Geometria Analítica-vol2

Geometria Analítica-vol2

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Volume I: Vetores e Coordenadas Espaciais

Jorge Delgado Katia Frensel Nedir do Espírito Santo (IMUFF) (IMUFF) (IMUFRJ)

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Conteúdo

Coordenadas no espaço9
A distância no espaço19
Vetores no espaço31
Colinearidade, coplanaridade e dependência linear43
Equações paramétricas de retas e planos53
Produto interno65
Equação cartesiana do plano81
Orientação, produto vetorial e área95
Produto vetorial, produto misto e volume105
Apêndice119

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Módulo 2

Vetores e coordenadas espaciais

A natureza é uma esfera infinita com centro em todo lugar e circunferência em lugar nenhum. Blaise Pascal

Pré-requisitos:

Geometria Analítica, Módulo 1. Pré-Cálculo, Módulos 1 - 4.

Bibliografia. [1] Lehman, C., Geometria Analítica. Editora Globo. [2] Lima, E., Coordenadas no Espaço. SBM.

Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) Paris, França.

Aprendeu Matemática com seu pai, Jean-Baptise Clairaut. Estudou com Johann Bernoulli, fez avanços no estudo da Geometria das curvas no espaço, das equações diferenciais e do Cálculo Variacional. Clairaut é um dos precursores da Geometria Diferencial. http://w-history. mcs.st-andrews.ac.uk/ history/ Mathematicians/ Clairaut.html

A Geometria Espacial estudada desde a época dos gregos tornou-se, gradativamente, insuficiente para resolver os complexos problemas que iam surgindo ao longo da história. A visão de René Descartes (1596 - 1650) ao criar os seus sistemas de coordenadas foi, em parte, usar as avançadas técnicas algébricas da época para modelar e equacionar os problemas geométricos.

Nos seus trabalhos, Descartes criou também os sistemas de coordenadas no espaço, porém não se aprofundou no assunto. As técnicas analíticas para o estudo da Geometria espacial tiveram seu início nos trabalhos e nas mentes de outros grandes matemáticos da época, dentre os quais o holandês Frans van Schooten (1615 - 1660), o francês Philippe de La Hire (1640 -1718) e o suíço Johann Bernoulli.

A Geometria Analítica do espaço, ou Geometria Analítica Espacial, começou a tomar forma na França graças aos trabalhos de Antoine Parent (1666 - 1716) e Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) que, em 1726, apresentou na Academia de Ciências de Paris o seu trabalho Quatre problèmes sur de nouvelles courbes (Quatro problemas sobre novas curvas), um importante tratado analítico sobre curvas não-planas no espaço.

Neste Módulo, apresentaremos os princípios básicos sob os quais se fundamenta o estudo da Geometria Analítica Espacial, ampliando para o espaço as noções vetoriais de Bellavitis, apresentadas nas primeiras aulas do Módulo 1, e os conceitos sobre coordenadas cartesianas, estudados no Módulo 2, do Pré-Cálculo.

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Coordenadas no espaço MÓDULO 2 - AULA 13

Coordenadas no espaço

Objetivos • Definir os sistemas ortogonais de coordenadas cartesianas no espaço.

• Localizar pontos no espaço a partir das suas coordenadas cartesianas.

Nesta aula, definimos e manipulamos os sistemas de coordenadas no espaço, de maneira análoga às coordenadas no plano que você estudou na Aula 13, do Módulo 2, do Pré-Cálculo.

Fig. 1: Posição de B em relação a O.

Para você ficar mais à vontade na discussão que abordaremos a seguir, imagine uma pequena bola, que designamos pela letra B, sobre um fino suporte vertical no quarto ou sala onde você está.

Escolha uma das quinas do quarto, que designamos pela letra O. Essa quina é o encontro de duas paredes e o chão simultaneamente (Figura 1). Ao mesmo tempo, O é também o ponto de encontro de três linhas, duas das quais são as linhas onde o chão encontra as paredes e a outra onde as paredes se encontram mutuamente. Como determinar a posição exata de B?

Para responder, começamos por lembrar que a posição de um ponto P no plano, em relação a um sistema de coordenadas cartesianas, é determinada por um par de números reais (x,y) denominados coordenadas de P.

Então, se P representa a base da haste que sustenta a bolinha, podemos determinar a posição exata de P, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no plano do chão, com origem no ponto O e cujos eixos são os cantos do chão, comuns às paredes do quarto (Figura 2).

Fig. 2: Coordenadas do ponto B.

Imagine-se de pé no canto da parede, de frente para o ambiente do quarto. Denominando eixo OX o canto do chão que fica à sua direita, portanto, à direita de O e, eixo OY o canto do chão que fica à esquerda de O, o ponto P, que representa o pé da haste, tem coordenadas (x,y) no plano do chão que contém os eixos OX e OY .

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Coordenadas no espaço

Finalmente, para determinar a posição exata da bolinha B, faz-se necessária uma terceira quantidade z que mede a sua altura em relação ao chão. Isto é, z é o comprimento da haste que sustenta B.

Assim, denominamos eixo OZ o canto do quarto que resulta da interseção das duas paredes consideradas. Na Figura 2, representamos a bolinha B no quarto e junto com ela as três coordenadas x, y e z, que determinam a sua posição exata no espaço.

Eixo OZ

No eixo OZ, ao lado, colocamos coordenadas usando a mesma escala que nos eixos OX e OY. Dessa forma, a posição em que a bolinha se encontra no quarto é caracteri- zada mediante um terno de números reais (neste caso, não-negativos) que designamos por (x,y,z) e denominamos as coordenadas de B em relação ao sistema OXY Z. É isso mesmo! Acabamos de construir um sistema de coordenadas no espaço.

Definição 1 (Coordenadas cartesianas no espaço) Um sistema (ortogonal positivo) de coordenadas cartesianas no espaço consiste da escolha de um ponto O do espaço, denominado origem, e de três retas concorrentes em O e mutuamente perpendiculares, denominadas eixos OX, OY e OZ, sob cada uma das quais há uma cópia da reta real R, satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) O zero de cada cópia de R considerada, coincide com o ponto O.

(b) Escolhamos duas dessas retas. As retas escolhidas determinam um plano que passa pela origem O. Nesse plano, escolhemos uma das reta para ser o eixo OX e a outra para ser o eixo OY . O plano que contém esses eixos é denominado plano XY .

A regra da mão direita...

É outro critério para saber qual é a direção do semi-eixo OZ positivo. A regra consiste em colocar a mão direita na origem, com os dedos indicador, médio, anular e mindinho, esticados na direção do semi-eixo OX positivo e o dedo polegar esticado. Ao fechar a mão girando os dedos na direção do semi-eixo OY positivo, o dedo polegar irá apontar na direção do semi-eixo OZ positivo.

(c) Escolhamos um dos semi-eixos do eixo OX para ser o o semi-eixo OX positivo. No plano XY , o semi-eixo OY positivo é obtido pela rotação de 90o do semi-eixo OX positivo, no sentido anti-horário, em torno da origem.

Fig. 3: Escolha do semi-eixo OZ positivo.

(d) A terceira reta, perpendicular ao plano XY e que passa pela origem, é o eixo OZ. Nela, o semi-eixo OZ positivo é escolhido de modo que se um observador em pé na origem sobre o plano XY , com as costas apoiadas no semi-eixo OZ positivo e o braço direito esticado na direção do semi-eixo OX positivo, verá o semi-eixo OY positivo à sua frente (Figura 3).

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Coordenadas no espaço MÓDULO 2 - AULA 13

Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas OXY Z, cada ponto

P do espaço é caracterizado por um terno de números reais (x,y,z) denominados as coordenadas do ponto P no sistema OXY Z.

Observação

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