIX, começou a busca por um método mais simples, que permitisse obter informações geométricas a partir de equações algébricas, e obter as equações algébricas de concei- tos geométricos, de uma forma mais direta. Para isso foi fundamental o desenvolvimento da noção de vetor. Segundo os historiadores, os vetores surgiram informalmente no inı́cio do século XIX, nas publicações de Bernard Bolzano. Em 1804, Bolzano publicou o livro Betrachtungen über einige Gegenstände der Ele- mentargoemetrie (Reflexões sobre algumas idéias relativas à Geometria Elementar). Nesse livro, ele considera pontos, retas e planos como sendo noções primitivas e define operações entre eles. Este foi um grande pro- gresso no sentido de abstrair as propriedades inerentes às noções primi- tivas, que originaram à noção de vetor. Neste Módulo aprenderemos os fundamentos da geometria vetorial e veremos como utilizar o conceito de vetor no estudo da Geometria do plano e do espaço. 7 CEDERJ CEDERJ 8 Vetores no Plano - Segmentos Orientados MÓDULO 1 - AULA 1 Vetores no Plano - Segmentos Orientados Objetivos • Definir os conceitos de orientação, direção e módulo de um segmento. • Analisar a noção de equipolência entre segmentos orientados. • Apresentar a noção de vetor no plano. Para saber mais... Sobre a noção de vetor e as suas implicações no desenvolvimento da Matemática, consulte: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ HistTopics/ Abstract linear spaces. html Giusto Bellavitis 1803 - 1880, Itália Matemático autodidata. Refinou o cálculo baricêntrico de Möbius e sua teoria de vetores foi muito importante no desenvolvimento da Geometria. http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/ Bellavitis.html Em 1832, Giusto Bellavitis publicou uma obra sobre Geometria onde apareceu explicitamente a noção de vetor. Dados dois pontos A e B do plano, Bellavitis considerou os segmen- tos AB e BA, de extremidades A e B, como objetos distintos. Ele adotou esta convenção porque o segmento de reta limitado pelos pontos A e B, pode ser percorrido de duas maneiras distintas: partindo de A para chegar até B, ou partindo de B para chegar até A. Bellavitis classificou os segmentos orientados por meio de uma relação que chamou equipolência. Essa relação deu origem à noção de vetor. Nesta aula caracterizaremos a noção de equipolência. Segmentos orientados Daqui em diante, todos os elementos considerados (pontos, retas etc.), pertencem a um plano fixo. Designamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A para B. No segmento AB, o ponto A é chamado origem e o ponto B extremidade. Mesmo que os segmentos AB e BA representem o mesmo conjunto de pontos do plano (os pontos da reta que passa por A e B que estão entre A e B, incluindo A e B), a sua orientação (isto é, o sentido de percurso) é contrária (ou oposta). Veja as figuras abaixo. Fig. 1: Segmento de extremidades A e B. Fig. 2: Percurso de A até B: segmento AB. Fig. 3: Percurso de B até A: segmento BA. 9 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Segmentos Orientados Vejamos um critério importante para determinar quando dois seg- mentos orientados são equipolentes. Proposição 1 Sejam A, B, C e D pontos do plano (colineares ou não). Então: AB ≡ CD se, e somente se, AD e BC possuem o mesmo ponto médio. Demonstração. Consideramos separadamente os casos possı́veis: (a) Os pontos A, B, C e D não são colineares e três dentre esses pontos também não são colineares. Neste caso os pontos são vértices de um quadrilátero que tem seus lados contidos em retas que não são coincidentes. Fig. 10: Paralelogramo ABDC. Fig. 11: ABDC não é um paralelogramo. Ponto Médio. Se A e B são pontos do plano que num sistema de coordenadas cartesianas são representados pelos pares ordenados A = (x1, y1) e B = (x2, y2), então o ponto médio do segmento AB é M = „ x1 + x2 2 , y1 + y2 2 « . Paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero de lados opostos paralelos. Um quadrilátero ABDC é um paralelogramo se, e somente se, as diagonais AD e BC se intersectam ao meio. É importante observar a ordem em que são nomeados os vértices, o quadrilátero ABDC não é o mesmo que o quadrilátero ABCD. No primeiro os lados são os segmentos AB, BD, DC e CA, enquanto que, no segundo, os lados são AB, BC, CD e DA. No paralelogramo ABDC da Figura 10, as diagonais se intersectam no ponto M . Logo, |MA| = |MD| e |MB| = |MC|. O quadrilátero ABDC da Figura 12 não é um paralelogramo. As diagonais não se intersectam mutuamente ao médio. Fig. 12: Quadrilátero ABDC. (⇒) Se AB ≡ CD então os segmentos estão contidos em retas paralelas e, como têm o mesmo módulo e o mesmo sentido, o quadrilátero ABDC é um paralelogramo e, as suas diagonais AD e BC, cortam-se mutuamente ao meio. Compare as Figuras 10 e 11 para se convencer de que a orientação dos segmen- tos é importante. Na Figura 11, AB e CD têm orientações contrárias e, portanto, não podem ser equipolentes. (⇐) Reciprocamente, se AD e BC têm o mesmo ponto médio então ABDC é um paralelogramo. Logo AB e CD têm o mesmo sentido, o mesmo módulo e a mesma direção. Portanto AB ≡ CD. (b) A, B, C e D estão contidos numa reta ` (Figura 13). Consideremos um sistema de coordenadas na reta `. Sejam a, b, c e d as coordenadas dos pontos A, B, C e D, respectivamente. Então, |AB| = |b− a| e |CD| = |d− c|. CEDERJ 12 Vetores no Plano - Segmentos Orientados MÓDULO 1 - AULA 1 Se AB ≡ CD, então |AB| = |CD| e portanto |b− a| = |d− c|. Como AB e CD têm o mesmo sentido, b − a e d − c são números reais com o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Fig. 13: AB e CD são equipolentes. Logo b−a = d−c e, portanto, b+c = a+d. Dividindo esta igualdade por 2, concluı́mos que a + d 2 = b + c 2 . Assim, o ponto médio de AD é igual ao ponto médio de BC. Reciprocamente, se A, B, C e D são colineares e o ponto médio do segmento AD coincide com o ponto médio do segmento BC, então a + d 2 = b + c 2 . Esta igualdade equivale a b− a = d− c. Em particular, b− a e d − c têm o mesmo sinal, o que significa que AB e CD têm o mesmo sentido. Além disso, |b − a| = |d − c|, isto é, |AB| = |CD|. Como AB e CD estão contidos na mesma reta, eles têm também a mesma direção. Portanto AB ≡ CD.  Observação. Um possı́vel terceiro caso ocorreria quando os quatro pontos A, B, C e D não são colineares, mas três deles são colineares, os segmentos AB e CD não tem a mesma direção e, portanto, não podem ser equipolentes. Também os segmentos AD e BC não se cortam num ponto diferente de uma extremidade, em particular, não se cortam ao meio. Assim, nenhuma das hipóteses da proposição 1 é satisfeita e podemos ignorar este caso. Enquanto a Proposição 1 caracteriza geometricamente a relação de equipolência, a Proposição 2, abaixo, estabelece que qualquer ponto do plano é origem de um segmento equipolente a um segmento dado. Proposição 2 Se AB é um segmento orientado e C é um ponto do plano, então apenas um segmento orientado com origem em C é equipo- lente a AB. Demonstração. Devemos determinar um ponto D no plano de modo que AB ≡ CD. Isto é, os segmentos AB e CD devem ter a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. Seja r a reta que passa por A e B, analisemos separadamente o que acontece quando C /∈ r e quando C ∈ r . 13 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Segmentos Orientados Caso C /∈ r. Neste caso, existe apenas uma reta s paralela a r que passa pelo ponto C. Veja a Figura 14. Seja C o cı́rculo de centro C e raio |AB|. Fig. 14: Caso C /∈ r. A reta que passa por A e C divide o plano em dois semi-planos, um dos quais, que designamos PB, contém o ponto B. O cı́rculo C intersecta s em exa- tamente dois pontos diametralmente opostos, um dos quais, que chama- remos D, está contido em PB. Pela forma como foi obtido o ponto D, o segmento orientado CD é equipolente a AB. Fig. 15: Caso C ∈ r. Caso C ∈ r. Neste caso, o cı́rculo C, de centro C e raio |AB|, inter- secta a reta r em dois pontos dia- metralmente opostos. Mas, apenas um deles, que chamaremos D, é tal que AB e CD têm o mesmo sen- tido. Logo, AB e CD são equipolentes, pois têm a mesma direção e os seus módulos são iguais.  Convenção. • Um segmento AB onde A = B é chamado um segmento nulo. Os segmentos nulos têm módulo zero e não têm direção nem sentido. • Se A é um ponto do plano, designamos por AA o segmento nulo de origem e extremidade A. • Todos os segmentos nulos são considerados equipolentes. • No que se segue, passaremos a considerar um sistema (ortogonal) de coordenadas cartesianas no plano com origem no ponto O. Os pontos do plano são identificados por suas coordenadas. Proposição 3 Sejam A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e D = CEDERJ 14 Vetores no Plano - Segmentos Orientados MÓDULO 1 - AULA 1 Observação. As coordenadas de um vetor −→a não dependem do segmento escolhido para representá-lo e são as coordenadas do único ponto P , tal que −→a = −−→ OP . De fato, se C = (c1, c2), D = (d1, d2) e −→a = −−→ CD = −−→ AB , então, CD ≡ AB e, pela Proposição 3: (b1 − a1, b2 − a2) = (d1 − c1, d2 − c2). Seja agora P = (x, y), tal que −→a = −−→ OP . Então, AB ≡ OP e usando novamente a Proposição 3, temos: (b1 − a1, b2 − a2) = (x− 0, y − 0) = (x, y) = P . Para saber mais... Outros matemáticos, como os franceses Victor Poncelet (1788-1867), Michel Chasles (1793-1880) e o alemão August Möbius (1790-1868), continuaram os estudos de Bolzano. Em 1827, Möbius publica o seu livro Der barycentrische Calcul, um tratado geométrico sobre as transformações das linhas e cônicas. Nesta obra, destaca-se a manipulação dos vetores para determinar as coordenadas baricêntricas de um triângulo. Dez anos depois, em 1837, Möbius publicou outro livro no qual a noção de vetor é aplicada diretamente à resolução de problemas de Estática. Exemplo 2 Sejam os pontos A = (0, 1), B = ( 1,−1 2 ) e C = (−1, 1). Determinemos as coordenadas do vetor −−→ AB , o (único) ponto D, tal que −−→ AB = −−→ CD e o ponto P , tal que −−→ AB = −−→ OP . Solução: As coordenadas do vetor −−→ AB são −−→ AB = ( 1− 0,−1 2 − 1 ) = ( 1,−3 2 ) . Seja D = (d1, d2), tal que CD ≡ AB. Isto é, −−→ AB = −−→ CD . Pela Proposição 3, temos (d1 − (−1), d2 − 1) = ( 1,−3 2 ) . Portanto, d1 = 0, d2 = −12 , e D = ( 0,−1 2 ) . Segundo vimos na observação anterior, P = ( 1,−3 2 ) , pois P e −−→ AB têm coordenadas iguais. Exemplo 3 Sejam A = (1, 2), B = (3, 1) e C = (4, 0). Determine as coordenadas do vetor −→v = −−→ AB e as coordenadas do ponto D tal que −→v = −−→ CD . Solução: Temos −→v = −−→ AB = (3 − 1, 1 − 2) = (2,−1) . Além disso, se D = (d1, d2) então: −→v = −−→ AB = −−→ CD ⇐⇒ AB ≡ CD ⇐⇒ (2,−1) = (d1 − 4, d2 − 0) ⇐⇒ 2 = d1 − 4 e − 1 = d2 − 0 ⇐⇒ d1 = 2 + 4 = 6 e d2 = −1 + 0 = −1 . Portanto, D = (6,−1). 17 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Segmentos Orientados Resumo Nesta aula, analisamos o significado de direção, sentido e módulo de um segmento no plano e definimos a relação de equipolência entre dois segmentos orientados. Você viu o significado da relação de equipolência entre segmentos orientados do ponto de vista tanto geométrico quanto analı́tico (em coor- denadas). Definimos a noção de vetor no plano e observamos que as coorde- nadas de um vetor não dependem do representante do vetor. Exercı́cios 1. Verifique se os seguintes pares de segmentos AB e CD estão em retas paralelas ou coincidentes. Caso afirmativo, mostre, geometri- camente, se têm o mesmo sentido ou sentidos opostos. a. A = (0,−2), B = (2, 2), C = (0, 1), D = (−1,−1). b. A = (1, 1), B = (2, 3), C = (0, 0), D = (2, 4). c. A = (0,−2), B = (1, 1), C = (0, 3), D = (2, 1). d. A = (1, 1), B = (2,−3), C = (−2, 4), D = (0, 1). 2. Determine em cada caso, o ponto D, tal que CD ≡ AB, onde A = (−1,−1) e B = ( 2, 1 2 ) . Faça também um esboço dos seg- mentos orientados no plano cartesiano seguindo a construção da Proposição 2. a. C = (1,−1). c. C = (0,− √ 2). b. C = (1, 2). d. C = (− √ 2, √ 3). 3. Determine se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes, onde: a. A = (0, 3), B = (3, 0), C = (1, 1), D = (−1,−1). b. A = (1, 1), B = (3, 1), C = (0, 1), D = (2, 1). c. A = (1,−3), B = ( 1 2 ,−1 3 ) , C = (1, 0), D = (−1 2 , 1). d. A = (1,−3), B = ( 1 2 , 1 ) , C = (1, 0), D = (−1 2 , 1). CEDERJ 18 Vetores no Plano - Segmentos Orientados MÓDULO 1 - AULA 1 4. Determine as coordenadas do ponto P , tal que −−→ OP = −−→ AB , onde: a. A = (1,−1) , B = (3, 4) . b. A = (−3 2 , 1 2 ) , B = (4 3 , 5 4 ) . c. A = ( √ 3 2 , 1 2 ) , B = (−1 2 ,− √ 3 2 ) . 5. Determine se −−→ AB = −−→ CD , onde: a. A = (1, 1) , B = (2, 0) , C = (−1,−1) , D = (0,−2) . b. A = (1, 1) , B = (2, 0) , C = (1,−1) , D = (0, 0) . c. A = (−2,−1) , B = (1 2 , 1) , C = (−1 2 ,−1) , D = (−1, 1) . d. A = (0, 0) , B = (2, 1) , C = (−1, 1) , D = (2, 3) . 6. Determine os vértices C e D do paralelogramo ABDC, sabendo que A = (1, 1), B = (3, 2) e as diagonais AD e BC se cortam no ponto M = (4, 2). 7. Sejam P = (1, 0), Q = (2, 4) e R = (3, 3) pontos do plano. Determine os pontos S do plano de modo que P , Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo. Sugestão: Observe que há três possı́veis diagonais para o paralelogramo, PR, PQ ou QR, cada uma delas fornece um possı́vel ponto S. Auto-avaliação Se você entendeu as noções de direção, sentido e módulo de um segmento orientado assimilando bem o significado da relação de equi- polência, então conseguiu resolver os exercı́cios 1, 2 e 3. Se você resol- veu os exercı́cios 4 e 5, entendeu a noção de vetor e aprendeu a deter- minar as coordenadas de um vetor. Se você entendeu a equipolência e a sua relação com o paralelogramo, então resolveu os exercı́cios 6 e 7. Se ainda tiver dificuldades, volte e reveja com cuidado os conceitos apresen- tados na aula. Não esqueça que há tutores que poderão ajudar a eliminar as suas dúvidas. Desde já, lembre-se de discutir os conteúdos com seus colegas. 19 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Operações Fig. 18: −→a + −→ b = −−→ AC = −−−→ A′C′ . Com respeito a um sistema de co- ordenadas cartesianas com origem no ponto O, suponha que os pontos A, B, C, A′, B′ e C ′ têm coordenadas: A = (a1, a2) , A ′ = (a′1, a ′ 2) , B = (b1, b2) , B ′ = (b′1, b ′ 2) , C = (c1, c2) , C ′ = (c′1, c ′ 2) . Sabemos que: −→a = −−→ AB = −−−→ A′B′ ⇐⇒ AB ≡ A′B′ ⇐⇒ b1 − a1 = b′1 − a′1b2 − a2 = b′2 − a′2 , e −→ b = −−→ BC = −−−→ B′C ′ ⇐⇒ BC ≡ B′C ′ ⇐⇒ c1 − b1 = c′1 − b′1c2 − b2 = c′2 − b′2 . Logo, (c1 − b1) + (b1 − a1) = (c′1 − b′1) + (b′1 − a′1) , (c2 − b2) + (b2 − a2) = (c′2 − b′2) + (b′2 − a′2) , isto é, c1 − a1 = c′1 − a′1 e c2 − a2 = c′2 − a′2 , e, portanto, AC ≡ A′C ′. Com isso provamos que o vetor soma −→a + −→ b está bem definido, pois depende apenas das parcelas −→a e −→ b , e não da escolha do ponto A.  Além disso: se −→a = (b1 − a1, b2 − a2) = (x1, y1) e −→ b = (c1 − b1, c2 − b2) = (x2, y2), então −→a + −→ b = (c1 − a1, c2 − a2) = (x1 + x2, y1 + y2). Resumindo, Coordenadas do vetor soma. As coordenadas do vetor soma são obtidas somando as coordenadas respectivas das parcelas. Isto é, se −→a = (x1, y1) e −→ b = (x2, y2), então: −→a + −→ b = (x1 + x2, y1 + y2) . Fig. 19: Soma de vetores. Exemplo 4 Sejam A = (−1, 0), B = (2,−1) e C = (1, 2). Determinemos −−→ AB + −−→ AC . CEDERJ 22 Vetores no Plano - Operações MÓDULO 1 - AULA 2 Solução: Segundo o destaque acima: −−→ AB = (2−(−1),−1−0) = (3,−1) e −−→ AC = (1− (−1), 2−0) = (2, 2). Logo, −−→ AB + −−→ AC = (3,−1)+(2, 2) = (5, 1) (Figura 19). O representante do vetor soma −−→ AB + −−→ AC com origem no ponto A é o segmento orientado AD, onde D = (d1, d2) é o ponto, tal que AC ≡ BD. Então, d1 − 2 = 1− (−1) e d2 − (−1) = 2− 0, isto é, D = (d1, d2) = (4, 1). Observação. Sejam A, B, C pontos não-colineares do plano, então o ponto D faz do quadrilátero ABDC um paralelogramo se, e somente se, −−→ AD = −−→ AB + −−→ AC . De fato, se ABDC é um paralelogramo, então AC ≡ BD. Logo, −−→ AB + −−→ AC = −−→ AB + −−→ BD = −−→ AD . Fig. 20: O quadrilátero ABDC é um paralelogramo se, e somente se, −−→ AB + −−→ AC = −−→ AD . Reciprocamente, se −−→ AB + −−→ AC = −−→ AD , então, pela definição da adição de vetores, o ponto D é a extremidade do representante de −−→ AC com origem no ponto B. Isto é, AC ≡ BD e portanto ABDC é um parale- logramo (Figura 20). Propriedades da adição de vetores. A adição de vetores satisfaz as seguintes propriedades: 1. Propriedade comutativa: −→a + −→ b = −→ b +−→a Com efeito, se −→a = (a1, a2) e −→ b = (b1, b2), então: −→a + −→ b = (a1 + b1, a2 + b2) = (b1 + a1, b2 + a2) = −→ b +−→a . Segmento nulo. Lembre que um segmento nulo é um segmento cuja origem e extremidade coincidem. Os segmentos nulos têm módulo zero, mas não têm direção nem sentido. Todos os segmentos nulos são considerados equipolentes. 2. O vetor nulo, que designamos por −→ 0 , é o vetor representado por qualquer segmento nulo. As coordenadas do vetor nulo são: −→ 0 = −−→ BB = (b1 − b1, b2 − b2) = (0, 0). onde B = (b1, b2) é um ponto qualquer do plano. Se −→a é um vetor qualquer, temos: 23 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Operações −→a +−→0 = −→a De fato, se −→a = (a1, a2), então, −→a +−→0 = (a1 + 0, a2 + 0) = (a1, a2) = −→a . Subtração de vetores. Subtração é a soma de um vetor −→ b com o simétrico −−→a de um vetor −→a . O vetor −→ b + (−−→a ) se escreve de forma abreviada como −→ b −−→a . Fig. 21: Subtração de vetores. Fig. 22: Propriedade associa- tiva da adição de vetores. 3. Dado um vetor −→a existe um vetor que designamos por −−→a e chamamos o simétrico de −→a , tal que: −→a + (−−→a ) = −→0 De fato, se AB é um segmento orientado que representa o vetor −→a , então o segmento orientado BA é um representante do vetor −−→a , pois pela definição da adição de vetores vemos que: −→a + (−−→a ) = −−→ AB + −−→ BA = −−→ AA = −→ 0 . Observe também que, se −→a = (a1, a2), então as coordenadas de −−→a são: −−→a = (−a1,−a2) . 4. A adição de vetores é associativa. Isto é, dados três vetores −→a , −→ b e −→c : (−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) Com efeito, sejam −→a = (a1, a2) , −→ b = (b1, b2) e −→c = (c1, c2) . Usando a propriedade associativa da adição de números reais, temos:(−→a +−→b )+−→c = (a1 + a2, b1 + b2) + (c1, c2)=((a1 + b1) + c1, (a2 + b2) + c2) = (a1 + (b1 + c1), a2 + (b2 + c2))=(a1, a2) + (b1 + c1, b2 + c2) = −→a + (−→ b +−→c ) . Desta maneira, vemos que a operação de adição de vetores, possui as mesmas propriedades que a operação de adição de números reais. Definimos agora uma operação de multiplicação de um número real por um vetor. Convenção: No seguinte, os números reais serão chamados também escalares. CEDERJ 24 Vetores no Plano - Operações MÓDULO 1 - AULA 2 Exemplo 5 Sejam A = (0, 1) e B = (1, 0). Determinemos os represen- tantes CD, CD′ e CD′′ dos vetores −−→ AB , −2 −−→ AB e 2 −−→ AB com origem no ponto C = (1, 1). Solução: Temos que −−→ AB = (1− 0, 0,−1) = (1,−1) , −2 −−→ AB = (−2 · 1,−2 · (−1)) = (−2, 2) , 2 −−→ AB = (2 · 1, 2 · (−1)) = (2,−2) , e C = (1, 1). Fig. 25: Exemplo 5. E os pontos buscados D = (d1, d2) , D′ = (d′1, d ′ 2) e D′′ = (d′′1, d′′2) , de- vem satisfazer as seguintes relações (veja a Proposição 3, da Aula 1): −−→ CD = −−→ AB ⇐⇒ { d1 − 1 = 1 d2 − 1 = −1 ; −−−→ CD′ =−2 −−→ AB ⇐⇒ { d′1 − 1 = −2 d′2 − 1 = 2 ; e −−−→ CD′′ =2 −−→ AB ⇐⇒ { d′′1 − 1 = 2 d′′2 − 1 = −2 . Isto é, D = (2, 0), D′ = (−1, 3) e D′′ = (3,−1). Na Figura 25 ilustramos os segmentos orientados AB, CD, CD′ e CD′′, assim como o segmento OP representante na origem do vetor −−→ AB . Propriedades da multiplicação de escalares por vetores. Sejam −→a , −→ b e −→c vetores do plano e sejam λ, µ ∈ R. 1. A multiplicação de escalares por vetores é associativa. Isto é, λ · (µ · −→a ) = (λ · µ) · −→a De fato, se −→a = (a1, a2), com respeito a um sistema de coordenadas no plano, temos: λ · (µ · −→a ) = λ · (µa1, µa2) = (λ(µa1), µ(λa2)) = ((λµ)a1, (λµ)a2) = (λµ)−→a . 27 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Operações 2. A multiplicação de escalares por vetores satisfaz as propriedades distributivas: λ · (−→a + −→ b ) = λ · −→a + λ · −→ b (λ + µ) · −→a = λ · −→a + µ · −→a Fig. 26: Distributividade. A primeira destas propriedades, ilustrada na Figura 26, se verifica da seguinte maneira: se −→a = (a1, a2) e −→ b = (b1, b2), então: λ(−→a + −→ b ) = λ(a1 + b1, a2 + b2) = (λ(a1 + b1), λ(a2 + b2)) = (λa1 + λb1, λa2 + λb2) = (λa1, λa2) + (λb1, λb2) = λ −→a + λ −→ b . Faça você mesmo a verificação da outra propriedade distributiva usando coordenadas e interprete geometricamente o seu significado. 3. O número 1 ∈ R é o elemento neutro da multiplicação de escala- res por vetores: 1 · −→a = −→a De fato, se −→a = (a1, a2), então 1 · −→a = (1 · a1, 1 · a2) = (a1, a2) = −→a . Exemplo 6 Dados os vetores −→u = (1,−1) e −→v = (3, 1), determine −→a = 2−→u +−→v , −→ b = −→u + 2−→v , −→c = 1 2 −→ b −−→a . Solução: Temos −→a = 2−→u +−→v = 2(1,−1) + (3, 1) = (2(1), 2(−1)) + (3, 1) = (2,−2) + (3, 1) = (2 + 3,−2 + 1) = (5,−1) . −→ b = −→u + 2−→v = (1,−1) + 2(3, 1) = (1,−1) + (2(3), 2(1)) = (1,−1) + (6, 2) = (1 + 6,−1 + 2) = (7, 1) . −→c = 1 2 −→ b −−→a = 1 2 (7, 1)− (5,−1) = (7 2 , 1 2 ) − (5,−1) = (7 2 − 5, 1 2 − (−1) ) = ( −3 2 , 3 2 ) . CEDERJ 28 Vetores no Plano - Operações MÓDULO 1 - AULA 2 Fig. 27: Exemplo 6. Vejamos agora como usar a linguagem vetorial para resolver alguns problemas geométricos simples. Exemplo 7 Os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer determinam um paralelogramo. Solução: De fato, seja ABCD um quadrilátero (Figura 28). Sejam X o ponto médio do lado AB; Y o ponto médio do lado BC; W o ponto médio do lado CD e Z o ponto médio do lado DA. Devemos mostrar que XY WZ é um paralelogramo. Para tal, basta mos- trar que XY ≡ ZW , isto é, −−→ XY = −−−→ ZW . Temos: Fig. 28: Exemplo 7. X ponto médio de AB ⇒ −−→ AX = −−→ XB = 1 2 −−→ AB , Y ponto médio de BC ⇒ −−→ BY = −−→ Y C = 1 2 −−→ BC , W ponto médio de DC ⇒ −−−→ DW = −−−→ WC = 1 2 −−→ DC , Z ponto médio de AD ⇒ −−→ AZ = −−→ ZD = 1 2 −−→ AD . Logo, −−→ XY = −−→ XB + −−→ BY = 1 2 −−→ AB + 1 2 −−→ BC = 1 2 (−−→ AB + −−→ BC ) = 1 2 −−→ AC . Similarmente, −−−→ ZW = −−→ ZD + −−−→ DW = 1 2 −−→ AD + 1 2 −−→ DC = 1 2 (−−→ AD + −−→ DC ) = 1 2 −−→ AC . Portanto, −−→ XY = 1 2 AC = −−−→ ZW , como querı́amos. 29 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Operações Devemos mostrar que E pertence à diagonal, isto é que B, E, C são colineares, e mostrar que E é o ponto médio BC . Logo basta chegarmos à relação −−→ BE = 1 2 −−→ BC . Da definição da adição de vetores temos as igualdades: −−→ BE = −−→ BA + −−→ AE , (4) −−→ BC = −−→ BA + −−→ AC . (5) Substituindo (3) em (4), obtemos: −−→ BE = −−→ BA + 1 2 −−→ AD . (6) Como −−→ AC = −−→ AD + −−→ DC , −−→ DC = −−→ BA e −−→ BA + −−→ BA = 2 −−→ BA , podemos substituir essas relações em (5) e obter: −−→ BC = −−→ BA + −−→ AD + −−→ DC = −−→ BA + −−→ AD + −−→ BA = −−→ AD + 2 −−→ BA , logo, 1 2 −−→ AD = 1 2 −−→ BC − −−→ BA . Substituindo essa relação em (6), concluı́mos: −−→ BE = −−→ BA + 1 2 −−→ AD = −−→ BA + 1 2 −−→ BC − −−→ BA = 1 2 −−→ BC , mostrando o afirmado. Observação. Você pode provar que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio usando congruência de triângulos. Resumo Nesta aula definimos as operações de adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares. Analisamos as propriedades dessas operações e usamos a linguagem vetorial para resolver alguns problemas geométricos. Exercı́cios 1. Localize os pontos A = (1, 1), B = (−3, 0), C = (4, 1), D = (2,−3), E = (3,−2) e F = (−4,−3) no plano cartesiano e efetue os seguin- tes cálculos: CEDERJ 32 Vetores no Plano - Operações MÓDULO 1 - AULA 2 a. −−→ AB + −−→ AC + −−→ AD . b. 2( −−→ BC − −−→ EC ) + 3 −−→ EF − 2 −−→ AD . c. −−→ AB + −−→ BC + −−→ CD + −−→ DE + −−→ EA . d. −−→ AB + −−→ BC + −−→ CD + −−→ DE + −−→ EF + −−→ FA . e. 1 4 −−→ AB + 1 4 −−→ AC + 1 4 −−→ AD + 1 4 −−→ AE . f. −−→ AB − ( −−→ AC + 2 −−→ CD ) + −−→ ED − ( −−→ EB − −−→ DC ) . 2. Sejam A1, A2, A3, A4, A5, pontos do plano. Mostre que: −−−→ A1A2 + −−−→ A2A3 + −−−→ A3A4 + −−−→ A4A5 + −−−→ A5A1 = −→ 0 . 3. Sejam A, B e C pontos colineares no plano. Mostre que existe um escalar t, tal que −−→ AB = t −−→ AC . Além disso, t > 0 quando AB e AC têm o mesmo sentido e t < 0 quando AB e AC têm sentidos opostos. 4. Sejam A = (−1, 0) , B = (−1 2 , 2) e C = (2, 1). a. Determine o baricentro do triângulo ABC usando a identidade (1). b. Determine os pontos médios dos lados do triângulo ABC e mos- tre que a soma dos vetores representados pelas medianas do triângulo é igual a −→ 0 . Esta propriedade é válida em qualquer outro triângulo? 5. Determine os vértices B e C do triângulo ABC, sabendo que A = (1, 2), −−→ BC = (3, 4) e que a origem é o seu baricentro. 6. Seja ABC um triângulo no plano e seja G o seu baricentro. Mostre que: −−→ AG = 2 3 −−→ AX , −−→ BG = 2 3 −−→ BY e −−→ CG = 2 3 −−→ CZ . onde X, Y e Z são os pontos médios dos lados BC, AC e AB respectivamente. 7. Sejam P = (1, 2), Q = (−2,−2) e r a reta determinada por esses pontos. 33 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Vetores no Plano - Operações Determine as coordenadas dos pontos que estão sobre r e cuja distância ao ponto Q é λ vezes a distância ao ponto P , onde λ > 0. Indicação: Seja R = (x, y) o ponto desejado. A condição do problema equivale a |RQ| = λ|RP |. Como os pontos P , Q e R são colineares, −−→ RQ = ±λ −−→ RP . 8. Seja n um número natural maior ou igual a 3 e sejam A1 , A2 , A3 , . . . , An e O pontos do plano. Considere a região poligonal cujos lados são os n segmentos A1A2 , A2A3 , . . . , AnA1 . O centro de massa ou cen- tro de gravidade da região poligonal é o ponto G dado por: −−→ OG = 1 n ( −−−→ OA1 + −−−→ OA2 + −−−→ OA3 + . . . −−−→ OAn ) . Observe que, se n = 3, a região poligonal é um triângulo e o centro de gravidade é o seu baricentro. As seguintes propriedades são válidas qualquer que seja n ≥ 3. No entanto, suponha que n = 5. a. Mostre que o centro de gravidade G não depende da escolha do ponto O. Indicação: Proceda como no exemplo 6. b. Mostre que o centro de gravidade satisfaz uma identidade similar à identidade (2) mostrada no exemplo 6. Para saber mais... Uma lâmina poligonal feita de um material homogêneo (isto é, a massa é distribuı́da uniformemente sobre a superfı́cie) pode ser posta horizontalmente em equilı́brio sobre um prego, como mostramos na Figura 33. Basta colocar o centro de gravidade da superfı́cie sobre o prego! Por esta razão, o centro de gravidade é também chamado ponto de equilı́brio da superfı́cie. Tente fazer uma experiência que confirme este fato. Fig. 33: Centro de gravidade. Auto-avaliação Se você compreendeu bem as operações de adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares e sabe efetuar essas operações usando coordenadas com respeito a um sistema cartesiano, então re- solveu os exercı́cios de 1 a 7 sem dificuldade. O exercı́cio 8 reafirma e generaliza os conceitos relativos à noção de baricentro. Caso ainda tenha dúvidas, revise o conteúdo da aula. Não esqueça que há tutores sempre dispostos a orientá-lo. CEDERJ 34 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 Como C = (1, 2) ∈ r e D = (−1 2 , 1 2 ) ∈ r, a equação de r é, também: Fig. 35: Reta r e vetores −−→ AB e −−→ CD na origem. −−→ CP = s −−→ CD , s ∈ R , onde P = (x, y) ∈ r e s é o parâmetro de P na reta. Em coordenadas, temos: (x− 1, y− 2) = ( s ( −1 2 − 1 ) , s ( 1 2 − 2 )) . Isto é, as equações paramétricas de r , em termos de C e D, são: r : { x = −3 2 s + 1 y = −3 2 s + 2 , s ∈ R. (10) Observe que o ponto P = (1, 2) pertence à reta r. Em relação às equa- ções paramétricas (9), o parâmetro do ponto P é t = 2. No entanto, com respeito às equações (10), o parâmetro do ponto P é s = 0. Importante! Através do Exemplo 12 vemos que as equações paramétricas e os vetores direção de uma reta não são determinados de maneira única, e que o parâmetro de um ponto P ∈ r depende da equação paramétrica considerada. Definição 6 Sejam −→v e −→w vetores do plano. Se −→v = λ−→w , para algum λ ∈ R, dizemos que −→v é múltiplo de −→w . Observação. • O vetor nulo −→0 é múltiplo de qualquer outro vetor. No entanto, nenhum vetor não-nulo é múltiplo do vetor −→ 0 . De fato, se −→v é um vetor qualquer do plano, temos −→0 = 0 · −→v . Como λ · −→0 = −→0 , nenhum vetor não-nulo pode ser múltiplo de −→0 . • Se −→v e −→w são vetores não-nulos, então −→v é múltiplo de −→w se, e so- mente se, −→w é múltiplo de −→v . Com efeito, se −→v = λ−→w , então λ 6= 0 e −→w = 1 λ −→v . • Sejam A,B e C pontos distintos do plano. Então −→v = −−→ AB é múltiplo de −→w = −−→ AC se, e somente se, A, B e C são colineares. Note que −−→ AB é múltiplo de −−→ AC se, e somente se, existe um escalar λ 6= 0, tal que −−→ AB = λ −−→ AC , isto é, o ponto B satisfaz a equação vetorial paramétrica da reta que passa por A e C (λ é o parâmetro do ponto B). 37 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo A Reta e a Dependência Linear Exemplo 13 Consideremos os vetores −→u = (1, 0), −→v = (1, 1) e −→w = (2,−1). Mostremos que −→u não é múltiplo de −→v , mas sim de −→v +−→w . Solução: De fato, se −→u fosse múltiplo de −→v terı́amos −→u = λ−→v , para algum escalar λ, isto é, (1, 0) = λ(1, 1) = (λ, λ). Logo, terı́amos λ = 1 e λ = 0, o que é uma contradição. Portanto, −→u não pode ser múltiplo de −→v . Seja −→u1 = −→v +−→w = (1, 1) + (2,−1) = (3, 0). Como −→u = (1, 0) = 1 3 (3, 0) = 1 3 −→u1 , temos que −→u é múltiplo de −→u1 . Mudança de parâmetro. Se −→v e −→w são vetores não-nulos e −→w = λ−→v , então: −−→ AP = t−→w , e −−→ AP = s−→v , são equações da mesma reta. Na primeira, t é o parâmetro do ponto P e, na segunda, s = tλ é o parâmetro do mesmo ponto. A segunda equação é dita uma reparametrização da primeira, sendo s = tλ a mudança de parâmetro. Definição 7 Dizemos que um vetor não-nulo −→v é paralelo à reta r, e escrevemos −→v ‖ r, se, quaisquer que sejam A, B ∈ r, o vetor −−→ AB é múltiplo de −→v . Observação. O vetor −→v é paralelo à reta r se, e só se, −→v determina a direção de r. De fato, basta observar que se r tem equação −−→ AP = t −−→ AB , onde t é o parâmetro de P e −−→ AB = λ−→v , então −−→ AP = s−→v é também equação de r, onde s = tλ é o parâmetro de P . Seja r a reta que contém A = (a1, a2) e é paralela a −→v = (a, b) . Andando nas retas. As equações paramétricas (11) descrevem a reta r como uma trajetória retilı́nea percorrida com velocidade −→v , partindo do ponto A. O parâmetro t de um ponto P mede o tempo necessário para chegar até esse ponto. Observe que a mesma reta pode ser percorrida de distintas maneiras. Fazendo uso da Proposição 2, da Aula 1, existe um único ponto B ∈ r, tal que −−→ AB = −→v . Logo, P = (x, y) ∈ r se, e somente se, −−→ AP = t · −−→ AB = t · −→v , t ∈ R . Em coordenadas, esta equação equivale a (x− a1, y − a2) = (t · a, t · b) , t ∈ R, ou seja, as equações paramétricas da reta r são dadas por: r : x = a1 + t ay = a2 + t b , t ∈ R (11) Observação. A partir das equações paramétricas (11) de uma reta r identificamos as coordenadas de um ponto A ∈ r e de um vetor direção −→v . CEDERJ 38 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 Para isto, olhamos o lado direito das equações: o coeficiente de t na expressão de x é a primeira coordenada de −→v , o coeficiente de t na expressão de y é a segunda coordenada de −→v , a primeira coordenada de A é o termo a1 na expressão de x que independe de t e, a segunda coordenada de A é o termo a2 na expressão de y que independe de t. Exemplo 14 Determinar as equações paramétricas da reta r que contém o ponto A = (1, 0) e é paralela ao vetor −→v = (−1, 1) . Fig. 36: Exemplo 14. Solução: Basta substituir as coordenadas a1 = 1, a2 = 0 de A e a = −1, b = 1 de −→v , na equação (11): r : { x = 1 + t · (−1) y = 0 + t · 1 , t ∈ R , isto é, r : { x = 1− t y = t , t ∈ R . Na figura 36, vemos a reta r do Exemplo 14 e seu vetor direção −→v representado por um segmento na origem. Fig. 37: −−→ OP = −−→ OA + t−→v . Observação. A equação da reta r que contém o ponto A e é paralela ao vetor −→v é: −−→ AP = t−→v , t ∈ R , como −−→ AP = −−→ OP − −−→ OA , esta equação escreve-se na forma: −−→ OP − −−→ OA = t−→v , t ∈ R , isto é, a equação da reta r é dada por (veja a Figura 27): −−→ OP = −−→ OA + t−→v , t ∈ R (12) Como as coordenadas do vetor −−→ OP são as coordenadas do ponto P e as coordenadas do vetor −−→ OA são as coordenadas do ponto A, a equação vetorial (12) corresponde às equações paramétricas (11). 39 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo A Reta e a Dependência Linear Exemplo 17 a. Como o vetor nulo é múltiplo de qualquer vetor −→v , os vetores −→v e −→0 são LD. b. Se −→v = (2, 3), −→w1 = (1, 32), −→w2 = (4, 6) e −→w3 = (1, 1), então: • −→v e −→w1 são LD, pois −→v = 2−→w1 . • −→v e −→w2 são LD, pois −→v = 12 −→w2 . • −→v e −→w3 são LI. De fato. Suponha, por absurdo, que os vetores são LD. Então existe λ ∈ R, tal que −→v = λw3, isto é, (2, 3) = (λ, λ). Igualando as coordenadas, temos λ = 2 e λ = 3, o qual não é possı́vel. Portanto, −→v e −→w3 são LI . Vejamos agora uma importante caracterização da dependência li- near. Proposição 6 Dois vetores −→v = (a, b) e −→w = (a′, b′) são LD se, e so- mente se, det ( a b a′ b′ ) = ab′ − a′b = 0 . Equivalentemente, −→v e −→w são LI se, e somente se, det ( a b a′ b′ ) 6= 0 . Determinantes de matrizes. Uma matriz 2x2 é um arranjo de quatro números reais dispostos ordenadamente na forma:„ a b c d « . A cada matriz associamos um número real chamado o seu determinante, que designamos por det „ a b c d « , ou˛̨̨̨ a b c d ˛̨̨̨ , e definimos da seguinte maneira: det „ a b c d « = ˛̨̨̨ a b c d ˛̨̨̨ = ad− bc. Demonstração. Se −→w = −→0 , então −→v e −→w são LD, pois −→w = 0 · −→v e, também, ab′ − a′b = 0, pois a′ = b′ = 0. Suponhamos agora que −→w 6= −→0 e que −→v e −→w são LD, isto é, −→v = λ−→w , para algum λ ∈ R. Então a = λa′ , b = λb′ e: det ( a b a′ b′ ) = ab′ − a′b = λa′b′ − a′λb′ = 0 . Reciprocamente, suponhamos que −→w 6= 0 e ab′ − a′b = 0. Devemos determinar λ ∈ R, λ 6= 0, tal que −→v = (a, b) = λ(a′, b′) = λ−→w , isto é, a = λa′ e b = λb′. Se a′ = 0, então ab′ − a′b = ab′ = 0. Como −→w 6= −→0 , temos b′ 6= 0. Logo, a = 0 e λ = b b′ . Se a′ 6= 0, da igualdade ab′ − a′b = 0 , temos ab′ a′ = b e, portanto, (a, b) = a a′ (a′, b′) , isto é, −→v = λ−→w , com λ = a a′ .  CEDERJ 42 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 A partir do conceito de dependência linear, vamos analisar a posição relativa de duas retas no plano mediante exemplos concretos que ilustram as técnicas gerais. Exemplo 18 Determinemos a posição relativa das retas r1 e r2 no plano, onde: r1 : { x = 3− 2t y = 1 + 3t , t ∈ R e r2 : { x = −1− s y = 1 + s , s ∈ R. Solução: A reta r1 reta passa pelo ponto A1 = (3, 1) e é paralela ao vetor −→v1 = (−2, 3). Similarmente, r2 contém o ponto A2 = (−1, 1) e é paralela ao vetor −→v2 = (−1, 1). Paralelismo. Duas retas no plano que possuem vetores direção LD são paralelas se não têm pontos em comum e são coincidentes se possuem um ponto em comum. Retas com vetores direção LI são, necessariamente, concorrentes. Como det ( −2 3 −1 1 ) = (−2) · 1− 3 · (−1) = −2 + 3 = 1 6= 0, os vetores −→v1 e −→v2 são LI. Logo, r1 e r2 são concorrentes. Podemos, portanto, determinar o ponto P do plano, tal que r1 ∩ r2 = {P}. Igualando as coordenadas respectivas nas equações de r1 e r2, obtemos: 3− 2t = −1− s 1 + 3t = 1 + s , isto é, −2t + s = −4 3t− s = 0 . Resolvendo este sistema, encontramos t = −4 e s = −12. Substituindo o valor de t nas equações de r1, ou o valor de s nas equações de r2, obtemos x = 11 e y = −11. Portanto, as retas se intersectam no ponto P = (11,−11). Exemplo 19 Determinemos a posição relativa das retas r1 e r2 no plano, onde: r1 : x− 3y = 1 e r2 : { x = −1− t y = 1 + t , t ∈ R. Solução: A reta r1 passa pelos pontos A = (0,−13) e B = (1, 0) e é paralela ao vetor −→v1 = −−→ AB = (1 − 0, 0 − (−1 3 )) = (1, 1 3 ). A reta r2 é paralela ao vetor −→v2 = (−1, 1). Como: det ( 1 1 3 −1 1 ) = 1 · 1− 1 3 · (−1) = 1 + 1 3 = 4 3 6= 0 , os vetores −→v1 e −→v2 são LI. Logo, r1 e r2 são concorrentes. 43 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo A Reta e a Dependência Linear Seja P o ponto de interseção das retas r1 e r2. Então P = (x, y) = (−1− t, 1 + t), para algum t ∈ R, e: 1 = x− 3y = −1− t− 3− 3t . Logo, t = −5 4 . Substituindo o valor obtido para t nas equações de r2, temos: x = 14 e y = −1 4 . Portanto, r1 ∩ r2 = {P}, onde P = (14 ,− 1 4 ). Exemplo 20 Determinemos a posição relativa das retas r1 e r2 no plano, onde: r1 : { x = 5− √ 5t y = 1 2 + 1 2 t , t ∈ R e r2 : { x = 2s y = 1+ √ 5 2 − √ 5 5 s , s ∈ R. Solução: A reta r1 é paralela ao vetor −→v1 = (− √ 5, 1 2 ) e a reta r2 é paralela ao vetor −→v2 = (2,− √ 5 5 ). Como det ( − √ 5 1 2 2 − √ 5 5 ) = − √ 5 · (− √ 5 5 )− 1 2 · 2 = 1− 1 = 0, os vetores −→v1 e −→v2 são LD. Logo, as retas r1 e r2 são paralelas ou coincidentes. Seja t = 0 nas equações de r1, vemos que P = (5, 12) ∈ r1. Vamos verificar se P ∈ r2. Caso afirmativo, as retas r1 e r2 não serão paralelas e sim coincidentes. Procuremos s ∈ R, tal que 5 = 2s e 1 2 = 1+ √ 5 2 − √ 5 5 s. Da primeira identidade temos s = 5 2 . Substituı́mos este valor na segunda identidade para verificar se há compatibilidade: 1+ √ 5 2 − √ 5 5 · 5 2 = 1 2 + √ 5 2 − √ 5 2 = 1 2 . Logo, s = 5 2 é o parâmetro do ponto P = (5, 1 2 ) ∈ r2. Assim, r1 e r2 têm direções, −→v1 e −→v2 , paralelas e um ponto em comum sendo, portanto, coincidentes (r1 = r2). Finalizamos esta aula com outra importante aplicação da noção de dependência linear. Proposição 7 Sejam −→v e −→w vetores LI. Se −→u é um vetor arbitrário do plano, então existem números reais únicos λ e µ, tais que: −→u = λ−→v + µ−→w . (16) CEDERJ 44 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 Resumo Nesta aula vimos como determinar a equação paramétrica de uma reta no plano; abordamos as questões de paralelismo entre retas e ve- tores; vimos como passar da equação cartesiana de uma reta para as suas equações paramétricas e vice-versa. Estabelecemos a noção de dependência linear entre vetores do plano e aplicamos esses conceitos para determinar a posição relativa de duas retas no plano. Exercı́cios 1. Determine as equações paramétricas e um vetor direção da reta r que passa pelos pontos A e B, onde: a. A = (−1,−1) , B = (2,−1 2 ) . b. A = (2,−3 4 ) , B = (9 4 , 1) . c. A = (−4, 1) , B = (2, 0) . d. A = (1,−1) , B = (−3, 1) . 2. Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P0 e é paralela ao vetor −→v , onde: a. P0 = (1, 1) , −→v = (−1,−12) . b. P0 = (−2,−1) , −→v = (2, 9 4 ) . c. P0 = (−1, 12) , −→v = (1, 0) . d. P0 = (1,−1) , −→v = (3, 1) . 3. Sejam A , B e O pontos do plano. a. Mostre que um ponto P pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0, 1], tal que: −−→ OP = (1− t) −−→ OA + t −−→ OB . (17) Observação: Verifique que a equação (17) não depende do ponto O. Portanto, o número t é determinado a partir de A, B e P . b. Em particular, mostre que o ponto médio do segmento AB é obtido fazendo t = 1 2 na equação (17). c. Mostre que a equação (17) é uma equação vetorial paramétrica da reta r que passa pelos pontos A e B, quando consideramos o parâmetro t percorrendo todo o R. 4. Determine a equação cartesiana da reta r, onde: 47 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo A Reta e a Dependência Linear a. r : x = 2− t2y = −t , t ∈ R b. r : x = 3y = 2− t , t ∈ R c. r : x = 1 + ty = 1− t , t ∈ R d. r : x = −4ty = 3t , t ∈ R. 5. Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta r, onde: a. r : 2x + y − 1 = 0 , b. r : x− 5 = 0 , c. r : 3x + y = 1 d. r : x− y = 3 . 6. Verifique se −→v ‖ r, onde: a. −→v = (−1, 2) , r : 2x− 4y + 1 = 0 , b. −→v = (1,−1 2 ) , r : x = 2− 2ty = 1 2 + t , t ∈ R c. −→v = (−1 5 , 4 3 ) , r : x = −15 + ty = 4 3 − t , t ∈ R d. −→v = (3 5 , 1) , −→w = (3, 5) , r = {P | −−→ OP = t−→w , t ∈ R} . 7. Determine se as retas r1 e r2 são paralelas, coincidentes ou concor- rentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção: a. r1 : 2x + y − 1 = 0 , r2 : x = −1 + ty = −t , t ∈ R b. r1 : x = 3 + 3ty = 1− 1 2 t , t ∈ R, r2 : x− 6y = 3 , c. r1 : x = −ty = 2 + 3 2 t , t ∈ R, r2 : x = 4 + 4sy = 2− 6s , s ∈ R d. r1 : x = −ty = 2 + 3 2 t , t ∈ R, r2 : x = 4sy = 6s , s ∈ R . CEDERJ 48 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 8. Determine se os vetores −→v e −→w são LI ou LD, onde: a. −→v = (3, 4) , −→w = (−7,−28 3 ) , b. −→v = (1, 0) , −→w = −→0 , c. −→v = (−1 5 , 4 3 ) , −→w = (2, 8 15 ) , d. −→v = (1 3 , 1 6 ) , −→w = (1, 2) . 9. Sejam A = (3, 2) , B = (−1, 1) , C = (0,−2) pontos do plano. a. Determine as equações paramétricas e as equações paramétricas das retas que contêm as medianas do triângulo ABC. b. Determine o baricentro do triângulo ABC, achando o ponto de interseção das três retas do item anterior. 10. Verifique que os vetores−→v e−→w são LI, e escreva−→u como combinação linear desses vetores, onde: a. −→v = (1, 1) , −→w = (1, 2) , −→u = (5, 6) , b. −→v = (2, 3) , −→w = −−→5, 4 , −→u = (1, 4 5 ) . 11. Sejam −→v = (1, 2) e −→w = −−→ AB vetores do plano, onde B = (3, 4). Determine o ponto A pertencente ao eixo X, de modo que −→v e −→w sejam LD. 12. Dois lados de um paralelogramo estão sobre as retas r1 : 8x + 3y = −1 e r2 : x = ty = −2t + 1 , t ∈ R , e uma de suas diagonais pertence à reta r : 3x + 2y = −3 . Ache as coordenadas de seus vértices. 13. Dadas as retas r1 : 2x−y = 0 e r2 : 2x+y = 4 e o ponto P = (3, 0), determine a reta que passa por P , intersecta r1 em A e r2 em B de tal modo que P seja o ponto médio do segmento AB. (Sugestão: Escreva as equações paramétricas de r1 e r2). 14. Seja P o paralelogramo ABDC que tem a diagonal AD sobre a reta r1 : x − y = 1, o lado AB sobre a reta r2 : 2x − y = 2 e o lado BD paralelo ao vetor v = (2, 1). Determine os vértices A, B, C e D supondo que |AD| = √ 8 e D tem abscissa positiva. 49 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Produto Interno convencionamos em atribuir ao ângulo P̂OQ a menor medida positiva. Por exemplo, ao ângulo P̂OQ, mostrado nas Figuras 40 e 41, atribuı́mos a medida θ. Fig. 42: Ângulo entre segmentos orientados. Ângulo entre segmentos orientados. Consideremos dois segmentos orien- tados AB e CD. Sejam OP e OQ os únicos segmentos orientados com origem no ponto O que são equipo- lentes a AB e CD respectivamente. O ângulo de AB para CD é o ângulo P̂OQ com exigência de que sua medida seja tomada de OP para OQ (Figura 42). Observação. • Se um dos segmentos orientados AB ou CD for nulo, diremos que o ângulo entre eles é nulo. • Observe que se A′B′ e C ′D′ são equipolentes a AB e CD, respectiva- mente, então o ângulo de A′B′ para C ′D′ e igual ao ângulo de AB para CD. Ângulo bem definido. Note que a definição de (−→v ,−→w ) não depende dos representantes de −→v e −→w . De fato, sejam EF e GH tais que de −→v = −−→ EF e −→w = −−→ GH . Como EF e GH são equipolentes a AB e CD, respectivamente, o ângulo de EF pra GH é igual ao ângulo de AB para CD. A norma está bem definida. Se AB e CD são segmentos equipolentes, então |AB| = |CD|. Logo, se −→v = −−→ AB , temos ‖−→v ‖ = |AB| = |CD|. Isto é, ‖−→v ‖ independe do segmento orientado escolhido como representante de −→v . Definição 9 (Ângulo entre vetores) Sejam−→v e−→w vetores do plano. Consideremos AB e CD segmentos orientados tais que −→v = −−→ AB e −→w = −−→ CD . O ângulo de −→v para −→w , denotado (−→v ,−→w ), é o ângulo de AB para CD. Se −→v = −→0 ou −→w = −→0 for nulo, dizemos que o ângulo (−→w ,−→v ) é nulo. S a bendo que o módulo de um segmento orientado é igual à distância entre as suas extremidades, definimos o tamanho ou norma de um vetor. Definição 10 (Norma de um vetor) Sejam −→v um vetor do plano e AB um segmento orientado tal que −→v = −−→ AB . A norma, ou comprimento, do vetor −→v , que designamos por ‖−→v ‖ é o módulo do segmento AB: ‖−→v ‖ = |AB| = d(A, B) Considerando um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas do CEDERJ 52 Produto Interno MÓDULO 1 - AULA 4 plano com origem no ponto O e o ponto P = (x, y) tal que −→v = −−→ OP , temos: ‖−→v ‖ = |OP | = d(O,P ) = √ x2 + y2 Lembre que... Se r é um número real não-negativo a sua raiz quadrada é, por definição, o número real não-negativo, designado por √ r, tal que ( √ r)2 = r. Na seguinte proposição reunimos as principais propriedades da norma. Proposição 8 (Propriedades da norma de um vetor) Sejam−→v , −→w vetores do plano e λ ∈ R, então: 1. ‖−→v ‖ ≥ 0; 2. ‖−→v ‖ = 0 se, e somente se, −→v é o vetor nulo; 3. ‖λ−→v ‖ = |λ|‖−→v ‖; 4. ‖−→v +−→w ‖ ≤ ‖−→v ‖+ ‖−→w ‖, esta é a chamada desigualdade triangular. Demonstração. 1. Como a distância entre dois pontos do plano é sempre um número não-negativo, temos que se −→v = −−→ AB , então ‖−→v ‖ = |AB| = d(A, B) ≥ 0. 2. Se −→v = −−→ AB , temos: ‖−→v ‖ = |AB| = d(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B ⇐⇒ −→v = −−→ AB = −→ 0 . 3. Consideremos o vetor −→v em coordenadas: −→v = (x, y). Temos: ‖λ−→v ‖ = ‖(λx, λy)‖ = √ (λx)2 + (λy)2 = √ (λ)2(x2 + y2) = |λ| √ (x2 + y2) = |λ|‖−→v ‖ . 4. A seguir, a desigualdade triangular não será utilizada. No entanto, por se tratar de uma importante propriedade da norma, apresentamos a sua demonstração no Apêndice B.  Na prática... Calculamos a norma de um vetor a partir da sua expressão em coordenadas. Como no exemplo ao lado. Definição 11 (Vetor unitário) Um vetor que tem norma igual a 1 é chamado unitário. Exemplo 23 a. Os vetores−→v = (−1, 0) , e −→w = (√ 3 3 ,− √ 6 3 ) são unitários. De fato, ‖−→v ‖ = √ (−1)2 + 02 = √ 1 = 1 e ‖−→w ‖ = √(√ 3 3 )2 + ( − √ 6 3 )2 =√ 3 9 + 6 9 = √ 9 9 = 1 . 53 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Produto Interno b. O vetor −→u = (√ 2 2 , 1 2 ) não é unitário, pois ‖−→u ‖ = √(√ 2 2 )2 + ( 1 2 )2 =√ 2 4 + 1 4 = √ 3 4 = √ 3 2 6= 1 . Observação. Dado um vetor não-nulo do plano, sempre podemos determinar dois veto- res unitários colineares a −→v . Com efeito, se −→v = (x, y) é um vetor não-nulo então ‖−→v ‖ é um número real positivo. Afirmamos que os vetores −→u = 1‖−→v ‖ −→v e −→w = − 1‖−→v ‖ −→v são unitários e colineares a −→v . De fato, u e w são colineares a v pois são múltiplos de v, eles são unitários, pois ‖−→u ‖ = ∥∥∥∥ 1‖−→v ‖−→v ∥∥∥∥ = ∣∣∣∣ 1‖−→v ‖ ∣∣∣∣ · ‖−→v ‖ = 1‖−→v ‖‖−→v ‖ = ‖−→v ‖‖−→v ‖ = 1 , ‖−→w ‖ = ∥∥∥∥− 1‖−→v ‖−→v ∥∥∥∥ = ∣∣∣∣− 1‖−→v ‖ ∣∣∣∣ · ‖−→v ‖ = 1‖−→v ‖‖−→v ‖ = ‖−→v ‖‖−→v ‖ = 1 . Exemplo 24 Calcular os vetores unitários paralelos ao vetor−→v = (−3, 2). Solução: A norma de −→v é ‖−→v ‖ = √ (−3)2 + 22 = √ 13 . Logo, os vetores: −→u = 1√ 13 (−3, 2) = ( − 3√ 13 , 2√ 13 ) e −→w = − 1√ 13 (−3, 2) = ( 3√ 13 ,− 2√ 13 ) são unitários e colineares a −→v . Agora estamos em condições de definir o produto interno de dois vetores: Lembre que... Na expressão que define o produto interno, (−→v ,−→w ) é o ângulo de −→v para −→w . Definição 12 (Produto interno) Sejam −→v e −→w vetores do plano. O produto interno de −→v e −→w , denotado por 〈−→v ,−→w 〉, é o número real: 〈−→v , −→w 〉 = ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(−→v ,−→w ) CEDERJ 54 Produto Interno MÓDULO 1 - AULA 4 Portanto, cos(−→v ,−→w ) = cos(λ−→v ,−→w ) = cos(−→v , λ−→w ) . Logo, 〈λ−→v , −→w 〉 = ‖λ−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(x−→v ,−→w ) = |λ| ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(−→v ,−→w ) = λ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(−→v ,−→w ) = λ〈−→v , −→w 〉 . Analogamente, concluı́mos que 〈−→v , λ−→w 〉 = λ〈−→v ,−→w 〉. Consideremos agora o caso em que λ < 0. Primeiro analisemos os módulos: como λ < 0, temos |λ| = −λ, assim: ‖λ−→v ‖ = |λ|‖−→v ‖ = −λ‖−→v ‖ , e ‖λ−→w ‖ = |λ|‖−→w ‖ = −λ‖−→w ‖ . Fig. 46: Análise do ângulo com λ < 0 . Agora, analisemos os ângu- los: como λ < 0, λ−→v e −→v têm sentidos opostos. Logo λ−→w e −→w também têm sentidos opostos. Portanto, se o ângulo (−→v ,−→w ) mede θ, então o ângulo (λ−→v ,−→w ) mede π + θ, veja a Figura 46. Segue, das identidades trigonométricas, que cos(π + θ) = − cos θ = − cos(−→v ,−→w ) . Logo 〈λ−→v , −→w 〉 = ‖λ−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(λ−→v ,−→w ) = −λ‖−→v ‖ ‖−→w ‖(− cos(−→v ,−→w )) = λ〈−→v , −→w 〉 . Identidades trigonométricas... Se α e β são duas medidas de ângulos, então: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β e sen(α + β) = cos α sen β + sen α cos β Lei dos cossenos. Se A, B e C são pontos distintos do plano, a = |BC|, b = |AC|, c = |AB| e α = B̂AC , β = ÂBC , γ = ÂCB , então: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ Fig. 47: Lei dos cossenos no triângulo ABC . Nota importante. A lei dos cossenos continua válida mesmo que os pontos A, B e C sejam colineares. Veja o Apêndice. Propriedade 3: Para demonstrar a propriedade distributiva, precisa- mos da expressão do produto interno em coordenadas. Para obter essa expressão utilizaremos a Lei dos cossenos (veja a nota ao lado). 57 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Produto Interno Proposição 10 (Expressão do produto interno em coordenadas) Sejam −→v = (x1, y1) e −→w = (x2, y2) vetores do plano. Então: 〈−→v ,−→w 〉 = x1x2 + y1y2 (18) Demonstração. Observe que a relação (18) é válida quando algum dos vetores é o vetor nulo. Portanto, consideremos apenas o caso em que −→v e −→w são vetores não-nulos (Figura 48). Sejam a = ‖−→v ‖, b = ‖−→w ‖, c = ‖−→w − −→v ‖ e γ a medida do ângulo (−→v ,−→w ). Usando a lei dos cossenos, temos: c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ . Logo, ‖−→w −−→v ‖2 = ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2 − 2‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(−→v ,−→w ) . Como −→w −−→v = (x2 − x1, y2 − y1), obtemos: ‖−→w −−→v ‖2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = x22 + x 2 1 − 2x1x2 + y22 + y21 − 2y1y2 , (19) Fig. 48: Produto interno e lei dos cossenos. e, também: ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2 − 2‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos(−→v ,−→w ) = ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2 − 2〈−→v , −→w 〉 = x21 + x 2 2 + y 2 1 + y 2 2 − 2〈−→v , −→w 〉 . (20) A fórmula (18) resulta igualando (19) e (20), e cancelando os termos comuns.  Estamos agora em condições de demonstrar a propriedade distribu- tiva do produto interno: 〈−→u , −→v +−→w 〉 = 〈−→u , −→v 〉+ 〈−→u , −→w 〉 Com respeito a um sistema ortogonal de coordenadas, sejam u = (x1, y1) , v = (x2, y2) e w = (x3, y3). Usando as propriedades das operações em R e a fórmula 18, temos: 〈−→u , −→v +−→w 〉 = 〈(x1, y1) , (x2 + x3, y2 + y3)〉 = x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) = x1x2 + x1x3 + y1y2 + y1y3 = (x1x2 + y1y2) + (x1x3 + y1y3) = 〈−→u , −→v 〉+ 〈−→u , −→w 〉 . Com isto terminamos a prova da proposição 9.  CEDERJ 58 Produto Interno MÓDULO 1 - AULA 4 Observação. • Se −→v é um vetor qualquer do plano, então: 〈−→v ,−→v 〉 = ‖−→v ‖2 De fato, como a medida do ângulo (−→v ,−→v ) é 0 radianos (ou 0o), temos cos(−→v ,−→v ) = cos 0 = 1 e 〈−→v ,−→v 〉 = ‖−→v ‖ ‖−→v ‖ cos(−→v ,−→v ) = ‖−→v ‖2 . • Quando analisamos a representação geométrica do produto interno em termos da projeção ortogonal vimos que, se −→w é um vetor unitário, então a projeção ortogonal pr−→w −→v do vetor −→v sobre o vetor −→w é pr−→w −→v = 〈−→v ,−→w 〉−→w . Se o vetor −→w não é unitário, mas apenas não-nulo, consideramos o vetor −→w ‖−→w ‖ que é unitário, paralelo a −→w e com igual sentido. Definimos a projeção de −→v sobre −→w como sendo a projeção de −→v sobre −→w ‖−→w ‖ , que designamos por pr−→w −→v . Usando a Propriedade 2 do produto interno, te- mos: pr−→w −→v = 〈 −→v , −→w ‖−→w ‖ 〉 −→w ‖−→w ‖ = 〈−→v ,−→w 〉 ‖−→w ‖2 −→w Terminamos esta aula ilustrando a importância do produto interno com uma série de exemplos e considerações geométricas. Exemplo 25 Determinar o valor de a ∈ R tal que os vetores −→v = (a, 1) e −→w = (2, 3) tenham produto interno igual a 15. Achar, também, o cosseno do ângulo formado por esses vetores e a projeção ortogonal de −→v sobre −→w . Solução: Usando a caracterização do produto interno em termos de coor- denadas, temos: 〈−→v ,−→w 〉 = 〈(a, 1), (2, 3)〉 = a · 2 + 1 · 3 = 2a + 3 . Logo, 〈−→v ,−→w 〉 = 15 se, e somente se, 2a + 3 = 15 . Portanto, a = 6 e −→v = (6, 1). 59 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Produto Interno Definição 15 Um vetor −→v é dito normal, ortogonal ou perpendicular a uma reta r, se ele for ortogonal a qualquer vetor direção da reta r. Pelo visto anteriormente, temos: −→η = (a, b) é um vetor normal à reta r : ax + by = c . Exemplo 28 Seja A = (1,−3) um ponto do plano. Determinar a equação cartesiana da reta r que passa por A e é perpendicular ao vetor −→v = (−4, 5). Solução: A equação cartesiana de r é da forma −4x + 5y = c. Como A pertence a r temos −4(1) + 5(−3) = c. Isto é, c = −19. Portanto, a equação de r é −4x + 5y = −19. Exemplo 29 Dar as equações paramétricas da reta r : 3x− y + 2 = 0. Solução: Da equação cartesiana de r obtemos que −→η = (3,−1) é um vetor normal a r. Logo o vetor −→ δ = (−(−1), 3) = (1, 3), que é perpendicular a −→η , é um vetor direção de r. Além disso, observe que o ponto A = (0, 2) pertence a r. Portanto, as equações paramétricas de r são: r : { x = 0 + 1 · t y = 2 + 3 · t , t ∈ R . Isto é, r : { x = t y = 2 + 3t , t ∈ R . Compare com as técnicas desenvolvidas na Aula 3. Exemplo 30 Determinar a equação cartesiana da reta r, onde: r : { x = 2− 3t y = 1 + t , t ∈ R . Solução: A partir da forma das equações paramétricas, vemos que r é a reta que passa pelo ponto A = (2, 1) com direção −→ δ = (−3, 1). Logo, o vetor −→η = (−1,−3) é um vetor normal a r. Portanto, a equação cartesiana de r é da forma (−1)x + (−3)y = c. Para determinarmos o valor de c, substituı́mos as coordenadas do ponto A na identidade (−1)x + (−3)y = c : CEDERJ 62 Produto Interno MÓDULO 1 - AULA 4 (−1)(2) + (−3)(1) = c, ou seja c = −5 e a equação cartesiana de r é −x − 3y = −5, ou seja, multiplicando por −1: r : x + 3y = 5 . Exemplo 31 Seja A = (1,−3). Dar a equação cartesiana da reta r que contém A e é perpendicular à reta s de equações paramétricas: s : { x = 2− 3t y = 1 + t , t ∈ R Solução: Das equações paramétricas de s obtemos um vetor direção −→ δ = (−3, 1). Esse vetor é perpendicular às retas perpendiculares a s. Assim, a reta r que procuramos deve ter a sua equação cartesiana na forma −3x + y = c, onde o valor de c é determinado substituindo as coor- denadas do ponto A: −3(1) + (−3) = c, isto é, c = −6. Portanto, a equação cartesiana de r é: r : −3x + y = −6 . A noção geométrica de ângulo entre duas retas do plano é também reformulada analiticamente a partir do produto interno, veja: Definição 16 (Ângulo entre duas retas do plano) Sejam r e s re- tas do plano e sejam −→v , −→w vetores não-nulos paralelos a r e s respec- tivamente. Definimos o ângulo entre r e s como sendo o ângulo de medida θ com 0 ≤ θ ≤ π 2 radianos (ou seja, entre 0o e 90o), tal que: Fig. 50: Ângulo entre r e s. Observe que... Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas é reto ( π 2 radianos, ou seja 90o). cos θ = | cos(−→v ,−→w )| = |〈 −→v ,−→w 〉| ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ Isto é, o ângulo entre duas retas é o menor ângulo positivo por elas determinado. Exemplo 32 Determinemos o cosseno do ângulo entre as retas r e s dadas por: r : 3x− 4y = 1 e s : { x = 2t− 1 y = −t , t ∈ R. Solução: Da equação cartesiana de r vemos que −→η = (3,−4) ⊥ r. 63 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Produto Interno Logo, −→v = (−(−4), 3) = (4, 3), que é perpendicular a −→η , é um vetor direção de r. Das equações de s vemos que −→w = (2,−1) é um vetor direção de s. Calculando, temos: ‖−→v ‖ = √ 42 + 32 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5 , ‖−→w ‖ = √ 22 + (−1)2 = √ 4 + 1 = √ 5 , 〈−→v ,−→w 〉 = 4(2) + 3(−1) = 8− 3 = 5 . Portanto, o cosseno da medida θ do ângulo entre r e s é cos θ = 5 5 √ 5 = 1√ 5 . Definição 17 (Mediatriz de um segmento) Seja AB um segmento no plano e seja M o seu ponto médio. A reta r que é perpendicular à reta que contém A e B e passa pelo ponto M é chamada a mediatriz de AB. Exemplo 33 Determinar a equação cartesiana da mediatriz r do seg- mento AB, onde A = (2, 3) e B = (5, 4). Solução: Como o vetor −−→ AB = (5 − 2, 4 − 3) = (3, 1) é perpendicular à mediatriz do segmento AB, a equação da mediatriz é r : 3x + y = c. Já que o ponto médio M = 1 2 (2 + 5, 3 + 4) = (7 2 , 7 2 ) do segmento AB per- tence à reta r, temos: 3 · 7 2 + 7 2 = c . Isto é, c = 4 · 7 2 = 14 . Portanto, a equação cartesiana da mediatriz é r : 3x + y = 14 . Exemplo 34 Determinar as equações das retas que passam pelo ponto (2,−1) formando um ângulo de 45o com a reta r : 2x− 3y + 7 = 0 . Solução: Seja −→v = (a, b) o vetor direção de uma das retas procuradas. O vetor (2,−3) é perpendicular a r, logo (3, 2) é um vetor direção de r. Pela definição do ângulo entre duas retas, temos: √ 2 2 = cos 45o = 〈(a, b), (3, 2)〉 ‖(a, b)‖ ‖(3, 2‖) = 3a + 2b ‖(a, b)‖ ‖(3, 2)‖ , CEDERJ 64 Produto Interno MÓDULO 1 - AULA 4 Exemplo 36 Determinar os pontos C e B de modo que a projeção or- togonal do segmento AB sobre a reta r : x + 3y = 6 seja o segmento CD, onde A = (1, 1), D = (3, 1) e AB é um segmento contido numa reta paralela ao vetor (2, 1). Solução: Como AB ⊂ s, onde s é uma reta paralela ao vetor (2, 1), temos que: −−→ OB = −−→ OA + λ(2, 1) = (1 + 2λ, 1 + λ) , para algum λ ∈ R . A reta s′ que é perpendicular à reta r e passa por A tem por equação cartesiana: s′ : 3x− y = 2 (Verifique!). Então s′ intersecta r no ponto C = (6 5 , 8 5 ) (você já sabe que para determinar o ponto C basta resolver o sistema dado pelas equações de r e s′). Similarmente, seja ` a reta perpendicular à reta r que passa por D: ` : 3x− y = 8. Como D é a projeção ortogonal do ponto B sobre a reta r, e ` é perpendi- cular à reta r, então B ∈ `. Portanto, as coordenadas de B = (1+2λ, 1+λ) satisfazem a equação de `: ` : 3(1 + 2λ)− (1 + λ) = 8 ⇒ 5λ + 2 = 8 ⇒ λ = 6 5 . Logo B = (1 + 2 · 6 5 , 1 + 6 5 ) = (17 5 , 11 5 ) . Resumo Nesta aula est a belecemos a noção de produto interno entre dois ve- tores do plano. Para isto foi necessário reest a belecer a noção de ângulo entre segmentos e definir o conceito de norma ou comprimento de um ve- tor. Vimos as propriedades da norma e do produto interno, interpretamos geometricamente o produto interno por meio da projeção ortogonal de um vetor sobre outro. Obtivemos as expressões da norma em coordenadas e aplicamos esses conceitos em diversas situações geométricas. Exercı́cios 1. Verifique que os pontos (2, 5), (8,−1) e (−2, 1) são vértices de um triângulo retângulo. 67 CEDERJ J. Delgado - K. Frensel - N.do Espı́rito Santo Produto Interno 2. Determine a equação cartesiana da reta: a. paralela à reta 2x + 5y = 1 que passa pelo ponto (1, 2). b. perpendicular à reta y = 3x + 1 que passa pelo ponto (−3, 1). c. perpendicular à reta x = 3 que passa pelo ponto (2, 0). 3. Sejam A = (−1, 2), B = (1, 3) e C = (0,−4) pontos do plano. Deter- mine a bissetriz do ângulo B̂AC. Indicação: Lembre que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide em dois outros ângulos de medidas iguais. Considere os pontos B′ na semi-reta AB e C ′ na semi-reta AC tais que −→v = −−−→ AB′ e −→w = −−−→ AC ′ sejam unitários. Observe que o vetor −→v + −→w é a direção da reta desejada. 4. Determine a reta simétrica à reta r em relação à reta s, onde: a. r : 4x− y = 3 e s : 2x− y = −1 . b. r : 2x− 3y = 1 , e s : 2x− 3y = 2 . 5. Determine as equações das retas que passam pelo ponto P = (1, 1) e formam, cada uma, um ângulo de 30o com a reta r : x− 3y = 1 . 6. Dados os pontos A = (1, 0), B = (2, 4), C = (2, 1) e a reta r : 3x − 2y = 4, determine D ∈ r tal que o vetor −−→ CD seja a projeção ortogonal do vetor −−→ AB sobre r. 7. Seja r a mediatriz do segmento AB, onde A = (5, 3) e B = (1,−1). Determine pontos C, D ∈ r de modo que ACBD seja um quadrado. 8. Determine a, b ∈ R de modo que a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta x − 2y = 1 seja o segmento CD, onde C = (1, 0), D = (3, 1), A = (0, a) e B = (1, b). 9. Seja P o paralelogramo ABCD, cujas diagonais são perpendicula- res e se cortam no ponto M = (2, 2). Se A = (1, 1) e o comprimento de lado AB é igual a √ 10, determine os outros vértices de P. CEDERJ 68 Produto Interno MÓDULO 1 - AULA 4 10. A hipotenusa de um triângulo retângulo ABC está sobre a reta 2x + 3y = 5. O vértice A do ângulo reto é o ponto (1,−1) e o vértice B tem a bscissa −2. Determine as coordenadas dos vértices B e C. 11. Seja BB′ um segmento que contém o segmento BA, onde A = (1, 1) é o ponto médio de BB′ e −−→ AB é paralelo ao vetor −→v = (2, 1). Se a projeção ortogonal de B sobre a reta r : x + 3y = 5 é o ponto C = (2, 1), determine as coordenadas do ponto B′. 12. Seja P o paralelogramo ABCD, com o lado AB sobre a reta r e uma das diagonais sobre a reta s, onde: r : x + 2y = 1 e s : x + y = 2 . Se o ponto médio da diagonal AC é o ponto M = (1, 1) e as diago- nais são perpendiculares, determine os vértices e a área de P. Auto-avaliação Os exercı́cios acima avaliam se você assimilou todos os conceitos apresentados nesta aula. Em cada um desses exercı́cios, os conceitos de produto interno, norma, perpendicularidade e medida de ângulos são manipulados de forma unificada. Caso tenha dificuldade ao resolvê-los, volte e reveja os conceitos apresentados. Lembre-se que os tutores po- dem ajudá-lo. Não esqueça de trocar idéias com os seus colegas. Apêndice A. Lei dos cossenos Nesta aula usamos a Lei dos cossenos para obter a expressão do produto interno em termos de coordenadas. Apenas para complementar a nossa exposição, lembramos aqui os detalhes sobre esse importante resultado: Proposição. (Lei dos cossenos) Sejam A, B e C pontos distintos do plano. Denotemos a = |BC|, b = |AC| , c = |AB| e α = B̂AC , β = ÂBC , γ = ÂCB . Então: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ Fig. 53: Lei dos cossenos no triângulo ABC, 0 < α ≤ π 2 . Fig. 54: Lei dos cossenos no triângulo ABC, π 2 < α ≤ π . 69 CEDERJ