Pré-Cálculo - vol2

Pré-Cálculo - vol2

(Parte 1 de 3)

Pre-Calculo, Vol. 2: Curvas Planas

Jorge J. Delgado – Maria Lucia Torres Villela IM-UFF 2007

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 2 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 2

Conteudo

§1. Coordenadas no Plano9
Aula 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas1
Aula 14: Distancia entre pontos21
§2. Reta29
Aula 15: Equac ao da reta, inclinac ao31
Aula 16: Equac ao da reta, inclinac ao - continuac ao41
§3. Sec oes Conicas53
Aula 17: Cırculo5
Aula 18: Parabola67
Aula 19: Parabola - continuac ao7
Aula 20: Parabola - aplicac oes85
Aula 21: Elipse97
Aula 2: Elipse - continuac ao107
Aula 23: Hiperbole117
Aula 24: Hiperbole - continuac ao127

2 Curvas no Plano 7 5

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6

Capıtulo 2

Curvas no Plano

Penso, logo existo Descartes

R e f e r e n c i a

O livro Geometria Analıtica de Charles H. Lehmann, Editora Globo, 1995, trata os aspectos fundamentais da Geometria Analıtica Plana e Espacial.

Euclides 325-265 a.C., Alexandria, Egito.

Nos 13 volumes dos Elementos relata suas descobertas sobre a Aritmetica e a Geometria. No endereco: http://aleph0.clarku.edu/ ∼djoyce/java/elements/ elements.html podem ser encontrados todos os livros dos Elementos.

O objetivo deste volume e identificar e representar graficamente por meio de suas equacoes algumas curvas planas, conhecendo suas propriedades geometricas elementares. As curvas planas apresentadas sao: reta, cırculo, parabola, elipse e hiperbole. Estas curvas sao obtidas por intersecao de um plano com um cone circular reto e sao chamadas curvas conicas.

A apresentac ao da teoria pressupoe:

• as noc oes intuitivas dos conceitos de ponto, reta e plano (veja a Aula 1 de Geometria Basica).

• o conhecimento do Teorema de Pitagoras (veja a Aula 7).

Euclides, maior geometra da sua epoca, na sua obra Elementos, explica os conceitos de ponto, reta, superfıcie, angulo, segmento e proporc ao e enuncia cinco postulados:

P1 Por dois pontos distintos passa uma reta. P2 E possıvel prolongar uma reta limitada.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 7 CEDERJ

P3 E possıvel tracar uma circunferencia centrada em qualquer ponto com um raio qualquer.

P4 Todos os angulos retos sao iguais.

P5 Por um ponto situado fora de uma reta passa somente uma paralela a esta reta.

As construcoes geometricas desses postulados eram realizadas com regua e compasso — exigencia classica de Platao.

Platao 427 - 347 a.C., Atenas, Grecia.

Platao nao fez descobertas importantes na area de

Matematica. Os trabalhos relevantes de Matematica desta epoca foram feitos por seus amigos ou discıpulos. Platao tinha a convicc ao de que o estudo da Matematica devia ser cultivado pelos filosofos.

Para saber mais sobre Platao consulte: http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Plato.html

A regua, sem escala, e o compasso sao instrumentos que permitem a resoluc ao de muitos problemas de construc ao geometrica. No entanto, ha tres problemas que nao podem ser resolvidos com estes instrumentos:

Duplicac ao do cubo: construir um cubo de volume 2.

Trisecc ao do angulo: dividir em tres partes iguais um angulo qualquer.

Quadratura do cırculo: construir um quadrado com area igual a de um cırculo de raio 1.

Somente no seculo XIX foi demonstrada a impossibilidade destas construc oes. A procura da soluc ao destes problemas foi de grande importancia para o desenvolvimento da Geometria grega.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 8

§1. Coordenadas no Plano

Nas proximas duas aulas identificaremos pontos do plano por pares ordenados e calcularemos a distancia entre eles. Estes sao os conceitos basicos e necessarios para entender a Geometria Analıtica.

Conceitos: Numeros reais, a reta real, desigualdades, distancias, valor absoluto e raiz quadrada.

A ideia de colocar coordenadas numa superfıcie com o proposito de medir e localizar e muito antiga. Talvez, o mais famoso exemplo seja o mapa do mundo de Claudius Ptolomeu (85 - 165 d.C.).

Fig. 1: Copia do mapa do mundo de Ptolomeu. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 9 CEDERJ

Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas

Aula 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas

Conceitos: Numeros reais e a reta real.

Pierre de Fermat, 1601-1665, Franca.

Costumava fazer anotacoes nas margens dos livros. Na margem do livro Aritmetica de Diofante, escreveu: se n > 2, nao existem naturais nao-nulos x, y e z tais que xn + yn = zn e acrescentou: Eu tenho uma demonstrac ao realmente maravilhosa para esta proposicao, mas esta margem e muito estreita para conte-la. Este enigma ficou conhecido como o Ultimo Teorema de Fermat e foi estudado pelos maiores matematicos. Em 1995, Andrew Wiles terminou com o misterio de 358 anos, mostrando a validade do Ultimo Teorema de Fermat. Para informacoes sobre Fermat consulte: w-groups.dcs.st-and.ac.uk/ ∼history/Mathematicians/ Fermat.html

Uma leitura muito agradavel... O ultimo teorema de Fermat de Simon Shing, Editora Record, 2000.

Objetivos • Construir sistemas de coordenadas cartesianas no plano.

• Identificar pontos do plano com pares ordenados.

• Representar graficamente pares ordenados.

• Comparar pares ordenados.

Voce esta na cidade do Rio de Janeiro. A Universidade Estadual do Norte Fluminense, UENF, fica na cidade de Campos dos Goytacazes. Voce esta mais proximo de Angra dos Reis ou da UENF? Voce pode tentar responder consultando o mapa do Estado do Rio de Janeiro, abaixo.

Fig. 2: Mapa do Estado do Rio de Janeiro

Em muitas situacoes nos deparamos com o problema de localizar pontos situados em um plano e calcular a distancia entre eles.

Vejamos algumas informac oes historicas importantes.

A Geometria Analıtica foi descoberta no seculo XVII por Pierre de

Fermat e Rene Descartes de forma independente. A partir da equacao, Fermat estudava o lugar geometrico ou as propriedades geometricas dos pontos que verificavam a equac ao, enquanto Descartes, a partir das propriedades, determinava uma equacao.

Fermat, advogado de profissao, foi um matematico autodidata, bri-

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 1 CEDERJ

Sistema de Coordenadas Cartesianas

lhante e versatil. Fez grandiosas contribuic oes ao Calculo, a Otica e a Teoria dos Numeros. Com Pascal, descobriu a Teoria das Probabilidades.

Rene Descartes escreveu La Geometrie constituıda de tres partes.

Na primeira, introduziu os princıpios da Geometria Algebrica, possibilitando avanco consideravel em relacao aos gregos. Para os gregos, uma variavel x significava o comprimento de um segmento; o produto de duas variaveis x · y correspondia a area de um retangulo; e o produto de tres variaveis x·y·z era o volume de um paralelepıpedo reto. Para Descartes, x2 nao tinha o significado de uma area, mas apenas o quarto termo da proporc ao 1 : x = x : x2 (le-se 1 esta para x assim como x esta para x2). Na segunda, Descartes classificou curvas e deu um metodo para construir tangentes a curvas e, na terceira, tratou da resoluc ao de equac oes de grau maior do que dois. Sao contribuic oes de Descartes a notac ao x2, x3, · para potencias, e a convenc ao de as primeiras letras do alfabeto significarem constantes e as ultimas significarem variaveis.

Rene Descartes, 1596-1650, Franca.

Rene Descartes estudou Lınguas, Historia, Poesia,

Teologia e Filosofia no Colegio La Fleche, uma das escolas de maior prestıgio da Europa.

Descartes obteve o diploma de

Direito, mas nao seguiu a carreira de jurista. Viveu 20 anos na Holanda e la se dedicou as areas da Filosofia,

Matematica e Ciencia e produziu varios trabalhos. Em 1637, publicou o tratado de

Filosofia Discurso do Metodo para Bem Conduzir a Razao e

Procurar a Verdade nas Ciencias. Este foi o seu trabalho mais famoso que tinha tres apendices: La Dioptrique, Les Meteores e La Geometrie.

O primeiro era dedicado a

Geometria.

Para informac oes sobre

Descartes consulte http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/

Mathematicians/Descartes. html

Fermat e Descartes “algebrizaram” a Geometria. A transic ao da Algebra para a Geometria e feita usando um sistema de coordenadas.

Na Aula 8, os numeros reais foram representados numa reta horizontal e orientada positivamente para a direita. Um ponto da reta foi escolhido como origem para representar o numero real 0, enquanto uma unidade foi escolhida para representar o numero real 1. Numeros reais positivos foram representados a direita da origem e numeros reais negativos a sua esquerda.

Para localizar pontos de um plano, construiremos um sistema de coordenadas retangulares, chamado tambem sistema de coordenadas cartesianas em alusao a Descartes. Veja como isto e feito:

1. Escolhemos um ponto no plano. Este ponto sera chamado de origem do sistema de coordenadas e designado com a letra O.

2. Tracamos duas retas perpendiculares passando pelo ponto O: a primeira horizontal e orientada para a direita, e a segunda vertical e

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 12

Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas orientada para cima. Estas retas serao os eixos coordenados do sistema.

Fig. 4: Construc ao do sistema de coordenadas.

3. Representamos a reta real em cada um dos eixos coordenados tomando a mesma unidade e colocando o numero real zero em O.

O eixo horizontal e chamado eixo x e o eixo vertical e chamado eixo y.

Seja P um ponto do plano.

A reta paralela ao eixo y passando pelo ponto P intersecta o eixo x num unico ponto A. Analogamente, a reta paralela ao eixo x passando pelo ponto P intersecta o eixo y num unico ponto B.

Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716, Alemanha.

As palavras coordenada, abcissa e ordenada foram contribuic oes de Leibniz, em 1692. Leibniz estudou Matematica e Fısica com Christian Huygens. E atribuıda a ele, junto com Isaac Newton, a criac ao do Calculo Diferencial e Integral. Para saber mais consulte: http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Leibniz. html

A coordenada x0 do ponto A na reta real representada no eixo x e chamada abcissa do ponto P. A coordenada y0 do ponto B na reta real representada no eixo y e chamada ordenada do ponto P.

Como os pontos A e B, nos eixos coordenados, estao associados ao ponto P de maneira unica (pois duas retas nao paralelas se intersectam num unico ponto, veja a Aula 1 de Geometria Basica), temos associado ao ponto P um unico par de numeros reais (x0,y0), sendo o primeiro a abcissa de P e o segundo a ordenada de P.

Fig. 5: Representacao do ponto P num sistema de coordenadas.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 13 CEDERJ

Sistema de Coordenadas Cartesianas

• os pontos do eixo x sao representados por (x,0),

Observe que os eixos coordenados dividem o plano em quatro subconjuntos disjuntos, chamados de primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes, numerados em algarismos romanos como na figura 6. Os eixos coordenados nao pertencem aos quadrantes.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 14

Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas

Definic ao 1 Dizemos que:

Lembre que
o sımbolo ⇐⇒ e lido: se, e

somente se.p ⇐⇒ q significa que as propriedades p e q sao equivalentes.

• os pontos dos eixos coordenados nao pertencem aos quadrantes do plano.

Fig. 7: Outro sistema de coordenadas.

Na construcao do sistema de coordenadas, consideramos os eixos coordenados horizontal e vertical apenas por conveniencia e porque a visualizac ao e mais clara, ja que os conceitos de direita, esquerda, para cima e para baixo estao bem entendidos no nosso cotidiano. Tambem podemos proceder de outra maneira: sejam r e s duas retas perpendiculares. O ponto de intersec ao destas retas e a origem O do sistema de coordenadas. Escolhemos uma das retas, digamos r, para ser o primeiro eixo das coordenadas onde fixamos uma orientac ao. O primeiro eixo, chamado eixo x, esta escolhido. O segundo eixo e a reta s. A orientac ao do segundo eixo e determinada pela rotac ao de 90o no sentido anti-horario da direc ao positiva do primeiro eixo. Deste modo, escolhido o eixo x com uma orientacao, ficam fixados o eixo y e os quadrantes, conforme a figura acima.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 15 CEDERJ

Sistema de Coordenadas Cartesianas Exemplo 4

Fig. 8: Sistema de coordenadas no plano inclinado.

Na pratica cotidiana, muitas vezes e mais conveniente escolher o sistema de coordenadas cartesianas com eixo x nao-horizontal.

Por exemplo, a figura 8 ao lado mostra o sistema de coordenadas usado para descrever o movimento de uma caixa retangular sobre um plano inclinado.

Resumo

Voce aprendeu a construir sistemas de coordenadas cartesianas no plano, a identificar pontos do plano com pares ordenados de numeros reais, a marcar pares ordenados no sistema de coordenadas, a comparar pares ordenados e localizar pontos nos quadrantes ou eixos coordenados.

Exercıcios

2. Identifique o quadrante em que esta cada um dos pontos do exercıcio anterior.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 16

Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas

(b) Desenhe a reta s passando por P e paralela ao eixo y. Marque

de um ponto qualquer de s.

(d) Desenhe a reta s passando por Q e paralela ao eixo y. Marque e Q2 estao situados sobre a reta s. Escreva as coordenadas (x,y) de um ponto qualquer de s.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 17 CEDERJ

Sistema de Coordenadas Cartesianas

7. No sistema de coordenadas do exercıcio anterior, represente:

(d) Escolha dois pontos quaisquer no item (a) e, com uma regua, trace a reta r que passa por esses pontos.

(e) Escolha dois pontos quaisquer no item (b) e, com uma regua, trace a reta s que passa por esses pontos.

(f) Escolha dois pontos quaisquer no item (c) e, com uma regua, trace a reta t que passa por esses pontos.

(g) O que voce observou nos tres itens anteriores? Escreva a propriedade.

Fig. 9: Mapa do Estado do Rio de Janeiro.

8. No mapa do Estado do Rio de Janeiro, consideramos o sistema de coordenadas com a origem O na cidade de Teresopolis, os eixos coordenados e a unidade conforme a figura 9.

(a) De as coordenadas das cidades de Campos dos Goytacazes, Macae, Valenca, Paracambi e Nova Iguacu.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 18

Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas

(b) De o nome de duas cidades que estejam em cada um dos quatro quadrantes do sistema de coordenadas.

(c) Suponha que a unidade no mapa da figura 9 corresponde a 25 quilometros. Determine a distancia entre as cidades do Rio de Janeiro e Campos dos Goytacazes.

Auto-avaliac ao

Se voce nao teve dificuldade para resolver os exercıcios 1, 2 e 3, parabens! Pode passar para a proxima Aula, mas nao deixe de resolver o exercıcio 8, pois ele relaciona os conceitos aprendidos com a pratica cotidiana. Os exercıcios 4, 5, e 7 sao uma motivac ao para o estudo da Aula 15.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 19 CEDERJ

Sistema de Coordenadas Cartesianas J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 20

Distancia entre pontos Curvas Planas

Aula 14: Distancia entre pontos

Objetivos

• Calcular a distancia entre pontos do plano dados por pares ordenados. • Aprender as propriedades da distancia entre pontos do plano.

• Calcular as coordenadas de pontos medios de segmentos do plano. Conceitos: Numeros reais, a reta real, desigualdades, distancias, valor absoluto e raiz quadrada.

Vamos aplicar o Teorema de Pitagoras para encontrar uma formula para calcular a distancia entre dois pontos do plano, em termos das suas coordenadas.

E bom lembrar que a distancia entre dois pontos A e B sobre a reta real e dada pelo valor absoluto da diferenca entre suas coordenadas. Isto e, se x0 e a coordenada de A e x1 e a coordenada de B, entao a distancia de A a B, que escrevemos d(A,B), e

Fig. 10: A distancia na reta real.

No exercıcio 6 da Aula 13, voce construiu um triangulo retangulo 4ABC. Verifique, no seu desenho, que a distancia entre os pontos A e C e 5. Este valor e, pelo Teorema de Pitagoras, a medida da hipotenusa do triangulo 4ABC.

(Parte 1 de 3)

Comentários