Pré-Cálculo - vol1

Pré-Cálculo - vol1

(Parte 1 de 4)

Pre-Calculo, Vol. 1: Conjuntos Numericos

Jorge J. Delgado – Maria Lucia Torres Villela IM-UFF 2007

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 2 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 2

Conteudo

§1. Os naturais, os inteiros e os racionais9
Aula 1: Numeros naturais e inteiros1
Aula 2: Os numeros racionais23
Aula 3: Os numeros racionais - continuac ao35
Aula 4: Somas de progressoes geometricas49
§2. Expansoes decimais59
Aula 5: A expansao decimal de um numero racional61
Aula 6: Expansoes de numeros racionais71
§3. Os Numeros Reais81
Aula 7: Os numeros irracionais83
Aula 8: Os gregos e os numeros reais95
Aula 9: Potencias de numeros reais109
§4. Desigualdades, Intervalos e Distancias119
Aula 10: Intervalos na reta real121
Aula 1: Desigualdades e distancias129
Aula 12: Propriedades do modulo e da distancia139

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Capıtulo 1 Conjuntos numericos

Os numeros governam o mundo Pitagoras

R e f e r e n c i a s

Sobre ensino da Matematica: Meu professor de Matematica e outras historias de Elon Lages Lima. Editado pela Sociedade Brasileira de Matematica (SBM), 1987.

Para saber mais sobre a historia dos numeros: Numeros e Numerais de Bernard H. Gundlach, Editora Atual, 1994.

Neste modulo estabelecemos a linguagem basica em que se fundamenta o Calculo Diferencial e Integral.

Os conceitos abordados sao imprescindıveis para o bom entendimento da Matematica.

A representacao dos numeros reais mediante expansoes decimais e apresentada com cuidado, devido a grande importancia do seu uso no nosso cotidiano.

As aulas contem comentarios de natureza historica e exercıcios que lhe ajudarao a assimilar melhor os topicos apresentados.

Ao final do modulo, voce tera fixado as propriedades basicas do conjunto dos numeros reais e suas operacoes. Sera capaz de fazer comparac oes, estimativas, aproximac oes decimais e resolver desigualdades de numeros reais.

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§1. Os naturais, os inteiros e os racionais

Nesta primeira secao, apresentamos as propriedades basicas dos numeros naturais, inteiros e racionais.

A sec ao e dividida em quatro aulas. A primeira, sobre os numeros naturais e inteiros, tem por objetivo lembrar e esclarecer conceitos que voce utiliza com naturalidade desde o ensino fundamental. A segunda e a terceira apresentam as fracoes e os numeros racionais, com um enfoque mais detalhado. A quarta trata das progressoes geometricas e sera utilizada no estudo das expansoes decimais na proxima sec ao.

O objetivo destas aulas e consolidar conceitos praticos ja conhecidos sobre os numeros racionais.

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Numeros naturais e inteiros Conjuntos Numericos

Aula 1: Numeros naturais e inteiros

Objetivos • Rever os numeros naturais e os numeros inteiros.

• Relembrar as operac oes de adic ao e multiplicac ao de numeros inteiros e suas propriedades.

• Rever os conceitos de divisibilidade, divisor, multiplo e o algoritmo da divisao de Euclides.

• Relembrar os conceitos de numeros primos, primos entre si e a fatorac ao de inteiros em produto de potencias de primos.

Os numeros tem acompanhado o homem desde os primordios.

Com o advento da agricultura e da pecuaria, as civilizac oes tiveram necessidade de medir suas colheitas e contar seus rebanhos, quantificando a natureza que lhes abastecia.

Voce sabia que...

O egiptologo escoces Henri Rhind comprou o papiro de Ahmes, em 1858, em Luxor, Egito, por isso e chamado tambem papiro de Rhind. Escrito por volta de 1650 a.C. pelo escriba Ahmes, o papiro e copia de outros papiros que, na epoca, tinham 200 anos. Portanto, a informac ao contida no papiro de Ahmes data de aproximadamente 1850 a.C. O papiro de Ahmes esta em exposic ao no Museu Britanico desde 1865.

Para saber mais:

Sobre as contribuic oes dos babilonios na Matematica, consulte http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ HistTopics/Babylonian mathematics.html

Fig. 1: Papiro de Ahmes.

Os registros mais antigos que contem a nocao de numero foram encontrados na China, India, Mesopotamia (hoje Iraque) e Egito. Um dos mais conhecidos e o Papiro de Ahmes, ou Papiro de Rhind encontrado no Egito.

Este papiro, com 6 metros de comprimento por 80 centımetros de largura, contem sofisticados problemas matematicos e tabuadas de multiplicac ao (em sistema sexagesimal, isto e, na base 60).

Os babilonios viveram na Mesopotamia, habitando uma planıcie fertil entre os rios Tigres e Eufrates. Desenvolveram uma Matematica pratica e inspirada nos problemas do dia-a-dia, como o calculo de areas. As tabelas Plimpton-322 ou tabelas babilonicas, datadas entre 1900 e 1600 a.C., descrevem, entre outros problemas, processos para determinar tres numeros tais que, a soma dos quadrados de dois deles seja igual ao quadrado do terceiro. Veja o Exercıcio 1 (desafio) no final da aula.

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Numeros naturais e inteiros

O conhecimento matematico dos babilonios foi herdado pelos gregos. A Matematica grega comecou a florescer por volta de 400 a.C., era mais abstrata e de natureza geometrica. Grande parte da majestosa matematica produzida na Grecia antiga encontra-se na obra Elementos escrita por Euclides de Alexandria, de quem falaremos com frequencia.

Os gregos fizeram valiosas contribuic oes ao estudo dos numeros.

Eles foram um dos primeiros povos a perceber que os numeros existem independentemente do mundo palpavel. Observaram tambem, que os numeros inteiros e as frac oes nao sao suficientes para efetuar medic oes. Desenvolveram, entao, a teoria da comensurabilidade (veja a Aula 8, da Secao 3) com a qual estabeleceram os fundamentos para a construcao dos numeros reais.

Desde a antiguidade a nocao de numero esta ligada aos processos de contar e medir. Na nossa educacao o conceito de numero e abordado em paralelo ao conceito de conjunto: um numero natural e a caracterıstica de todos aqueles conjuntos que tem a mesma quantidade de elementos. Na Figura 2, vemos tres conjuntos A, B e C, cujos elementos foram colocados em correspondencia seguindo as flechas.

Fig. 2: O numero 4 e uma caracterıstica comum dos conjuntos A, B e C.

Importante:

O sımbolo ∈ representa a relac ao de pertinencia de um elemento a um conjunto. Se A e um conjunto, e x e um elemento de A, escrevemos x ∈ A que se le x pertence a A. Se x nao e elemento de A escrevemos x 6∈ A, leia-se x nao pertence a A. Por exemplo, n ∈ N significa que n e um numero natural.

Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi 780 - 850, Bagda.

Reformula aritmeticamente os conceitos fundamentais da Matematica grega. Por solicitac ao do califa Al-Mamun, escreve o Hisab Al-jabr wa’l Muqabalah (Livro da restaurac ao e do balanceamento), dando origem a Algebra (palavra derivada de Aljabr que significa restaurac ao). Veja: http://w-groups. dcs.st-and.ac.uk/ ∼history/Mathematicians/ Al-Khwarizmi.html

Assim, o nosso ponto de partida sera o conjunto N, cujos elementos sao os numeros naturais:

0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,

onde as reticencias indicam que a contagem continua indefinidamente.

Alguns autores excluem o 0 (zero) do conjunto dos numeros naturais. Esta e uma questao de mera conveniencia.

A introduc ao do zero no conjunto dos numeros naturais e relativamente nova na historia da Matematica. Os gregos, romanos, egıpcios e babilonios nao deixaram evidencia clara da existencia de um sımbolo para designar o zero nos seus sistemas numericos. De fato, observe que

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Numeros naturais e inteiros Conjuntos Numericos qualquer contagem que realizamos, mesmo a contagem dos anos na era moderna, comeca no 1 e nao no zero.

Os sımbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, usados para escrever os numeros e o sistema de numeracao posicional baseado em potencias de 10, conhecido como sistema decimal, foram levados da India para terras arabes pelo matematico muculmano Al-Khwarizmi. Esses sımbolos sao chamados algarismos indo-arabicos em homenagem a ele. Por volta do ano 1200, os algarismos e o sistema decimal foram levados para a Europa pelo matematico italiano Leonardo Fibonacci (veja o Exercıcio 9).

Os numeros naturais mostraram-se insuficientes para resolver os problemas do dia-a-dia. Nos seculos XV e XVI foi desenvolvida uma linguagem padrao para designar perdas, debitos, prejuızos etc.

A terminologia adotada consiste em preceder a quantidade numerica do sinal “−”. Assim, uma perda de 4 unidades monetarias e simbolizada por −4. Estes sao os numeros inteiros negativos.

Juntando os numeros inteiros negativos ao conjunto dos numeros naturais, obtemos o conjunto dos numeros inteiros:

, −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . .

Em oposicao ao conjunto dos numeros inteiros negativos, os numeros naturais diferentes de zero sao chamados numeros inteiros positivos.

Voce sabia que...

a letra Z da o nome ao conjunto dos numeros inteiros por ser a primeira letra da palavra alema Zahl que significa numero?

Lembre que...

E a soma de um inteiro com o simetrico de outro. A soma n + (−m), do inteiro n com o simetrico −m do inteiro m, se escreve n − m e se le n menos m. O numero n−m e o numero que devemos somar a m para obter n.

Das definicoes de N e Z, vemos que N e um subconjunto de Z: N ⊂ Z (le-se: N e subconjunto de Z).

Ha duas operacoes basicas que podem ser efetuadas com numeros inteiros, a adic ao (ou soma) e a multiplicac ao (ou produto). Essas operacoes satisfazem as mesmas propriedades que a soma e a multiplicacao de numeros naturais. Porem, a operacao de soma no conjunto dos numeros inteiros tem uma caracterıstica adicional:

Esta propriedade e a que faz a diferenca entre N e Z. Como todo numero inteiro possui simetrico, a equacao x + n = 0

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Numeros naturais e inteiros

pode ser sempre resolvida no conjunto Z qualquer que seja n ∈ Z. No entanto, tente determinar um numero natural x de modo que x + 4 = 0.

= 0 .Na sequencia de igualdades ao

lado, a igualdade (A) vem do fato de 1·n = n, a igualdade (B) usa a propriedade distributiva, a igualdade (C) e consequencia de (−1) ser o simetrico de 1 e (D) e verdadeira porque a multiplicac ao de 0 por qualquer numero da 0.

No conjunto Z temos o conceito de divisibilidade.

Definic ao 1 (Multiplo e divisor) Um numero inteiro n e multiplo de um inteiro m quando podemos encontrar um inteiro k tal que n = m × k.

Se o inteiro m e diferente de zero, dizemos que m divide o inteiro n ou que m e um divisor, ou um fator, de n.

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Numeros naturais e inteiros Conjuntos Numericos

Note que: • O zero e multiplo de qualquer numero inteiro.

De fato, 0 = 0 × n qualquer que seja n ∈ Z. Contudo nenhum inteiro diferente de zero e multiplo de zero, pois a multiplicac ao de zero por qualquer inteiro sempre e igual a zero.

• O zero nao e divisor de inteiro algum.

Com efeito, observe que por definic ao, um divisor de um inteiro deve ser diferente de zero.

• Todo numero inteiro n e multiplo de si proprio.

Para verificar essa afirmac ao, basta observar que: n = 1 × n.

• Todo numero inteiro n diferente de zero e divisor de si proprio.

• O conjunto que consiste dos multiplos de um inteiro diferente de zero e sempre um conjunto infinito.

Vejamos o significado desta ultima observac ao nos seguintes exemplos:

Como todo numero par e o dobro de algum inteiro, o conjunto dos numeros pares se representa tambem como: {2k|k e um numero inteiro}.

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Numeros naturais e inteiros

c. O conjunto dos inteiros que nao sao multiplos de 2 e o conjunto formado pelos numeros ımpares.

Euclides de Alexandria 325-265 a.C.

Alexandria, Egito.

Um dos mais destacados matematicos da era antiga, as suas descobertas sobre Aritmetica e Geometria sao relatadas na sua obra Elementos, uma colecao de 13 livros. Consulte: http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Euclid.html

Uma grande contribuic ao de Euclides de Alexandria na teoria da divisibilidade e o algoritmo da divisao ou algoritmo de Euclides (ou divisao euclidiana). Para entender melhor o procedimento do algoritmo preste atenc ao no seguinte exemplo.

O algoritmo de Euclides: Dados a,b ∈ Z, sendo b > 0, podemos escrever a como a soma de um multiplo de b e um possıvel resto r nao negativo e menor que b: a = q·b+r , onde 0 ≤ r < b apenas de uma maneira. O numero q e o quociente e o numero r e o resto da divisao de a por b.

b. No algoritmo de Euclides e importante observar que, enquanto o divisor b e sempre positivo, o dividendo a pode ser negativo. Isto exige mais cuidado:

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Numeros naturais e inteiros Conjuntos Numericos e menor que 4, como determina o algoritmo de Euclides. Lembre-se agora da seguinte definic ao:

Para saber mais...

Euclides demonstrou a validade do algoritmo da divisao, verificando tambem que o quociente e o resto na divisao sao determinados de uma unica maneira a partir do divisor e do dividendo. Demonstrou, pela primeira vez que o conjunto dos numeros primos e infinito e o Teorema Fundamental da Aritmetica que assegura que todo numero natural maior que 1 pode ser escrito como o produto de potencias de primos.

De fato, qualquer outro natural par e da forma 2k sendo k um numero natural maior que 1. O numero 2k e divisıvel por 2 onde 2 6= 1 e 2 6= 2k.

O conceito de divisibilidade leva a ideia de fatorac ao de um numero: processo que permite expressar qualquer natural como produto de potencias de primos.

Veja no seguinte exemplo, como funciona o processo de fatoracao.

Soluc ao:

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Numeros naturais e inteiros

Note que todo numero terminado em algum dos algarismos 0, 2, 4, 6 ou 8 e par e, portanto, tem 2 como fator. Da mesma forma, os numeros terminados em 0 ou 5 tem 5 como fator (veja tambem o Exercıcio 9). Assim, 35 e 90 tem o numero 5 como fator comum.

Definic ao 3 (Primos entre si) Dois numeros inteiros m e n sao chamados primos entre si quando nao possuem divisores (ou fatores) positivos em comum diferentes de 1.

c. Os numeros 1 e 29 sao primos entre si, pois eles sao primos.

Terminamos esta aula com a seguinte observacao.

Observac ao. Dois inteiros sao primos entre si quando nenhum dos primos da fatorac ao de um deles aparece na fatorac ao do outro. Em particular, dois primos diferentes sao sempre primos entre si.

Resumo

Voce reviu os numeros naturais e inteiros; as operac oes de adic ao e multiplicac ao de inteiros e suas propriedades; os conceitos de divisibilidade, multiplo, divisor, numeros naturais primos e inteiros primos entre si; o algoritmo euclidiano; a fatorac ao de inteiros em produto de potencias de numeros primos.

Exercıcios

1. Efetue o calculo das seguintes expressoes, respeitando as regras de hierarquia (veja a nota ao lado) e as propriedades das operac oes de soma e multiplicac ao.

Hierarquia das operac oes:

• Efetuamos primeiramente os calculos entre parenteses. • Onde nao ha parenteses, efetuamos primeiro as potencias, depois as multiplicac oes e divisoes e finalmente as adic oes e subtrac oes. • Onde nao ha parenteses, as operac oes sao efetuadas seguindo a prioridade do item acima, sempre da esquerda para a direita.

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Numeros naturais e inteiros Conjuntos Numericos

2. Quais das seguintes afirmativas sao verdadeiras? De uma justificativa para cada uma das suas respostas.

3. Determine: a. o quociente e o resto da divisao de 321 por 5. b. o quociente e o resto da divisao de −321 por 5. Lembre que no algoritmo de Euclides o resto deve ser um numero natural menor que o divisor.

d. os numeros inteiros que divididos por 5 deixam resto 3.

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