COMO RESOLVER PROBLEMAS v3

COMO RESOLVER PROBLEMAS v3

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Faculdade de Ciências Exatas e Naturais – FANAT Departamento de Matemática e Estatística - DME

Francisco André de Oliveira Neto Mossoró-RN/2012.1

A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS1 Francisco André de Oliveira Neto2

Vivemos em mundo onde a resolução de problemas é uma atividade do cotidiano. É uma tarefa tão rotineira que muitas vezes não nos damos conta do que estamos fazendo: seja dando ou recebendo o troco na padaria ou no ônibus seja tendo que decidir qual refrigerante é o mais barato quando tem volumes diferentes ou ainda optar por duas vestimentas diferentes e com preços diferentes. São situações problemas que enfrentamos no dia a dia sem nos dar conta do que estamos fazendo.

Hoje as nossas crianças estão resolvendo problemas que no passado, muitos só aprenderiam quando adultos e que hoje muitos adultos não entendem nada. Resolver problemas é um esporte-arte, onde o atleta precisa ser artista e o artista precisa ser atleta. O condicionamento físico de um atleta é diretamente proporcional ao seu tempo de treino e da mesma forma, a habilidade do artista é diretamente proporcional ao tempo que dedica ao desenvolvimento da sua arte.

Embora os problemas com os quais entramos em contato na nossa vida cotidiana não sejam todos matemáticos ou lógicos, são de suma importância para o desenvolvimento da humanidade, e essa é a razão pela qual vamos nos deter só a eles.

A importância do tema não está tanto no conhecimento matemático em geral, mas nas possibilidades que advém da sua utilização. Não desejamos formar autômatos, nem tampouco máquinas burras de calcular. Queremos formar cidadãos que utilize racionalmente seus cérebros na solução eficaz de problemas matemáticos.

Para atingirmos esse objetivo, temos de nos desfazer de algumas crenças tais como: a) Para resolver problemas é preciso que as crianças sejam leitoras. b) Para resolver problemas, as crianças precisam antes ter algum conhecimento sobre operações e sinais matemáticos. c) o aluno nada sabe; o papel do professor é “enchê-lo” de conhecimentos, apropriados de forma acrítica.

1 Artigo submetido em agosto/2012 ao orientador Ms. Enio Virgílio de Oliveira Matias como requisito parcial para o estágio curricular do curso de licenciatura em matemática. 2 Aluno concluinte do curso de licenciatura em matemática na UERN.

Foi para auxiliar nesse debate que surgiu os parâmetros curriculares de matemática visando a construção de um referencial com vistas a orientar a prática escolar e conseqüentemente a produção de livros didáticos. A matemática deve ajudar na formação de cidadãos através de metodologias que enfatizem a construção de estratégias.

Uma pergunta é imperativa: quando se deve estimular o ser humano a resolver problemas? Kátia Cristina e Maria Diniz afirmam que “Para desenvolver as habilidades em resolução de problemas, é necessário que, desde o início da escolaridade, as crianças sejam desafiadas a buscar respostas para situações especialmente planejadas para isso”.(SMOLE, 1999)

Quando isso não acontece, o resultado é desastroso pois a resolução de problemas constitui, então, uma tarefa difícil e mal compreendida pelos alunos. Quando pensamos nas nossas crianças, idealizamos um futuro brilhante, uma carreira de sucesso, etc., esses sonhos muitas vezes estão fadados ao fracasso porque o sucesso futuro das crianças em resolver problemas depende diretamente de suas experiências iniciais.

É com muita propriedade que Kátia Cristina e Maria Diniz afirmam:

...resolver problemas na educação infantil é um espaço para comunicar idéias, para fazer colocações, investigar relações, adquirir confiança em suas capacidades de aprendizagem, é um momento para desenvolver noções, procedimentos e atitudes frente ao conhecimento matemático. Uma abordagem através de resolução de problemas auxilia os alunos a dar sentido aos conceitos, habilidades e relações que são essenciais no currículo de matemática para crianças na educação infantil.(SMOLE, 1999)

Antes de a criança adquirir a destreza para resolver problemas, ela deverá adquirir confiança na sua capacidade de raciocinar, de buscar soluções próprias e muitas vezes não convencionais. Por outro lado, os problemas devem ser apresentados de forma gradual para não desanimar o aluno devido a sua inabilidade em resolvê-los.

Hoje muitas escolas, livros didáticos e professores tratam a resolução de problemas matemáticos como um exercício de repetição mecânica. A escola com uma visão estreita, buscando resultados imediatos se utilizam de algoritmos complexos, não geométricos e que requer um nível de abstração bastante elevado, o que faz com que o aluno decore as passagens sem contudo entender o que está fazendo. Os livros didáticos por sua vez, parecem cópias de outros autores pois não apresentam inovações substanciais.

É impossível desenvolver habilidades para a solução de problemas sem conhecer a sua gênese. Por que os números existem? Por que precisamos de apenas 10 algarismos para representar todos os números? Por que a subtração é uma soma? Como construir um triângulo eqüilátero utilizando régua e compasso? Qual a relação entre a matemática e a agricultura? O que representa o teorema de Pitágoras? Onde usa-lo? Seria possível construir alguma máquina sem partes curcunferenciais? Existe alguma relação entre a matemática e a medicina?

Diante de tantas perguntas, ensinar matemática sem a devida contextualização histórica é como matar a sede tomando soro fisiológico, abusa mais o principal não faz: matar a sede!

O professor é o fio condutor que irá levar o aluno de um estágio incipiente de desenvolvimento lógico-matemático até um estágio mais avançado. É preciso ser sensível, amigo, leal, confiável. Deve ser aberto ao diálogo e analisar as descobertas feitas pelos seus alunos como se todas fossem uma grande novidade. Atitudes irresponsáveis como afirmar que: um problema tem sempre uma só solução ou há uma única maneira de responder e ela será dada na correção, são exemplos de aberrações que o mestre não deve jamais proferir. O aluno não pode passar a vida toda desenhando uma rosa vermelha com caule verde3 por que é assim que o professor quer que ele faça.

Acreditamos que a resolução de problemas é uma forma de desenvolver o trabalho em classe, é uma perspectiva metodológica através da qual os alunos são envolvidos a fazer matemática, isto é, eles se tornam capaz de formular e resolver por si questões matemáticas e, através da possibilidade de questionar e levantar hipóteses, adquirem, relacionam e aplicam conceitos matemáticos.(SMOLE, 1999)

Diante dessa afirmação, é condição precípua uma mudança de postura do professor, um trabalho planejado e que utilize uma gama muito grande de fontes de problematização. Deve lançar mão de todos os recursos à sua disposição para ensinar seus alunos com brincadeiras, jogos, artesanatos, etc. Para alcançar esse objetivo, o professor precisa ter um conhecimento sólido dos conceitos e procedimentos inerentes a tarefa de mediar o ensino da matemática.

3 Referência a um texto de criatividade de autor desconhecido onde um aluno que gostava de desenhar e tinha habilidade para tal, é condicionado a desenhar somente e da mesma forma tudo o que a sua professora fazia. Quando em outra escola lhe é pedido para desenhar alguma coisa ele desenha exatamente uma rosa vermelha de caule verde que a sua primeira professora o condicionou a desenhar.

Obviamente, nem todo problema permite um trabalho interessante com os alunos. Se por um lado alguns são simples demais, por outro lado muitos são complicados a ponto de ser inviável a sua utilização. Experimentando uma grande variedade de problemas, sempre com a preocupação de levar os alunos a raciocinarem, o professor vai selecionando os melhores e descobrindo a melhor forma de trabalhá-los com os alunos.

A escola deve ter sua razão de existir única e exclusivamente na formação de cidadãos. Ela deve preparar o aluno para vencer as dificuldades que sobrevirão formando seres pensantes e não autômatos.

incentivar a resolução de problemasetc.

Uma metodologia de trabalho deve ser eleita, seja ela construtivista ou não, de modo a balizar todas as ações posteriores. Diante disso, é dever da escola: a) selecionar bem aqueles que irão, literalmente, ensinar os alunos a pensar. b) preparar as salas de aula de forma a comportar a quantidade de alunos prevista de forma racional. c) dispor de bibliotecas e laboratórios d) escolher os livros didáticos adotados de forma a

A escola precisa encontrar o equilíbrio entre a rigidez comportamental e a liberdade criativa do aluno.

O livro didático deve ser fartamente ilustrado, aproximando os problemas teóricos das situações vividas no cotidiano. Quando trabalhando com a geometria, deve incentivar, por exemplo, a identificação das formas geométricas nos diversos ambientes em que os alunos possam ir. O parque de diversões é cheio de formas geométricas, o automóvel, as pessoas, o giz, o lápis, etc. É possível aplicar conceitos de semelhança, simetria, paralelismo pensando em conceitos geométricos, ou de distância e velocidade entrando pela física, coleta de dados e tabulação de forma estatística, entre outras possibilidades.

Torna-se imprescindível trazer a história dos problemas da humanidade e que desembocou no desenvolvimento da matemática. A história dos números, da medida, da geometria e de como se resolvia problemas práticos na antiguidade. Vários problemas devem ser resolvidos na prática, com as mesmas ferramentas que se utilizava a dois mil anos atrás.

Um bom livro didático deve mostrar diversas formas de se resolver um mesmo problema, contrariando a crença de que existe uma única maneira de se chegar à solução.

O aluno, como centro das atenções pedagógicas, deve estar motivado a aprender.

Deve sentir-se seguro na escola e livre para expressar seus pensamentos. A sua capacidade para compreender e solucionar problemas deve ser testada e aperfeiçoada. Contudo, o aluno precisa se esforçar bastante participando das aulas a fim de absorver as explicações do professor. Uma boa dose de leitura é indispensável, assim como a resolução dos exercícios propostos nos livros didáticos ou os trazidos pelo professor. Ele não deve jamais se envergonhar de perguntar, tirar dúvidas, etc. não existe ocasião mais propicia para se perguntar do que o momento da dúvida.

A família como maior agente socializante, também desempenha importante papel na formação de seus filhos. É ela quem vai influenciar de forma incisiva os padrões de comportamento que são habituais e aceitáveis nos seus grupos sociais. É o primeiro agente formador e os seus ensinos, formas de pensar, etc., irão perdurar por muito tempo no comportamento do individuo.

De maneira geral, pais tolerantes que recompensam e encorajam a conduta independente e a curiosidade, terão filhos mais ativos, confiantes em si mesmos, com desejos de domínio sobre o meio. Em contraste, pais que restringem a atividade exploratória e liberdade de movimentos de seus filhos, ou para superprotegê-los ou apenas para conseguir manter o controle sobre eles, terão filhos submissos, retraídos nas situações sociais e sem confiança em si próprios. (PISANI, 1990)

A família precisa encontrar o equilíbrio de forma a estimular seus membros a pensarem por si próprios, a efetuarem as suas próprias descobertas e desfrutar do sabor da superação dos seus “limites”.

Acreditamos que a metodologia proposta por (POLYA, 1978) é a que melhor concebe a filosofia de resolução de problemas. Para ele, compreender um problema significava perceber as dificuldades que ele traz e ter vontade de superá-las. Os passos sugeridos são os seguintes:

Compreender o problema

I. Qual é a incógnita? I. Quais são os dados que se está usando como ponto de partida? I. Qual a condição? É suficiente para determinar a incógnita? É redundante? Contraditória?

IV. Qual é a dificuldade do problema?

Conceber um plano a.) Já encontrou um problema semelhante? Ou já viu o mesmo problema proposto de maneira diferente? b.) Conhece um problema relacionado como este? Conhece algum teorema que possa lhe ser útil? c.) Olhe a incógnita com atenção e tente lembrar um problema que lhe seja familiar ou que tenha a mesma incógnita, ou uma incógnita similar. Este é um problema relacionado com o seu e que já foi resolvido. Você poderia utiliza-lo? Poderia usar o resultado? Poderia empregar o seu método? Considera que seria necessário introduzir algum elemento auxiliar para poder utiliza-lo? d.) Poderia enunciar o problema de outra forma? Poderia apresenta-lo de forma diferente novamente? e.) Modifique o formato da proposição do problema, use gráficos, desenhos, etc.

Executar o plano a.) Ao executar o seu plano de resolução, comprove cada um dos passos b.) Pode ver claramente que o passo é correto? Pode demonstra-lo?

Visão retrospectiva a.) Pode verificar o resultado? Pode verificar o raciocínio? b.) Pode obter o resultado de forma diferente? Pode Vê-lo com apenas uma olhada? Você pode empregar o resultado ou o método em algum outro problema?

Seja resolver o seguinte problema:

O produto da minha idade pela idade da minha esposa e a dos meus três filhos é um número de 6 dígitos que pode ser escrito colocando a minha idade lado a lado três vezes. Qual a idade da minha esposa e dos meus três filhos?

Analisando o problema, constatamos que existem cinco incógnitas e o resultado do produto das idades não é dado. Se chamarmos de uzwyx,,,, respectivamente as idades, teremos a seguinte equação: ??? uzwyx. Aqui nos deparamos com uma grande dificuldade: quanto vale o produto? O enunciado diz apenas que é um número de 6 dígitos – logo a minha idade é um número de dois dígitos e está compreendida entre 10 e 9 - e que deve ser colocada lado a lado três vezes. É óbvio que podemos testar as 89 possibilidades e sairmos efetuando os cálculos.

Raciocinemos: se não é pedida a minha idade, ela é realmente importante para a solução do problema? Vejamos o seguinte: o resultado (ou produto) é a minha idade colocada lado a lado três vezes. Então se eu tiver 45 anos por exemplo, o número de 6 dígitos será 454545, se for 56 o número de 6 dígitos será 565656.

Lembrando que a minha idade não é pedida, o que será que acontece se eu dividir o produto de 6 dígitos pela minha idade?

resolvido, pois agora eu sei quanto vale o produto das idades da mulher e dos filhos.

Cuidado, é preciso ter certeza de que o resultado vale para as 89 possibilidades.

Como provar isso? Façamos o mesmo raciocínio de maneira geral e tentemos provar que

10101 x x. Podemos enxergar o produto como sendo x e enxergá-lo observando que cada x cresce, da direita para a esquerda, em uma base 100. Aplicando as

como queríamos demonstrar.

Agora já possuímos um número que representa o produto das idades da minha mulher e dos três filhos ou seja: 10101 uzwy e sabemos que isso é verdade qualquer que seja a minha idade. Uma outra dificuldade se nos interpõe agora: como obter as idades pedidas se temos apenas uma equação? O problema tem solução? Se tiver solução, é única?

É obvio que existem infinitas possibilidades de quatro números multiplicados entre si darem 10101, contudo procuramos uma solução particular. Essa solução, se existir, seria composta de quatro números inteiros. Podemos tentar achar todos os divisores de 10101 e verificar as possibilidades.

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