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apostila mecanica resolvida, Notas de estudo de Cultura

apostila estatica resolvida

Tipologia: Notas de estudo

2011

Compartilhado em 06/06/2011

ronaldo-pacheco-10
ronaldo-pacheco-10 🇧🇷

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Baixe apostila mecanica resolvida e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! Mecânica Técnica Aula 1 – Conceitos Fundamentais Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula  Apresentação do Curso.  Apresentação da Bibliografia  Definição da Mecânica Técnica.  Sistema Internacional de Unidades. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Definição de Mecânica  A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três partes: a mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos deformáveis e a mecânica dos fluidos. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Mecânica dos Corpos Rígidos  A mecânica dos corpos rígidos pode ser dividida em estática (equilíbrio de um corpo rígido) e dinâmica (movimento de um corpo rígido).  A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento com velocidade constante.  A dinâmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a parte da mecânica dos corpos rígidos dedicada ao estudo do movimento de corpos sob a ação de forças, ou seja, movimentos acelerados dos corpos. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Grandezas Físicas Presentes na Mecânica Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  a) Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posição de um ponto no espaço. A partir do comprimento é possível descrever com exatidão a dimensão de um sistema físico. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de comprimento é o metro (m).  b) Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medições desse intervalo podem ser realizadas por comparações, como por exemplo, eventos repetitivos tal como a rotação da Terra ao redor de seu próprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de tempo é o segundo (s). Como o presente curso trata apenas dos problemas de estática, a quantidade tempo não possui influência significativa na solução dos problemas, porém em problemas de dinâmica, o tempo é uma grandeza muito importante para descrever as variações de posição, velocidade, aceleração e forças em um corpo.  c) Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posição do corpo e do local no qual o mesmo é colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de massa é o quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matéria que permite comparar a ação de um corpo em relação a outro e de um modo geral pode ser interpretada com a resistência que um corpo oferece a mudanças em seu movimento de translação.  d) Força: Pode ser definida como a ação de um corpo em outro corpo. Como um corpo não pode exercer uma força em um segundo corpo a menos que este ofereça uma resistência, pode-se concluir que uma força nunca existe só, ou seja, as forças sempre ocorrem aos pares, e as duas forças possuem a mesma magnitude e sentidos contrários. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de força é o Newton (N), que é representado a partir da seguinte relação, 1 N = 1 kgm/s². Mecânica Técnica Definição das Unidades de Base Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  Metro (m): É o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo.  Quilograma (kg): É igual à massa do protótipo internacional, feito com uma liga platina - irídio, dentro dos padrões de precisão e confiabilidade que a ciência permite.  Segundo (s): É a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do átomo de césio-133, no estado fundamental.  Ampère (A): É uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilíneos e paralelos, de comprimento infinito e seção transversal desprezível, colocados a um metro um do outro no vácuo, produziria entre estes dois condutores uma força igual a 2 x10-7 newton, por metro de comprimento.  Kelvin (K): É a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água.  Mol (mol): É a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos forem os átomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentários: a) O nome desta quantidade vem do francês "quantité de matière",derivado do latim "quantitas materiae", que antigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em inglês usa- se o termo "amount of substance". Em português, consta no Dicionário como "quantidade de substância", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matéria", até uma definição mais precisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons ou outras partículas ou agrupamentos de tais partículas.  Candela (cd): É a intensidade luminosa, em uma determinada direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de freqüencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naquela direção de 1/683 watt por esteradiano. Mecânica Técnica Unidades Suplementares do SI Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  São apenas duas as unidades suplementares: o radiano, unidade de ângulo plano e o esteradiano, unidade de ângulo sólido. Mecânica Técnica sresteradianoângulo sólido radradianoângulo plano SímboloUnidadeGrandeza Unidades Derivadas do SI  São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica mol/m3mol por metro cúbicoconcentração m3/kgmetro cúbico por quilogramavolume específico kg/m3quilograma por metro cúbicodensidade m-1metro recíproco número de onda m/s2metro por segundo quadradoaceleração m/smetro por segundovelocidade m3metro cúbicovolume m2metro quadradoárea SímboloUnidadeGrandeza Múltiplos e Submúltiplos Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica zzepto0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21 aatto0,000 000 000 000 000 001 = 10-18 ffemto0,000 000 000 000 001 = 10-15 ppico 0,000 000 000 001 = 10-12 nnano0,000 000 001= 10-9 µmicro0,000 001 = 10-6 m mili0,001 = 10-3 ccenti0,01 = 10-2 d deci0,1 = 10-1 dadeca10 = 101 h hecto100 = 102 kquilo1 000 = 103 Mmega1 000000 = 106 Ggiga1 000 000 000 = 109 Ttera1 000 000 000 000 = 1012 Ppeta 1 000 000 000 000 000 = 1015 Eexa1 000 000 000 000 000 000 = 1018 Zzetta1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 SímboloPrefixoFator Escrita de Unidades Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  Os princípios gerais relativos à escrita de símbolos das unidades foram adotadas pela 9ª CGPM, em 1948, alguns comentários são apresentados a seguir.  a) Os símbolos usados para discriminar quantidades físicas devem ser apresentados em itálico, mas os símbolos das unidades são digitados em romano [ex: F = 23 N].  b) As unidades derivadas de nomes próprios devem ser escritas com a primeira letra em maiúsculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minúsculo [ex: newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minúsculo ou maiúsculo ( l ou L ).  c) O símbolo da unidade é geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade [ex: grama, g e não gm; segundo, s e não seg ou sec], com algumas exceções [ex: mol, cd e Hz]. Também, o símbolo da unidade não deve ser seguido por um ponto e o seu plural não é seguido de "s" [ex: 3 kg e não 3 kg. ou 3 kgs].  d) A palavra "grau" e seu símbolo "°" devem ser omitidos da unidade de temperatura termodinâmica, T [isto é, usa-se apenas kelvin ou K e não Kelvin ou °K], mas são retidos quando se quer designar temperatura Celcius, t [ex: graus Celcius ou °C].  e) Os símbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 são escritos em maiúsculo, enquanto que todas os outros são escritos em minúsculo [ex: mega, M; hecto, h].  f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas não M/m3].  g) Não deve ser colocado espaço entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos devem ser evitados [ex: 1 pF, e não 1 p F ou 1 µµF; 1 nm, e não 1mµm]. Mecânica Técnica Escrita de Unidades Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  h) O agrupamento formado pelo símbolo do prefixo ligado ao símbolo da unidade constitui-se em um novo e inseparável símbolo, de modo que pode ser elevado a potências positivas ou negativas e ser combinado com outros símbolos de unidades para formar símbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica à unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1 cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1µs-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 102 V/m].  i) Quando um múltiplo ou submúltiplo de uma unidade é escrito por completo, o prefixo deve ser também escrito por completo, começando com letra minúscula [ex: megahertz, e não Megahertz ou Mhertz].  j) O quilograma é a única unidade de base cujo nome, por razões históricas, contém um prefixo. Seus múltiplos e submúltiplos são formados adicionando-se os prefixos à palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e não 1 microquilograma ou 1µkg].  k) A multiplicação de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou deixando-se um espaço entre as unidades [ex: ou N m].  l) A divisão pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de fração horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido da barra inclinada não é permitido [ex: m/s2, mas não m/s/s; m kg/ (s3 A), mas não m kg/s3/A]. Para se evitar má interpretação, quando mais de uma unidade aparece no denominador, deve-se utilizar parêntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou W m-2 K-4]. Mecânica Técnica Mecânica Técnica Aula 2 – Lei dos Senos e Lei dos Cossenos Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula  Cálculo de Força Resultante.  Operações Vetoriais.  Lei dos Senos.  Lei dos Cossenos. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Grandezas Escalares  Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real. Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Solução Escalar  Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e subtração vetorial, bem como a determinação das componentes de um vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cossenos, que representam propriedades fundamentais da trigonometria e são descritas a seguir a partir da figura a seguir e das respectivas equações. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Lei dos Senos e dos Cossenos  Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a lei dos senos é definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos”. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica γβα sen C sen B sen A == γcosABBAC 222 −+=  A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a lei dos cossenos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado”. B A C α β γ Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo  O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a aplicação da regra do paralelogramo. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Exercício 2  2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Solução do Exercício 2 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica ° = ° = ° 3040110 sen F sen F sen F CBCAR ° °⋅ = ° °⋅ = 110 4030 110 40 sen sen sen senF F RCA 52,20=CAF ° °⋅ = ° °⋅ = 110 3030 110 30 sen sen sen senF F RCB 96,15=CBF F CAFCB F R = 30 kN 30° 40° 110° A partir da regra do paralelogramo, deve-se construir um triângulo de vetores envolvendo as forças atuantes nos cabos CA e CB e a força resultante, de forma a identificar as incógnitas do problema. A partir da aplicação da lei dos senos, pode-se determinar os módulos das forças atuantes em cada um dos cabos CA ou CB da seguinte forma. Resolvendo para F CA tem-se que: Resolvendo para F CB tem-se que: kN kN Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  1) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo. Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  4) Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ângulo θ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N. Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  5) A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir uma força resultante de 950N oreintada no eixo x positivo, considere θ = 50º. Mecânica Técnica Exercícios Propostos  6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Mecânica Técnica Aula 3 – Sistemas de Forças Coplanares, Vetores Cartesianos Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula  Sistemas de Forças Coplanares.  Determinação de Força Resultante.  Componentes de um Vetor Cartesiano. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Componentes de um Vetor  Quando um vetor R é expresso segundo a soma de dois vetores A e B, cada um dos vetores A e B são chamados de componentes de R, portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duas componentes a partir da aplicação da regra do paralelogramo. Um exemplo de decomposição vetorial pode ser observado na figura a seguir, onde, conhecendo-se as linhas de ação de cada componente, o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Método das Componentes Retangulares  Assim, pode-se notar que quanto maior o número de forças envolvidas no sistema, maior é o tempo dispensado para encontrar a força resultante, pois se necessita da aplicação da regra do paralelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho de geometria e trigonometria para se determinar o valor numérico da resultante do sistema e sua respectiva direção.  Porém, este exaustivo processo é suprido de forma rápida através da aplicação de uma metodologia que utiliza uma soma algébrica das componentes de cada um dos vetores força que formam o sistema.  Este método é denominado “método das componentes retangulares” e consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores, formando desse modo um sistema de forças colineares projetados nos eixos de coordenadas do sistema de referência. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Decomposição de Forças  Convenção de Sinais.  x – Positivo para a direita, negativo para a esquerda.  y – Positivo para cima, negativo para baixo.  No plano, utilizam-se os versores e . Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica i r j r Redução a uma Única Força Resultante  Decompor as forças nos eixos x e y.  Utilizar trigonometria, decomposição em seno e cosseno. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica jFiFF yx rrr 111 += jFiFF yx rrr 222 +−= jFiFF yx rrr 333 −= ∑ ++++== nR FFFFFF rrrrrr ......321 Força Resultante: Soma Vetorial Vetores Cartesianos: Solução do Exercício 1 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica )º30º30cos( 111 jsenFiFF rrr ⋅+⋅= )º30600º30cos600(1 jseniF rrr ⋅+⋅= )º45º45cos( 222 jsenFiFF rrr ⋅+⋅−= )º45400º45cos400(2 jseniF rrr ⋅+⋅−= )º45400º45cos400()º30600º30cos600( jsenijseniFR rrrrr ⋅+⋅−+⋅+⋅= jsenseniFR rrr )º45400º30600()º45cos400º30cos600( ⋅+⋅+⋅−⋅= )8,5828,236( jiFR rrr += Decomposição das Forças: Força 1: Força 2: Força Resultante: N N N Solução do Exercício 1 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica 22 8,5828,236( +=RF 629=RF       = x y F F arctgθ       = 8,236 8,582 arctgθ °= 9,67θ Módulo da Força Resultante: Direção da Força Resultante: N Exercício 2  2) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  1) Três forças atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x’ positivo e tenha intensidade de 1kN. Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  2) Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  3) O gancho da figura está submetido as forças F1 e F2, determine a intensidade e a orientação da força resultante. Mecânica Técnica Próxima Aula  Operações com Vetores Cartesianos.  Vetor Unitário.  Ângulos Diretores Coordenados Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Mecânica Técnica Aula 4 – Adição e Subtração de Vetores Cartesianos Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula  Operações com Vetores Cartesianos.  Vetor Unitário.  Ângulos Diretores Coordenados. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Representação de um Vetor Cartesiano  Um vetor cartesiano é escrito sob a forma de suas componentes retangulares.  As componentes representam a projeção do vetor em relação aos eixos de referência.  Quando se escreve um vetor na forma cartesiana suas componentes ficam separadas em cada um dos eixos e facilita a solução da álgebra vetorial. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica kAjAiAA zyx rrrr ++= 222 zyx AAAA ++= Módulo do vetor cartesiano: Vetor cartesiano: Ângulos Diretores Coordenados  A orientação de um vetor no espaço é definida pelos ângulos diretores coordenados α, β, e γ medidos entre a origem do vetor e os eixos positivos x, y e z. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica A Ax r =αcos A Ay r =βcos A Az r =γcos Determinação dos Ângulos Diretores Coordenados Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica k A A j A A i A A A A u z yx A rrr r r ++== kjiuA rrrr γβα coscoscos ++= 1coscoscos 222 =++ γβα Solução do Exercício 1 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica ∑ +== 21 FFFFR rrrr )8060()10010050( kjkjiFR rrrrrr +++−= )1804050( kjiFR rrrr +−= 191=RF N Módulo da força resultante: Vetor força resultante: N N 222 1804050 ++=RF Solução do Exercício 1 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica k F F j F F i F F F F u R Rz R Ry R Rx R R FR rrr r r ++== kjiu RF rrrr 191 180 191 40 191 50 +−= kjiu RF rrrr 942,0209,0261,0 +−= R Rx F F r =αcos 261,0cos =α )261,0arccos(=α °= 8,74α R Ry F F r =βcos 209,0cos −=β )209,0arccos(−=β °= 102β R Rz F F r =γcos 942,0cos =γ )942,0arccos(=γ °= 6,19γ Vetor unitário da força resultante: Ângulos diretores: Exercício 2  2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  1) Expresse a força F como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  2) A peça montada no torno está sujeita a uma força de 60N. Determine o ângulo de direção β e expresse a força como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  3) O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e γ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja N Mecânica Técnica )350( iFR rr = Próxima Aula  Vetores Posição.  Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta.  Produto Escalar Aplicado na Mecânica. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Mecânica Técnica Aula 5 – Vetor Posição, Aplicações do Produto Escalar Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula  Vetores Posição.  Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta.  Produto Escalar Aplicado na Mecânica. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Aplicações do Vetor Posição Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta  Pode-se definir uma força como um vetor cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direção e sentido que o vetor posição orientado do ponto A para o ponto B na corda. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica      ⋅=⋅= r r FuFF r rr Exercício 1  1) a corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B, determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Exercício 2  2) A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a força no cabo em A é igual a 500N, expresse essa força como um vetor cartesiano. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Solução do Exercício 2 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica )2,0,0(A )0;707,0;707,1B kzzjyyixxr ABABABAB rrrr )()()( −+−+−= kjirAB rrrr )20()0707,0()0707,1( −+−+−= )2707,0707,1( kjirAB rrrr −+= 222 2707,0707,1 ++=ABr 723,2=ABr AB AB AB r r u r r = 723,2 2707,0707,1 kji uAB rrr r −+ = kjiu AB rrrr 734,0259,0626,0 −+= ABuFF rr ⋅= )734,0259,0626,0(500 kjiF rrrr −+⋅= Vetor Posição AB: Módulo do Vetor Posição: Vetor Unitário AB: Vetor Força: )3671303,31( kjiF rrrr −+= m m m m N Produto Escalar  Em determinados problemas de estática é necessário se determinar o ângulo formado entre duas retas ou então os componentes paralelo e perpendicular de uma força em relação a um eixo.  Principalmente em problemas tridimensionais, a solução por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma maneira rápida de se obter o resultado desejado é a partir da álgebra vetorial.  O método que pose ser utilizado é o produto escalar entre dois vetores. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Exercício 3 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues  3) A estrutura mostrada na figura está submetida a uma força horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa força paralela e perpendicular ao elemento AB. Mecânica Técnica Solução do Exercício 3 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica ABAB uFFF rr •=⋅= θcos// AB AB AB r r u r r = kjirAB rrrr 362 ++= 222 362 ++=ABr 7=ABr Força Paralela a Barra AB: Cálculo do Vetor Unitário AB: Vetor Posição AB: Módulo do Posição AB: m m Solução do Exercício 3 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica 7 362 kji uAB rrr r ++ = kjiu AB rrrr 429,0857,0286,0 ++= )429,0857,0286,0()300(// kjijF AB rrrr ++•= )429,00()857,0300()286,00(// ⋅+⋅+⋅=ABF 1,257// =ABF ABABAB uFF rv ⋅= //// )429,0857,0286,0(1,257// kjiF AB rrrv ++⋅= )1102205,73(// kjiF AB rrrv ++= ABAB FFF // vrv −=⊥ )1102205,73()300( kjijF AB rrrrv ++−=⊥ )110805,73( kjiF AB rrrv −+−=⊥ 2 // 2 ABAB FFF +=⊥ 22 1,257300 +=⊥ABF 155=⊥ABF AB AB AB r r u r r = Cálculo do Vetor Unitário AB: ABAB uFFF rr •=⋅= θcos// Força Paralela a Barra AB: Vetor Força Paralela a Barra AB: Força Perpendicular a Barra AB: Em Módulo: N N N N
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