Baixe O uso das calculadoras e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! 1 Utilização de Calculadoras Objetivos Após completar o estudo do anexo, você estará apto a: • Utilizar memórias, menus, teclas de limpeza e funções matemáticas básicas das calculadoras, além de configurá-las quanto ao modo de cálculo, número de casas decimais no visor, personalização e outros recursos; • Realizar cálculo envolvendo datas e taxas ao período; • Calcular as principais variáveis dos diferentes tipos de Diagramas de Fluxos de Caixa abordados no livro-texto; • Personalizar sua calculadora através da gravação de programas ou fórmulas no ambiente [SOLVE]. 2 Anexo Matemática Financeira Objetiva 1 Introdução Face ao grande número de recursos existentes nas calculadoras HP (Hewlett-Packard), nesta seção limitaremos nossa exposição a: • Configurações quanto aos modos de cálculo, número de casas decimais do visor, separadores de milhares e outros; • Uso das memórias e das teclas de limpeza; • Funções matemáticas que eventualmente precisaremos ao longo dos cálculos estatísticos. Como boa parte das características operacionais das calculadoras da linha HP é compartilhada entre os modelos aqui citados, recomendamos que você primeiramente leia os itens abaixo, e em seguida passe à seção específica ao seu equipamento. • MODO DE CÁLCULO: Diferentemente do sistema algébrico de cálculo em que os operadores são posicionados entre as variáveis (por exemplo 2+3, onde o “+” é o operador), o sistema conhecido como RPN (Reverse Polish Notation = Notação Polonesa Reversa, tão popularizado pela Hewlett- Packard que muitos o chamam de Sistema HP!) caracteriza-se por posicionar os operadores após as variáveis e por contar com um conjunto especial de memórias (pilha operacional) que permite o armazenamento automático de até 4 variáveis ou 3 operações pendentes. Em termos práticos, o RPN dispensará o uso da tecla <=> e a inserção de parêntesis. Por exemplo 2+3×5 será obtido através da seqüência 2 <ENTER> 3 <ENTER> 5 <×> <+> ou 3 <ENTER> 5 <×> 2 <+>. Aparentemente complicado de início, o Sistema RPN, depois de assimilado, permitirá operações bem mais rápidas, razão pela qual iremos adotá-lo em nossos exemplos do livro (vide maiores detalhes no manual de sua calculadora). • SEPARADORES DE MILHARES E DECIMAIS: O padrão de fábrica é o norte-americano, ou seja o valor 1.253,15 é apresentado como 1,253.15. Mantivemos o padrão de fábrica ao longo do texto. • NÚMERO DE CASAS DECIMAIS NO VISOR: O padrão de fábrica é a apresentação de duas casas decimais, por nós mantido na maioria dos exemplos. Cabe o alerta entretanto que, nem sempre o que estiver no visor será o número com que a calculadora estará efetivamente trabalhando, já que ela guardará internamente os demais dígitos não apresentados. Por exemplo, se o resultado de um cálculo gerar 3,1234 como resposta, o visor apresentará 3.12, apesar de internamente a calculadora estar operando com o valor completo; conseqüentemente, se multiplicarmos este valor por 2, o visor irá apresentar como resposta 6.25 (correspondendo ao arredondamento de 6,2468) e não 6.24 (o que ocorreria se o número multiplicado fosse efetivamente igual a 3,12). Evite portanto a propagação de erros, realizando os cálculos em seqüência, ou seja: aproveitando sempre os resultados intermediários nas operações subseqüentes. Caso precise, elimine as casas decimais não apresentadas através da função de arredondamento (veja detalhes a seguir). Utilização de Calculadoras 5 Roberto Zentgraf G. Funções Matemáticas: As que eventualmente precisaremos para cálculos estatísticos encontram-se na tabela seguinte, onde A e B referem-se a dois números quaisquer. Operação Função Tecle Reverso de A −A A <+/−> Inverso de A 1 ÷ A A <f> <1/x> Potenciação AB A <ENTER> B <f> <yX> A <ENTER> B <f> <^> Raiz Quadrada de A √A A <f> <√x> Quadrado de A A2 A <f> <x2> Exponencial de A (base 10) 10A A <f> <MATH> [LOGS] [10^X] A <f> <MATH> [10^X] Exponencial de A (base e) eA A <f> <MATH> [LOGS] [EXP] A <f> <MATH> [EXP] Logaritmo decimal de A Log A A <f> <MATH> [LOGS] [LOG] A <f> <MATH> [LOG] Logaritmo neperiano de A Ln A A <f> <MATH> [LOGS] [LN] A <f> <MATH> [LN] Roteiro HP-17BII/HP-19BII 1.2 – Funções Matemáticas 1.2 Cálculos Envolvendo Datas Partindo do Menu Principal, o acesso às operações com datas na HP-17BII será feito pressionando-se a opção [TEMP] e na HP-19BII pressionando-se [HORA]. Estando neste nível, a opção [DEF] abrirá um novo menu, onde [D/M] permitirá o intercâmbio entre os dois formatos. Identificaremos o formato definido na calculadora pelo formato da data atual que será exibida todas as vezes que ativarmos o menu [TEMP] ([HORA]). 1. Estando no Menu Principal, tecle [TEMP] ou [HORA] para ativar as funções de data na HP-17BII e na HP-19BII respectivamente; em seguida pressione [CALC]; 2. Digite a primeira data e pressione [DATA1], digite a segunda data e pressione [DATA2]; 3. Pressione [DIAS] para obter o número de dias entre as datas sob o critério civil, [360D] sob o critério comercial; a opção [365D] contará os dias considerando todos os anos não bissextos; a opção [HOJE] fornecerá a data atual; 4. As variáveis [DATA1], [DATA2] e [DIAS] estão interligadas, o que significa que bastará fornecer duas delas para a calculadora encontrar a terceira.. Roteiro HP-17BII/HP-19BII 1.1 - Cálculo de Datas ý Exemplo 1.1: Determinar o número de dias existentes entre 01/02/1999 e 01/03/1999 sob o critério civil e sob o critério comercial; em seguida determinar 6 Anexo Matemática Financeira Objetiva qual data cairá 65 dias após 01/02/1999 e a data que caiu 48 dias antes de 01/02/1999. ⇒ Solução: Partindo do Menu Principal da HP-19BII, o roteiro abaixo ilustrará o procedimento, onde por conveniência listamos apenas a última linha do visor... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES <f> <CLEAR DATA> 0.00 Limpa registradores [HORA] [CALC] 0.00 Acesso às funções 1.021999 [DATA1] DATA1=01.02.1999 SEG 1ª data 1.031999 [DATA2] DATA2=01.03.1999 SEG 2ª data [DIAS] DIAS REAIS=28.00 Dias - ano civil [360D] 360 DIAS=30.00 Dias - ano comercial 65 [DIAS] DIAS REAIS=65.00 Dias a decorrer [DATA2] DATA2=07.04.1999 QUA Nova data 48 <+/-> [DIAS] DIAS REAIS=-48.00 Dias decorridos [DATA2] DATA2=15.12.1998 TER Nova data þ 1.3 Cálculos Envolvendo Taxas ao Período 1. Estando no Menu Principal, tecle [COM] para ativar o menu de aplicações comerciais e utilize um dos dois caminhos a seguir: 2. Cálculo envolvendo P, F e i%: tecle [VAR%] e em seguida forneça duas dentre as três variáveis: P→[ANT], F→[NOVO], i%→[VAR%]; pressione a tecla correspondente à variável não conhecida; 3. Cálculo envolvendo P, J e i%: tecle [%TOT] e em seguida forneça duas entre as três variáveis: P→[TOTAL], J→[PARCL]; i%→[%T]; pressione a tecla correspondente à variável não conhecida. 4. Volte aos níveis anteriores de Menu teclando <EXIT>... Roteiro HP-17BII/HP-19BII 1.2 - Cálculos Percentuais Observações: • Na HP-17BII, a função [%T] do item 3 do roteiro anterior aparecerá no visor como [%TOT]; • Nos itens 2 e 3 do roteiro anterior, valores negativos para as taxas i% (calculados ou fornecidos à calculadora) indicarão perda no investimento; • Quando a incógnita for o valor dos juros e/ou do montante, a função <%> poderá ser utilizada de forma similar à da HP-12C; • Todos os itens do roteiro anterior poderão ser utilizados nas operações comercias de acréscimos e/ou descontos nos preços. ý Exemplo 1.2: Um investidor aplicou $1.500,00 em um Fundo de Ações, resgatando $2.200,00 após 3 meses. Qual a taxa de juros da operação ? E se o resgate fosse de apenas $1.200,00 ? E se a perda fosse de 40,00% para o período, qual o valor do resgate ? Utilização de Calculadoras 7 Roberto Zentgraf ⇒ Solução: Em uma HP-19BII e admitindo estarmos no Menu Principal, procederemos conforme a seqüência... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES <f> <CLEAR DATA> 0.00 Limpa registradores [COM] [VAR%] 0.00 Menu Variação % 1500 [ANT] ANT=1,500.00 Principal (=aplicação) 2200 [NOVO] NOVO=2,200.00 Montante [VAR%] VAR%=46.67 Taxa ao período (=ganho) 1200 [NOVO] NOVO=1,200.00 Montante [VAR%] VAR%=−20.00 Taxa ao período (=perda) 40 <+/−> [VAR%] VAR%=−40.00 Taxa ao período (=perda) [NOVO] NOVO=900.00 Montante þ ý Exemplo 1.3: Se após ter aplicado $1.500,00, um investidor recebeu $700,00 de Juros, qual a taxa que remunerou a operação? E se tivesse perdido $400,00 ? ⇒ Solução: Admitindo estarmos com o resultado do último exemplo no visor, faríamos... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [NOVO] NOVO=900.00 Resultado anterior <EXIT> [%TOT] 900.00 Menu % do Total 1500 [TOTAL] TOTAL=1,500.00 Principal (=aplicação) 700 [PARCL] PARCIAL=700.00 Juros (=ganho) [%T] %TOTAL=46.67 Taxa ao período (=ganho) 400 <+/−> [PARCL] PARCIAL=−400.00 Juros (=perda) [%T] %TOTAL=−26.67 Taxa ao período (=perda) þ 10 Anexo Matemática Financeira Objetiva Observações: • Na HP-17BII, caso o menu [CALC] não esteja visível, tecle <EXIT> para vê-lo; • Na HP-19BII, a última lista incluída deverá ser a lista dos pesos P; • Veja a utilização desta função no Exemplo 2.6 (HP-17BII) e no Exemplo 2.7 (HP-19BII). ý Exemplo 2.6: Um investidor aplicou $100.000,00 por 4 meses, $200.000,00 por 5 meses e $400.000,00 por 7 meses; todos os valores a uma taxa de 12,00%am, juros simples. Determine o prazo médio das aplicações, o valor total dos juros recebidos e comprove que o resultado obtido através da utilização do prazo médio corresponde ao resultado da soma dos juros recebidos por cada aplicação individualmente. ⇒ Solução: Assumindo que você esteja com alguma lista na memória da calculadora, ainda não salva e que possa ser eliminada, o roteiro abaixo ilustrará o procedimento. Note que queremos calcular a média dos prazos (n) ponderados pelos capitais (C)... na linguagem da HP-17BII isto significa que a lista X será a lista contendo os prazos e a lista Y a lista contendo os capitais. TECLE VISOR OBSERVAÇÕES <f> <MAIN> [ESTAT] .... Apresenta a lista <f> <CLEAR DATA> [SIM] ITEM(1)=? Lista apagada, esperando lista X 4 <INPUT> ITEM(2)=? n1 inserido, esperando n2 5 <INPUT> ITEM(3)=? n2 inserido, esperando n3 7 <INPUT> ITEM(4)=? n3 inserido... <EXIT> [NOME] DAR UM NOME... Chamaremos a lista de N [NOPQ] [N] <INPUT> ITEM(4)=? Lista X salva [OBTER] [*NOV]] ITEM(1)=? Esperando lista P 100000 <INPUT> ITEM(2)=? C1 inserido, esperando C2 200000 <INPUT> ITEM(3)=? C2 inserido, esperando C3 400000 <INPUT> ITEM(4)=? C3 inserido... <EXIT> [NOME] DAR UM NOME... Chamaremos a lista de C [ABCDE] [C] <INPUT> ITEM(4)=? Lista C salva <EXIT>[CALC] [OUTRO] [PROJ] SELECIONAR... Esperando a seleção da lista N [N] SELECIONAR... Esperando a seleção da lista C [C] [OUTRO] [M.PO] M.PO=6.00 Prazo médio þ ý Exemplo 2.7: Um investidor aplicou $100,00 à taxa de 12,00%am, $200,00 à taxa de 16,00%am e $400,00 à taxa de 10,00%am, todas expressas a juros simples. Determine a taxa média de juros. ⇒ Solução: Assumindo que você esteja com alguma lista na memória da calculadora, ainda não salva e que possa ser eliminada, o roteiro abaixo ilustrará o procedimento. Note que queremos calcular a média das taxas (i) ponderadas pelos capitais (C)... na linguagem da HP-19BII isto significa que a lista X será a lista contendo os prazos e a lista Y a lista contendo os capitais. Utilização de Calculadoras 11 Roberto Zentgraf TECLE VISOR OBSERVAÇÕES <f> <MAIN> [ESTAT] .... Apresenta a lista <f> <CLEAR DATA> [SIM] >ITEM(1)= Lista apagada, esperando lista X 12 <INPUT> >ITEM(2)= i1 inserido, esperando i2 16 <INPUT> >ITEM(3)= i2 inserido, esperando i3 10 <INPUT> >ITEM(4)= i3 inserido... [NOME] DAR UM NOME... Chamaremos a lista de I [I] <INPUT> ITEM(4)=? Lista I salva [OBTER] [*NOVA] >ITEM(1)= Esperando lista C 100 <INPUT> ITEM(2)=? C1 inserido, esperando C2 200 <INPUT> ITEM(3)=? C2 inserido, esperando C3 400 <INPUT> ITEM(4)=? C3 inserido... [CALC] [MAIS] [PROJ] SELECIONAR... Esperando a seleção da lista I [I] SELECIONAR... Lista I carregada [LIN] [MAIS] [M.PO] M.PO=12.00 Taxa média þ 12 Anexo Matemática Financeira Objetiva 3 Resolução a Juros Compostos A resolução dos problemas através das calculadoras financeiras é bastante simples: para o DFC-Padrão (A) serão fornecidas três variáveis e elas encontrarão o valor da quarta ! Como a maioria das calculadoras opera seguindo uma mesma lógica, a seguir listaremos as características comuns a todas elas, particularizando o uso específico dos modelos HP-12C, HP-17BII e HP-19BII um pouco adiante: • No DFC-Padrão (A), P corresponderá à tecla ou à função <PV> (=Present Value) ou [VP] (=Valor Presente) e F corresponderá a <FV> (=Future Value) ou [VF] (=Valor Futuro); i e n corresponderão respectivamente às teclas ou funções <i> (ou [I%PR]) e <n>; • As teclas/funções acima funcionarão como memórias especiais das calculadoras (também denominadas memórias ou registradores financeiros), recebendo e guardando valores e calculando as incógnitas; • Via-de-regra, se três das quatro memórias citadas estiverem com valores armazenados, pressionando-se a quarta obtém-se a resposta desejada; • A qualquer momento do cálculo, poderemos ter acesso ao que está armazenado na calculadora pressionando <RCL> (=Recall) e a tecla correspondente à memória especial; por exemplo, para verificarmos a taxa que foi inserida, teclaremos <RCL> <i>; • Dado que os valores ficarão retidos nos registradores financeiros, é recomendável seu apagamento antes do início de novos cálculos, como forma de evitar-se erros decorrentes de valores armazenados e/ou calculados anteriormente; • É necessário que se obedeça à Convenção do Sinal do Fluxo de Caixa a fim de que não ocorram erros nos cálculos: entradas de caixa deverão ser inseridas com o sinal positivo; saídas de caixa com o sinal negativo; para os cálculos envolvendo a determinação de F ou P esta regra será irrelevante; para os cálculos envolvendo a determinação de i ou n, esta regra será obrigatória; • A taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada; para tornar o prazo compatível à taxa, transforme o prazo n, que nestes casos, será inserido na forma fracionária; por exemplo, se a taxa é anual e o prazo da aplicação de 6 meses, n deverá conter 0,5 anos; • Caso opte-se por tornar a taxa compatível ao prazo, o conceito de Taxas Equivalentes deverá ser adotado através da Fórmula 3.6, a ser executada na calculadora por intermédio das funções de potenciação (teclas <yx> e/ou <^>) ou pelas funções do SOLVE, para os equipamentos que operem neste ambiente (HP-17BII e HP-19BII); • A taxa i estará sempre em sua forma percentual; • Algumas calculadoras apresentarão a função ou tecla <P/PR> ou <PG/P>, que possibilitarão a utilização da taxa de juros em termos nominais (assunto que será abordado no Capítulo 7); por enquanto o valor desta variável deverá conter 1; Utilização de Calculadoras 15 Roberto Zentgraf TECLE VISOR OBSERVAÇÕES VP=-165,212.07 Última resposta <f> <CLEAR DATA> 1 PGTS/PR MODO FIM Limpa registradores 100 <+/−> [VP] VP=−100.00 Principal 14 [I%PR] I%PR=14.00 Taxa Mensal [VF] VF=150.00 Montante [N] N=3.09 Prazo em meses ⇒ O significado do valor fracionário para n é simples: para transformarmos os $100,00 em $150,00, dada a taxa de 14,00%am, precisaremos de um prazo superior a 3 e inferior a 4 meses. Na prática, considerando que dificilmente a instituição financeira permitirá o resgate de uma aplicação fora da data de aniversário (no caso a cada mês), ficaremos com algumas opções: deixarmos completar o quarto mês e assim retirarmos $168,90 (obtidos fazendo-se P=$100,00; i=14,00%am; n=4 meses; F=?) ou ainda, aumentarmos o depósito inicial para termos os $150,00 desejados ao final do terceiro mês. Para este caso faremos F=$150,00; i=14,00%am; n=3 meses, encontrando P=$101,25. þ ý Exemplo 3.11: Um investimento garante 66,6667% de rentabilidade em 3 meses; calcule as taxas equivalentes: (a) anual; (b) semestral; (c) mensal; (d) diária. ⇒ Solução: Temos iB=66,6667; nB=90 dias; nA=360; 180; 30 ou 1 dia, dependendo da taxa solicitada. A Fórmula 3.4 poderá ser utilizada em conjunto com as operações aritméticas disponíveis... 1001 100 6667,66 1i 90 n A A ×         −      += ... entretanto, caso a tenhamos incluído no SOLVE (veja como inserir fórmulas no SOLVE ao final do presente anexo), os cálculos serão certamente agilizados. ⇒ Assumindo que a fórmula “TXEQ:IA%=((1+IB%÷100)^(NA÷NB)-1)×100)” (sem aspas) esteja disponível, e que os resultados do último exemplo ainda se encontrem no visor, a seqüência seguinte ilustrará os passos necessários. TECLE VISOR OBSERVAÇÕES VP=-165,212.07 Última resposta <f> <MAIN> [SOLVE] TXEQ:IA%=((.. Encontra a fórmula [CALC] ... Aparece o menu 66.6667 [I%B] I%B=66.67 Taxa B (dada) 90 [NB] NB=90.00 Prazo B (dado) 360 [NA] [I%A] IA%=671.61 Taxa anual 180 [NA] [I%A] IA%=177.781 Taxa semestral 30 [NA] [I%A] IA%=18.56 Taxa mensal 1 [NA] [I%A] IA%=0.57 Taxa diária þ 16 Anexo Matemática Financeira Objetiva 4 Séries Uniformes de Pagamentos A resolução dos DFCs-Padrão (B) através das calculadoras financeiras é bastante simples, pois os problemas serão do tipo: dadas três variáveis encontre uma quarta. Além das observações e funções citadas anteriormente na resolução do DFC-Padrão (A) (reveja a Seção 3 deste Anexo), utilizaremos <PMT> (=PayMenT) ou [PGTO] (=Pagamento) para designar as prestações. 1. Estando no Menu Principal, tecle [FIN] para ativar o menu Financeiro e [VDT] para ativar o menu "Valor do Dinheiro no Tempo"; 2. Para definir o modo antecipado ou postecipado, estando no menu VDT, pressione [OUTRO] e tecle [INIC] ou [FIM] respectivamente; tecle <EXIT> para voltar ao menu VDT; 3. Para limpar os registradores, estando no menu VDT tecle <f> <CLEAR DATA>; 4. Digite o valor de cada uma das variáveis conhecidas e pressione a tecla a ela correspondente ([N], [I%PR], [VP], [PGTO] ou [VF]); repita o procedimento até ter inserido todas as variáveis; tecle <+/-> para mudar o sinal do principal, do montante ou da prestação, se aplicável ao problema; 5. Pressione a tecla correspondente à incógnita do problema para obter a resposta. Roteiro HP-17BII/HP-19BII 4.1 - Cálculo dos DFCs-Padrão (B) Observações: • Se <f> <CLEAR DATA> for pressionado no menu seguinte ao do VDT (ou seja, onde definimos o modelo da série), a calculadora voltará ao modo [FIM] (postecipado), que é o padrão de fábrica; • Todos os exemplos listados para a HP-12C poderão ser repetidos na HP-17BII/19BII; nos exemplos envolvendo cálculo com períodos fracionários entretanto, as operações deverão ser executadas em duas etapas. ý Exemplo 4.12: Um DVD custa $500,00 se pago à vista, mas poderá ser financiado em 4 prestações mensais de $150,00, a primeira dada no ato da compra. Calcule a taxa de juros mensal cobrada pela loja. Veja a Figura 4.2 para identificar os componentes do DFC. ⇒ Solução: Resolveremos o problema inicialmente pelo critério antecipado, e em seguida pelo postecipado; supondo que a calculadora esteja no Menu Principal, a seqüência a seguir ilustra o procedimento. Note que a instrução “1 [P/PR] será desnecessária caso a variável PGTS/PR já esteja definida como 1. Utilização de Calculadoras 17 Roberto Zentgraf Figura 4.2 - DFC para o Exemplo 4.12 TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [FIN] [VDT] 12 PGTS/PR MODO FIM Mude o valor de P/PR... [OUTRO] 1 [P/PR] 1 PGTS/PR MODO FIM P/PR = 1; [INIC] <EXIT> 1 PGTS/PR MODO INIC Modo Antecipado <f> <CLEAR DATA> 0.00 Limpa registradores 500 [VP] VP=500.00 Principal 4 [N] N=4.00 Nº de Prestações 150 <+/-> [PGTO] PGTO=-150.00 Prestação [I%PR] I%PR=13.70 Taxa mensal [OUTRO] [FIM] <EXIT> 1 PGTS/PR MODO FIM Modo Postecipado 3 [N] 350[VP] VP=350 Nº de Prestações; Principal [I%PR] I%PR=13.70 Mesma resposta þ ý Exemplo 4.13: Você pretende viajar para o exterior daqui a 12 meses e para tanto precisará levar $5.000,00. Supondo que a Poupança pague 2,00%am (Juros+TR), calcule o valor de cada uma das 6 prestações bimestrais que deverão ser depositadas. Admita que o primeiro depósito seja efetuado hoje. Veja a Figura 4.3 para identificar os componentes do DFC. Figura 4.3 - DFC para o Exemplo 4.13 ⇒ Solução: Considerando que as prestações são bimestrais e a taxa fornecida no enunciado é mensal, o primeiro passo será convertê-la a uma taxa bimestral para, em seguida, resolvermos o DFC da Figura 4.3. Admitindo que a fórmula “TXEQ:IA%=((1+IB%÷100)^(NA÷NB)-1)×100)” (sem aspas) esteja disponível no SOLVE, a seqüência seguinte ilustrará os passos necessários. 20 Anexo Matemática Financeira Objetiva TECLE VISOR OBSERVAÇÕES P=856.48 Resultado anterior <f> <CLEAR DATA> 0.00 Limpeza das variáveis 150 [R] R=150.00 Inserção de R 2000 [P] P=2,000.00 Inserção de P 12 [N] N=12.00 Inserção de N [I%] I%=22.53 Resultado þ Solução análoga à anterior poderá ser empregada para os demais modelos de série (em PA ou em PG). 5.2 Resolvendo Séries Periódicas Uniformemente Crescentes A resolução do DFC-Padrão (D) através das calculadoras financeiras seguirá algumas regras básicas, comuns a praticamente todas elas: • Somente será possível o cálculo de DFCs periódicos, isto é, aqueles para os quais o intervalo existente fluxos consecutivos é constante e compatível à unidade de tempo da taxa de juros; segue-se portanto que: Para os DFCs não periódicos, haverá a necessidade de sua prévia transformação em DFCs periódicos, através da inserção de fluxos de caixa nulos; Para taxas incompatíveis quanto à unidade de tempo existente entre as datas do diagrama, haverá a necessidade de sua conversão através do conceito de Taxas Equivalentes a Juros Compostos. • A convenção dos sinais dos fluxos de caixa deverá ser respeitada, ou seja, entradas de caixa corresponderão a valores positivos; saídas a valores negativos; a ordem em que estas efetivamente ocorrerem deverá ser mantida; • Os fluxos fornecidos às calculadoras ficarão armazenados nas memórias do equipamento, salvo se forem intencionalmente apagados; • Fluxos consecutivos iguais poderão ser inseridos de forma simplificada; • As funções que iremos utilizar para determinar o valor presente do fluxo [NPV (=Net Present Value) ou VPL (=Valor Presente Líquido)] calcularão na realidade o VPL do fluxo de caixa; entretanto, no caso específico de DFCs cujo fluxo em t=0 seja nulo, o resultado por elas obtido equivalerá ao valor presente do diagrama; • Ao utilizarmos as funções de fluxo de caixa, a grande maioria das funções financeiras ficará inativa (PMT, END/BEG, PV, etc); • Nos problemas envolvendo a determinação do valor presente P ou do valor presente líquido VPL haverá sempre a possibilidade de resolução através da subdivisão do diagrama dado em unidades menores, conforme fizemos no Exemplo 5.12 do livro-texto; o mesmo não ocorrerá para a determinação da taxa i. Operando com o DFC-Padrão (D), as três principais diferenças entre os dois equipamentos citados ficarão por conta de: Utilização de Calculadoras 21 Roberto Zentgraf • Traçado de Gráficos VPL × I%: recurso disponível na HP-19BII e inexistente na HP-17BII; • Teclado Alfanumérico: disponível na HP-19BII, irá facilitar a digitação dos nomes das listas fornecidas; na HP-17BII valores alfanuméricos são inseridos através das teclas de Menu; • Possibilidade de Inclusão de Fluxos Consecutivos Iguais: o recurso está disponível em ambos os equipamentos; todavia, na HP-17BII é possível desligá-lo, o que no caso de todos os fluxos consecutivos serem diferentes, poderá se revelar uma opção útil, ao evitar que a cada novo fluxo, sejamos obrigado a confirmar o número de vezes que ele ocorreu (o que é obrigatório na HP-19BII). 1. Estando no Menu Principal tecle [FIN] [FLCX] para ativar o Menu dos Fluxos de Caixa; 2. Tecle <f> <CLEAR DATA> para eliminar a lista existente ou [OBTER] [*NOVA] para manter a lista anterior e criar uma nova; 3. Após o aparecimento da mensagem “>INICIAL=” digite o valor do fluxo em t=0, pressione <+/-> se aplicável e tecle <INPUT>; 4. Uma seta indicará qual o próximo fluxo a ser inserido (por exemplo, logo após o passo anterior você verá “>FLUXO(1)=”); digite o valor, pressione <+/-> se aplicável e tecle <INPUT>; 5. A seta agora indicará o número de vezes que o fluxo digitado no passo anterior ocorreu (“>#VEZES=1”); confirme ou altere o número de vezes (no máximo 999), teclando <INPUT> logo a seguir.; Observação: caso você esteja trabalhando em uma HP-17BII e não apareça a solicitação para a inserção do número de vezes que o fluxo de caixa ocorreu, ative a opção [V#] do menu (tecle <EXIT> caso o menu não esteja visível); utilize esta mesma opção para desligar o recurso caso você não precise utilizá-lo. 6. Repita os passos (4) e (5) até a completa inserção dos fluxos de caixa; 7. Pressione [CALC] para ativar o sub-menu de Cálculo de fluxos de caixa; 8. Digite a taxa, pressione [I%] e tecle [VPL] para obter o Valor Presente Líquido ou o Valor Presente (nos casos onde o fluxo inicial for nulo) 9. Tecle [TIR] para obter a Taxa Interna de Retorno. Roteiro HP-17BII/HP-19BII 5.4 - Resolução de Fluxos Genéricos - DFC-Padrão (D) Observações: • Nos dois equipamentos citados, aparentemente não há um número máximo fixo de fluxos distintos que poderão ser inseridos, já que a capacidade de armazenamento irá variar em função da memória disponível, que não estiver sendo utilizada para guardar listas estatísticas, telefones, apontamentos, etc; 22 Anexo Matemática Financeira Objetiva • Os DFCs inseridos (também chamados de listas) poderão ser salvos na memória da calculadora com um nome: no Menu [FLCX], tecle [NOME], digite o nome desejado e tecle <INPUT>; a lista que estiver sendo atualizada será a lista corrente; • Os DFCs salvos poderão ser recuperados: no Menu [FLCX] tecle [OBTER], e pressione a tecla correspondente à lista desejada; • Caso estejamos operando com uma lista que já possua um nome e desejemos criar uma nova lista, no Menu [FLCX] teclaremos [OBTER] e [*NOVA]; os dados da lista anterior serão automaticamente salvos; • Após a inserção de um ou mais fluxos em uma lista, os valores poderão ser editados: movimente-se para o fluxo desejado através das teclas <↑> ou <↓> e, uma vez posicionado no fluxo desejado escolha: Altere o fluxo digitando um novo valor e teclando <INPUT>; Elimine o fluxo teclando [ELIM]; Inclua um novo fluxo antes do fluxo assinalado teclando [INCLR]; • Ainda no Menu [FLCX] a opção [GRAF] traçará um gráfico VPL × I%: O cursor será representado pelo sinal "+" e, no rodapé teremos as informações sobre a Taxa de Juros I% e o Valor Presente Líquido VPL; Utilize as setas verticais e horizontais para movimentar o cursor ao longo da tela: observe que as informações I% e VPL irão se alterar !!! Saia do gráfico com <EXIT>. • No Menu [CALC], além das funções [I%], [VPL] e [TIR] já citadas, contaremos ainda com: [TOTAL]: irá fornecer a soma algébrica de todos os fluxos inseridos; [SUL]: calculará o valor da Série Uniforme Líquida (vide Capítulo 8); [VFL]: calculará o Valor Futuro Líquido (equivalente ao VPL expresso na data t=n, onde n refere-se ao prazo total do DFC); • Para fluxos com mais de uma taxa interna de retorno, após pressionar [TIR%], aparecerá a mensagem “VARIAS OU SEM RESPOSTA ENT ESTIM [STO] {TIR%}”. Arbitre um valor para a taxa, e tecle <STO> [TIR%], obtendo assim a primeira resposta. Repita o procedimento até encontrar todas as taxas, arbitrando outros valores para a taxa e teclando <STO> [TIR%] em seguida; • Na HP-17BII você poderá ainda encontrar os pontos do gráfico “I% versus VPL” inserindo diversos valores para a taxa e teclando [I%] [VPL] em seguida; • De forma a padronizarmos as resoluções, nos roteiros e exemplos que se seguem, assumiremos a utilização de uma HP-19BII; conseqüentemente, caso você possua uma HP-17BII e queira repeti-los (à exceção do traçado de gráficos), prepare sua calculadora para aceitar fluxos consecutivos iguais, conforme orientado no passo 5 do roteiro anterior. Utilização de Calculadoras 25 Roberto Zentgraf Figura 5.6 - DFC-Padrão (D) - Fluxo Genérico - Determinação da TIR ⇒ Solução: Admitindo que estejamos com os resultados do último exemplo ainda no visor, seguiremos a seguinte seqüência... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES 707.38 Resultado do último exemplo [OBTER] [EX516] FLUXO INICIAL >INICIAL=0.00 707.38 Lista vazia HP esperando CF0... 500 <+/-> <INPUT> >FLUXO(1)=-500.00 Insere CF0 ... [CALC] [TIR%] TIR%=21.82 Taxa Interna de Retorno <EXIT> [GRAF] HP-19BII Apresenta Gráfico Cursor apresenta coordenadas do gráfico; movimente-o com as setas verticais ou com as setas horizontais do teclado alfanumérico. <EXIT> >FLUXO(1)=300.00 Volta à lista <f> <CLEAR DATA> APAGAR A LISTA ? Aguardando resposta [SIM] APAGAR TAMBEM NOME DA LISTA ? Aguardando resposta [SIM] FLUXO INICIAL >INICIAL= 21.82 Aguardando digitação de nova lista Observação: O gráfico traçado pela HP-19BII corresponde à função VPL(i) dada pela seguinte equação: 52 %)I1( 00,500 %)I1( 00,100 %)I1( 00,300 00,500VPL(i) + + + + + +−= Para cada valor distinto de I% a função é avaliada e o resultado plotado no gráfico. Exemplificando... 00,400 %)00,01( 00,500 %)00,01( 00,100 %)00,01( 00,300 00,500VPL(0,00%) 52 = + + + + + +−= 83,165 %)00,101( 00,500 %)00,101( 00,100 %)00,101( 00,300 00,500)VPL(10,00% 52 = + + + + + +−= A Taxa Interna de Retorno corresponde ao valor para I% que torna a função anterior nula 00,0 %)21,821( 00,500 %)21,821( 00,100 %)21,821( 00,300 00,500)VPL(21,82% 52 = + + + + + +−= 26 Anexo Matemática Financeira Objetiva Figura 5.7 – Gráfico VPL versus I% - TIR þ ý Exemplo 5.19 - HP-17BII – Cálculo da Taxa Interna de Retorno e Simulação de Gráficos: Calcule a TIR para o DFC ilustrado na Figura 5.21. Faça isso recuperando a lista EX516 e, em seguida alterando o fluxo inicial, de 0 para -$500,00. Encontre os pontos para o gráfico traçado na Figura 5.7. ⇒ Solução: Admitindo que estejamos com os resultados do Exemplo 5.25 ainda no visor, seguiremos a seguinte seqüência... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES 707.38 Resultado do último exemplo [OBTER] [EX516] FLUXO INICIAL >INICIAL=0.00 707.38 Lista vazia HP esperando CF0... 500 <+/-> <INPUT> >FLUXO(1)=300.00 Insere CF0 ... [CALC] [TIR%] TIR%=21.82 Taxa Interna de Retorno 0 [I%] [VPL] VPL=400.00 Y(VPL) para i=0,00% 10 [I%] [VPL] VPL=165.83 Y(VPL) para i=10,00% 20 [I%] [VPL] VPL=20.38 Y(VPL) para i=20,00% 30 [I%] [VPL] VPL=-75.39 Y(VPL) para i=30,00% <EXIT> >FLUXO(1)=300.00 Volta à lista <f> <CLEAR DATA> APAGAR A LISTA ? Aguardando resposta [SIM] APAGAR TAMBEM NOME DA LISTA ? Aguardando resposta [SIM] FLUXO INICIAL >INICIAL= -75.39 Aguardando digitação de nova lista þ ý Exemplo 5.20 – Fluxos com mais do que uma TIR: Determine a TIR para o DFC ilustrado na Figura 5.8. Utilização de Calculadoras 27 Roberto Zentgraf Figura 5.8 - Exemplo de DFC com mais de uma TIR ⇒ Solução: Admitindo que estejamos com o último resultado ainda no visor, seguiremos a seguinte seqüência... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES FLUXO INICIAL >INICIAL= -75.39 Aguardando digitação de nova lista 56 <+/-> <INPUT> >FLUXO(1)=300.00 Insere CF0 ... 150<INPUT><INPUT> >FLUXO(2)= Insere CF1/N1, HP esperando CF2/N2 100<+/-><INPUT><INPUT> >FLUXO(3)= Insere CF2/N2, HP esperando CF3/N3 [CALC] [TIR%] VARIAS OU SEM RESPOSTA ... Fluxo com mais de uma taxa 0 <STO> [TIR%] TIR%=25.00 TIR1 100 <STO> [TIR%] TIR%= 42.86 TIR2 þ 30 Anexo Matemática Financeira Objetiva 7 Taxas de Juros e Operações do Mercado Financeiro Na HP-17BII ou na HP-19BII, as possibilidades de utilização de taxas nominais são mais amplas: 1. Para utilizar taxas nominais nos problemas envolvendo a resolução de DFCs, altere o valor de [P/PR] (na HP-19BII) ou [PG/P] (na HP- 17BII); veja o Exemplo 7.23; 2. Para converter taxas nominais em efetivas ou vice-versa, estando no Menu Principal, ative o Menu de Conversão de Taxas através da seqüência [FIN] [CONVI] (HP-19BII) ou [FIN] [CNVI] (HP-17BII) e em seguida defina o critério de conversão: periódico [PER] ou contínuo [CONT]; veja os Exemplos 7.24 e 7.25. Roteiro HP-17BII/HP-19BII 7.5 – Utilização e Conversão de Taxas Nominais Observação: Tanto nas conversões, quanto nas operações envolvendo fluxos de caixa e taxas nominais, a HP-17BII/HP-19BII considera taxas anuais ! ý Exemplo 7.23 - Utilização de taxas nominais na resolução de DFCs: Determine o valor de resgate de uma aplicação de $100,00, por um prazo de 5 anos, à taxa de 24,00%aa capitalizados mensalmente . ⇒ Solução: Uma taxa ao ano com capitalização mensal terá 12 capitalizações; este será o valor a ser fornecido para P/PR... o roteiro abaixo ilustra como fazer... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [FIN] [VDT] 0.00 Acesso ao menu VDT <f> <CLEAR DATA> 0.00 Limpa registradores [OUTRO] 12 [P/PR] P/PR=12.00 Define P/PR=12 <EXIT> 0.00 Volta ao menu VDT 100 <+/-> [VP] VP=-100.00 Valor Presente 24 [I%PR] I%PR=24.00 Taxa em termos nominais 5 <f> [N] N=60.00 Prazo convertido p/mês (*) [VF] VF=328.10 Valor futuro ⇒ (*) Observe que apesar de digitar 5 para o prazo, a calculadora converteu-o para 60; isto ocorrerá desde que você, antes de pressionar [N], tecle <f> (tecla amarela). þ ý Exemplo 7.24 - Conversão de taxas nominais para efetivas: Determine a taxa efetiva anual correspondente a 24,00%aa se a capitalização dos juros for: anual, semestral, mensal, diária e contínua. ⇒ Solução: Conforme o roteiro abaixo, onde partimos do Menu Principal... Utilização de Calculadoras 31 Roberto Zentgraf TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [FIN] [CONVI] 0.00 Acesso ao menu CONVI [PER] 0.00 Conversão Periódica 24 [%NOM] %NOM=24.00 Taxa Nominal 1 [P] P=1.00 Capitalização anual [%EFF] %EFF=24.00 Taxa Efetiva ao ano 2 [P] P=2.00 Capitalização semestral [%EFF] %EFF=25.44 Taxa Efetiva ao ano 12 [P] P=12.00 Capitalização mensal [%EFF] %EFF=26.82 Taxa Efetiva ao ano 360 [P] P=360.00 Capitalização diária [%EFF] %EFF=27.11 Taxa Efetiva ao ano <EXIT> [CONT] 27.11 Conversão Contínua [%EFF] %EFF=27.12 Taxa Efetiva ao ano ⇒ No roteiro acima, os valores fornecidos à variável [P] referem-se ao número de capitalizações existentes no prazo da taxa, que é anual. þ ý Exemplo 7.25 - Conversão de taxas efetivas para nominais: A taxa efetiva da Poupança é de aproximadamente 6,17%aa. Determine a correspondente taxa nominal anual com capitalização mensal. ⇒ Solução: Conforme o roteiro abaixo, onde partimos do Menu Principal... TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [FIN] [CONVI] 0.00 Acesso ao menu CONVI [PER] 0.00 Conversão Periódica 6.17 [%EFF] %EFF=6.17 Taxa Efetiva 12 [P] P=12.00 Nº de capitalizações [%NOM] %NOM=6.00 Taxa Nominal þ 32 Anexo Matemática Financeira Objetiva 8 Indicadores Utilizados na Avaliação de Investimentos Além das funções para cálculo do VPL e da TIR, a HP-17BII e a HP-19BII possuem ainda, funções para o cálculo do VFL e da SUL (Valor Futuro Líquido) e Série Uniforme Líquida, respectivamente). ý Exemplo 8.26 – Cálculo do VPL: Determine o VPL para o projeto do estacionamento ilustrado na Figura 8.9: Figura 8.9 - DFC para os Exemplos 8.5 e 8.13 ⇒ Solução – HP-17BII/HP-19BII: Através do roteiro a seguir, onde admitimos estar no menu principal e, no caso da HP-17BII, com a opção para inserção de número de fluxos de caixa consecutivos ligada: TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [FIN] [FLCX] Resultado do último exemplo [OBTER] [*NOVA] FLUXO INICIAL >INICIAL= Lista vazia HP esperando CF0... 158 <+/-> <INPUT> >FLUXO(1)= Insere CF0, HP esperando CF1/N1... 67.8<INPUT>4<INPUT> >FLUXO(2)= Insere CF1/N1, HP esperando CF2/N2 72.8<INPUT> <INPUT> >FLUXO(3)= Insere CF2/N2, HP esperando CF3/N3 [CALC] 20 [I%] [VPL] VPL=46.77 VPL para k=20,00%aa Obs: Na HP-17BII pressione <EXIT> para ter acesso ao menu [CALC] þ ý Exemplo 8.27: Determine o VFL para o projeto do estacionamento ilustrado na Figura 8.9: ⇒ Solução – HP-17BII/HP-19BII: Por possuírem a função [VFL] o cálculo poderá ser automaticamente realizado... assumindo que o resultado do Exemplo 8.26 estivesse no visor, faríamos: TECLE VISOR OBSERVAÇÕES VPL=46.77 VPL para k=20,00%aa [VFL] VFL=116.39 VFL para k=20,00%aa þ ý Exemplo 8.28: Determine o valor da SUL para o projeto de estacionamento ilustrado na Figura 8.9. Utilização de Calculadoras 35 Roberto Zentgraf Após o término da digitação, tecle [CALC]: a HP irá validar a fórmula e, caso não tenha ocorrido nenhum erro, apresentará o menu contendo as variáveis a serem utilizadas; para voltar à lista das fórmulas, tecle <EXIT>; alternativamente, ao terminar a inserção tecle <INPUT> para voltar diretamente à lista das fórmulas; Observações: • Na HP-17BII o teclado alfanumérico é simulado com as teclas de menu, o que torna a inserção de uma nova expressão um pouco mais trabalhosa; • Para a identificação das diversas fórmulas que ficarão disponíveis no SOLVE, uma boa dica é dar nomes a elas: antes da inserção da primeira variável, digite o nome desejado e separe-o do corpo da fórmula com <:> (dois pontos); • Na digitação de uma fórmula, além dos nomes das variáveis, você poderá incluir constantes numéricas, operadores aritméticos e funções predefinidas, como por exemplo SQRT (que calculará a raiz quadrada); consulte o manual de sua HP para obter a lista das funções existentes; • Em fórmulas complexas, a HP utilizará a convenção algébrica para a realização dos cálculos (primeiro executa as exponenciações, depois as multiplicações e divisões e por último as adições e subtrações); • Necessitando alterar a prioridade na execução de uma fórmula, utilize parêntesis. ý Exemplo A-1: as duas fórmulas seguintes no SOLVER de sua HP... 1001 100 I% 1OVER ; 100 IB% 1 100 I% 1 NDU 252 NB N ×         −      +=      +=      + ⇒ Solução: A fórmula da esquerda irá calcular taxas equivalentes e portanto será chamada de TXEQUIV; a fórmula da direita irá calcular taxas-over, conseqüentemente será chamada de TXOVER; admitindo que a HP esteja no Menu Principal, faça: 1. Tecle [SOLVE] <f> <↓> para atingir o fim da lista; 2. Digite: TXEQUIV:(1+I% ÷100) = (1+I%B ÷100)^(N÷NB) e tecle <INPUT>; 3. Tecle <f> <↓> para atingir o fim da lista; 4. Digite: TXOVER:OVER=((1+I%÷100)^(252÷NDU)-1)×100 e tecle <INPUT>. 5. Tecle <EXIT> para sair do SOLVER þ ý Exemplo A-2: Qual a taxa semestral equivalente a 1.500,00%aa ? E a taxa diária ? E a taxa mensal ? ⇒ Solução: Conforme a seqüência, onde admitimos estar no Menu Principal... 36 Anexo Matemática Financeira Objetiva TECLE VISOR OBSERVAÇÕES [SOLVE] <↑> >TXEQUIV:(1+I%÷100)=(1+ Posicionado em TXEQUIV [CALC] 0.00 Surge Menu com Variáveis 1500 [IB%] IB%=1,500.00 Taxa IB 360 [NB] NB=360.00 Prazo de IB em dias (1a=360d) 180 [N] N=180.00 Prazo de I em dias (1s=180d) [I%] I%=300.00 Taxa Semestral 1 [N] N=1.00 Prazo de I em dias (1d) [I%] I%=0.77 Taxa Diária 30 [N] N=30.00 Prazo de I em dias (1m=30d) [I%] I%=25.99 Taxa Mensal þ ý Exemplo A-3: Converta a taxa mensal encontrada no último exemplo em taxa- over, admitindo que para o mês analisado existam 18 dias úteis. ⇒ Solução: Admitindo que estejamos com o último resultado no visor, compartilharemos o valor encontrado na variável [I%] da Fórmula TXEQUIV com a variável [I%] da Fórmula TXOVER... a seqüência será (note que não é necessário reintroduzir o valor da taxa de 25.99): TECLE VISOR OBSERVAÇÕES <EXIT> <↓> >TXOVER:OVER=((1+I%÷10 Posicionado em TXOVER [CALC] 25.99 Surge Menu com Variáveis 18 [NDU] NDU=18.00 Dias úteis [OVER] OVER=2,439.84 Resposta: Tx-Over þ