mapa quadrático e mapa do círculo

mapa quadrático e mapa do círculo

Terceiro relatorio de Introducao ao Caos

Miguel Mendes Ruiz Instituto de Fısica

Universidade de Sao Paulo migmruiz@gmail.com

7 de dezembro de 2010

Mapa quadratico A equacao para o mapa quadratico e dada por:

1. Modifique o programa da atividade 57 (itera) para visualizar a evolucao do mapa quadratico. Confira o comportamento no intervalo C ∈ [−0.25 2].

programas/iteraMapQuad.m function iteraMapQuad(x0 , c , N) % function iteramaplog (x0 , c , N)

% chama e limpa a figura figure (1); c l f ; hold on ;

% solucao iterada x=mapQuad(x0 , c , N); plot (diag , diag , diag , parab ); %retax , retay , ’k ’

(i) C = 1.75 (j) C = 2 Figura 1: Evolucao do mapa quadratico.

programas/mapQuad.m function x=mapQuad(x0 , c , N) % function q=mapQuad(x0 , c , N)

programas/chamaIteraMapQuad.m

Utilizando os codigos anteriores chego a figura 1.

2. Construa o diagrama de bifurcacao em funcao de C no intervalo de −0.25 a 2: Sugestao: Modifique o programa feito para o mapa logıstico.

Figura 2: Diagrama de bifurcacoes do mapa quadratico. 3 programas/bifMapQuad.m function bifMapQuad(cmin , cmax, N, transiente ) %function bifMapQuad(cmin , cmax, N, transiente )

% chama e limpa a figura figure (1); hold off ; c l f ;

% condicoes iniciais x=zeros(N, 1); c=linspace(cmin , cmax, N);

hold off end programas/chamaBifMapQuad.m

print( ’−dpng ’ , ’/ figuras /bifurcaMapQuad . png ’ );

3. Obtenha os pontos fixos resolvendo a equacao x∗ = f(x∗), e plote-os em funcao de C.

O diagrama dos pontos fixos em funcao de C esta apresentado na figura 3.

programas/chamaBifFixMapQuad.m

print( ’−dpng ’ , ’/ figuras /bifurcaFixMapQuad . png ’ );

Figura 3: Diagrama de bifurcacoes dos pontos fixos do mapa quadratico.

programas/bifFixMapQuad.m function bifFixMapQuad(cmin , cmax, N, transiente ) %function bifFixMapQuad(cmin , cmax, N, transiente )

% chama e limpa a figura figure (1); hold off ; c l f ;

hold off end

4. Estude a estabilidade destes pontos em funcao de C.

Sabe-se que: df

ambos sao instaveis.

e entao x∗+ (em vermelho na figura 3) e um ponto fixo estavel. Ja x∗− (em azul e pontilhado na figura 3) e

e entao x∗+ (em vermelho na figura 3) e um ponto fixo estavel. Ja x∗− (em azul e pontilhado na figura 3) e

ambos sao instaveis. 5. Refaca o diagrama de bifurcacoes, plote simultaneamente o ponto fixo instavel e o expoente de Lyapunov.

Diagrama refeito na figura 4.

programas/chamaBifLyapMapQuad.m

Figura 4: Diagrama de bifurcacoes com os pontos fixos instaveis e expoente de lyapunov do mapa quadratico.

programas/bifLyapMapQuad.m function bifLyapMapQuad(cmin , cmax, N, transiente ) %function bifLyapMapQuad(cmin , cmax, N, transiente )

% chama e limpa a figura figure (1); hold off ; c l f ;

% condicoes iniciais x=zeros(N, 1); c=linspace(cmin , cmax, N);

end; lam=lyapMapQuad(cmin ,cmax,N,N, x0 );

hold off end

6. Verifique numericamente que a bacia de atracao e dada pelo valor absoluto do ponto fixo instavel.

programas/quad.m

programas/chamaQuad.m clear ;

tempoIntegra=500;

end; end; tempoPassado=toc ; save( ’−a s c i i ’ , ’demoraQuad . txt ’ , ’tempoPassado ’ );

7. Faca uma mudanca de variavel y = ax + b e mostre que o mapa quadratico pode ser obtido do mapa logıstico.

que identificando p 2 p2 − 1) com C e a equacao do mapa quadratico.

Mapa do cırculo O mapa do cırculo bidimensional e dado por:

onde Ω e a relacao entre as frequencias dos dois osciladores quando desacoplados, b e um fator de dissipacao ou de amortecimento, e K e a intensidade do acoplamento, e sera usado como parametro de controle, e (mod 1) significa que devemos pegar so a parte fracionaria de x e y. Para b = 0.1 :

1. Escreva um programa para obter os atratores do mapa do cırculo, plotando yn vs. xn.

2. Construa os mapas de primeiro retorno yn+1 vs. yn e xn+1 vs. xn para Ω obtido da seguinte maneira: U=ultimo algarismo do seu numero USP e n = 0.1,0.6 e 0.9 e Ω = U + n. (exemplo: se o seu numero

programas/bifMapCirc.m function bifMapCirc (kmin , kmax, omega , N, transiente ) %function bifMapCirc(kmin , kmax, omega , N, transiente )

% chama e limpa a figura figure (1); hold off ; c l f ;

hold off end programas/chamaBifMapCirc.m

print ( ’−dpng ’ ,[ ’/ figuras /bifurcaMapCircOmega ’ omegastr ’ . png ’ ] ) ;

Referencias [1] Jose Carlos Sartorelli. Introducao ao Caos. IFUSP, Agosto de 2009.

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