Matemática financeira, Notas de aula de Administração Empresarial

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MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1 Aula 4 – Parte 1 1 Sistemas de Amortização ................................................................................................................. 2 1.1 Conceito .......................................................................................................................................... 2 1.2 Sistema Francês de Amortização .......................................................................................... 2 1.2.1 Tabela Price ........................................................................................................................... 4 1.2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês ............................................................. 4 1.2.3 Exercícios Resolvidos ......................................................................................................... 5 1.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) ...................................................................... 21 1.3.1 Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 27 1.4 Sistema de Amortização Misto (SAM) ............................................................................... 34 1.4.1 Exercício Resolvido ........................................................................................................... 34 1.5 Sistema Americano de Amortização .................................................................................. 36 1.5.1 Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 37 2 Relação das questões comentadas ........................................................................................................... 40 3 Gabaritos .................................................................................................................................................. 47 4 Tabelas Financeiras ........................................................................................................................... 48 MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2 Olá pessoal! De acordo com a nossa programação, hoje vamos estudar os Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos. 1 Sistemas de Amortização 1.1 Conceito A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o capital emprestado de modo que, para efeito deste concurso, estudaremos os seguintes: Sistema Francês (Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema Americano (SA). Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a descrição do estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada prestação (juros + quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação. Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações, que correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à remuneração do capital emprestado. 1.2 Sistema Francês de Amortização Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o capital. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 5 A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de amortização do capital (A1), somada aos juros do primeiro período (J1 = D.i). Logo, P = A1 + J1 Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: 1 1 (1 ) n nA A i    Para calcular o juro, basta efetuar P = An + Jn. 1.2.3 Exercícios Resolvidos 01. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. Resolução A situação descreve perfeitamente o Sistema de Amortização Francês, já que as prestações são constantes. Letra B 02. (FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19a prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 6 (E) 15.398,27 Resolução Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Como a taxa é de 1% ao mês, então a quota de juros na próxima prestação será igual a: A prestação é igual a R$ 1.000,00. Destes R$ 1.000,00, R$ 163,98 são referentes aos juros da transação. Qual é a cota de amortização? O que diminui a dívida é a quota de amortização. A dívida antes era de R$ 16.398,27. Ao pagar a próxima prestação, esta dívida diminuirá R$ 836,02 e passará a ser reais. Letra D 03. (AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 163,00 d) R$ 181,00 e) R$ 200,00 Resolução Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema Francês de Amortização. O juro pago na primeira prestação é dado por: 1J D i  1 15.000 0,02J   1 300J  MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7 Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da prestação. n iD P a   São 18 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. 18 2%15.000 P a   15.000 14,992031P  1.000,00P  E como sabemos que 1 300J  , então a quota de amortização da primeira prestação será: 1 1P A J  1 1A P J  MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10 1 300J  Como as prestações são constantes e iguais a R$ 1.665,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 300,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 1.665,00 – 300,00 = 1.365,00. Ou seja, já que 1 1P A J  1 1A P J  1 1.665 300 1.365A    Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: 1 1 (1 ) n nA A i    Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: 2 1 2 1 (1 )A A i    1 2 1.365 1,02A   2 1.392,30A  Já que 2 2P A J  2 2J P A  2 1.665 1.392,30 272,70J    Letra B 05. (AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ 75.560,00. b) R$ 76.120,00. A u c i l e n e F e l i x M a r i n h o 0 6 3 1 7 7 8 8 4 5 6 A u c i l e n e F e l i x M a r i n h o 0 6 3 1 7 7 8 8 4 5 6 MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11 c) R$ 78.220,00. d) R$ 77.440,00. e) R$ 76.400,00. Resolução Trata-se novamente da quitação de um financiamento pelo Sistema Francês. O valor do financiamento é de R$ 82.000,00 e será feito em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre. O grande problema é que nessa prova não foi fornecida a tabela financeira. O valor da parcela será calculado com o auxílio da seguinte expressão: Onde i = 0,10 e n = 18. O problema surge aqui. A questão foi anulada porque alguns candidatos receberam a tabela financeira e outros candidatos não receberam. Quem recebeu a tabela financeira fez apenas uma divisão. Quem não recebeu, teve que calcular na mão, o que não deve ter sido agradável. O juro pago na primeira parcela é 1 82.000 0,10 8.200J D i     Assim a quota de amortização da primeira parcela é A1 = 10.000 – 8.200 = 1.800 Ou seja, dos R$ 82.000,00 (valor da dívida), foram pagos R$ 8.200,00 de juros e amortizados R$ 1.800 da dívida. Assim, o saldo devedor é igual a 82.000 – 1.800 = 80.200. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 12 1 1 (1 ) n nA A i    Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: 2 1 2 1 (1 )A A i    1 2 1.800 1,10A   2 1.980A  Ao efetuar o pagamento da 1ª prestação (R$ 10.000,00) o saldo devedor foi de R$ 80.200,00. Ao efetuar o pagamento da 2ª prestação (também de R$ 10.000,00) foram amortizados mais R$ 1980,00. Assim, o saldo devedor é igual a 80.200 – 1.980 = 78.220,00. Letra C (questão anulada) 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ 37.473,15 b) R$ 36.828,85 c) R$ 35.223,70 d) R$ 35.045,85 e) R$ 34.868,15 Resolução Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser quitado em 20 prestações mensais iguais. Calculemos o valor de cada prestação. n iD P a   1 n i n i D P D a a     MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 15 Assim, devemos transportar o empréstimo de US$ 300.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni . Assim, devemos multiplicar 300.000,00 por 4(1 0,06) Dessa forma, US$ 300.000,00 na data 0 equivale a 4300.000 1,06 378.743,10  no 4º semestre. O desenho da questão ficará assim: Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês. n iD P a   12 6%378.743,10 P a   MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 16 378.743,10 8,383844P  378.743,10 45.175,35 8,383844 P   Letra E 08. (Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ 20.330,00 b) R$ 18.093,00 c) R$ 16.104,00 d) R$ 15.431,00 e) R$ 14.000,00 Resolução As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 17 n iD P a   Onde n ia  é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”. Tem-se que (1 ) 1 (1 ) n n i n i a i i       . Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Assim, devemos transportar o empréstimo de R$ 100.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni . Assim, devemos multiplicar 100.000,00 por 4(1 0,06) Assim, R$ 100.000,00 na data 0 equivale a 4100.000 1,06 126.247,70  no 4º semestre. O desenho da questão ficará assim: Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês. n iD P a   8 6%126.247,70 P a   MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 20 Letra A 11. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a a) R$ 3.168,00. b) R$ 3.232,00. c) R$ 3.264,00. d) R$ 3.368,00. e) R$ 3.374,00. Resolução No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da dívida e as prestações. O número é o chamado Fator de Recuperação de Capital. O juro pago na primeira prestação é dado por: Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 21 Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a Letra B 1.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. P = A + J Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são constantes. Logo, as prestações não serão constantes. É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais amortizamos a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão diminuindo. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 22 O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC. Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$ 96.000,00 que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à taxa de 9% ao trimestre. Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada período, discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e qual o saldo devedor após o pagamento. O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em cada prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ 96.000,00 será quitado em seis prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização seja o mesmo, devemos dividir R$ 96.000,00 por 6 para saber quanto será amortizado em cada prestação. Chamando de a quota de amortização: 96.000 16.000 6 A   Chamando o valor da dívida de D, então D A n  Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida. Assim para calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido ao saldo devedor do período anterior. Vejamos passo a passo: A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim, como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira prestação serão pagos 0,09 96.000 8.640  referentes aos juros. Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$ 16.000,00 mais o juro relativo ao saldo devedor – R$ 8.640,00. 1 16.000 8.640 24.640,00P    E qual o novo saldo devedor? Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença: MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 25 0,09 32.000 2.880  referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 32.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 16.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 2.880,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 5 16.000,00 16.000,00 2.880,00 18.880,00 80.000,00 Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 16.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 16.000 1.440  referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 16.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 1.440,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 26 4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 5 16.000,00 16.000,00 2.880,00 18.880,00 80.000,00 6 - 16.000,00 1.440,00 17.440,00 96.000,00 Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC. Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros pagos nas prestações vão diminuindo). Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela par outra foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$ 1.440,00. O mesmo aconteceu com o juro de cada período. Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão Aritmética de razão 1.440 . Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200 prestações não precisaríamos construir a planilha passo a passo como o fizemos aqui. Basta utilizar os conceitos de Progressão Aritmética. Os passos que seguiremos serão os seguintes: i) Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor da dívida original pelo número de prestações. Assim, D A n  . No nosso exemplo, 96.000 16.000 6 A   . ii) Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, 1J i D  . No nosso exemplo, 1 0,09 96.000 8.640J    . iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, 1 1P A J  . No nosso exemplo, temos 1 16.000 8.640 24.640P    . iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A   . No nosso exemplo, 0,09 16.000 1.440r      . MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 27 Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. No caso, o módulo de 1.440 é igual a 1.440 , que é justamente o juro pago na última prestação. v) O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é igual a nS D n A   . Por exemplo, o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação será igual a 4 4S D A   . No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será 3 3 96.000 3 16.000 48.000S D A       É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma comparação entre os dois sistemas de amortização estudados – Sistema Francês (Price) e SAC – a primeira prestação será maior no SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de prestações). 1.3.1 Exercícios Resolvidos 12. (Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros. Comparando os dois, o investidor observa que (A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price. (B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo. (C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo. (D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price. (E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price. Resolução Vamos analisar cada um dos itens de per si. A alternativa A fala em valor presente líquido. Valor presente líquido é quando você transporta todas as prestações para a data 0 e calcula o somatório. Não há como dizer qual deles é maior e qual deles é menor. Cada caso é um caso. A alternativa B é falsa. As prestações, pelo SAC, são decrescentes. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 30 O juro pago na primeira prestação corresponde a 1% da dívida. Desta forma, a primeira prestação é de: Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 2010, a prestação referente a junho de 2010 é a quinta. Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética decrescente de razão . Queremos calcular a quinta prestação. Utilizemos a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética. Letra C 16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.812,50. (E) R$ 3.875,00. Resolução Queremos calcular a diferença O primeiro passo é calcular a quota de amortização. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 31 As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão . A razão é negativa porque as prestações são decrescentes. São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação. Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação e a 1ª prestação é a seguinte. Que é justamente o que queríamos calcular. Letra A 17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.750,00 e) R$ 1.800,00 Resolução O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a dívida pelo número de prestações. No caso, a quota de amortização será 3.600 450 8 D A n    . O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação 4 44 3.600 4 450 1.800S D A S        . Letra E 18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 32 taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 150,00 Resolução i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais. 50.000 2.500 20 D A n    ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, 1 1 0,02 50.000 1.000J i D J      . iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, 1 1 1 12.500 1.000 3.500P A J P P       . iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A   . No nosso exemplo, 0,02 2.500 50r      . Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão 50r   e primeiro termo igual a R$ 3.500,00. Assim, 10 1 109 3.500 9 ( 50) 3.500 450 3.050P P r P           Letra C 19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 35 misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a a) R$ 3.320,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 3.480,00 d) R$ 4.140,00 e) R$ 4.280,00 Resolução Trabalharemos separadamente com os dois sistemas – SAC e Price. i) Sistema Francês (Price) A principal característica do Sistema Price é que as prestações são constantes. Vamos calcular o valor de cada prestação. ii) Sistema de Amortização Constante (SAC) Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 36 ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, . iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, . iv) Vamos calcular a razão da progressão aritmética (formada pelas prestações do SAC). Sabemos que . Dessa forma, . v) Vamos calcular a trigésima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão e primeiro termo igual a R$ 4.400,00. Assim, . Sistema de Amortização Misto – a parcela de um período qualquer é a média aritmética entre a parcela do SAC e a parcela do Sistema Francês. Parcela pelo Sistema Price: R$ 3.480,00 Parcela pelo Sistema SAC : R$ 3.240,00 Parcela pelo Sistema Misto Letra B 1.5 Sistema Americano de Amortização O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Exemplo: Construa a planilha de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 deve ser quitado pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 37 10% ao mês. Considere uma carência de 3 meses e que os juros são pagos durante o período de carência. Resolução O juro pago em cada período da carência é de 10% ao mês. Logo, o juro pago em cada período é igual a: Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 0 0 0 100.000 1 0 10.000 10.000 100.000 2 0 10.000 10.000 100.000 3 100.000 10.000 110.000 0 1.5.1 Exercícios Resolvidos 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução I. Verdadeiro. Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. II. A quota de amortização é de R$ 80.000,00/5 = R$ 16.000,00. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 40 2 Relação das questões comentadas 01. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. 02. (FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19a prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 (E) 15.398,27 03. (AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 163,00 d) R$ 181,00 e) R$ 200,00 04. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 41 Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 05. (AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ 75.560,00. b) R$ 76.120,00. c) R$ 78.220,00. d) R$ 77.440,00. e) R$ 76.400,00. 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ 37.473,15 b) R$ 36.828,85 c) R$ 35.223,70 d) R$ 35.045,85 e) R$ 34.868,15 07. (ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que: MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 42 • a taxa é nominal de 12% ao ano, • o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência • os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ 37,134.00 b) US$ 39,253.00 c) US$ 40,564.00 d) US$ 43,740.00 e) US$ 45,175.00 08. (Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ 20.330,00 b) R$ 18.093,00 c) R$ 16.104,00 d) R$ 15.431,00 e) R$ 14.000,00 09. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: a) R$ 14.000,00. b) R$ 14.147,53. c) R$ 14.198,84. d) R$ 14.213,05. e) R$ 14.322,01. 10. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 51.492,10 b) $ 58.492,10 c) $ 62.492,52 d) $ 66.492,10 MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 45 19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a a) R$ 3.700,00 b) R$ 3.650,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.550,00 e) R$ 3.500,00 21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a a) R$ 3.320,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 3.480,00 MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 46 d) R$ 4.140,00 e) R$ 4.280,00 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. 23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 47 3 Gabaritos 01. B 02. D 03. C 04. B 05. C 06. B 07. E 08. A 09. D 10. A 11. B 12. D 13. C 14. E 15. C 16. A 17. E 18. C 19. C 20. B 21. B 22. E 23. C