Pré-Cálculo - vol4

Pré-Cálculo - vol4

(Parte 1 de 9)

Pre-Calculo, Vol. 4: Func oes Reais de Variavel Real

Jorge J. Delgado – Maria Lucia Torres Villela IM-UFF 2007

Conteudo

§1. Func oes9
Aula 31: Princıpios para construir uma func ao1
Aula 32: Graficos de func oes reais de variavel real25
Aula 3: Domınios e operac oes com func oes39
Aula 34: Domınios e operac oes com func oes -continuac ao5
§2. Composic ao e func oes invertıveis69
Aula 35: A operac ao de composic ao71
Aula 36: Func oes invertıveis85
§3. Func oes Transcendentes97
Aula 37: Func oes trigonometricas9
Aula 38: Func oes trigonometricas - continuac ao115
Aula 39: Func oes trigonometricas inversas131
Aula 40: Func oes exponencial e logaritmo141
Aula 41: Func oes-aplicac oes155

4 Func oes reais de variavel real 7 5

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 6

Capıtulo 4 Func oes reais de variavel real

cujas letras podia ler sem esforco

A natureza era para ele um livro aberto,

Albert Einstein, falando sobre Isaac Newton R e f e r e n c i a s 1. Pre-Calculo Vols. 1, 2 e 3.

2. Spivak, M., Calculus. Ed. Reverte, 1970.

As func oes As funcoes sao fundamentais em todas as areas da Matematica. Dependendo do contexto em estudo, a func ao pode receber diversos nomes: homomorfismo, morfismo, transformac ao, operador, aplicac ao, homeomorfismo, homotopia, imersao, mergulho, movimento rıgido etc. A nossa natureza e mesmo descrita e modelada matematicamente segundo Sistemas Dinamicos envolvendo uma ou mais funcoes que descrevem trajetorias quando se trata de movimento, ou evolucao quando se trata de interac ao entre processos. Isto e, as funcoes tambem tem vida e sao os tijolos fundamentais com os quais os matematicos vem construindo e modelando o nosso mundo fisico.

Este e o volume final do Pre-Calculo. Aqui unificamos as noc oes e conceitos aprendidos nos volumes anteriores e apresentamos os fundamentos da teoria das func oes reais de variavel real.

Neste volume abordamos as funcoes por varios pontos de vista complementares: a sua descricao como conceito matematico, o seu estudo analıtico e a sua representac ao grafica. No entanto, desde ja devemos prestar atenc ao para o fato de que as func oes sao relac oes entre conjuntos, com propriedades bem determinadas. Seus graficos sao apenas representac oes visuais dessas relac oes. Em princıpio, estudaremos as func oes sob o ponto de vista mais geral possıvel, o das relac oes entre conjuntos. A nossa abordagem esta baseada em situacoes do cotidiano que voce certamente ja experimentou. Posteriormente, voltamos a nossa atenc ao para as func oes reais de variavel real. O estudo dessa classe de func oes e as suas propriedades e um dos principais objetivos da Teoria do Calculo.

Contudo, o enfoque moderno do conceito de funcao foi concebido gracas ao desenvolvimento da Teoria de Conjuntos por Cantor e Frege, no final do seculo XIX. Porem, segundo registros de papiros egıpcios, as func oes estao intimamente ligadas as origens da Matematica e tem apa-

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 7 CEDERJ recido direta ou indiretamente nos grandes passos do desenvolvimento da Ciencia.

Ao finalizar este volume voce tera familiaridade com as func oes reais de variavel real, sera capaz de fazer uma primeira analise grafica e estara apto para aprimorar o estudo dessa classe de func oes nas disciplinas de Calculo.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 8

Nesta secao, apresentamos os conceitos fundamentais da teoria das func oes reais de variavel real.

A sec ao e dividida em quatro aulas. Na primeira aula (Aula 31), apresentamos os princıpios para estabelecer uma relac ao funcional, motivando a nossa explanac ao com situac oes do nosso cotidiano.

Na segunda aula (Aula 32), abordamos a nocao de funcao real de variavel real e a sua representac ao grafica, acompanhada de uma serie de exemplos interessantes. Alem disso, tratamos da importante questao de determinar quando um grafico no plano representa uma funcao ou nao.

Na Aula 3, aprenderemos a construir func oes, a partir de func oes conhecidas, usando as operac oes de adic ao e multiplicac ao definidas no conjunto dos numeros reais. Daremos enfase as func oes definidas por polinomios com coeficientes reais, estudados no Vol. 3.

Finalmente, na Aula 34, aprenderemos a analisar func oes definidas por formulas matematicas.

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 9 CEDERJ

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 10 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 10

Princıpios para construir uma func ao Funcoes Reais

Aula 31: Princıpios para construir uma func ao

Objetivos • Entender a noc ao de func ao.

• Modelar situac oes do cotidiano com func oes.

• Compreender os elementos necessarios para definir uma funcao.

• Definir a noc ao de func ao real de variavel real e definir o seu grafico.

Se voce parar e prestar atenc ao no mundo que o cerca ira descobrir muitas relac oes de associac ao e correspondencia. Tambem podera perceber que muitas situacoes, fatos e acontecimentos dependem, ou sao consequencia, de outros.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1 Se voce viajar de onibus da cidade de Campos para o Rio de Janeiro, comprara um bilhete na rodoviaria para embarcar num determinado onibus. Eis a primeira associac ao: a voce, como viajante, foi designado um onibus, dentre todos aqueles que compoem a frota da companhia escolhida para realizar a viagem. O bilhete que voce comprara possui um determinado codigo, indicando exatamente qual o lugar que voce devera ocupar dentro do onibus. Eis outra associac ao: a voce, como passageiro, foi designada uma dentre as varias poltronas do onibus. Qualquer outro passageiro tera de ocupar outra poltrona, que tambem lhe sera designada no momento de comprar o bilhete.

Alias... Use os seus conhecimentos sobre a Teoria da Contagem para determinar o numero de possibilidades que uma placa pode ter, sabendo que o seu codigo e formado por 3 letras e 4 algarismos.

Exemplo 2 Por falar em onibus, sabe-se que cada veıculo automotor, seja onibus, automovel etc., possui um determinado codigo que o identifica e diferencia de outros similares a ele. Esse codigo, formado, em geral, por letras e numeros, e gravado numa placa metalica colocada na frente e na traseira dos veıculos.

Exemplo 3 O que significa contar os elementos de um conjunto finito?

A contagem e tambem uma associacao, que a cada conjunto finito faz

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 1 CEDERJ

Princıpios para construir uma func ao

corresponder um unico numero natural. Veja que um conjunto com cinco laranjas e um outro com cinco peras tem associado o mesmo numero natural, o numero cinco.

Alem disso, observe que um conjunto finito dado nao pode ser associado a dois numeros naturais distintos!

Exemplo 4 Voce e um ser unico! De fato, a natureza, para distingui-lo dentre todos os outros seres humanos, associou-lhe um codigo genetico, descrito pela cadeia de DNA (acido desoxirribonucleico) do seu organismo. Assim, a natureza faz uma associacao que a cada um dos seres humanos faz corresponder um unico codigo genetico. Observe que existem codigos geneticos que ainda nao estao associados a ser humano algum. Contudo, as ultimas descobertas da Engenharia Genetica indicam que, num futuro nao muito distante, poderemos ter dois seres humanos compartilhando o

mesmo codigo genetico.Fig. 1: Formacao do DNA.

Fig. 2: Papiro de Moscou.

Trecho do papiro de Moscou, traduzido em hieroglifos, onde se mostra o calculo do volume do tronco de piramide. Este papiro data de 1850 a.C. e encontra-se em exibicao no Museu de Moscou de Finas Artes. Veja mais sobre a Matematica contida nos papiros egıpcios em http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ HistTopics/ Egyptian papyri.html

Exemplo 5 Na Aula 1 falamos sobre o papiro de Ahmes. Pois bem, os egıpcios desenvolveram metodos e tabelas para determinar o quadrado de uma quantidade numerica, a area de regioes retangulares e de sec oes circulares e volumes de paralelepıpedos e cilindros.

Fig. 3: Volume de um tronco de piramide.

Falemos agora de outro papiro que data da mesma epoca que o papiro de Ahmes, o papiro de Moscou. Este papiro descreve o procedimento usado pelos egıpcios para calcular o volume de um tronco de piramide de base quadrangular. Esse procedimento faz corresponder a um tronco de piramide exatamente um numero real nao-negativo, o seu volume.

Mais precisamente, dadas as medidas a = lado da base inferior, b = lado da base superior e h = altura, os egıpcios descreveram o volume da piramide pela relac ao:

J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 12

Princıpios para construir uma func ao Funcoes Reais

(Parte 1 de 9)

Comentários