Gabarito-Discursivas profmat 2013

Gabarito-Discursivas profmat 2013

Discursiva 1 Cristina e Pedro vao com outros seis amigos, tres mocas e tres rapazes, para uma excursao. No onibus que vai fazer a viagem sobraram apenas quatro bancos vagos, cada um deles com dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco vago sera ocupado por uma moca e um rapaz, e que Cristina e Pedro se sentarao juntos. Respeitando-se esse acerto, de quantas maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos assentos vagos do onibus? Justifique sua resposta.

Primeiro ve-se de quantas maneiras os casais podem ser formados. Ordenando os rapazes, o primeiro rapaz tem 3 possibilidades entre as mocas, o segundo tem 2 e o terceiro fica determinado pelos outros. Assim, sao 6 possıveis formacoes de casais. Para cada formacao ha varias maneiras de escolher seus bancos. Sendo 4 bancos para os 4 casais, sao 4 · 3 · 2 = 24 possibilidades. Mas cada casal pode escolher os assentos de seu banco de duas maneiras, entao para cada escolha dos casais nos bancos ainda temos 24 = 16 posicionamentos possıveis. Sao, portanto, 6 · 24 · 16 = 2304 maneiras de o grupo se sentar, nas condicoes impostas.

Discursiva 2 Decida se cada uma das duas afirmacoes seguintes e verdadeira ou falsa, justificando sua decisao.

(A) Essa afirmacao e falsa, pois existem numeros reais a e b para os quais a desigualdade nao e satisfeita. Basta tomar a = 1 e b = −1: para esses numeros, o lado esquerdo e igual a 2 e o lado direito e igual a zero, e, evidentemente, 2 ≤ 0 e falso.

(B) Essa afirmacao e verdadeira. Nao ha uma unica maneira de prova-la, mas aqui apresentaremos apenas uma. Sendo tanto |a + b| como |a| + |b| nao negativos, basta mostrar que seus quadrados satisfazem a desigualdade, isto e, basta mostrar que

Para isso, comecamos pelo lado esquerdo. O quadrado de |a + b| e o quadrado de a + b, entao

Discursiva 3 A figura abaixo mostra tres circunferencias de 1 cm de raio, tangentes entre si duas a duas, e um triangulo equilatero circunscrito a essas circunferencias.

(A) Calcule o lado do triangulo equilatero, explicitando seu raciocınio.

SOLUC AO: (A) Sejam A, B e C os vertices do triangulo, sendo A o vertice superior e B o vertice inferior esquerdo. Seja OA o centro da circunferencia mais proxima de A e D o ponto de tangencia dessa circunferencia com o lado AB, o que implica que OAD e perpendicular a AB. Entao ADOA e um triangulo retangulo, com angulo reto em D.

Como ABC e equilatero, entao o triangulo ADOA tem angulo de pi6 (30 graus) em A. Como

OAD e o raio da circunferencia (igual a 1, pela hipotese), entao

AD = tan pi

ou seja, AD = √ 3.

Agora seja D′ o ponto de tangencia da circunferencia mais proxima de B. Por argumento inteiramente analogo, BD′ = √ 3. Alem disso, D′ e igual a OAOB, pois D′OBOA e um retangulo. Como o segmento OAOB contem o ponto de tangencia das circunferencias, entao

(B) S3 e duas vezes a area de ADOA subtraıdo da area de um setor de 120 graus da

S2 e a area do triangulo equilatero com vertices nos centros das circunferencias subtraıda da area de 3 setores de 60 graus. A area de cada setor e pi6 , logo os tres juntos somam a area de pi2

. O triangulo equilatero tem lado 2 e altura √ 3 (por Pitagoras), logo sua area e √ 3. Portanto

Finalmente, S1 e a area do retangulo cujos vertices sao os centros das duas circunferencias inferiores e seus pontos de tangencia com o lado inferior, que vale 2, subtraıda da area de dois setores de 90 graus, que valem pi4 cada uma. Portanto S1 = 2 − pi2

que ocorre (por reagrupamento dos termos) se, e somente, se pi > 3, que e uma afirmacao verdadeira.

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