Baixe Resistência dos Materiais - Beer e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof.: J. E. Guimarães Revisão 7 20/01/08 2 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Revisão de Matemática Faremos aqui uma pequena revisão de matemática necessária à nossa matéria, e sem a qual poderemos ter dificuldades em apreender os conceitos básicos e trabalhar com eles. Operações com Frações Decimais São chamadas frações decimais aos números onde utilizamos uma vírgula para separar a parte inteira da parte menor que a inteira, tais como nos exemplos: 0,1 - 0,005 - 8,5 - etc. Quando operamos com números, dividindo ou multiplicando por dez ou seus exponenciais basta deslocar a vírgula do número de casas quantas forem os zeros do número divisor ou multiplicador. Quando dividimos deslocamos a vírgula para a esquerda e quando multiplicamos deslocamos a vírgula para a direita. Exemplo: se quisermos dividir o número 6 por 10 basta verificar onde está a vírgula do número 6 e então deslocamos essa vírgula uma casa para a esquerda. A vírgula do 6 está assim colocada 6, ou então 6,0 Para dividirmos o 6 por 10 deslocamos esta vírgula de uma casa para a esquerda, temos então: 6 ÷ 10 = 0,6 ou 6 ÷ 100 = 0,06 ou ainda 6,5 ÷ 100 = 0,065 Para multiplicarmos o número 8 por 10 temos: 8 × 10 = 80 ou 8 × 100 = 800 ou ainda 8,75 × 1000 = 8750 Os números decimais são muito utilizados em nosso dia a dia em nossas contas e especialmente nas nossas medidas. Unidades de medidas. A unidade de medida de extensão é o metro e seus múltiplos e submúltiplos. mm - 0,001 m - milímetro cm - 0,01 m - centímetro dm - 0,1 m - decímetro m - 1 m - metro dam - 10 m - decâmetro hm - 100 m - hectômetro km - 1000 m - quilômetro 5 a – hipotenusa a b – cateto oposto ao ângulo α c – cateto adjacente ao ângulo α b Chamamos seno de um ângulo a relação ângulo α entre o cateto que lhe é oposto e a hipotenusa Assim, no triângulo ao lado, o seno de α é c dado por sen α = b/a E chamamos de co-seno, a relação entre o cateto que lhe é adjacente e a hipotenusa. Assim, no triângulo anterior, o co-seno do ângulo α é dado por cós α = c/a ângulo seno coseno 0º 0 1 30º 0,5 0,87 45º 0,74 0,74 60º 0,87 0,5 90º 1 0 Exemplo. Temos um triângulo retângulo com hipotenusa de 12 cm e um dos ângulos agudos vale 30º. Qual o comprimento do cateto oposto a esse ângulo? Resposta. Como sabemos que o seno de um ângulo é dada pela dimensão do cateto que lhe é oposto dividida pela dimensão da hipotenusa temos: Seno de 30º = 0,5 ( da tabela ) Seno de 30º do nosso triângulo = dimensão do cateto oposto / 12 Como os dois senos são iguais, por serem senos de 30º podemos escrever: 0,5 = dim. do cateto oposto / 12 0,5 x 12 = dim. do cateto oposto dimensão do cateto oposto = 6 cm Revisão de Física Faremos agora uma pequena revisão de alguns conceitos de Estática Força – O conceito de força é primitivo. Nós o adquirimos através da sensação de esforço muscular. Fisicamente, Força é toda causa capaz de produzir em um corpo uma modificação de movimento ou uma deformação. F = m.a sendo: F – força m – massa a – aceleração 6 Um tipo de força muito comum é o peso. Peso de um corpo é a força com que a Terra (planeta) o atrai. P = m.g sendo “g” a aceleração da gravidade terrestre. Para definirmos força necessitamos de três parâmetros. 1 ) O módulo ( que o número que nos dá o valor da força ) 2 ) A direção na qual está atuando a força. Ex.: horizontal, vertical, etc. 3 ) O sentido no qual está atuando a força. Ex.: para baixo, para cima, para a direita, etc. Assim, dizemos que força é uma grandeza vetorial porque para ser definida precisamos mencionar o seu módulo, sua direção e seu sentido. Composição de Forças Para fazer a composição de forças temos que levar em conta, sempre, os três parâmetros que as formam. Duas forças com mesma direção e sentido se somam F1 F2 Resultante Duas forças com mesma direção mas com sentidos contrários se diminuem e terá resultante na direção da maior. F1 F2 Resultante Duas forças em direções e sentidos diversos podem ser compostas pela regra do paralelogramo F1 F1 Resultante F2 F2 7 Decomposição de Forças Da mesma forma que podemos fazer a composição de forças, podemos, a partir de uma força, obter duas ou mais componentes dessa força. Ex. F1 F1y F1 F1x Obtemos então duas componentes F1y e F1x que se forem compostas segundo a regra anteriormente apresentada torna-se a própria força F1 Decomposição de Forças segundo os eixos ortogonais x e y Neste trabalho utilizaremos dois eixos ortogonais ( dois eixos que formam 90º entre si. Estes eixos são assim escolhidos para facilitar os cálculos ) y 0 x Esses dois eixos são ferramentas de trabalho que nos facilitará na decomposição de forças. No ponto zero dos nossos eixo colocaremos a força que queremos decompor. y F1 F1y ângulo α 0 F1x x 10 Resolvendo Problemas Utilizando Decomposição de Forças e Momento de Força Para resolvermos esses problemas utilizaremos das leis da Estática que nos fala sobre equilíbrio de um corpo. Segundo a primeira lei de Newton um corpo está em equilíbrio quando: 1) a resultante das forças que atuam sobre ele é nula 2) o momento resultante dos momentos que atuam sobre ele em relação a qualquer ponto, é nulo. A Estática, que é a parte da Mecânica que aqui estudaremos, estuda os corpos em equilíbrio. Equilíbrio de Um Ponto Material Inicialmente calcularemos o equilíbrio de um ponto material. Como um ponto não tem dimensão, nele não atuam momentos porque , como vimos anteriormente, para que uma força produza momento temos que ter uma distância entre o ponto de referência e o ponto da atuação da força. Então, utilizemos os dois princípios de equilíbrio. 1o princípio ( utilizaremos a decomposição de forças nos eixos x e y ). Portanto: ΣFX = 0 ΣFY = 0 Exercícios Resolvidos 1) Decompor a força F = 2000 N, em duas componentes, nos eixo x e y, conforme o esquema abaixo: y seno 30° = 0,50 co-seno 30° = 0,87 seno 60° = 0,87 Fy F co-seno 60° = 0,50 Respostas Fx = 100 N Fy = 174 N 30° Fx x 11 2) Calcular as forças atuantes nos cabos 1 e 2 do esquema abaixo sabendo que o peso de 1000 N está em equilíbrio. Colocamos o esquema nos eixos x e y y ângulo 30o cabo 1 cabo 2 solução F2 F1 ângulo 60o Peso 1000 N x 1000 N Fazemos a decomposição das forças nos eixos x e y y F2y F2 F1 F1y 30o 60o F1x F2x x 1000 N Com esse procedimento geramos as componentes F1x e F1y as componentes F2x e F2y. Para termos equilíbrio é necessário que: ΣFx = 0 temos que somar as forças do eixo x e igualar a zero ΣFx = - F1x + F2x = 0 mas F1x = F1 . sen 60o F2x = F2 . sen 30o temos - F1 . sen 60o + F2 . sen 30o =0 donde - F1 . 0,87 + F2 . 0,5 = 0 - 0,87F1 = - 0,5 F2 F1 = 0,5 F2 / 0,87 ou F1 = 0,57 F2 Agora fazemos ΣFy = 0 F1 . cos 60o + F2 . cos 30o – 1000 = 0 F1 . 0,5 + F2 . 0,87 =1000 0,5 F1 + 0,87 F2 = 1000 12 como F1 = 0,5 F2 / 0,87 fazemos a substituição: 0,5 ( 0,57 F2 ) + 0,87 F2 = 1000 0,285 F2 + 0,87 F2 = 1000 1,155 F2 = 1000 F2 = 1000 / 1,155 F2 = 866 N Daí resulta que F1 = 0,57 F2 então F1 = 0,57 x 866 F1 = 494 N Resultado: a força atuante no cabo 1 vale 494 N a força atuante no cabo 2 vale 866 N Exercícios Propostos 1) Calcule as forças F1 e F2 no esquema abaixo. 60° F2 F1 20 000 N Resp F1 = 11 628 N F2 = 23 256 N 2) Calcule a Força F1, no esquema abaixo. 1 000 N 1 000 N 120° 120° F1 Resp. F1 = 1 000 N 15 ΣMA = 0 400 . 2 + 600 . 7 – RB .10 = 0 800 + 4200 = 10 RB 10 RB = 5000 RB = 5000 / 10 RB = 500 N Podemos ainda, como forma de verificação, aplicar o ΣFy = 0 então RA + RB - 400 - 600 = 0 500 + 500 - 400 – 600 = 0 1000 – 1000 = 0 Conclusão RA = 500 N RB = 500 N Exercícios Propostos Calcule as reações RB e RB nos esquemas abaixo: 1) 5 000 N A B 2 m 3 m Resp. RA = 3 000 N RB = 2 000 N 16 2) 6 000 N 8 000 N A B 2 m 5 m 3 m Resposta 7 200 N 6 800 N 3) 2 000 N 8 000 N A B 2 m 1 m 3 m Resposta 7 333 N 17 333 N 17 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS O objetivo principal deste trabalho é estudar os conceitos básicos dos esforços internos correspondentes aos esforços externos que são aplicados aos materiais de uma forma geral. Conhecemos da Física Clássica ( Mecânica ) as maneiras de calcular esses esforços externos. Vejamos então que esforços são introduzidos ao interior de uma peça quando sobre ela atua um esforço seja de tração, de compressão, de cisalhamento, etc. Consideremos uma barra prismática, de seção constante ao longo do seu comprimento, sob a ação de duas forças que atuam segundo o seu eixo longitudinal. Diremos que a barra estará sob tração se as forças iguais e opostas estiverem dirigidas para o exterior da barra e estará sob compressão se essas duas forças estiverem dirigidas para o interior da barra. Verificando as figuras anteriores e se considerarmos como sendo essas barras feitas de material homogêneo podemos afirmar que os esforços externos geram esforços internos, distribuídos de maneira uniforme. Assim podemos considerar que, se isolarmos qualquer unidade formadora da peça, ela pode ser analisada como uma peça isolada, que está submetida a esforços externos semelhantes a nossa peça anteriormente considerada. Podemos então calcular o esforço “ f “ a que está submetido o elemento em destaque no desenho abaixo, como sendo: f = F / n onde f – esforço a que está submetido o elemento que destacamos F - a força total a que está submetida a peça n - o número de elementos formadores daquela parte da peça 20 Exercícios Resolvidos 1) Calcule a deformação elástica que acontece em um tirante que está submetido a uma força de tração de 8 000 N. O tirante tem seção circular constante cujo diâmetro vale 6 mm, seu comprimento é 0,3 m e seu material tem módulo de elasticidade valendo 2,1 x 105 N / mm2. F F= 8 000 N E = 2,1 x 105 N/mm2 0,3 m l = 300 mm A = π.d2 / 4 = 3,14 x 62 / 4 = 28,26 mm2 Δl = 8 000 x 300 / 210 000 x 28,26 Resposta: Δl = 0,4 mm 2) No esquema abaixo desejamos calcular o alongamento elástico do cabo de aço que está sob tração. O comprimento do cabo é de 2 metros, o material do cabo tem módulo de elasticidade 2,1 x 105 N /mm2 e o diâmetro desse mesmo cabo é de 20 mm. 10 000 N 10 000 N F = 10 000 N E = 2,1 x 105 N/mm2 l = 2 000 mm A = π.d2 / 4 = 3,14 x 202 / 4 = 314 mm2 Δl = 10 000 x 2 000 / 210 000 x 314 = 0,30 Resp Δl = 0,30 mm Exercícios Propostos 1) Calcule o alongamento elástico da peça do esquema abaixo. Seu material tem módulo de elasticidade de 2 x 105 N/mm2. 5 000 N 5 000 N φ 10 mm Resp. 0,064 mm 2) Calcule o alongamento o alongamento elástico total, da peça abaixo. Seu material é aço, com módulo de elasticidade de 2,1 x 105 N/mm2. φ 30 mm seção quadrada F = 8 000 N 40 mm de lado 500 mm 300 mm Resp. 0,028 mm 21 3) Temos o esquema abaixo. Qual seria a altura do fundo da caixa ao piso se nela colocarmos um material com peso de 60 000 N? O material do tirante tem módulo de elasticidade de 2,2 x 105 /mm2 φ 30 mm 6 m 200 mm piso Resp. 197,68 mm Tensão de Tração e Compressão Já vimos que podemos calcular as tensões de tração e de compressão através da fórmula: σ = F / A Exercícios Resolvidos Calcule a tensão que acontece nos tirantes dos seguintes esquemas: 1) Tirante com seção circular. φ 20 mm 20 000 N 20 000 N Como σ = F/A temos: F = 20 000 N e A = π.d2/4 então A = 3,14 x 202/4 = 314 mm2 σ = 20 000 / 314 = 63,69 Resp. σ = 63,69 N/mm2 2) Tirante com seção quadrada. 15 000 N seção quadrada com 20 mm de lado 22 A = 202 = 400 mm2 σ = 15 000 / 400 = 37,5 Resp. σ = 37,5 N/mm2 3) Tirante de seção retangular. seção retangular de 10 x 20 mm 30 000 N A = 10 x 20 = 200 mm2 σ = 30 000 / 200 = 150 Resp. σ = 150 N/mm2 Problemas Propostos 1) Calcular a tensão que ocorre no tirante abaixo. 40 000 N φ 30 mm Resp. 56,62 N/mm2 2) Calcular a força capaz de romper um tirante de seção quadrada, como na figura abaixo, sabendo- se que a sua tensão de ruptura à tração é de 600 N/ mm2, e que o lado da seção transversal vale 15 mm. F Resp 135 000 N F 25 2) Calcular o diâmetro de uma peça que trabalhe sob tração. O material dessa peça deve ter tensão de escoamento à tração de 600 N/mm2. A peça deve sustentar uma carga de 60 000 N e utilizaremos coeficiente de segurança 2. Resp. 15,96 mm 3) Calcular a força F que o conjunto abaixo pode sustentar para que trabalhe com segurança. O material das peças 1 e 2 é aço com tensão limite de escoamento 600 N/mm2 e seu diâmetro é de 35 mm. A peça 3 é feita de aço com limite elástico de 800 n/mm2 e sua seção é quadrada com 40 mm de lado. Devemos obter coeficiente de segurança 1,5. F Resp. 769 300 N Tensão de Cisalhamento - Corte Força Cortante A força cortante é aquela que atua no mesmo plano da força que estamos aplicando em uma peça. Admitindo-se que a distribuição dos esforços seja uniforme em toda a seção resistente da peça temos: τ = F / A onde τ - tensão de cisalhamento Q – força cortante atuante na peça A – área resistente ou área sobre a qual atua a força Q. 26 Exercícios Resolvidos 1) Calcular a tensão no pino que une as duas chapas do esquema abaixo. O diâmetro do pino é 15 mm. 12 000 N τ = F / A então F = 12 000 N A = π.d2 / 4 A = 3,14 x 152 / 4 A = 176,6 τ = 12 000 / 176,6 τ = 67,95 N/mm 2) Calcular a tensão de cisalhamento que acontece no pino (peça a, abaixo) que tem 20 mm de diâmetro. F = 8 000 N τ = F / A então F = 8 000 N A = π.d2 / 4 A = 3,14 x 202 / 4 A = 314 mm2 Então τ = 0 000 / 314 τ = 25,48 N / mm2 Exercícios Propostos 1) Calcular a tensão que está acontecendo no pino que une as duas chapas no esquema abaixo. O pino tem diâmetro de 25 mm. 30 000 N Resp. 61,15 N/mm2 a 27 2) Calcular a tensão que está sendo aplicada à chapa 1 do esquema abaixo sabendo que a força F = 40 000 N, que a largura da chapa é 80 mm e que a espessura dessa mesma chapa é de 20 mm. F espessura 20 largura 80 Resp. 25 N/mm2 3) Calcular a tensão no pino “1” abaixo sabendo-se que seu diâmetro é 18 mm. 60 000 N Resp. 117,95 N/mm2 4) Calcular a tensão que está sendo exercida no pino “a” abaixo sabendo-se que ele tem seção quadrada com 20 mm de lado. 50 000 N Resp. 125 N/mm2 Chapa 1 1 a 30 3) Calcule o diâmetro dos pinos da montagem do esquema abaixo, para que trabalhe com segurança. O material dos pinos tem tensão de escoamento ao cisalhamento valendo 400 N/ mm2. Utilizaremos 4 como coeficiente de segurança. ( 4 pontos) 60 000 N Resp. 19,55 mm 4) Calcule o diâmetro do pino para trabalhar com segurança, no conjunto abaixo. O material do pino deve ter tensão de escoamento ao cisalhamento valendo 600 N/mm2. Vamos usar 1,5 como coeficiente de segurança. 400 mm F = 100 000 N Resp. 8,92 mm Momento Estático de uma Superfície É calculado em relação a um eixo e é o produto da área dessa superfície pela distância dela ao eixo. Mx = A . d Mx - momento estático em relação ao eixo x A - valor da área daquela superfície d - distância da superfície ao eixo x 31 Baricentro ou Centro de Gravidade de uma Figura Plana O baricentro de uma figura é determinado, geralmente, a partir de suas coordenadas nos eixo x e y. Ex.: Baricentro Bc =( x’ , y’ ) Para figuras combinadas calculamos: _ A1 . x1 + A2 . x x = --------------------- A1 + A2 _ A1 . y1 + A2 . y2 y = --------------------------- A1 + A2 Sendo A1 = a área da figura 1 e A2 - área da figura 2 x1 e y1 = as coordenadas do centro de gravidade da figura 1 x2 e y2 = as coordenadas do centro de gravidade da figura 2 32 Momento de Inércia de uma Figura Plana É calculado em relação a um eixo é o produto da área dessa superfície pelo quadrado da distância ao eixo em referência. Neste nosso trabalho não calcularemos momentos de inércia. Utilizaremos os momentos de inércia, já tabelados, para figuras planas conhecidas tais como: retângulo, quadrado, círculo, triângulo, etc. e em relação ao eixo horizontal que passa pelo baricentro dessas figuras. Alguns exemplos de momentos de inércia: Em relação ao eixo “x “ Ix = h4 / 12 quadrado Ix = b.h3 / 12 retângulo Ix = b. h3 / 36 triângulo Ix = π.d4 / 64 círculo onde h – altura b – base d – diâmetro π - constante 3,14... Tensões nas Vigas Para calcularmos as tensões atuantes nas vigas, primeiramente devemos considerar alguns conceitos: Viga Denomina-se viga a uma estrutura formada por uma barra , de eixo plano, submetida a esforços, contidos no plano da estrutura. Estudaremos vigas: a ) engastadas b ) bi-apoiadas 35 Exercícios Resolvidos 1) Construir o DM da viga abaixo. 12 000 N A D B 4 m 2 m Sendo RA = 4 000 N e RB = 8 000 N fazemos então: MfA = 0 MfD = RA x 4 então MfD = 4 000 x 4 = 16 000 Nm MfB = RA x 6 – 12 000 x 2 = 4 000 x 6 – 12 000 x 2 = 24 000 – 24 000 Mf B = 0 A D B 16 000 Nm 2) Construir o DM da viga abaixo. 6 000 N 8 000 N A D E B 2 m 5 m 3 m RA = 7 200 N RB = 6 800 N MfA = 0 MfD = 7 200 x 2 = 14 400 Nm MfE = 7 200 x 7 – 6 000 x 5 = 50 400 – 30 000 = 20 400 Nm MfB = 7 200 x 10 – 6 000 x 8 – 8 000 x 3 = 72 000 – 48 000 – 24 000 = 72 000 – 72 000 = 0 Mfb = 0 36 A D E B 14 400 Nm 20 400 Nm Exercícios Propostos 1) Construa o DM do esquema abaixo 2 000 N 8 000 N A D B E 3 m 1 m 3 m Resposta 23 999 Nm 14 666 Nm A D B E 2) Faça o DM do esquema abaixo 30 000 N 10 000 N A D B E 1 m 2 m 3 m Resposta 30 000 Nm A D B E 10 000 Nm 37 Tensões nas Vigas Para estudarmos as tensões que atuam nas vigas devemos primeiro imaginar que a viga seja formada por um numero infinito de fibras longitudinais, como folhas de papel. Assim, quando a viga fletir para baixo, as fibras ( ou folhas ) do centro para baixo tenderão a se alongar, sendo então, solicitadas à tração, enquanto as fibras ( ou folhas ) do centro para cima, tenderão a se contraírem, sendo então, solicitadas à compressão. A fibra do centro não será solicitada, permanecendo neutra aos esforços e por isso vamos denomina-la “fibra neutra”. Essa fibra neutra, passa pelo centro de gravidade da figura que forma a seção transversal da viga. Então, podemos calcular as tensões, sejam de tração ou de compressão, atuantes em qualquer ponto da viga, com a fórmula: σ = Mf.c / I onde: σ - tensão de tração ou de compressão Mf – momento fletor atuante na seção estudada c – distância entre a fibra em estudo e a fibra neutra I – momento de inércia da seção em estudo, em relação ao eixo horizontal, que passa pelo centro de gravidade dessa seção. Lembramos, também que, agora, diferentemente dos cálculos em estática, a nossa viga tem peso, que deve ser considerado em nossos cálculos. Esse peso por aproximação de cálculo, devemos considera-lo atuando no centro de gravidade da viga. Nos projetos mecânicos, como normalmente, utilizamos perfis de seção constante e padronizadas, os projetistas utilizam o recurso: σ = Mf.c / I fazendo W = I / c e temos 40 2) No esquema abaixo, a viga é formada por um perfil I de 5” (S5 x 10) calcule: a) a tensão máxima na viga c) a tensão máxima na seção D 2 000 N 8 000 N A D B E 2 m 1 m 3 m Resposta a) 297,7 N/mm2 b)186 N/mm2 3) Calcule uma viga para trabalhar com segurança, conforme o esquema abaixo. O material da viga deve ser perfil I, de aço, com tensão de escoamento à tração de 400 N/mm2. Usaremos coeficiente de segurança 2. 2 m 2 m Resposta Viga I - S4 x 7,7 4) Calcule uma viga em perfil I em aço, com tensão de escoamento à tração de 600 N/mm2, para trabalhar com segurança, como no esquema abaixo. Usaremos coeficiente de segurança 2. 2 m 5 m 3 m Resposta Perfil I - S5 x 10 5) Calcule uma viga para que trabalhe com segurança, como no esquema abaixo. O material da viga deve ser perfil I com tensão de escoamento à tração de 500 N/mm2 e usaremos coeficiente de segurança 2. 18 000 N 3 m 3 m Resposta Perfil I - S6 x 12,5 41 6) No conjunto abaixo responda: a) A qual tipo de tensão está submetida a peça 1 ....................................................................... b) Qual a peça que está sob flexão? F ....................................................................... c) Qual peça está sob cisalhamento? ............................................................................. A qual tipo de tensão está submetida as peças: d) 2 ............................................................... e) 4 .............................................................. Torção Neste trabalho estudaremos apenas a torção em peças com seção transversal circular. A torção é produzida por binários que atuem em planos transversais ao eixo de giração da peça. Os efeitos da torção são de produzir deslocamentos angulares entre as diversas seções transversais em relação umas às outras. Podemos observar esse ângulo “ γ “ no desenho a seguir. apoio Peça 3 Peça 2 Peça 1 apoio Peça 4 42 Momento de Torção. O momento de torção é a soma algébrica de todos os momentos dos binários que atuam de um lado da seção considerada. Momento Polar de Inércia É chamado momento polar de inércia ao momento de inércia calculado em relação ao eixo de giração da peça. Chamamos de momento polar devido a que ao estudarmos a seção esse eixo nos aparece como um ponto. O momento polar de inércia de uma seção circular é; J = π.d4 / 32 Cisalhamento na Torção As tensões de cisalhamento, que aparecem quando uma peça de seção circular é submetida a um momento de torção, são assim representadas graficamente. Dependendo da distância que tem, o ponto estudado, ao centro da seção, teremos os valores da tensão, variando de zero até uma tensão máxima. Essa tensão nos é dada pela fórmula: τ = Mt. ρ / J 45 J = π.d4 / 32 então J = 3,14 x 404 / 32 e assim J = 251 200 mm4 Sendo τ = Mt.ρ / J temos τ = 4 000 000 x 20 / 251 200 e assim τ = 318,47 N/mm2 4) Calcule a tensão que encontraremos, em um ponto a 15 mm do centro, da árvore do esquema abaixo, sabendo-se que seu diâmetro é 60 mm. 400 mm F = 30 000 N Mt = F.d onde F = 30 000 N d = 400 mm τ = Mt.ρ / J então Mt = 30 000 x 400 Mt = 12 000 000 Nmm ρ = 15 mm J = π.d4 / 32 então J = 3,14 x 604 / 32 e assim J = 1 271 700 mm4 Sendo τ = Mt.ρ / J temos τ =12 000 000 x 15 / 1 271 700 e assim τ = 141,54 N/mm2 46 5) Calcule a tensão que acontece em um ponto a 20 mm da periferia da árvore do esquema abaixo. O diâmetro da árvore é 60 mm. θ = 1 000 mm F = 20 000 N Mt = F.d onde F = 20 000 N d = 1 000 / 2 = 500 mm então Mt = 20 000 x 500 Mt = 10 000 000 Nmm ρ = 30 – 20 = 10 mm J = π.d4 / 32 então J = 3,14 x 604 / 32 e assim J = 1 271 700 mm4 Sendo τ = Mt.ρ / J temos τ =10 000 000 x 10 / 1 271 700 e assim τ = 78,63 N/mm2 Exercícios Propostos 1) Calcular a tensão máxima aplicada à eixo do esquema abaixo, sabendo-se que o sistema está em equilíbrio. Resistência Diâmetro = 50 mm φ 400 mm F = 8 000 N Resp 65,22 N/mm2 47 2) Calcule, a partir do esquema abaixo, que representa uma árvore transmitindo torque a uma engrenagem, que aciona, dessa forma, um equipamento qualquer: a) O torque que está aplicado à árvore Resp a) 1 400 000 N.mm b) A tensão máxima na árvore b) 57 N/mm2 vista de frente vista de lado F = 7000 N F 3) Calcule a tensão máxima na árvore do esquema abaixo. O diâmetro da árvore é de 45 mm. O diâmetro do volante é de 800 mm. F = 10 000 N Resp 223,67 N/mm2 4) Calcular uma árvore que trabalhe com segurança em um esquema como apresentado abaixo a força atua na periferia do volante, o material da árvore deve ter tensão de ruptura ao cisalhamento valendo 800 N/mm2 e queremos utilizar coeficiente de segurança 4. O diâmetro da roda é de 1200 mm F =15 000 N Resp. 61,2 mm Diâmetro da polia 400 mm Diâmetro da árvore 50 mm