Baixe Física I - Momento Linear e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! V.1 Unidade V Momento Linear 1. Situando a Temática Quando estudamos a natureza, observamos que existem algumas leis de conservação, i.e., existem grandezas físicas que são conservadas quando um sistema é levado, ou evolui espontaneamente, de uma configuração inici- al para uma configuração final. Por exemplo, vimos na seção anterior que a energia mecânica E = K + U é conservada quando existem apenas forças conservativas atuando no sistema, mas se houver forças não-conservativas atuando no sistema então a conservação da energia mecânica não funciona mais. Existem outras leis de conservação, como conservação da carga, conservação da massa, conservação do momento angular, etc. Em seu livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, New- ton escreveu suas leis em termos de uma grandeza chamada quantidade de movimento, que é igual ao produto da massa do corpo pela velocidade com a qual ele está se deslocando. Ele percebeu que a quantidade de movimento de um sistema permanecia inalterada (constante) a menos que uma força ex- terna ao sistema atuasse sobre ele. A quantidade de movimento recebeu o nome de momento linear. É esta grandeza e esta lei de conservação que nós estudaremos aqui. 2. Problematizando a Temática Muitos problemas são resolvidos através da conservação do momen- to linear. Nas colisões ou decaimento de partículas a conservação do mo- mento linear está presente. É possível predizer a existência de uma partícula desconhecida num processo de colisão ou decaimento. Mesmo envolvendo corpos macroscópicos, automóveis por exemplo, vale a conservação da quantidade de movimento. É o que veremos agora. Vimos no estudo dos projéteis que uma partícula lançada ao ar com uma componente de velocidade horizontal diferente de zero, descreve uma trajetória parabólica. Por outro lado, a Fig. 5.1 mostra como poderia ser o movimento de um bastão de beisebol quando lançado ao ar. O movimento do bastão é complicado, uma vez que ele tem um movimento de translação e de rotação. Entretanto, o ponto preto no bastão descreve uma trajetória igual a da partícula, i.e., uma trajetória parabólica. Este ponto é chamado de centro de massa. Vamos estudá-lo também. 3. Centro de Massa Se você olhar atentamente, notará que o ponto preto da Fig. 5.1 se desloca como (1) se toda massa estivesse concentrada nele e (2) como se a força gravitacional atuasse apenas nesse ponto. Estas são as propriedades do centro de massa. Elas serão muito importantes, em alguns casos fundamen- V.2 tais, na solução dos nossos problemas. O centro de massa de um corpo ou de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda massa estivesse concentrada neste ponto e co- mo se todas as forças (força resultante) externas estivessem atuando sobre ele. POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA. Consideremos um sistema de n partículas com massas m1,...,mn, e si- tuadas nas posições r → 1, r → 2,..., r → n em relação a um sistema de coordenadas qualquer. A posição do centro de massa deste sistema de partículas é dada por: ∑= n iiCM rmM r 1 1 rr (posição do centro de massa) (5.1) onde M = m1 + m2 +⋅⋅⋅+ mn é a massa total do sistema e r → i o vetor posição da i-ésima partícula.. A equação vetorial 5.1 corresponde a três equações escalares; uma para cada direção. Assim, lembrando que k̂ĵî iiii zyxr ++= r podemos escrever as coordenadas do centro de massa como ∑ ∑ ∑ = = = n iiCM n iiCM n iiCM zm M z ym M y xm M x 1 1 1 1 massa) de centro do as(coordenad; 1 ; 1 (5.2) Se, ao invés de uma distribuição discreta de massa (partículas), nós tivermos uma distribuição contínua, então o centro de massa será calculado como: ∫= volume CM dmrM r rr 1 (distribuição contínua de massa) (5.3) Esta equação vetorial nos leva a três equações escalares, como em (5.2), para um sistema de partículas. É preciso esclarecer uma questão importante. Para calcular a posição do centro de massa nós temos que definir um sistema de coordenadas para podermos localizar uma dada partícula mi, ou um elemento de massa dm. Is- to é um artifício matemático. O centro de massa é um ponto do sistema que não depende da escolha de nenhum sistema de coordenadas em particular. A posição do centro de massa de uma dada distribuição de massa é absoluta e com qualquer sistema de coordenadas encontraremos a mesma posição, em- bora representada por diferentes coordenadas. V.5 A taxa de variação da quantidade de movimento de uma partícula em re- lação ao tempo, é igual força resultante (soma das forças) que atua sobre a partícula e tem a mesma direção e o mesmo módulo desta força. Em linguagem matemática o texto da segunda lei fica: Newton) de lei (segunda dt pd Fres rr = (5.8) Em se tratando de uma partícula, cuja massa é constante, a equação acima é equivalente à segunda lei na forma apresentada na Eq. 3.1; { am dt dm v dt vd mvm dt d dt pd Fres rr r r rr =+=== =0 )( . (5.9) Note que para sistemas onde a massa varia, tais como aviões ou au- tomóveis queimando combustível, a segunda lei deve ser usada na forma o- riginal (completa) da Eq. 5.8. Newton era esperto mesmo, não era?! 6. Momento Linear de um Sistema de Partículas Se nós tivermos um sistema composto de n partículas, o momento linear do sistema será a soma de todas as quantidades de movimento indivi- duais, i.e., nn nsist vmvmvm pppP rrr rrrr +⋅⋅⋅++= +⋅⋅⋅++= 2211 21 (5.10) Comparando este resultado com a Eq. 5.4 encontramos: sistCM PVM rr = (momento linear do sistema) (5.11) Problema Resolvido 5.3 Considere que as velocidades das partículas da Fig. 5.2 sejam, respectiva- mente, v1 → = (5 m/s) î , v2 → = (–10 m/s) î e v3 → = (4 m/s) î + (3m/s) ĵ . Determine (a) o momento linear do sistema de partículas e (b) a velocidade do centro de massa. SOLUÇÃO: (a) A quantidade de movimento de um sistema de partículas, co- mo na Eq. 5.10, é igual à soma das quantidades de movimento de cada uma das partículas; 32211 321 vmvmvm pppP n sist rrr rrrr ++= ++= Numericamente fica: ĵ)m/skg30( ĵ)m/s3kg10(î)m/s4kg10(î)m/s10kg6(î)m/s 5kg4( ⋅= ×+×+×−×=sistP r (b) O momento linear do centro de massa é igual ao momento linear do sis- tema. Assim, V.6 ĵ)m/s5,1(ĵ kg20 m/s)kg30( Então, = ⋅ == =⇒= M P PMVPP sist CMV sistCMsistCM r rr 7. Conservação do Momento Linear A quantidade M V → CM é igual ao momento linear do centro de massa, ou seja, a quantidade de movimento do centro de massa é igual à quantidade de movimento do sistema de partículas. Na verdade o resultado (5.11) vale para qualquer distribuição de massa; discreta ou contínua. Derivando a Eq. 5.11 com relação ao tempo obtemos CM CM aM dt Vd M dt Pd r rr ==sist e comparando com a Eq. 5.6 concluímos: ∑= sistema) um de M.L. do (variaçãoexternassist Fdt Pd r r (5.12) Desta forma, quando a soma das forças externas que atuam num sistema é nula, o momento linear do sistema permanece constante. Este resultado é conhecido como conservação do momento linear (quantidade de movimento). É preciso entender o significado de forças externas. Quando isola- mos um sistema (de n partículas, por exemplo), a soma de todas as forças a- tuando em cada uma das partes (partículas) do sistema dá a força resultante atuando sobre o sistema. Nesta soma, todos os pares ação e reação desapare- cem, restando apenas as forças que não são causadas pala interação entre as partes (partículas) do sistema. Ou seja, restarão as forças externas. Problema Resolvido 5.4 Considere o sistema da Fig. 5.4, formado por três partículas carregadas, q1, q2 e q3, com massas m1, m2 e m3, respectivamente. Vamos considerar também que as três cargas têm o mesmo sinal, de forma que elas estejam se repelindo mutuamente com uma força Fij → . Determine a aceleração do centro de massa. SOLUÇÃO: A aceleração do centro de massa é dada pela Eq. 5.6a, ( )nCM FFFM a rrrr +⋅⋅⋅++= 21 1 onde Fi → é a soma de todas as forças que atuam na i-ésima partícula. Quando nós estendermos esta soma para todas as partículas do sistema nós teremos efetuado a soma de todas as forças que atuam sobre o sistema. Assim, V.7 ( ) ( ) ( )           ++++++++= 44 344 21 rrr 44 344 21 rrr 44 344 21 rrrr 321 sobre 23133 sobre 32122 sobre 31211 1 mmm CM FFPFFPFFPM a como F12 → = – F21 → , F13 → = – F31 → e F23 → = – F32 → , então a soma acima resulta: ( ) externas. forças das Soma1 321 =++= PPPM aCM rrrr Portanto, sobraram apenas as forças exercidas pela Terra. Ou seja, sobraram apenas as forças externas. 8. Colisões Nos processos chamados de colisões, a conservação da quantidade de movimento (momento linear) está sempre presente. Quando dizemos, na linguagem cotidiana, que ocorre uma colisão quando os objetos batem uns nos outros, estamos fornecendo uma ideia razoável do significado de uma colisão. Uma forma mais precisa para definirmos uma colisão e que nós usa- remos aqui é: Uma colisão é um evento isolado onde os corpos que colidem exercem forças, relativamente elevadas, durante um intervalo de tempo relativa- mente curto. É importante compreender o sentido do termo relativamente. No contexto das colisões, “relativamente” significa que é preciso levar em conta o processo em questão para quantificar “forças elevadas” e “tempo curto”. As forças envolvidas e o tempo de duração numa colisão entre duas partículas são completamente diferentes das forças envolvidas e do tempo de duração de uma colisão entre duas bolas de bilhar ou entre duas galáxias. Pa- ra avaliarmos se uma força é muito intensa ou pouco intensa, ou se um tem- po é muito pequeno ou não, é preciso especificar de qual colisão estamos fa- lando. 9. Impulso A Fig. 5.5a mostra o que poderia ser uma bola de basquete colidindo (quicando) com o solo. A colisão começa no instante ti e termina no instante tf. Durante a interação com o solo a bola fica deformada e, em função da de- formação, surge uma força F → (t). Quanto maior a deformação, maior será a força de interação (força elástica). Ou seja, a força de interação que aparece durante uma colisão não é constante. Na realidade, na maioria dos casos, nós desconhecemos a forma funcional de F → (t). É claro que a forma desenhada na Fig 5.5a é apenas uma representação de como poderia ser a força F → (t) e não uma forma exata. Para efeito de cálculos, nós substituímos F → (t) por uma for- ça média, constante, que produza a mesma variação do momento linear que a V.10 mas somente nas colisões elásticas. Substituindo os valores numéricos encontramos: m/s7m/s3 52 25 10 52 22 e m/s0m/s3 52 52 10 52 52 2f 1f =      × + − +× + × = =      × + × +× + − = v v (b) É fácil confirmar, agora, a Eq. 5.22. ( ) ( ) m/s7m/s07 e m/s7m/s310 1f2f 2i1i =−=− =−=− vv vv (c) Da Eq. 5.11, podemos calcular a velocidade do centro de massa antes e depois da colisão. m/s5m/s 52 35102 21 2i21i1 = + ×+× = + + = mm vmvm V antesCM m/s5m/s 52 7502 21 2f21f1 = + ×+× = + + = mm vmvm V depoisCM E nós encontramos o mesmo valor para a velocidade do centro de massa antes e depois da colisão. Como deveria ser. COLISÕES INELÁSTICAS Chamaremos de colisões inelásticas, as colisões onde não acontece a conservação da energia. Portanto numa colisão inelástica apenas a Eq. 5.21 será válida. Note que, qualquer que seja a colisão, a conservação do momento li- near é válida e, portanto, são verdadeiras as equações 5.18 e 5.19. COLISÕES COMPLETAMENTE INELÁSTICAS Chamaremos de colisões completamente inelásticas, as colisões onde os dois corpos que colidem possuem a mesma velocidade final, ou seja, após a colisão os corpos se movem juntos, Fig. 5.8. A conservação do momento linear numa colisão completamente ine- lástica fica: f212i21i1 )( vmmvmvm +=+ (completamente inelástica) (5.23) Problema Resolvido 5.6 Uma bola de massa m1 = 10 kg atirada para dentro de um cano, com veloci- dade v1i = 20 m/s (Fig. 5.9). O cano tem massa m2 = 40 kg e se encontra em repouso sobre uma superfície sem atrito. Dentro do cano existe uma mola V.11 sem massa e constante k = 12800 N/m. A bola fica presa ao cano no ponto de compressão máxima da mola. Considere que nenhuma energia é perdida por atrito. (a) Qual a velocidade do conjunto bola-cano depois que a bola pa- ra dentro do cano? (b) Qual a energia potencial que fica armazenada na mo- la? Qual a compressão máxima da mola? SOLUÇÃO: (a) Esta é uma colisão completamente inelástica, assim, a con- servação momento linear é dada por 5.24, 21 2i21i1 ff212i21i1 )( mm vmvm vvmmvmvm + + =⇒+=+ . Substituindo os valores obtemos: m/s4m/s 4010 2010 f = + × =v (b) Não havendo perdas por atrito, a energia armazenada na mola será igual à diferença entre as energias cinéticas inicial e final. Então, J1600 J]4)4010(2010[ )( 2 2 12 2 1 2 ccb 2 b2 1 fifmola = ×+×−××= +−=−= vmmvmKKU b (c) A energia potencial da mola é dada pela Eq. 4.13. Assim, m0,5m 12800 16002 k 2 mola máx 2 máx2 1 mola = × = =⇒= U xxkU Ou seja, no instante em que a bola entra em repouso em relação ao cano, a mola está comprimida em 50 cm. 11. Problemas Prob. 5.1 – Três hastes finas, cada uma com comprimento L, estão dispostas na forma de um U invertido, como mostrado na Fig. 5.10. Cada uma das duas hastes verticais do U possui massa M; a terceira haste possui massa 3M. Onde está o centro de massa do conjunto? Prob. 5.2 - Um tiro de canhão é disparado com uma velocidade inicial vo → de 20 m/s, fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode e se divide em dois fragmentos de mesma massa (Fig 5.11). Um fragmento, cuja velocidade é nula imediatamente após a explosão, cai verticalmente. A que distância do canhão aterrizará o outro fragmento, supondo que o terreno é horizontal e que o arrasto do ar é desprezível? Prob. 5.3 - Ricardo, de massa igual a 80 kg, e Carmelita, que é mais leve, estão passeando num lago tranquilo ao anoitecer em uma canoa de 30 kg. Quando a canoa está em repouso na água calma, eles trocam de lugares, que estão distantes 3,0 m e posicionados simetricamente em relação ao centro da canoa. Durante a troca, V.12 Ricardo percebe que a canoa se move 40 cm em relação a um tronco de árvore submerso e calcula a massa de Carmelita, que ela não contou para ele. Qual a massa de Carmelita? Prob. 5.4 A partícula A e a partícula B são mantidas juntas com uma mola comprimida entre elas. Quando elas são soltas, a mola empurra uma partícula para longe da outra e elas então saem voando em direçõe opostas, livres da mola. A massa de A é igual a 2 vezes a massa de B. e a energia armazenada na mola era de 60 J. Suponha que a mola tenha massa desprezível e que toda a energia que estava armazenada nela seja transferida para as partículas. Uma vez completa a transferência, qual valor da energia cinética (a) da partícula A e (b) da partícula B? Prob. 5.5 Um corpo de 20 kg está se movendo no sentido positivo do eixo x com uma velocidade de 200 m/s quando, devido a uma explosão interna, ele se reparte em três. Uma parte, com uma massa de 10 kg, se afasta do ponto da explosão com uma velocidade de 100 m/s no sentido positivo do eixo y. Um segundo fragmento, com uma massa de 4 kg. se move no sentido negativo do eixo x com uma velocidade de 500 m/s. (a) Qual a velocidade do terceiro fragmento? (b) Quanta energia é liberada na explosão? Ignore os efeitos devidos à força gravitacional. Prob 5.6 Uma bala de massa igual a 4,5 g é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de 2,4 kg em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2. A bala para no bloco, que desliza exatamente para a frente por 1,8 m (sem rotação). (a) Qual a velocidade do bloco imediatamente após a bala parar em relação a ele? (b) Com que velocidade a bala foi disparada? Prob. 5.7 Na Fig. 5.12, uma bala de 5 g é disparada horizontalmente em direção a dois blocos em repouso sobre a superfície de uma mesa sem atrito. A bala passa pelo primeiro bloco, que possui massa igual a 2 kg, e se aloja no segundo, que tem uma massa de 3 kg. São fornecidas as velocidades finais de 0,5 m/s e 1,5 m/s dos blocos de 2 kg e de 3 kg, respectivamente. Desprezando a massa removida do primeiro bloco pela bala, ache (a) a velocidade da bala imediatamente após ela emergir do primeiro bloco e (b) a velocidade original da bala. Prob. 5.8 Um livro de física de 4 kg e um livro de cálculo de 6 kg, ligados por uma mola, repousam sobre uma superfície horizontal lisa. A constante de mola vale 8000 N/m. Os livros são empurrados um contra o outro, comprimindo a mola, e depois são soltos do repouso. Quando a mola volta ao seu comprimento indeformado, a velocidade do livro de cálculo é de 4 m/s. Quanta energia está armazenada na mola no instante em que os livros são soltos? Prob. 5.9 Um bloco de massa m1 = 2 kg desliza em uma mesa sem atrito com uma velocidade de 10 m/s. Bem na frente dele, e se movendo na mesma direção, existe um bloco de massa m2 = 5 kg se movendo a 3 m/s. Uma mola sem massa com constante de mola k= 1120 N/m está presa ao lado de m2 mais próximo a m1 como mostrado na Fig. 5.13. (a) Qual a compressão máxima da mola quando os blocos colidem? (Dica: No momento de compressão máxima da mola, os dois blocos se movem como um. Ache a velocidade observando que a colisão é completamente inelástica neste ponto.) (b) Supondo que a mola “devolva” toda a energia que estava armazenada sob a forma de energia potencial elástica, encontre as energias finais dos blocos. (Dica: Quando não há perda de energia, a colisão é elástica.) (c) Determine a velocidade do sistema formado pelos dois blocos antes da colisão, no instante de compressão máxima e depois da colisão. Prob. 5.10 Um bloco de 5 kg com uma velocidade de 3 m/s colide com um bloco de 10 kg que possui uma velocidade de 2 m/s na mesma direção e sentido. Após a colisão, observa-se que o bloco de 10 kg está se deslocando na direção original com uma velocidade de 2,5 m/s. (a) Qual a velocidade do bloco de 5 kg imediatamente após a colisão? (b) De quanto a energia cinética total do sistema de dois blocos varia por causa da colisão? (c) Suponha, em vez disso, que o bloco de 10 kg acabe tendo uma velocidade de 4 m/s. Qual será então a variação da energia cinética total? (d) Leve em conta o resultado que você obteve em (c).