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Capítulo 7 – Modulação Digital

Em um processo de modulação, o sinal que se deseja transmitir, denominado de sinal modulante, é transportado por um segundo sinal, denominado de portadora. Logo, podemos definir modulação como o processo pelo qual uma característica da portadora é alterada de modo a transportar a informação que se deseja transmitir (o sinal modulante). Se o sinal modulante for analógico, tem-se um processo de modulação analógica; se for digital, tem-se um processo de modulação digital.

A portadora é normalmente um sinal cosseinodal, da forma:

(7.1)

em que A representa a magnitude do sinal, f representa a sua frequência e  representa a fase do sinal. As três características da portadora – amplitude, frequência e fase - dão origem às três modulações básicas: modulação em amplitude, modulação em frequência e modulação em fase. Há ainda a possibilidade de alterar duas características da portadora, como amplitude e fase.

As modulações analógicas têm pouca aplicação nos modernos sistemas de telecomunicações. Excetuando as emissoras de rádio, que ainda utilizam modulação AM e FM, e as emissoras de TV, praticamente todos os outros sistemas de comunicações utilizam modulação digital. Mesmo em transmissão de rádio e TV, há uma tendência mundial de digitalização dos sistemas, como já ocorreu com a definição do padrão de TV digital para o Brasil. Portanto, neste capítulo estudaremos apenas as técnicas de modulação digital.

Quando o sinal modulante é digital, as modulações em amplitude, em frequência e em fase recebem os nomes, respectivamente, de ASK (Amplitude Shift Keying), FSK (Frequency Shift Keying) e PSK (Phase Shift Keying). Na modulação QAM (Quadrature Amplitude Modulation), a amplitude e a fase da portadora são alteradas para transportar a informação do sinal digital.

A Figura 7.1 ilustra a forma de onda dessas modulações. Na parte (a) da figura tem-se o sinal digital a ser transmitido (sinal modulante) e na parte (b) a portadora que será utilizada para transportar a informação binária do sinal digital. A modulação ASK é ilustrada na parte (c) da figura: nesta os bits a serem transmitidos são caracterizados pela amplitude da portadora, com um nível V1 representado o bit 1 e um nível V0 representando o nível zero. Na forma mais comum de implementação, que está ilustrada na figura, o bit 1 é caracterizado pela presença da portadora, enquanto o bit 0 é caracterizado pela sua ausência; logo, a informação binária está contida na amplitude do sinal modulado. A modulação FSK está ilustrada na parte (d) da figura: aqui o bit 1 é representado por um sinal de freqüência f1 (neste caso igual à freqüência da portadora) e o bit 0 é representado por um sinal de freqüência f2 diferente de f1; logo, a informação binária está contida na freqüência do sinal modulado. A modulação PSK está ilustrada na parte (e) da figura: nesta modulação o bit 1 é caracterizado por um sinal com fase 1 em relação à portadora, sendo 1 usualmente igual a zero grau (ou seja, o sinal está em fase com a portadora – como ilustrado na figura), e o bit 0 é caracterizado pela presença de um sinal com fase 2 (normalmente 180 graus) em relação à portadora; ou seja, a informação binária está contida na fase do sinal modulado. Por fim, a parte (f) da figura ilustra a modulação QAM: nesta modulação varia-se a amplitude e a fase da portadora, como ilustrado, para representar a informação digital a ser transmitida.

Figura 7.1 – Ilustração das Modulações ASK, FSK, PSK e QAM.

As modulações ilustradas na Figura 7.1 são denominadas binárias, pois só há dois símbolos (forma de onda do sinal modulado) possíveis em cada modulação. Ou seja, duas amplitudes, duas freqüências, duas fases ou, no caso do QAM, duas combinações de amplitude e fase. No entanto, deve-se ressaltar que, como se verá a seguir, há modulações com um maior número de símbolos possíveis. Nesse caso, se o sinal modulante é binário, cada símbolo transporta a informação de mais de um bit.

Para modulações não binárias a visualização dos símbolos possíveis por meio da forma de onda do sinal pode ser difícil. Uma forma de representar os símbolos da modulação, particularmente útil para modulações M-PSK e M-QAM (onde M é o número de símbolos do sinal modulado), é por meio do diagrama de constelação da modulação. O diagrama de constelação representa as amplitudes e fases que a portadora pode assumir.

A Figura 7.2 ilustra o diagrama de constelação para uma modulação QPSK (Quaternary PSK) e 8-PSK. Em ambos os casos as amplitudes são constantes, havendo quatro fases possíveis (+45º , -45º , +135º e – 135º) na modulação QPSK e oito fases possíveis (0o, 45º , 90º, 135º, 180º, 225º, 270º e 315º) na modulação 8-PSK. Pode-se observar que na modulação QPSK cada símbolo do sinal modulado (ponto na constelação) transporta a informação de dois bits do sinal modulante digital binário, enquanto na modulação 8-PSK cada símbolo transporta a informação de três bits do sinal modulante digital. Assim, a taxa de transmissão de símbolos é metade da taxa de transmissão de bits na modulação QPSK e 1/3 da taxa de transmissão de bits na modulação 8-PSK. A taxa de transmissão de símbolos é dada em baud, em homenagem a Emile Baudot, inventor do código Baudot utilizado em telegrafia.

Figura 7.2 – Diagramas de constelação para modulações Q-PSK e 8-PSK.

Observa-se também na Figura 7.2 que símbolos adjacentes diferem entre si por apenas um bit. Por exemplo, o símbolo de fase 45º da modulação 8-PSK transporta os bits 111, enquanto seu vizinho inferior (fase 0o) transporta os bits 101 (diferença de 1 bit para 111) e seu vizinho superior (fase 90º) transporta os bits 110 (diferença de 1 bit para 111). Esta forma de arranjar a constelação é denominada de Mapeamento de Gray. Isto é feito para que um erro no processo de detecção de um símbolo no receptor resulte, na grande maioria das vezes, no erro de apenas 1 bit. Voltaremos a discutir esta questão ao analisar a probabilidade de erro de bit das modulações (Seção 7.3).

A Figura 7.3, por sua vez, ilustra as constelações das modulações 16-QAM (pontos dentro do quadrado interno) e 64-QAM (pontos dentro do quadrado externo). Note que, neste caso, há variação na amplitude dos símbolos, além da variação de fase.

Figura 7.3 – Constelações das modulações 16-QAM e 64-QAM.

A comparação do desempenho das técnicas de modulação é, normalmente, feita com base em dois parâmetros: a eficiência espectral e a probabilidade de erro de bit. Nas seções seguintes descreveremos brevemente as características das principais modulações quanto a estes parâmetros.

7.1. Largura de Faixa Mínima e Eficiência Espectral

A largura de faixa mínima, como o próprio nome define, representa a menor largura de faixa do canal que, teoricamente, permitirá que o sinal modulado seja transmitido pelo canal e recebido adequadamente no receptor.

A eficiência espectral é definida como a relação entre a taxa de transmissão e a largura de faixa mínima necessária para se transmitir o sinal modulado pelo canal. Ou seja, a eficiência espectral nos informa a taxa de transmissão máxima, em bps, que pode ser transmitida para cada Hz de largura de faixa no canal. Por exemplo, quando dizemos que a modulação BPSK (Binary PSK) possui eficiência espectral igual a 1 bps/Hz, isto significa que podemos transmitir 1 bps para cada Hz de largura de faixa do canal.

7.1.1. Modulação ASK

Para analisar a largura de faixa mínima necessária para transmitir um sinal com modulação ASK é útil, inicialmente, analisar um sistema com modulação analógica do tipo AM-DSB-SC (Amplitude Modulation Double Sideband Supressed Carrier). Uma modulação AM-DSB-SC pode ser gerada pela multiplicação do sinal modulante pelo sinal de portadora, conforme ilustrado na Figura 7.4.

Figura 7.4 – Ilustração do processo de geração da modulação AM-DSB-SC.

Vamos ilustrar o processo de modulação AM-DSB-SC tomando o sinal modulante, x(t), e a portadora, y(t), como sinais cosenoidais, representados, respectivamente, pelas equações (7.1) e (7.2):

(7.1)

(7.2)

O sinal modulado, z(t), é obtido pelo produto x(t)  y(t). Ou seja,

(7.3)

Utilizando a identidade

(7.4)

podemos reescrever a Equação (7.3) como:

(7.5)

A representação de z(t) no domínio da freqüência é ilustrada na Figura 7.5. O espectro do sinal modulado é o espectro do sinal modulante centrado na freqüência da portadora (que está ilustrada pela linha tracejada, para indicar que ela não está presente). Este resultado também poderia ser obtido a partir dos seguintes resultados básicos da Análise de Fourier:

  • A operação de multiplicação no domínio do tempo corresponde a uma operação de convolução no domínio da frequência.

  • O espectro da portadora é um impulso na frequência c.

  • A convolução do espectro do sinal modulante com o impulso em c resulta no próprio espectro do sinal modulante centrado em c.

Figura 7.5 – Representação no domínio da freqüência do sinal AM-DSB-SC, z(t).

Com o resultado obtido para a modulação AM-DSB-SC fica fácil obter a largura de faixa mínima para a modulação ASK. Para tal, observe que a modulação ASK pode ser gerada pelo mesmo diagrama ilustrado na Figura 7.4, considerando agora que o sinal modulante é um sinal digital. Logo, o espectro do sinal modulado é o espectro do sinal modulante digital centrado em c. Lembrando que o sinal digital pode ser decomposto no somatório de infinitas senóides e cosenóides (veja Seção 2.2 do Capítulo 2), temos o resultado apresentado na Figura 7.6, na qual f1representa a frequência da primeira harmônica do sinal modulante digital.

Figura 7.6 – Espectro do sinal modulado ASK.

O espectro do sinal modulante digital possui largura de faixa infinita. Logo, para a utilização prática desta modulação é preciso filtrar o sinal modulado antes de sua transmissão. Para que o sinal modulante possa ser recuperado no receptor é preciso que pelo menos sua 1ª harmônica seja transmitida; ou seja, é preciso que o filtro deixe passar, pelo menos, frequências entre (fcf1) e (fc + f1), resultando em uma largura de faixa mínima do sinal modulado igual a 2f1.

Lembrando que a frequência da 1ª harmônica é metade da taxa de transmissão, tem-se que a largura de faixa mínima necessária para transmitir um sinal ASK é igual à taxa de transmissão do sinal modulante, ou seja:

(7.6)

7.1.2. Modulação FSK

Para calcular a largura de faixa mínima de um sinal FSK é útil vê-lo como a soma de dois sinais ASK, como ilustrado na Figura 7.7, onde se vê o sinal FSK na parte (a) da figura e os dois sinais ASK, que somados resultarão no sinal FSK, nas partes (b) e (c) da figura.

Figura 7.7. Decomposição do sinal FSK na soma de dois sinais ASK.

Logo, com base nos resultados apresentados na Figura 7.7, considerando que em cada sinal ASK apenas a 1ª harmônica será transmitida, o espectro do sinal FSK é aquele mostrado na Figura 8.8, na qual se observa o espectro do sinal ASK da parte (b) da Figura 7.7 centrado na frequência de portadora fc2e o espectro do sinal ASK da parte (c) da Figura 7.7 centrado na frequência de portadora fc1. Novamente, f1representa a frequência da 1ª harmônica do sinal modulante.

Figura 7.7 – Espectro do sinal FSK.

Com base na Figura 7.7, podemos então calcular a largura de faixa mínima necessária para transmitir o sinal FSK como a diferença entre a máxima e a mínima frequências do espectro mostrado na figura, ou seja:

(7.7)

Onde R é a taxa de transmissão do sinal modulante, fc2 é a frequência utilizada para representar o bit 1 e fc1 é a frequência utilizada para representar o bit 0 (ou vice-versa).

7.1.3. Modulação PSK

Lembrando que Cos (x + ) =  Cos (x), verificamos que o sinal PSK também pode ser gerado com o mecanismo de multiplicação ilustrado na Figura 7.4, simplesmente tomando o bit 1 com um nível (+1) e o bit 0 com um nível (1). Ou seja, se o sinal digital for um bit 1 a portadora será multiplicada por +1 e se o sinal digital for um bit 0 a portadora será multiplicada por (1), o que equivale a defasar a portadora de 180º, gerando portanto o sinal PSK ilustrado na parte (e) da Figura 7.1. Logo, os resultados apresentados para a modulação ASK também são válidos para a modulação PSK e, portanto:

(7.8)

7.1.4. Modulações M-PSK e M-QAM

Os resultados apresentados acima são válidos para as modulações binárias, nas quais temos duas amplitudes, duas frequências ou duas fases. No entanto, em muitas aplicações utilizamos modulações não binárias, nas quais o número de símbolos do sinal modulado é maior do que 2, como as modulações ilustradas nas Figuras 7.2 e 7.3.

Embora possamos definir modulações não binárias do tipo M-ASK e M-FSK, vamos concentrar nossas análises nas modulações M-PSK e M-QAM, que são aquelas de uso mais comum nos sistemas de telecomunicações.

Para calcular a largura de faixa mínima necessária para transmitir um sinal com modulação M-PSK vamos iniciar com o estudo detalhado da modulação QPSK. A Figura 7.8 ilustra o diagrama de constelação desta modulação, na qual observamos que cada símbolo QPSK pode ser gerado com a soma de duas componentes, denominadas I e Q, ilustradas na figura, respectivamente, em verde e vermelho, da seguinte forma:

  • O símbolo QPSK (11), que possui fase de 45º, pode ser gerado pela soma do sinal I com fase de 0o com o sinal Q com fase de 90º.

  • O símbolo QPSK (10), que possui fase de – 45º, pode ser gerado pela soma do sinal I com fase de 0o com o sinal Q com fase de 270º.

  • O símbolo QPSK (01), que possui fase de 135º, pode ser gerado pela soma do sinal I com fase de 180º com o sinal Q com fase de 90º.

  • Finalmente, o símbolo QPSK (00), que possui fase de – 135º, pode ser gerado pela soma do sinal I com fase de 180º com o sinal Q com fase de 270º.

Figura 7.8 – Geração da modulação QPSK a partir dos sinais I e Q.

Observando que os sinais I e Q correspondem a sinais BPSK binários, em que o sinal I possui fases iguais a 0o e 180º e o sinal Q possui fases iguais a 90º e 270º, podemos desenhar o diagrama em blocos de um modulador QPSK como ilustrado na Figura 7.9.

Figura 7.9 – Diagrama em blocos de um modulador QPSK.

O conversor série/paralelo separa o fluxo binário de entrada em dois fluxos, cada um com metade da taxa de transmissão do fluxo de entrada, enviando, alternadamente, um bit para o ramo superior do modulador e outro para o ramo inferior do modulador. O gerador de níveis tem por objetivo apenas ajustar os níveis dos bits para que os sinais I e Q sejam gerados com níveis adequados para, depois de somados, gerar o sinal QPSK desejado (veja Figura 7.8). O ramo superior do modulador QPSK é um modulador BPSK normal que irá gerar dois símbolos: fase 0o e fase 180º; ou seja, o ramo superior gera o sinal I. O ramo inferior do modulador QPSK é um modulador BPSK cuja portadora está defasada 90º em relação à portadora utilizada no ramo superior. Logo, o ramo inferior irá gerar um sinal BPSK com fases 90º ou 270º; ou seja, o ramo inferior gera o sinal Q. Os sinais I e Q são então somados para gerar o sinal QPSK, como ilustrado na Figura 7.8.

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