Topografia - Planimetria Dalto - Romulo (jan - 2010), Notas de estudo de Topografia

Baixe Topografia - Planimetria Dalto - Romulo (jan - 2010) e outras Notas de estudo em PDF para Topografia, somente na Docsity! TOPOGRAFIA: Planimetria para Engenheiros Agrimensores e Cartógrafos (em desenvolvimento) PROF. Dalto Domingos Rodrigues PROF. Rômulo Parma Gonçalves 2010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA – UFV CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CCE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - DEC E N G E N H A R I A D E A G R I M E N S U R A E C A R T O G R Á F I C A UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - IT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA - DENG E N G E N H A R I A D E A G R I M E N S U R A E C A R T O G R Á F I C A Prezado leitor(a), Como este material encontra-se em desenvolvimento, nós autores solicitamos que, ao se deparar com algum erro ou equívoco, faça a gentileza de nos enviar por e-mail sugestões ou o apontamento das falhas. Acreditamos que assim possamos melhorar nosso material. Gratos pela compreensão. Os autores. dalto@ufv.br romuloparma@ufrrj.br Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 8- Cálculo de volumes VIII- DESENHO PLANIMÉTRICO 1- Introdução 2- Escala 3- Erro de graficismo 4- Escala máxima 5- Desenho da planta 6- Memorial descritivo 7- Relatório técnico 8- Informações topográficas a partir da planta planimétrica 8.1- Coordenadas topográficas 8.2- Distancias horizontais 8.3- Azimutes e rumos 8.4- Ângulos horizontais 8.5- Áreas horizontais IX- INSPEÇAO DE TRABALHOS TOPOGRÁFICOS 1- Introdução 2- Verificação da acurácia planimétrica da escala 2.1- Cálculo do desvio padrão resultante das distâncias medidas no terreno 2.2- Desvio padrão admissível para as discrepâncias entre as distâncias 2.3- Cálculo do padrão de exatidão planimétrica (PEP) 3. Verificação da precisão altimétrica 4. Decreto 89 817/84 Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Sumário BIBLIOGRAFIA: 1- BRANDALIZE, M. C. B & PHILIPS, J. W. O emprego da tecnologia laser na Cartografia. Anais do III Colóquio Brasileiro de Ciências Geodésicas. Curitiba, 2003. 2- CHAGAS, C. B. Manual do Agrimensor. Rio de Janeiro. Oficinas Gráficas da Diretoria do Serviço Geográfico – DSG. 1965. 3- COMASTRI, J. A. Topografia – Planimetria. Viçosa. Impressa Universitária, UFV. 1980. 4- Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial- CONMETRO - Resolução nº 12, de 12 de outubro de 1988. 5- COOPER, M. A. R. Control surveys in civil engineering. London. Collins Professional and Technical Books. 1987. 6- CRATO, N. Geometria do A4. Revista Actual, 07/06/2003. 7- DOMINGUES, F. A. A. Topografia e Astronomia de posição para Engenheiros e Arquitetos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, 1979 8- ESPARTEL, L. Curso de Topografia, Rio de Janeiro. Ed. Globo, 1982. 9- FERREIRA, A. B. de H. Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa, 2ª Ed. revista e aumentada, Editora Nova Fronteira, Rio de Janeiro, 1986. 10- IPEM - INSTITUTO DE PESOS E MEDIDAS do Estado de São Paulo. http://www.ipem.sp.gov.br/metrologia.asp. Consultada em 03/2007. 11- KAHMEN, H. & FAIG, W. Surveying. Berlin; New York. Walter de Gruyter & Co. 1988. 12- KREYSZIG, E. Matemática Superior; tradução de Carlos Campos de Oliveira. Rio de Janeiro. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1982. Volume 2. 13- LEICK, A. GPS Satellite surveying, John Wiley & sons, INC. 2nd ed.,Orono, Maine, 1995 14- LOCH, C. & CORDINI, J. Topografia Contemporânea: Planimetria. Florianópolis. Editora da UFSC. 321p. 2000. 15- NBR-13.133 – Norma técnica para Execução de Levantamentos Topográficos, ABNT, Maio de 1994. 16- NGDC - NATIONAL GEOPHYSICAL DATA CENTER – NOAA Satellite and Information Service. Geomagnetic Field Frequently Asked Questions. http://www.ngdc.noaa.gov/seg/geomag/faqgeom.shtml#q1. Consultada em 03/2008 17- ON - OBSERVATÓRIO NACIONAL. Geomagnetismo. http://www.on.br/institucional/geofisica/areapage/geomag.html . Consultada em 03/2008 18- NETO, C.P. & MOREIRA, J.L.K.. Declinação Magnética – ON. http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html. Consultada em 03/2008. 19- SILVA, I.da. História dos pesos e medidas. São Carlos. EdUFSCar. 190p. 2004. 20- WOLF, P. R. & BRINKER, R. C. Elementary Surveying. Ninth Edition. New York. HarperCollins College Publishers, 1994. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 21- WOLF, P. R. & GHILANI, C. D.. Elementary Surveying, an introduction to geomatics. Eleventh Edition. New Jersey. Pearson Prentice Hall, 2006. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 3 A Topografia pode ser aplicada a vários temas. Qualquer trabalho de Engenharia, Arquitetura ou Urbanismo, se desenvolve em função do terreno sobre o qual se assenta, como, por exemplo, obras viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, irrigação e drenagem, usinas hidrelétricas, telecomunicação, sistemas de água e esgoto, cadastramento, planejamento urbano e rural, paisagismo, dentre muitas outras aplicações. Ao imaginar que se pode sintetizar a atividade de Engenharia utilizando os verbos: descrever, projetar, definir, materializar e monitorar, evidencia-se a importância da Topografia que fornece diretamente meios para tais descrições, definições e monitoramentos dos espaços físicos (Figura 1.2). Se o topógrafo tem em mente que todo levantamento topográfico deve, para a sistematização do mapeamento, ser interligado à planta geral da região, torna-se possível a obtenção de mapas geográficos a partir de um conjunto de plantas topográficas. Atualmente, com auxílio do sistema de Posicionamento Global (GPS), a conexão entre sistemas topográficos tornou-se relativamente fácil e não há necessidade de se ater ao princípio: “ir do geral para o detalhe”. Levantamento de dados, utilizando métodos e instrumentos adequados. Grandezas medidas: Ângulos, distâncias, pseudodistâncias, fases da portadora, etc. Estas medidas, naturalmente, estarão contaminadas com erros acidentais, sistemáticos e grosseiros. Processamento empregando a estatística, eliminando as observações com erros grosseiros, corrigindo os sistemáticos e avaliando a precisão interna (ou seja, estimando o desvio padrão σ ). Modelo Numérico (ou Digital) do Terreno: (MNT ou MDT) X , Xσ Y , Yσ Z , Zσ Descrição Temática Processamento Representação Gráfica ou Planta Digitalização Informações Topográficas (posicionais, geométricas e temáticas) Projetos de Engenharia, Arquitetura e/ou Agronomia Memorial Descritivo Desenho Transcrição Medições, cálculos, leituras, interpretações e trabalho sobre a planta Figura 1.1 – Etapas da Topografia Transcrição Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução Geral 4 Um conjunto de plantas topográficas pode, a posteriori, ser conectado a um sistema de referência municipal, que pode ser ligado a um sistema estadual, que por sua vez pode ser integrado a um sistema nacional. Obviamente os sistemas de referência devem ser devidamente materializados e ajustados, através de técnicas estatísticas de ajustamento das observações, e a qualidades da informação pode cada vez mais, com o advento do avanço tecnológico e a melhoria das técnicas de observação, tornar os resultados mais precisos e satisfatórios aos seus usuários. A Figura 1.2 mostra ainda que a atividade de mapear envolve outras atividades como projetar, criar, organizar, manter e atualizar arquivos de informações topográficas e/ou geográficas. Seria oportuno finalizar esta introdução com a seguinte frase de Espartel "Laboram em erro aqueles que julgam a Topografia uma simples aplicação da geometria, pois cada vez mais se alarga seu campo de ação e cresce a exigência em precisão e perfeição dos trabalhos que lhe estão afetos no campo da prática profissional, principalmente da Engenharia." 3- ESTADO DA ARTE O avanço tecnológico das últimas décadas tem influenciado consideravelmente a Topografia. O desenvolvimento de instrumentos de medida, incluindo sistemas de satélites; de hardwares e de softwares, propiciando um rápido, seguro e preciso tratamento, representação e análise das medidas topográficas, faz da Topografia uma ciência em constante evolução. Atualmente as medidas podem ser realizadas por “Estações Totais”(teodolito com medição eletrônica de ângulos e distâncias) e por receptores de sinais transmitidos por satélites de navegação. Estas medidas podem ser descarregadas diretamente ao computador e processadas por softwares de boa qualidade. A descrição gráfica do objeto levantado pode ser realizada utilizando-se pacotes computacionais gráficos, comumente denominados por CAD (Computer-Aided Design – Projeto Assistido por Computador) e o resultado final pode ser analisado utilizando-se os chamados SIG (Sistemas de Informações Geográficas) ou GIS (Geographic Information System). No entanto, não basta apenas desenvolver softwares e hardwares, é necessário rever termologias, conceitos e métodos, para que sejam aprimorados tanto a coleta das informações, quanto seu processamento e sua apresentação em resultados legíveis. Descrever Projetar Definir ou locar Materializar Monitorar Mapear Figura 1.2: Atividades de Engenharia relacionadas com a Topografia Mapear é igual a projetar, criar, organizar, manter e atualizar arquivos de informações topográficas e/ou geográficas. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 5 A Topografia convencional, vem se diferenciando da Topografia contemporânea, em diversos seguimentos de aplicação prática, já que a tecnologia atual, altera a concepação no levantamento e processamento dos dados topográficos, mas a essência natural e científica da topografia, ainda permanece imune em sua faculdade teórica. 4- QUALIDADE EM MAPEAMENTO TOPOGRÁFICO A qualidade de um levantamento topográfico, é bem verdade, está diretamente relacionada com a precisão obtida no final do processo (coleta de dados no campo, processamento matemático e representação gráfica). No entanto, a pretensão aqui, não é discutir métodos e instrumentos que melhoram a precisão; mas apresentar os seguintes princípios básicos, que podem melhorar a qualidade de trabalhos topográficos: - empregar a INFORMÁTICA e a ESTATÍSTICA como ferramentas usuais e rotineiras em todas as etapas do levantamento topográfico; - o levantamento de detalhes deve ser realizado pensando-se na futura conexão com a planta municipal; - topografar além dos limites da área inicialmente definida para ser descrita; - optar por incluir questões sociais e ambientais na prática do levantamento topográfico; - o levantamento deve ter caráter multifinalitário ou seja, mapear a vegetação, hidrografia, obras de engenharia, relevo, solos, etc.); e - sempre que possível, o trabalho deve ser executado por uma equipe multidisciplinar, a afim de proporcionar mais riqueza aos resultados. Sendo função do Engenheiro Agrimensor e Cartógrafo, fundamentalmente descrever, definir e monitorar espaços físicos terrestres, é evidente a sua necessidade de dominar com eficiência a linguagem das medidas. Este deve saber empregá-las, representá-las e materializá-las convenientemente, sendo assim, a seguir é apresentado um estudo resumido sobre metrologia. 5- METROLOGIA É a ciência que trata das medições. A metrologia abrange todos os aspectos teóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tecnologia. Medir ou mensurar é o ato de comparar uma grandeza com uma outra de mesma natureza, tomada como padrão. Medição ou mensuração é o conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. Medida ou mensura é o resultado de uma medição ou mensuração. Na Agrimensura e Cartografia emprega-se também o termo ‘observação’ como sinônimo de medida. As medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas categorias: - Medida direta; e - Medida indireta. A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de um instrumento de medição, como por exemplo, um comprimento com uma régua graduada ou um intervalo de tempo com um cronômetro. Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis, como por exemplo, a distância Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução Geral 8 5.3- Unidades de medida superficial: No SI a unidade fundamental é o metro quadrado representado por m2 . Os múltiplos e submúltiplos mais empregados são representados por: km2 , hm2 , dam2 , dm2 , cm2 e mm2 . Para quantificar áreas rurais emprega-se ainda o hectare, ha, sendo, 1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m² que tem como submúltiplos 1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m2 e 1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m2. Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido como 84 hectares, 35 ares e 62 centiares. Na Resolução nº 12 de 1988 do CONMETRO, o hectare está classificado como “outras unidades fora do SI e admitidas temporariamente”. Nome Símbolo Fator pelo qual a Unidade é Multiplicada exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 103 = 1 000 hecto h 102 = 1 00 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro µ 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 No passado, que se pode verificar em escrituras antigas, adotou-se no Brasil as unidades de superfície mostradas na Tabela 1.2. Ainda hoje é comum falar-se em “Alqueire”, unidade que deve ser substituída por hectare ou unidades do SI. Tabela 1.1: Prefixos do Sistema Internacional de medidas (IPEM-SP) Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 9 Unidade superficial antiga Dimensões m x m Em hectares ha litro 0,0605 prato 0,0968 Palmo de Sesmaria 0,22 x 6 600 0,1452 Selamim de terras 55 x 27,5 0,1512 Meia quarta 110 x 27,5 0,3025 Quarta de Terra 110 x 55 0,6050 Hectare de Terra 100 x 100 1 Meio Alqueire 110 x 110 1,2100 Braça de Sesmaria 2,2 x 6,6 1,4520 Quadra Quadrada 132 x 132 1,7424 Alqueire (ou alqueire menor) 110 x 220 2,4200 Alqueire Mineiro 165 x 165 2,7200 Alqueire geométrico 220 x 220 4,8400 Lote Colonial 2200 x 110 24,2000 Lote Colonial 1 000 x 250 25 Quadra de Sesmaria 132 x 6 600 87,1200 Milhão de Metro 1 000 x 1 000 100,0000 Data de Campo 3 300 x 825 272,2500 Data de Mato 3 300 x 1 650 544,5000 Sesmaria de Mato 3 300 x 3 300 1 089,0000 Légua de Sesmaria 6 600 x 6 600 4.356,0000 Sesmaria de Campo 6 600 x 19 800 13 068,0000 Além dessas, existem diversas outras medidas agrárias antigas, que podem sim ser encontradas em plantas e escrituras brasileiras, como por exemplo, o Alqueire de 80 x 80 braças, equivalente a 30.976,00 metros quadrados, ou 3,0976 hectares, já que 1 braça é igual a 2,20 metros.O alqueire é a medida variável com o número de litros ou pratos de plantio, geralmente o milho, o que corresponderia à quantidade de sementes que poderiam ser plantadas entre 20 e 320 litros, compreendendo assim os alqueires de 50 x 50 braças (1,2100 ha) e o de 200 x 200 braças (19,3600 ha), podendo estes variar com diversas combinações, a depender da região. 5.4- Unidades de medida volumétrica: No SI a unidade fundamental é o metro cúbico, m3 . Para volumes menores, emprega-se também o litro, (l ou L), cujos múltiplos e submúltiplos são: kl, hl, dal, dl, cl, ml. Sendo 1 litro = 1 dm3 . Na Resolução de 1988 do CONMETRO, o litro está classificado como “Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo”. Tabela 1.2: Medidas agrárias do sistema antigo brasileiro com suas respectivas igualdades (Chagas, 1965) Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução Geral 10 5.5- Unidades de medida angular: Baseia-se na divisão da circunferência em partes iguais, podendo ter suas unidades classificadas como em radianos, em unidades sexagesimais e centesimais. 5.5.1- No Sistema Internacional de medidas: radianos No SI, a unidade fundamental para ângulo plano é o Radiano (rad), que é o ângulo central subtendido por um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio, sendo, portanto, uma circunferência dividida em 2π partes iguais. Vale lembrar que π (PI) é o valor da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Esse número irracional é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinar com centenas de milhões de casa decimais. Com cinquenta casas decimais o valor de PI é (http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/pi.htm): π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751 Um ângulo θ qualquer (Figura 1.3), é a razão entre o comprimento do arco de circunferência, l, formado pelo ângulo, e o raio da circunferência, R, ou seja, ⋅⋅⋅===== km km cm cm m m radianos R l θ (1.1) 5.5.2- Sistema sexagesimal: Neste sistema, a circunferência é divida em 360 partes iguais, sendo cada parte denominada grau (o). Um grau é ainda dividido em 60 partes iguais, denominadas minuto ( ’ ). Um minuto também é dividido em 60 partes iguais, denominadas segundo ( ” ). Na Resolução de 1988 do CONMETRO, grau, minuto e segundos estão classificadas como “Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo”. Verifique que um minuto é da ordem de 10-2 graus (1’ = 0,01667º) e um segundo é da ordem de 10-4 graus (1” = 0,000 2777º ). O seno de 1’ é da ordem 10-4 (sen1’ = 0,000 2909) e o co-seno de 1’ difere de 1 na ordem de 10-8 (cos1’ = 0,99999996). O seno de 1” é da ordem 10-6 (sen1” = 0,000 00485) e o co-seno de 1” difere de 1 na ordem de 10-11 (cos1” = 0,999999999988). Por isso, caso esteja trabalhando com métodos R l θ Figura 1.3: relação entre medidas lineares e angulares Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 13 mais próximo estabelece-se um procedimento uniforme e produzem-se resultados melhor balanceados numa série de cálculos ( Wolf, 2006). 6.2 – Operações com algarismos significativos Soma e subtração: os três passos seguintes devem ser seguidos (Wolf, 2006): 1. Executar a adição ou subtração sem nenhum arredondamento considerando todas as casas decimais; 2. Identificar a coluna que contém o A.S. mais a esquerda entre as medidas envolvidas e 3. Arredondar a resposta para que seu A.S. mais a direita esteja na coluna identificada no passo 2. Por exemplo: 7605,230 2,105 13,22 243,3 1875,0 + + + ( Resposta: 230,8); 3204,22 6000,0 321,22 − (R: 22,320); Outros exemplos: 734,3612 + 23,52 + 5,0 = 762,9 e 439 – 4,5 = 434. Resumindo, na soma ou subtração o último A.S. do resultado deve estar na coluna do algarismo duvidoso mais a esquerda entre as medidas envolvidas. Obviamente as medidas envolvidas devem estar na mesma unidade. Não se soma ou subtrai metros a centímetros, metros quadrados, radianos ou segundos, por exemplo. 2,653 m + 53,8 cm +375 cm + 3,782 m = 2,653 m + 0,538 m + 3,75 m +3,782 m = 10,72 m. Multiplicação e divisão: a regra é anotar o resultado da operação com o mesmo número de A.S. da medida que tiver o menor número de A.S. Por exemplo: 32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm2 = 825 cm2. 32,74 cm2 x 3,8 cm = 124,412 cm3 = 1,2 x 102 cm3. 6.3 –Algarismos significativos na Topografia Em Topografia, o número de A.S. das medidas é que ditam o número de A. S. dos resultados derivados de cálculos que as envolve. Para as distâncias, são empregados, normalmente, instrumentos com precisão milimétrica, e para os ângulos, instrumentos com precisão de minutos e até mesmo segundos. Nos cálculos intermediários é prática comum considerar ao menos um dígito a mais que o necessário e arredondar o resultado final para o número correto de A.S. Cada fator pode não causar igual variação. Como exemplo, pode-se observar o cálculo de uma distância inclinada ou espacial, a partir de distâncias horizontal e vertical, como mostrado na Figura 1.5. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução Geral 14 A distância vertical (DV), é dada com dois A.S. e a horizontal (DH), com cinco. A partir destes dados, a distância inclinada (Di) é calculada com cinco A.S., uma vez que, para pequenos ângulos de inclinação, uma variação considerável na distância vertical produz uma pequena variação na diferença entre distância inclinada e distância horizontal (Wolf,2006). Na conversão de unidades, uma boa regra é manter o número de A.S. da medida original. 7 – EXERCÍCIOS 1.1) Transformar a área de 21 alqueires, 3 quartas e 15 litros em hectare. 1.2) Qual a altura de lâmina d'água de 1000 litros distribuídos uniformemente em 5 m² ? 1.3) Transformar - 30,4560 graus, em graus, minutos e segundos; e - 60° 45' 50" em graus. 1.4) Qual a dimensão da corda de um círculo com 10 cm de raio, dividido em 720 partes iguais (0,5 graus/parte)? E se o raio fosse 7 cm? 1.5) Verifique em uma calculadora o valor do seno de 1” . E o inverso desse valor, qual é ? 1.6) Transformar 648 000 " em radianos e 1 rad em segundos sexagesimais. 1.7) Supondo a Terra igual a uma esfera perfeita de Raio igual a 6371 km, então responda: a. Qual a distância em metros percorrida na Terra referente a 1” de arco? b. Qual a distância em graus, minutos e segundos de um arco referente a uma milha marítima ou náutica? 1.8) Arredonde o número 16,60045 para 1, 2, 3 e 4 algarismos significativos. 1.9) No somatório [10,03 + 0,025+ 2,009 + (-8,130) + 1,044], qual o resultado, respeitando-se os algarismos significativos? 1.10) Escreva o número 0,002085 com três níveis de algarismos significativos diferentes. Exercício Proposto: Elaborar algoritmos para transformar graus em graus, minutos e segundos; e vice- versa. Figura 1.5 : Distância inclinada a partir das distâncias horizontal e vertical DH = 100,00 DV = 8,0 Di = 100,32 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 15 8 – Solução: 1.1) 21 alqueires, 3 quartas e 15 litros = (2,42 x 21) + (0,6050 x 3) + (0,0605 x 15) = = 53,5425 = 5,4 x 10¹ ha. 1.2) V = 1000 litros = 1,000m³. A = 5m². H = V/A = 1,000m².m / 5m² = 0,2m. H = 2,000 x 10-1 m 1.3) -30,4560 graus = -30º 27’ 22”. -60º 45’ 50” = -60,7639 graus. 1.4) 2.π.R10 = 62,83 cm. Esse valor dividido em 720 partes iguais será igual a dR10 = 8,7 x 10 -2 cm. E para o Raio igual a 7 cm, o procedimento é o mesmo, fazendo dR7 = 6,1 x 10 -2 cm. 1.5) sen1” = 4,8481368110763678200790909409168 x 10-6. 1/sen1” = 206265 1.6) 648000” = 3,14152 rad. 1 rad = 206265” 1.7) a. 2.π.R = 40030173,592 m. Dividindo por 360, obteremos o valor referente a 1º, que é igual a 111194,927 m. Dividindo por 60, teremos o valor para 1’, que é 1853,249 m. E finalmente, dividindo por 60, teremos o valor da distância referente ao arco de 1”, que é igual a 30,887 m. b. O valor da milha marítima ou náutica é de 1852 metros, e como vimos na resolução anterior deste exercício, o valor do arco é de aproximadamente 00º 01’ 00”, ou 1 minuto. 1.8) Para 1 A.S. = 2; 2 A.S. = 16 ou 1,6 x 10¹; 3 A.S. = 16,6; 4 A.S. = 16,60. 1.9) O resultado do somatório utilizando todos os algarismos é 4,978, mas respeitando aos algarismos significativos, o resultado final será 5,0. 1.10) 2,085 x 10-3; 20,85 x 10-4; e 2085 x 10-6. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 18 m) Distância esférica: distâncias medidas ao longo de circunferências que podem ser meridianos (dM), equador (dEQ), paralelos (dP) ou uma circunferência máxima qualquer (de), conforme Figura 2.5. Na Figura 2.5, PS representa o Pólo Sul; PN o Pólo Norte; QQ’ o equador; R o raio do modelo terrestre esférico; f latitude de um paralelo; Df diferença de latitudes; Dλ diferença de longitudes e B e C representam as posições de dois pontos no hemisfério sul, sobre a superfície esférica. A distância esférica ao longo de um meridiano, uma circunferência máxima, é dada pela equação 2.1: rad radM R d ππ ϕ 22 → ∆→ sendo assim, radM Rd ϕ∆⋅= (2.1) e ao longo do equador, também uma circunferência máxima, assim como foi deduzido para o meridiano, esta é dada por: radEQ Rd λ∆⋅= (2.2) Portanto, considerando o raio do modelo esférico da Terra (R) igual a aproximadamente 6 371 km, para seguimentos ao longo de meridianos ou do equador, um ângulo (Dλ ou Df) de 1º (um grau) corresponde a 111 km, de 1’ a 1,9 km e de 1” a 30 m, aproximadamente. Na tabela 2.1, pode-se observar algumas destas distâncias relacionadas a diferentes ângulos. Tabela 2.1 – Relação entre distância angular e distância sobre o círculo máximo do modelo esférico terrestre. Figura 2.5 – Distâncias esféricas PS PN de f dEQ dM dP Rcosf R Dλ Df Dλ Q’ Q Dλ B • PS PN de • C fB fC Q Q’ Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 19 Distância Angular Distância sobre o círculo máximo (metros) 1º 111133 1’ 1852 1” 31 0,1” 3 0,01” 0,3 0,001” 0,03 0,0001” 0,003 0,00001” 0,0003 Já uma distância esférica ao longo de um paralelo de latitude f é dada por: radP cosRd λ∆⋅ϕ⋅= (2.3) e ao longo de uma circunferência máxima qualquer unindo dois pontos - pontos B e C da Figura 2.5, por exemplo - de latitude e longitude conhecidas, pode ser determinada empregando-se as equações (2.4) e (2.5), a seguir: λ∆⋅ϕ⋅ϕ+ϕ⋅ϕ= coscoscossensendcos CBCBe (2.4) rad ee dRd ⋅= (2.5) Após estas definições, espera-se que o leitor esteja apto para o estudo das técnicas simples de medição dos ângulos normalmente empregados na Engenharia. EXERCÍCIO: 2.1) Suponha um ponto inicial A na cidade de Viçosa – MG, com coordenadas ϕ = 20º 45’ 15” S e λ = 42º 52’ 50” W, e o Raio da Terra R = 6.371 Km. Pede-se: a) Calcular a distância d1 entre dois pontos sobre a esfera terrestre considerando ambos sobre a linha do equador e com diferença de longitude igual a 00º 30’. Resposta: d1 = 55.597,463 metros. b) Calcular a distância d2 percorrida entre o ponto A e um ponto B com coordenadas ϕ = 20º 45’ 15” S e λ = 42º 22’ 50” W. Resposta: d2 = 51.989,713 metros. c) Calcular a distância d3 percorrida entre o ponto B e um ponto C com coordenadas ϕ = 18º 45’ 15” S e λ = 42º 22’ 50” W. Resposta: d3 = 222.389,853 metros. d) Calcular a distância d4 percorrida entre o ponto C e um ponto D com coordenadas ϕ = 18º 45’ 15” S e λ = 43º 22’ 50” W. Resposta: d4 = 105.291,227 metros. e) Calcular a distância d5 percorrida entre o ponto D e o ponto A. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 20 Resposta: d5 = 228.461,881 metros. 2- MEDIÇÃO SIMPLES DE ÂNGULOS HORIZONTAIS Em textos mais avançados serão estudados métodos que permitem a eliminação de erros sempre presentes na medição de ângulos. Por hora, serão tratados apenas dos métodos simples, sem a preocupação com a eliminação de erros residuais. 2.1- Com trena: Parte-se do princípio de que “medindo três lados de um triângulo é possível determinar seus ângulos”. Se os segmentos medidos estão contidos em um plano horizontal os ângulos serão horizontais, se estão em um plano vertical serão verticais e se estiverem contidos em planos inclinados os ângulos serão espaciais – Figura 2.6. Obviamente, erros cometidos na medição das distâncias afetarão os valores determinados para os ângulos. Para calcular os ângulos, emprega-se a lei dos co-senos, conforme equação 2.6. α⋅⋅⋅−+= coscb2cba 222 (2.6) Portanto       ⋅⋅ −+ = cb acb 2 arccos 222 α (2.7) EXERCÍCIOS: 2.2) Para quais valores de a, b e c o ângulo α será reto (90o) ? Solução: Como os menores inteiros possíveis de se obter, de modo que a condição seja satisfeita, são os lados de 5, 4 e 3, então, pode-se dizer que multiplicando-se todos os lados do triângulo retângulo por uma constante x qualquer, assim na Tabela 2.2, é possível observar alguns valores para a, b e c. Figura 2.6 – Ângulo com trena C A B a c b α HZ Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 23 2.3- Com teodolito eletrônico Há equipamentos topográficos que utilizam metodologia eletrônica para medição de ângulos, sendo estes medidores eletrônicos de ângulos, peças internas aos teodolitos eletrônicos ou estações totais, que são também conhecidos por “Electronic Circle Scanning Devices” (Círculo Eletrônico com Dispositivos de Scanner), e estes dispositivos são baseados na medição de ângulos da forma convencional e mecânica. Em teodolitos com leitura angular óptica, os círculos de graduação são compostos por uma quantidade determinada de traços que efetivam as subdivisões no sistema sexagesimal, acompanhadas de uma numeração que permitam ao observador realizar a leitura da direção de forma direta, como pode ser observado na Figura 2.7. Já nos teodolitos com medição angular eletrônica, o sistema de leitura é composto por um círculo com subdivisões, tornando o círculo graduado, geralmente de plástico ou vidro, ambos transparentes com os traços em preto ou cor escura e opaca em forma de linhas ou outros padrões, que ao serem lidas eletronicamente através de uma rasterização ou escaneamento, composta por fotodiodos detectores de luz, transformam o conjunto de traços e códigos em números do sistema binário (0 ou 1), possibilitando a obtenção do valor numérico referente à direção angular medida. Tanto no método mecânico convencional quanto no eletrônico, existem algumas especificações e até mesmo instrumentos diferenciados que tornam a mensuração mais ou menos precisa. Métodos de interpolação da leitura também são largamente utilizados para a obtenção de medidas mais acuradas, fazendo com que a sensibilidade do aparelho ganhe importância durante seu manuseio. Estes sistemas não possibilitam a obtenção de leituras angulares com precisões satisfatórias às aplicações geodésicas e topográficas. Porém, a precisão suficiente pode ser alcançada através da introdução de interpoladores eletrônicos e com leituras (scanners) diametralmente opostas, além da combinação dos métodos da coincidência, da comparação de fases e do método de interpoladores matemáticos. Estes métodos de interpolação, denominados ‘Interpolação eletrônica de alta acurácia’ é que dão características de escaneamento fino, ou seja, com maior acurácia aos instrumentos, além de aumentarem a significância das leituras. Dois métodos de interpolação são considerados como os principais, são eles: o ‘Método da Coincidência’ e o ‘Método da Comparação entre fases’. Como exemplo, será explorado o sistema de leitura eletrônica de ângulos do instrumento ‘Theomat T2000’, que se trata de um teodolito eletrônico da marca WILD, que utiliza o método de interpolação da comparação entre fases. O sistema de escaneamento angular deste instrumento consiste em girar o círculo de vidro, onde duas barreiras claras são fixadas em posições diametralmente opostas (LS) e outras duas assim como a anterior, representadas por (LR), no entanto, a segunda rotaciona com o teodolito. O círculo contém 1024 (210) divisões uniformemente distribuídas, e materializadas por linhas graduadas. De forma a tornar mais clara a explicação, pode-se observar na através da Figura 2.9, que o sistema conta com duas barreiras, sendo uma fixa (LS) e a outra móvel (LR), onde a primeira representa assim, a direção zero do círculo, fazendo com que, deste modo, o ângulo φ formado entre estas duas barreiras corresponda ao valor angular da leitura. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 24 Figura 2.9: Escaneamento fino de círculos utilizando o método de comparação entre fases (Teodolito WILD T2000) – (φ: ângulo de fase; T: tempo). Fonte: Kahmen & Faig (1988) Os principais componentes destas barreiras de luz (LS e LR) são um transmissor e um receptor de diodo. Uma rotação da graduação do círculo causa uma modulação senoidal da luz de diodo transmitida. O receptor de diodo converte o sinal da luz em um sinal elétrico. O sinal análogo é então convertido em um retangular para um processamento futuro. As barreiras de luz geram assim, tais sinais retangulares cada (Figura 2.9), em que o ângulo φ é então obtido pela diferença de fase entre os dois sinais, conforme equação 2.10(a), ou semelhantemente pelos sinais retangulares na equação 2.10(b). 0.nφ φ φ= + ∆ (2.10a) 0.T n T T= + ∆ (2.10a) Mais detalhes sobre os processos de medição eletrônica de ângulos com teodolitos, seus métodos em completa descrição e exemplos de outros instrumentos, podem ser encontrados em Kahmen & Faig (1988). 2.4- Efeitos da curvatura da Terra em ângulos horizontais Em uma região pequena, num raio de aproximadamente 30 Km (campo de atuação da topografia) pode-se admitir a Terra como um plano. Para uma região um pouco maior, pode-se admitir um modelo esférico para a forma da Terra. Para a Terra como um todo, o modelo geométrico que mais se adapta à ela é o elipsóide de revolução, obtido girando-se uma elipse em torno de seu eixo menor. Todos estes são modelos matemáticos, figuras exatas para a forma da Terra. Em verdade ela se Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 25 diferencia de todos eles. O modelo físico para a Terra é o Geóide, com superfície de mesmo potencial gravitacional à altura do nível médio dos mares (Figura 2.10). Quando as grandezas medidas sobre a Terra são tratadas como se tivessem sido realizadas em um plano, cometem-se erros. Supondo-se que as medidas foram realizadas sobre uma esfera, e as tratam como tal, estes erros serão menores, já se considerado que foram realizadas sobre o elipsóide, menores ainda. Trabalhando com o geóide, chega-se mais próximo dos valores naturais. Ao admitir a Terra como um plano, precisa-se diminuir o raio de ação para minimizar os erros. À medida que se aumenta este raio devem-se considerar o modelo esférico, elipsóidico ou geoidal, e aprimorar os métodos de medição, processamento e representação. Na topografia, o mais comum é o trabalho com superfícies planas e que não ultrapassem os tais 30 Km de raio, porém, ao se trabalhar considerando os efeitos de curvatura terrestre, pode-se considerar que estão sendo utilizadas técnicas de geodésia para com os dados. Em um plano, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o; já em uma esfera, esta soma é um pouco maior. O que excede de 180o é chamado de ‘excesso esférico’, cujo valor dá uma idéia do erro que se comete nos ângulos ao admití-los como planos e, portanto, do raio de ação em que se pode admitir a Terra como tal. Seja a Figura 2.11 um triângulo esférico de área S. A soma dos ângulos internos do triângulo será: ε+=++ o180ĈB̂Â (2.11) onde ε é o excesso esférico que, em segundos sexagesimais, pode ser calculado por (Espartel, 1982): Superfície Física Plano Topográfico Superfície Elipsoidal Superfície Esférica Superfície Geoidal Figura 2.10 – Modelos Terrestres Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 28 3.1- Azimute geográfico (AZG) Neste texto, serão desconsideradas as diferenças entre meridiano astronômico e geodésico; e azimute geográfico pode ser: o natural, o geodésico ou um ângulo bem próximo destes (na ordem de minutos). Na Figura 2.14 estão representados dois pontos (A e B), os meridianos geográficos destes pontos, o azimute geográfico de A para B, GABAZ , e o azimute geográfico de B para A, G BAAZ . Observe que em pontos fora do equador, as tangentes aos meridianos não são paralelas e conseqüentemente o módulo da diferença entre os azimutes de A para B e de B para A não é exatamente igual a 180o, ou seja, Ce180AZAZ oGBA G AB ±±=− (2.15) onde o ângulo Ce é chamado de convergência meridiana esférica. No caso da Figura 2.14-a, temos a equação 2.16-a. E para a situação da Figura 2.14-b, temos a equação 2.16-b. 180G G oAB BAAZ AZ Ce= + − (2.16-a) 180G G oAB BAAZ AZ Ce= − + (2.16-b) Deve-se notar que caso os pontos estejam acima da linha do equador, ou seja, no hemisfério Norte, o leitor é encorajado a fazer um esboço para definir quais seriam os sinais da equação 2.15 mais adequados para cada caso. Figura 2.14 – Azimutes geográficos e convergência meridiana esférica para pontos em posições distintas. NGA Polo Sul A B • • G ABAZ G BAAZ • NGB Ce NGA Polo Sul A B • • G BAAZ G ABAZ • NGB Ce (a) (b) Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 29 3.1.1 - Métodos aproximados para determinação do meridiano geográfico Devido ao tempo gasto e à imprecisão, os métodos aproximados para determinar o meridiano geográfico raramente são utilizados, porém servem para estimular a curiosidade em relação à astronomia de posição. Os métodos apresentados se baseiam na hipótese, claramente não verdadeira, de que o sol percorre trajetórias circulares com a rotação da Terra e que o ápice da trajetória ocorre quando ele cruza o meridiano do lugar, de forma que ao determinar esse ápice, materializa-se o meridiano geográfico. a) Método das sombras: O meridiano geográfico pode ser materializado dispondo-se de um mastro, uma estaca ou um poste devidamente verticalizado e marcando, em horas simétricas às 12:00 h, de meia em meia ou de hora em hora, a posição da sombra de seu topo. Na Figura 2.15, os pontos 1, 2, 3, e 4 representam as posições da sombra do topo de um mastro posicionado no ponto A, às 10:00, 11:00, 13:00 e 14:00 h. Uma curva pode ser ajustada a estes pontos. Com um cordão amarrado ao mastro traça-se uma curva com raio qualquer de forma a cruzar a curva definida pelos pontos marcados. Os pontos P e Q são definidos pelas interseções dessas curvas. A linha que contém o mastro e é simétrica aos pontos P e Q é a direção aproximada do meridiano. Segundo Wolf (2006), se o terreno for plano, o mastro bem verticalizado, e as posições das sombras marcadas com o devido cuidado, pode-se materializar o meridiano com uma acurácia de 30’. b) Método das alturas iguais Instalado um teodolito em uma estação A, observa-se o sol às 9:00 horas, aproximadamente, conforme mostrado na Figura 2.16, anotando o ângulo zenital, abaixando a luneta e marcando o ponto P, aproximadamente a 150 m do ponto A. Por volta das 15:00 horas, fixa-se a luneta, com a precisão que o instrumento permite, na elevação do ângulo zenital lido e, acompanhando o sol3 - sem alterar o ângulo 3 Nunca se observa o sol diretamente através de uma luneta sem algum redutor de luminosidade ou filtro. Outra opção além do uso do filtro é projetar o sol em um papel branco atrás da ocular. 1 2 3 4 P Q c NG Figura 2.14 – Materialização do meridiano geográfico pelo método das sombras. A Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 30 zenital da luneta - determina-se a direção horizontal para a qual o sol estará novamente na mesma altura. Nesta posição, baixa-se a luneta e marca-se o ponto Q, também a, aproximadamente, 150 m do ponto A. A bissetriz do ângulo horizontal QÂP materializa o meridiano geográfico e a partir dele pode-se medir azimutes geográficos de qualquer alinhamento. Ao observar o sol pode-se tomar como referência o seu centro, que é um ponto de referência impreciso, e tentar passar por ele o cruzamento dos fios do retículo; porém o melhor é tangenciar, nos fios, as bordas inferior e direita de manhã e as bordas inferior e esquerda à tarde, como mostrado na Figura 2.16. Para obter melhores resultados e contornar a possibilidade de que nuvens impeçam o êxito do trabalho recomenda-se realizar observações em outras horas simétricas ao meio dia, como 10:00, 11:00, 13:00 e 14:00 h, aproximadamente. 3.2- Azimute Magnético (AZM) O Azimute Magnético pode ser definido como o ângulo horizontal horário que o lado norte do meridiano magnético faz com um alinhamento. Meridiano magnético: Plano que contém a tangente a uma linha de força do campo magnético terrestre e os pólos magnéticos (Figura 2.15). É bom lembrar que estes pólos não coincidem com os pólos geográficos. Em 2005 o pólo norte magnético estava localizado aproximadamente a 118º a oeste de Greenwich e a 83º acima do equador. Já o pólo sul magnético situava-se, aproximadamente, na longitude 138º a leste e com latitude 64º sul (NGDC, 2008). P Q NG Figura 2.16 – Materialização do meridiano geográfico pelo método das alturas iguais do sol. 2 QÂP 2 QÂP ≈ 9:00 h ≈ 15:00 h Estação A Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 33 As variações do campo magnético podem ser de curto ou longo período, bem como sofrer anomalias devido às tormentas magnéticas, podendo ter origem no interior ou exterior da Terra. A variação de fonte interna, também chamada variação secular, deve-se ao movimento das cargas elétricas da parte líquida do núcleo terrestre (formado por níquel e ferro), que funciona como um ímã cujo magnetismo dá origem ao campo magnético terrestre. A variação de fonte externa está ligada à atividade solar, que altera o sistema de correntes formado por partículas eletricamente carregadas da ionosfera. O campo magnético terrestre é influenciado pela energia solar recebida pela Terra, que varia em função de fatores como estações do ano, períodos do dia ou ocorrência de explosões solares (NGDC, 2008). Variações da declinação (δɺ ): Obviamente, variações no campo magnético terrestre, com tempo, levam a variações na declinação magnética. Estas variações dependem da posição geográfica e podem chegar a 10’ por dia. O Observatório Nacional (ON) publica, de cinco em cinco anos, arquivos ou cartas magnéticas do Brasil que contém as Isopóricas, ou seja, linhas de mesma variação da declinação magnética. (ON,2008). Figura 2.19-a: Declinação negativa ou ocidental NM NG δ < 0 L O δw O FFigura 2.19-b: Declinação positiva ou oriental NM NG L δ > 0 δe Figura 2.19-c: Declinação positiva ou ocidental NM NG δ > 0 L O δw FFigura 2.19-d: Declinação negativa ou oriental O NM NG L δ < 0 δe Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 34 A Figura 2.21 mostra um esboço de parte da carta magnética do Brasil de 2000 (região de Viçosa – MG). A declinação magnética em um determinado local, para uma determinada época t, pode ser calculada realizando interpolações na carta magnética confeccionada para uma época to empregando a seguinte equação: - 45o - 40o - 25o - 20o - 20 - 21 - 22 - 23 - 6,0 - 5,5 - 5,0 - 4,5 - 4,0 V • Curva isopórica ( ’/ano) Curva isogônica ( o) Ano de referência: 2000 Figura 2.21: Trecho da Carta Magnética do Brasil - 2000 Figura 2.20 – Mapa de isogônicas para o ano 2000. (Fonte: NGDC, 2008) Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 35 )( ototot tt −⋅+= δδδ ɺ (2.18) onde to = Época, para a qual foi confeccionado a carta isogônica (em anos), t = Época, para a qual se deseja calcular a declinação magnética (em anos), toδ = Declinação magnética, para o local, extraída da carta isogônica (em minutos sexagesimais), toδ ɺ = Variação da declinação, para o local, extraída do mapa (em minutos por ano) e tδ = Declinação magnética, para o local, na época t (em minutos). Atualmente, para atualizar as declinações e suas variações emprega-se “cartas magnéticas digitais” e programas de computador específicos para tal fim. Na página (http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html) do Observatório Nacional (ON) é possível determinar diretamente, para qualquer município brasileiro, a declinação magnética (D, de acordo com o software), a inclinação magnética em relação ao eixo de rotação da Terra (I), as componentes da intensidade do campo magnético, horizontal (H), norte (X), leste (Y) e vertical (Z) e a intensidade total (F). Explicações sobre estas grandezas e sobre modelos geomagnéticos podem ser encontradas na página (http://www.ngdc.noaa.gov/seg/geomag/faqgeom.shtml#q1) do National Geophysical Data Center (NGDC). Quanto ao período de validade dos cálculos, isto dependerá do modelo que está sendo empregado pelo programa. Este modelo é informado na tabela de resultados do processamento e normalmente, o período de uso de um modelo é de cinco anos. Por exemplo, o modelo WMM-2005 pode ser empregado somente até 2010. EXERCÍCIO PROPOSTO: Empregando um software, determinar a declinação magnética em Viçosa para o dia atual. Uma vez que o norte magnético sofre variações até mesmo diárias, uma planta topográfica deve ser orientada pelo norte geográfico e não pelo magnético. No entanto, este pode ser determinado a partir daquele, se a declinação para uma época t é conhecida, empregando-se a seguinte equação: t M t G AZAZ δ+= (2.19) O azimute magnético num determinado local e numa época t ( MtAZ ), pode ser medido empregando: • Uma bússola, onde uma agulha imantada instalada no centro de um limbo graduado, gira livremente por 360o ou Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 38 λMC é a longitude do meridiano central, negativa a oeste de Greenwich. Observe na Equação (2.20) e na Figura 23, que se o norte de quadrícula (NQ) estiver a oeste do norte geográfico (NG) a convergência meridiana plana é negativa e, se a leste, positiva. Figuras 2.25-a e 2.25-b. O azimute geográfico pode ser determinado a partir do azimute plano empregando a equação (2.21) A P AB G AB AZAZ γ+= (2.21) Vale ressaltar que assim como nas situações apresentadas nas Figuras 2.19-c e 2.19-d, o mesmo pode acontecer para a Figura 2.25, onde o alinhamento pode estar situado entre as duas linhas de Norte. Assim, o leitor é encorajado a esboçar tal situação a fim de verificar o sinal da convergência para ambos os casos. NQ NG γ < 0 L O Figura 2.25-a: Convergência negativa O NQ NG L Figura 2.25-b: Convergência positiva γ > 0 P ABAZ P BAAZ Figura 2.24: Azimutes planos ou da carta. A B NQ NQ Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 39 EXERCÍCIOS: Admitindo um raio da Terra de 6 371 km, 2.5) Calcular a distância esférica do meridiano central de longitude -45º à cidade de Viçosa, ao longo do paralelo. As coordenadas aproximadas de Viçosa são: latitude = -20º 45’ e longitude -42º 52’. Resposta: dp = 221,83 Km. 2.6) Calcular a convergência meridiana em Viçosa. Resposta: Como no caso desse exercício, um dos pontos está sobre o Meridiano Central, então pode-se dizer que nesse ponto, o Norte Geográfico se confunde com o Norte Quadrícula. Sendo assim, podemos obter a Convergência Meridiana de Viçosa (Ce) através da equação 2.20. Então: Ce = - 00º 44’ 13” 2.7) Calcular para o paralelo de Viçosa, o comprimento de arco no paralelo e a convergência meridiana para as seguintes diferenças de longitude ( λ∆ ) em relação ao meridiano central: 1”, 1’, 17,3’, 28,9’ e 34,6’. A Tabela 2.3 mostra os resultados do exercício 2.7. Estes resultados revelam que no campo de atuação da topografia podem-se admitir os nortes paralelos, sem incorrer em erros significativos. Os azimutes medidos em topografia têm, normalmente, uma precisão abaixo de trinta minutos. Vale lembrar que o objetivo dos azimutes é orientar as plantas em relação ao eixo de rotação da Terra e, além disso, não afetam as distâncias nem as áreas. Tabela 2.3: Comprimento de arco e convergência meridiana ao longo do paralelo de Viçosa – MG. R = 6371 km Diferença de longitude ( λ∆ ) Comprimento do arco no paralelo de latitude -20º 45’ – dP – (km) Convergência Meridiana 1” 0,029 -0,35” 1’ 1,73 -21” 17,3’ 30 -6’ 28,9’ 50 -10’ 34,6’ 60 -12’ 4- RUMOS (bearings) São ângulos horizontais horários e/ou anti-horários, com origem no lado do meridiano que mais se aproxima do alinhamento a ser medido, variando de 0 a +90o e acompanhado do quadrante que pode ser: NE, SE, SO ou NO, como mostra a Figura 2.26, onde RAB é o rumo da direção AB, RAC é o rumo da direção AC e assim por diante. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 40 A Figura 2.27-a mostra uma forma utilizada em plantas cadastrais para representar as direções dos alinhamentos. Nela verifica-se que o rumo de A para B é 53o NE e o de B para A 53o SO. Já a Figura 2.27-b mostra rumos extremos que, principalmente na confecção de algoritmos para programas de computador, devem ser considerados. EXERCÍCIOS: 2.8) Calcular os ângulos CB̂A e DĈB , exibidos na Figura 2.27-a. Resposta: CB̂A = 100º e DĈB = 280º 2.9) Quais são os rumos dos alinhamentos AB, BA, AC e CA da Figura 2.27-b ? Resposta: AB = 90º NE = 90º SE; BA = 90º NO = 90º SO; AC = 0º SE = 0º SO; CA = 0º NE = 0º NO. Figura 2.27-a: Orientação de alinhamentos A B C SO 53 NE NO 47 SE SO 53 NE D Figura 2.27-b: Rumos extremos S N O L A B • • • C N L O S B C D E A RAB RAC RAE RAD Figura 2.26 - Rumos +90º +90º 0º 0º Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 43 EXERCÍCIOS: 2.10) Calcular o ângulo horário BÂC da Figura 2.31 a partir dos azimutes AZBA e AZCA. Resposta: BÂC = AZCA - AZBA 2.11) Determinar o ângulo anti-horário 21̂3 e o horário 32̂1 sabendo que AZ12 = 39º 30’; AZ13 = 101º 00’ e AZ23 = 163º 30’. Resposta: 21̂3 = 61º 30’ 32̂1 = 304º 00’ 6- ÂNGULOS VERTICAIS Como definido anteriormente, trata-se de todo e qualquer ângulo medido em um plano vertical. Embora possam ser calculados a partir de distâncias observadas, é mais comum o emprego de instrumentos óptico-mecânicos, ou eletrônicos, dos quais os mais utilizados são teodolitos e estações totais. Se a leitura no círculo vertical é zero quando a luneta está apontando para o zênite, o ângulo vertical medido é chamado de ‘Zenital’, se tal leitura ocorre quando a luneta está apontando para o nadir, é denominado ‘nadiral’ e se a leitura zero ocorrer quando a luneta estiver na horizontal, o ângulo é dito ‘vertical’ ou de ‘inclinação’. 6.1- Ângulo Zenital As Figuras 2.32-a e 2.32-b representam um instrumento que mede ângulos zenitais. Na 2.31-a o círculo vertical está à esquerda (CE) do observador e se diz que a luneta está em Posição Direta (PD). Neste caso o ângulo zenital medido estará entre 0o e 180o. Já na Figura 2.32-b o círculo está à direita (CD) e se diz que a luneta está em Posição Invertida (PI). Assim o ângulo zenital medido estará entre 180o e 360o. A B C N N Figura 2.31: Ângulo horizontal a partir de azimutes Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 44 6.2- Ângulo Nadiral A origem do ângulo, ao contrário do zenital, está no nadir, que é diametralmente oposto ao zênite. É cada vez mais raro o emprego de instrumentos com esta característica. Os círculos também são graduados de 0 a 360o. A relação trigonométrica entre os ângulos zenitais e nadirais, se dá através da equação 2.27. z = 180º - n (2.27) onde: z é o ângulo zenital e n é o nadiral. A Figura 2.33-(a, b, c e d) mostra tipos de graduação de limbos verticais e uma luneta em PD (ou CE) com um ângulo zenital e um nadiral. A marca de referência para leitura permanece na vertical e o círculo graduado gira com a luneta. Zênite ABẐ B Figura 2.32-a: Medida de um ângulo zenital. Luneta em PD ou CE Zênite ABẐ B Figura 2.32-b: Medida de um ângulo zenital. Luneta em PI ou CD Figura 2.33-a: Limbo Vertical para medir ângulo zenital Figura 2.33-b: Luneta com um ângulo zenital Ângulo Zenital 90º 270º 0º 180º 10º 350º Marca de Referência para Leitura 80º 90º 70º 100º Ângulo Zenital z = 80º Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 45 6.3- Ângulo de inclinação ou ângulo vertical O ângulo de inclinação ou vertical, tem origem no horizonte e intervalo de 0º ± 90º, sendo positivo (+) se o ponto visado estiver acima do horizonte e negativo (-) se estiver abaixo. A Figura 2.34-a mostra um tipo de graduação de limbos verticais e a 2.34-b mostra uma luneta em PD (ou CE) e um ângulo de inclinação positivo. A marca de referência para leitura permanece na vertical e o círculo graduado gira com a luneta. A relação trigonométrica entre os ângulos de inclinação e os zenitais ou nadirais, considerando- se a luneta em PD, se dá através da equação 2.28.    = −= º90 - º90 ni zi (2.28) onde: i é o ângulo de inclinação ou vertical, z é o zenital e n é o nadiral. Figura 2.33-c: Limbo Vertical para medir ângulo nadiral Figura 2.33-d: Luneta com um ângulo nadiral Ângulo Nadiral 270º 90º 180º 0º 350º 10º Marca de Referência para Leitura 260º 270º 250º 280º Ângulo Nadiral n = 260º Figura 2.34-a: Tipo de graduação de limbo vertical Figura 2.34-b: Luneta com um ângulo de inclinação positivo +10º 0º +20 -10º Ângulo de Inclinação α = +10º 0º 0º +90º -90º -80º -80º +80º +80º -10º +10º -10º +10º Ângulo Vertical Marca de Referência para Leitura Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Goniometria 48 EXERCÍCIOS: 2.15) Determinar DV, empregando î e ẑ , nos seguintes casos: a) DH = 100,00 m, î = -30º e ẑ = 120º Resposta: para î = -30º
DV = -57,7 m para ẑ = 120º
DV = -57,7 m b) DH = 100,00 m, î = 30º e ẑ = 240º Resposta: para î = +30º
DV = +57,7 m para ẑ = 240º
DV = -57,7 m Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 49 III – MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS ____________________________________________________________________________________ A medição de distâncias e ângulos possibilita o posicionamento de um ponto em um determinado sistema de referência. As distâncias podem ser determinadas percorrendo o alinhamento do início ao fim, medindo diretamente a grandeza procurada - processo direto [2] - ou a partir de observações que estejam ligadas implícita ou explicitamente à distância procurada - processo indireto [3]. No processo indireto serão estudados, neste capítulo, os métodos: Taqueométrico [3.1] e brevemente, mira horizontal [3.2] e medida eletrônica de distâncias [3.3]. Após estudar os processos diretos e indiretos é apresentado um processo de medição de distâncias relativas a pontos inacessíveis [4]. A seguir serão estudados os efeitos da curvatura da Terra [5] e da altitude [6] nas distâncias. Dependendo da finalidade do trabalho, da precisão requerida e do tamanho da área a ser levantada, a distância observada deve ser reduzida ao nível do mar e daí, ao plano topográfico. Ainda neste capítulo serão estudadas as reduções de distâncias em levantamentos topográficos [7.1] e em trabalhos de locação de projetos [7.2]. ____________________________________________________________________________________ 1- INTRODUÇÃO Antes de dar início ao assunto de medição de distâncias, é necessário verificarmos a definição de erro relativo (er): é a razão adimensional entre o erro cometido na medição e o valor mais provável para a grandeza observada, já que o valor real de uma grandeza é impraticável e ainda impossível de se obter, pois qualquer tipo de observação está provida de erros, o que facilmente se aplica à engenharia de posições, como é o caso da Engenharia de Agrimensura e Cartográfica. Se, por exemplo, ao medir uma distância de 1000 m comete-se um erro de 50 cm, o erro relativo será de 0,0005; que é igual ao erro (0,50 m) dividido pela distância (1000 m) 0005,0 1000 50,0 == m m er E pode ser expresso em porcentagem (%), multiplicando este valor por 100 %05,01000005,0 =×=er Ou em partes por milhão (ppm), multiplicando-o por 106 ppmer 500100005,0 6 =×= Ou ainda expresso no formato de escala, ou seja, o algarismo 1 no numerador e no denominador a razão adimensional entre o valor mais provável para a grandeza e o erro cometido; para o exemplo. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 50 2000 1 1000 50,0 == m m er O erro relativo é uma medida da qualidade da observação; quanto menor for este erro, melhor foram efetuadas as observações. O Capítulo 4 trata com mais detalhes dos erros cometidos, ou das propriedades estatísticas, em ciências experimentais como a topografia. Como mostra a Figura 3.1, a distância inclinada ou espacial (DI), entre dois pontos pode ser decomposta em: • Distância Horizontal (DH): também conhecida como distância REDUZIDA. É a distância entre dois pontos medida em um plano horizontal. Esta distância é a que, por força de lei, consta em escrituras imobiliárias. Por isso é também denominada ‘distância legal’. • Distância Vertical (DV) ou Diferença de Nível (DN): é a distância entre dois pontos medida ao longo da vertical. Pode ser ao longo da vertical de A ou de B – Figura 3.1. Para pesquisar: As verticais que passam pelos pontos A e B são paralelas? Ou seja, o plano horizontal que passa por A é também perpendicular à vertical de B? Como visto no capítulo I, a Topografia pode ser dividida em planimetria, altimetria e planialtimetria. A Planimetria trata das distâncias e ângulos horizontais, assuntos deste texto, e a altimetria, que busca descrever o relevo do lugar, trata de ângulos e distâncias verticais. Altimetria e planialtimetria não fazem parte do escopo deste trabalho. Para observar distâncias horizontais há dois processos, a saber: o direto e o indireto. • • DVAB DH DI Figura 3.1- Distâncias inclinada, horizontal e vertical entre dois pontos. A B Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 53 Medir distâncias horizontais pelo processo direto pode ser muito moroso, caro e impreciso se a equipe de trabalho não estiver bem treinada e o relevo for muito acidentado. Caso haja algum obstáculo no alinhamento deve-se empregar o processo indireto. 3- PROCESSO INDIRETO Não há necessidade de percorrer todo o alinhamento e podem ser empregados os seguintes instrumentos e métodos: • Taqueômetro (ou simplesmente teodolito) + mira vertical = Taqueometria; • Teodolito + mira horizontal; • Distanciômetro (ou estação total) + refletor. Dependendo do tipo de estação total e da distância a ser medida, o refletor pode ser dispensado; • Satélite de navegação + receptor + antena: não há necessidade da intervisibilidade entre as estações; • Quasares + Antenas parabólicas (VLBI – “Very Long Baseline Interferometry”). Para distâncias longas, como a distância entre a América e a África, por exemplo. È, atualmente, a técnica que propicia maior precisão na medição de tais distâncias. 3.1- TAQUEOMETRIA O goniômetro que além de medir ângulos horizontais e verticais é dotado de fios estadimétricos, podendo ser chamado de taqueômetro ou simplesmente teodolito. A Figura 3.4 mostra os fios do retículo, ou fios estadimétricos, de um teodolito com o qual se pode também determinar as distâncias horizontal e vertical. A Figura 3.5 mostra em destaque o centro do teodolito e a posição dos fios do retículo. A razão entre a distância da localização dos fios ao centro do aparelho – distância Ob na Figura 3.5 - e a Fio Vertical. Empregado para medir ângulos horizontais. Fio Médio ou nivelador. Empregado para medir ângulos verticais. Fio estadimétrico inferior. Fio estadimétrico superior. h Figura 3.4 – Fios do retículo e distância entre o fio superior e o inferior (h). Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 54 distância do fio superior ao inferior – ac da Figura 3.5 ou h da Figura 3.4 - é conhecida como ‘constante estadimétrica’. A constante estadimétrica de um teodolito dada por: g ac Ob = (3.1) é normalmente igual a 100, ou seja, ac é cem vezes menor que Ob. Se, por exemplo, Ob for igual a 10 cm, ac será 1mm. Dessa forma o ângulo w mostrado na Figura 3.5 é muito pequeno e igual a '34 60100 180 rad 100 1 Ob ac w ≈ π⋅⋅ === (3.2) 3.1.1- Medição com a luneta na horizontal ( oo 0iou90Z == ˆˆ ) A Figura 3.6 esquematiza a medição de uma distância horizontal, DH, por taqueometria com a luneta na posição horizontal. O teodolito está num dos extremos do seguimento a ser medido e no outro está uma régua graduada, denominada mira, perfeitamente na vertical. FS, FM e FI são as leituras realizadas na mira, observando, pela ocular, as posições dos fios superior, médio e inferior, respectivamente. O a b c . w Figura 3.5 – Posição dos fios do retículo em relação ao centro de um teodolito. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 55 Da Figura 3.6, verifica-se que o triângulo Oac é semelhante ao triângulo OAC e, portanto, ac Ob AC OB = (3.3) Mas acOb é a constante estadimétrica, g, do teodolito e de acordo com a Figura 3.6: FIFSAC −= (3.4) sendo (FS – FI) conhecida com leitura estadimétrica e representada pela letra ‘m’. Assim, gmg)FIFS(gACOB ⋅=⋅−=⋅= (3.5) ou seja, se as observações forem realizadas com a luneta na horizontal, gmDH ⋅= (3.6) Fontes de erro: a medição de distâncias horizontais por taqueometria, com a luneta na horizontal, apresenta as seguintes fontes de erro: • Leitura na mira: é função da refração atmosférica, da capacidade de aumento da luneta, de defeitos na graduação da mira, da paralaxe, etc; Figura 3.6 – Taqueômetro, mira vertical e medição de distância por taqueometria com luneta na horizontal. DH = OB = ? A B C FI FM FS . . O c b a Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 58 • A hipótese simplificativa adotada para se chegar à equação (3.11). Como pode ser visto nos exercícios abaixo, o efeito de um erro na observação do ângulo de inclinação é bem menor que o efeito de um erro de leitura na mira. EXERCÍCIOS 3.1) De uma estação A, foi visada com a luneta na horizontal, uma mira vertical colocada em um ponto B. Foram feitas as seguintes leituras: fio inferior = 0,753 m e fio superior = 2,003 m. Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB). E se a leitura no fio superior fosse 2,000 m em vez de 2,003, qual seria a nova distância? Calcule a diferença entre as distâncias encontradas, em centímetros. 3.2) De uma estação A foi visada uma mira vertical posicionada em um ponto B. Foram feitas as seguintes leituras: fio inferior = 0,998 m, fio médio = 1,500m, fio superior = 2,002m, com ângulo zenital de 89º 05’ 00”. Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB). E se o ângulo zenital fosse 89º 00’ 00”, qual seria a nova distância? Calcule a diferença entre as distâncias encontradas, em centímetros. 3.3) Dada a caderneta de campo abaixo, onde são apresentados apenas os dados referentes à obtenção da distância horizontal, preencha a caderneta corretamente. Inferior Médio Superior A A.1 89º 15' 15'' 1,156 1,356 1,559 40,293 A.2 94º 05' 30'' 1,961 2,055 2,153 19,102 A.3 93º 59' 00'' 1,803 2,000 2,199 39,409 B 90º 45' 10'' 1,097 1,506 1,911 81,386 B C 88º 00' 20'' 1,033 1,110 1,187 15,381 Caderneta de Campo Estação Ponto Visado Ângulo de Inclinação Fios Estadimétricos (m) Distância Horizontal (m) Solução: 3.1) Utilizando a equação 3.15 e considerando o ângulo zenital igual a 90º, pois a luneta está na posição horizontal, então: 2 2ˆ (2,003 0,753).100. (90º ) 125,000DH m g sen Z sen m= ⋅ ⋅ = − = Para FS = 2,000m, DAB = 124,700 m. Diferença de 30,0 cm. 3.2) Utilizando a mesma equação 3.15, então: 2 2ˆ (2,002 0,998).100. (89º 05 ') 100,374DH m g sen Z sen m= ⋅ ⋅ = − = Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 59 Para ẑ = 89º 00’, DAB = 100,369 m. Diferença de 0,5 cm. 3.3) Utilizando a mesma equação 3.15, calcula-se as distâncias horizontais, e as respostas são apresentadas na caderneta a seguir. A A.1 ... 40,293 A.2 ... 19,102 A.3 ... 39,409 B ... 81,386 B C ... 15,381 Caderneta de Campo Estação Ponto Visado Distância Horizontal (m) ... 3.2- UTILIZANDO MIRA HORIZONTAL Mira horizontal, também conhecida como estádia, é uma haste de metal com baixo coeficiente de dilatação térmica, dotada de dois alvos em seus extremos sendo a distância entre eles conhecida com precisão. Para medir distâncias empregando a mira horizontal, instala-se o teodolito e a mira nos extremos do seguimento a ser medido – Figura 3.8. Utilizando o visor óptico, deixa-se a mira perpendicular ao alinhamento. Após medir o ângulo horizontal α mostrado na Figura. 3.8, calcula-se a distância horizontal DH. Da Figura 3.8, onde b é a distância entre os alvos da mira, verifica-se que: DH2 b 2 tg ⋅ = α (3.16) portanto, 2 tg2 b DH α ⋅ = (3.17) Se b = 2,000 m, então: )( 2 cot)( 2 1 mgm tg HD α α == (3.18) Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 60 Fontes de erro: A obtenção de distâncias empregando mira horizontal tem as seguintes fontes de erro: • erro no comprimento da estádia (mira); • erro de centralização do goniômetro e da mira; • erro na observação de α e • falta de perpendicularidade da estádia com o alinhamento a ser medido. O comprimento da estádia bem como a necessidade de visualizar dois alvos distando dois metros um do outro, torna pouco exequível o uso desse instrumento em espaços urbanos e rurais, principalmente em matas, limitando-o para trabalhos de triangulação, onde uma ou outra distância deve ser medida. 3.4) Dada a caderneta de campo abaixo, onde são apresentados apenas os dados referentes à obtenção da distância horizontal, porém, agora utilizando mira horizontal, preencha a caderneta corretamente ao calcular as referidas distâncias. C C.1 06º 45' 10'' 2,000 16,950 C.2 04º 05' 30'' 2,000 27,994 D 03º 59' 00'' 2,000 28,756 D D.1 00º 45' 10'' 2,000 152,223 D.2 08º 00' 20'' 2,000 14,291 Caderneta de Campo Estação Ponto Visado Ângulo Horizontal Distância Horizontal (m) Comp. da Mira (m) Solução: Utilizando a equação 3.17, será demonstrado como calcular a primeira distância, entre a estação C e o ponto visado C.1. 2,000 16,950 (06º 45 '10") 2 2 2 2 b m DH m tg tg α = = = ⋅ ⋅ A B α DH b Fig. 3.8: Medida de distância com mira horizontal Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 63 Atualmente, com o desenvolvimento de osciladores atômicos de átomos frios com uma margem de erro da ordem de 1 segundo a cada 3 bilhões de ano, ou 10-17 S/S, vislumbra-se a possibilidade de se ter instrumentos que meçam com precisão o tempo de propagação da radiação eletromagnética. b) A diferença de fase entre o sinal recebido e o emitido (ϕ) Na Figura 3.9 verifica-se que há, no caminho de ida e volta do sinal entre os extremos do seguimento a ser medido, um número inteiro de comprimentos de ondas que será representado por m, e uma parte fracionária da onda representada pela letra d. Portanto, da referida Figura, conclui-se que: 2 ⋅ = ⋅ +D m dλ (3.21) À parte fracionária d corresponde uma diferença de fase f de forma que: λ⋅ π ϕ = 2 d rad (3.22) Portanto, . 2 mD2 λ⋅ π ϕ +λ⋅=⋅ (3.23) Fazendo =µ= π ϕ 2 defasagem do sinal recebido em ciclos, tem-se: D m= ⋅ + ⋅ λ µ λ 2 2 (3.24) onde m é o valor observado e D e m são incógnitas. Para solucionar a indeterminação da equação (3.24) os distanciômetros emitem dois diferentes sinais L1 e L2 (SILVA, 1993). Se λ1 ≈ λ2 tal que m1 = m2 = m então: D m= ⋅ + ⋅ λ µ λ1 1 1 2 2 (3.25) e D m= ⋅ + ⋅ λ µ λ2 2 2 2 2 (3.26) e assim tem-se um sistema de duas equações e duas incógnitas, D e m, uma vez que m1 e m2 são medidos e λ1 e λ2 conhecidos. Se, por outro lado, λ2 > 2D, tal que m2 = 0, então: 2 D 22 λ ⋅µ= , (3.27) Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 64 1 1 1 1 2inteiro 2 D m de λ µ λ   − ×  =        (3.28) e 22 mD 11 1 1 λ ⋅µ+ λ ⋅= . (3.29) Para compreender melhor este caso veja o seguinte exercício: se λ1 = 20m; λ2 = 2000m e os valores observados µ1 = 0,451 ciclos e µ2 = 0,470 ciclos tem-se, empregando as equações (3.27), (3.28) e (3.29) que: m470 2 2000470,0 D = × = 1 470 0, 451 10 inteiro 46 10 m de − ×  = =    e portanto, m51,46410451,01046D =×+×= EXERCÍCIOS: 3.5) Se uma estação total mede distâncias com uma incerteza de (2 mm + 2 ppm) qual será o erro relativo, em ppm, para as distâncias de 20, 100, 1000 e 2000 metros? 3.6) E se a incerteza fosse (5 mm + 5 ppm)? Solução: 3.5) Para D = 20m; faça-se 6erro 0,002 0,001 0,001 10 100 100 2 ˆdistancia 20 102 m er x ppm m er ppm = = = ∴ = ∴ + = = . Para D = 100m; faça-se 6erro 0,002 0,00002 0,00002 10 20 20 2 ˆdistancia 100 22 m er x ppm m er ppm = = = ∴ = ∴ + = = Para D = 1000m; faça-se 6erro 0,002 0,000002 0,000002 10 2 2 2 ˆdistancia 1000 4 m er x ppm m er ppm = = = ∴ = ∴ + = = Para D = 2000m; Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 65 6erro 0,002 0,000001 0,000001 10 1 1 2 ˆdistancia 2000 3 m er x ppm m er ppm = = = ∴ = ∴ + = = 3.6) Para uma incerteza de 5mm + 5ppm, utiliza-se o mesmo método do exercício anterior, no entanto, ao invés de 0,002m para o erro, utiliza-se o valor de 0,005m. E substituindo 2ppm por 5ppm. Assim: Para D = 20m; er = 255 ppm. Para D = 100m; er = 55 ppm. Para D = 1000m; er = 10 ppm. Para D = 2000m; er = 7,5 ppm. 4– DETERMINAÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS ENVOLVENDO PONTOS INACESSÍVEIS É comum na engenharia necessitar-se de distâncias relativas a pontos inacessíveis. Caso se disponha de uma estação total capaz de medir sem refletor e o alvo reflete o espectro da radiação emitida pelo aparelho, o problema está então resolvido; senão, podem ser empregadas as leis do seno e co-seno como mostrado a seguir. Seja a Figura 3.10 a representação de uma situação onde a distancia PQ, envolvendo um ponto inacessível, deve ser determinada. Devem ser observadas, no mínimo, as seguintes grandezas: • A distância horizontal AB e • Os ângulos horizontais α1, α2, β1 e β2. Há dois caminhos para se determinar a distância horizontal PQ. Um é determinar pela lei dos senos as distâncias AP e AQ e pela lei dos co-senos, PQ; outro é determinar PQ a partir de BP e BQ. A seguir será desenvolvido o procedimento seguindo o primeiro caminho. Fica a cargo do leitor desenvolver o segundo. Do triângulo ABP, tem-se que: α1 β1 ω1 ω2 α2 β2 A B P Q Figura 3.10 – Determinando distâncias relativas a pontos inacessíveis Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 68 12 12 12 40 201,88 100 504, 71 250 1261, 77 AB m D m AB m D m AB m D m = ∴ = = ∴ = = ∴ = 5 - EFEITO DA CURVATURA DA TERRA NAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS Na Figura 3.12, onde A e B = dois pontos situados em uma esfera; R = raio de curvatura da esfera; s = distância esférica AB; c = a corda correspondente à s; d = distância horizontal AB, e γ = o ângulo de convergência entre as verticais que passam por A e B, Da Figura 3.12, pode-se verificar que: Do triângulo retângulo AOB’, temos tg γ = d / R então, d = R . tg γ (3.34) Para obtenção do valor da distância esférica, de acordo com a Figura 3.12, observa-se que: radrad Rs )2( 2 π π γ = então, radRs γ . = (3.35) Já para o cálculo do comprimento da corda, pode-se obter a equação pela seguinte dedução: Fig. 3.12: Distâncias horizontal, esférica e corda. B O A R s d c γ B’ Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 69 R c sen 2 2 = γ 2 2 γ senRc . = (3.36) Como pôde ser observado, são conhecidas as equações que relacionam distância horizontal, distância esférica e corda, com o raio de curvatura e o ângulo de convergência. Da Figura 3.12, ainda pode-se verificar que: ⋯+ ⋅ ++≈= 15 2 3 53 γγ γγtg R d (3.37) mas R s =γ (3.38) portanto, empregando-se apenas os dois primeiros termos da (3.37), tem-se: 3 3 R3 s R s R d ⋅ += (3.39) ou seja 2 3 R3 s sd ⋅ =− (3.40) que é o efeito da curvatura da terra nas distâncias horizontais. O erro relativo caso a curvatura seja desconsiderada pode ser calculado por: 2 2 s R3 1 sd s 1 Er ⋅ = − = . (3.41) EXERCÍCIO: 3.11) Dados: s = 30 km, R = 6.371 km Calcular: a) A distância horizontal d b) O efeito da curvatura da Terra nesta distância, ou seja, calcular d – s. c) O erro relativo caso a curvatura seja desconsiderada: d) Realizar estes mesmos cálculos para s = 10 km, 5 km, 500 m e 100 m. As respostas para esse exercício estão na Tabela 3.1. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 70 Tabela 3.1: Efeito da curvatura em diferentes distâncias s (Km) d (m) d - s (mm) Er (ppm) 30 30000,222 221,7 7,4 10 10000,008 8,2 0,82 5 5000,001 1,0 0,21 0,500 500,000 0,001 0,002 0,100 100,000 0,000 008 0,000 08 Observe que a correção da curvatura da Terra se faz necessária quando a distância a ser representada em um plano é tal que, o seu efeito seja considerável para os fins a que se destina a planta. 6 - EFEITO DA ALTITUDE NAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS Adotando a esfera como modelo físico e matemático aproximado para a Terra, as superfícies de nível serão esferas concêntricas. Da Figura 3.13, onde R = raio do modelo terrestre; hi = altitude da seção i; si = distância esférica na superfície de nível da seção i, sg = distância esférica ao nível do geóide 1, correspondente à si no Nível Médio dos Mares (NMM) e γ = o ângulo de convergência correspondente à si, de maneira análoga à equação (3.38), verifica-se que: i ig hR s R s + ==γ (3.42) 1 Geóide: é a superfície equipotencial que mais se aproxima do Nível Médio dos Mares não perturbado e prolongado através dos continentes. si sg hi R γ Figura 3.13- Efeito da altitude nas distâncias. i • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 73 7.1- TERRENO
PLANTA: reduções aplicadas na confecção de uma planta. a) Supeficie fisica
Superfície do Geóide: corrige-se o efeito da altitude. n n 3 3 2 2 1 1 hR R s hR R s hR R s hR R sSg + ⋅+⋅⋅⋅+ + ⋅+ + ⋅+ + ⋅= (3.45) e se as seções medidas são curtas, ii ds = (3.46) e ∑ ⋅ + = i i d hR R Sg (3.47) uma vez que o efeito da curvatura em cada di será nulo. Se a variação em altitude na área que está sendo mapeada é pequena, pode-se adotar uma mesma altitude média (hm) para a região e ∑⋅ + = idhmR R Sg (3.48) b) Superfície do Geóide
Plano Topográfico: corrige-se o efeito da curvatura em Sg. 2 3 R3 Sg SgDH ⋅ += (3.49) 7.2- PLANTA
TERRENO: reduções aplicadas em locações de projetos. a) Plano Topográfico
Superfície do Geóide: efeito da curvatura Aqui há necessidade de se realizar iterações uma vez que Sg se encontra nos dois lados da equação. Deve-se inicialmente atribuir o valor da distância horizontal à Sg. DHSg0 = (3.50) 2 3 1j 1jj R3 Sg SgSg ⋅ −= − − (3.51) com j = 1,2, · · · até que 1jj SgSg −− atinja um determinado critério de convergência. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. – 2010 Medição de Distâncias 74 c) Superfície do Geóide
Supeficie fisica: efeito da altitude. R hmR SgSsf + ⋅= (3.52) EXERCÍCIOS: 3.14) Um segmento de aproximadamente 500 m, localizado a uma altitude média de 800 m, foi dividido em dez seções para ser medido com trena de invar. Os valores das seções, em metros, são: 49,973; 49,853; 49,936; 49,875; 49,941; 49,832; 49,876; 49,946; 49,912; 49,954. Determinar o valor da distância reduzida ao plano topográfico tangente ao geóide. Considerar o raio da Terra igual a 6371 Km. 3.15) Em um mapa na escala 1/2000, construído em um plano topográfico tangente ao nível médio dos mares, foi medida uma distância de 56 cm. Sabendo que a região em que se encontra o segmento medido está a uma altitude de 800 m, determinar o valor da distância esférica correspondente, a ser locada com trena, na superfície física. Considerar o raio da Terra igual a 6371 Km. Respostas: 3.14) DH = 499,035 m. 3.15) Ssf = 1120,141 m. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 69 IV – INTRODUÇÃO À TEORIA DOS ERROS ______________________________________________________________________________________ A Topografia é uma ciência experimental, não exata. As medições conduzidas pelo ser humano se caracterizam pela inevitável presença de erros. Há também os erros devido às imperfeições dos equipamentos, como os fabricados pelo homem com peças que se desgastam e aqueles devido às influências das condições ambientais, uma vez que a natureza, felizmente não é exata. Conseqüentemente há necessidade de se abdicar da pretensão de se obter valores verdadeiros, ou exatos, para as grandezas observadas, e buscar valores mais prováveis para tais grandezas bem como estimar a precisão destes valores. Assim, a descrição georreferenciada (ou toporreferenciada) de um lugar deve ser feita com um nível de confiabilidade estatisticamente comprovado. Nas engenharias de Agrimensura e Cartográfica o que garante a qualidade de um trabalho não são os anos de experiência nem as aparências, mas os bons resultados de corretas avaliações estatísticas. Este capítulo faz uma breve introdução à teoria dos erros, classificando-os [1], apresentando algumas definições estatísticas [2] e tratando da chamada “lei de propagação” dos erros, ou das variâncias [3]. Um estudo mais aprofundado do assunto pode ser feito em textos específicos sobre ajustamento de observações. ______________________________________________________________________________________ 1- CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS: Os erros, também conhecidos como propriedades estatísticas das observações, podem ser classificados em: a) Erros grosseiros (Enganos): Causas: Desatenção e imperícia do observador, equipamento desregulado, variação brusca do meio. Características: Observações com erros grosseiros devem ser eliminadas. Detecção: Às vezes pode ser feita com três observações; porém em diversas ocasiões, as observações com erros grosseiros somente podem ser detectadas através de testes estatísticos. Exemplo: O observador pode fazer uma leitura equivocada de distância numa trena, como ler 1 metro quando a leitura deveria ser 1 pé. Ou ler 1,1 m e anotar 11 metros. b) Erros sistemáticos (Efeitos sistemáticos): Causas: Imperfeições do observador, dos equipamentos, dos métodos e do meio. As causas de erros sistemáticos devem ser conhecidas num processo de medição. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução à teoria dos erros 72 • Variância de uma observação isolada ( 2Xσ ): é uma medida da dispersão das observações em torno da média. A variância de uma “população de variáveis aleatórias” é dada por: ( ){ }2Xi2X XEi µ−=σ (4.4) ou 1n SQV2 X − =σ (4.5) onde SQV é a ‘soma dos quadrados dos resíduos’, ou seja: ∑ ∑ = = −== n 1i n 1i 2 i 2 i )XX(VSQV (4.6) • Covariância )( XYσ : exprime a correlação estatística entre duas amostras, ou seja, o grau de dependência entre elas. A covariância de uma “população de variáveis aleatórias” é dada por: ( )( ){ }YXXY YXE µ−µ−=σ (4.7) ou 1n )YY)(XX( n 1i ii xy − −− =σ ∑ = (4.8) Se 0XY =σ pode-se dizer que X e Y são “estatisticamente, não correlacionadas”. • Desvio Padrão de uma observação isolada )( Xσ : é a raiz quadrada positiva da variância, ou seja: 1n SQV2 XX − +=σ+=σ (4.9) É também uma medida da dispersão das observações em torno da média. O desvio padrão apresenta, em relação à variância, a vantagem de ter a mesma unidade das observações consideradas. É também conhecido como erro padrão (“standard error”) de qualquer observação, ainda que a palavra “erro” não tenha um significado estritamente estatístico. É uma medida da precisão ou incerteza do processo de medição. Quanto maior o desvio padrão, menor a precisão ou maior a incerteza. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 73 • Desvio padrão da média ou erro padrão da média )( X σ : se uma população de elementos X tem variância 2Xσ , a média da população X , calculada empregando a equação (4.2), terá o seguinte desvio padrão: ( )1nn SQV n X X − += σ =σ (4.10) Que é uma medida da incerteza da média, ou seja, uma medida da precisão do valor mais provável para a grandeza procurada. • Coeficiente de correlação linear )( XYρ : mede o grau de dependência linear de duas variáveis aleatórias. É determinado por: YX XY XY σ⋅σ σ =ρ (4.11) • Coeficiente de Variação (CV): é também uma medida da precisão das observações. É adimensional e equivale ao erro relativo. É expresso em porcentagem e dado pela seguinte equação: 100 X CV X ⋅ σ = (4.12) • Erro verdadeiro (ε): è a diferença entre o valor observado e o valor exato da grandeza observada ( Xµ ), ou seja: Xii µXε −= (4.13) O valor exato de uma grandeza pode ser obtido em casos como erros de fechamento angular e linear de um polígono. Na maioria das vezes não se conhece o valor verdadeiro de uma variável aleatória espacial. • Erro aparente (e): É a diferença entre o valor observado e o valor mais provável para a grandeza observada ( X ), ou seja: XXe ii −= (4.14) Corresponde ao resíduo com sinal trocado. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução à teoria dos erros 74 • Erro médio quadrático ou “root mean square” (rms): outra medida da precisão de um processo de medição. É definido como: 1n SQV srm X − =σ±= (4.15) Apresenta como vantagem em relação ao desvio padrão o fato de assumir sinais positivo e negativo, mostrando que o “erro” pode ocorrer para mais ou para menos. • Erro relativo (er): pode ser dado pela razão entre o erro padrão e o valor mais provável para grandeza observada. X er X σ = (4.16) É uma forma de representar o erro. Pode ser expresso em porcentagem (%), partes por milhão (ppm) ou no formato de escala com numerador igual à unidade. Se o valor encontrado pela (4.16) é multiplicado por 100 tem-se er em porcentagem e se multiplicado por 106 em ppm. Na notação de escala tem-se: X X 1 er σ = (4.17) • Precisão: diz respeito ao grau de aderência das observações umas às outras. • Exatidão: diz respeito ao grau de aderência do valor mais provável em relação ao valor verdadeiro. A Figura 4.1, tiro ao alvo, é uma forma clássica de mostrar a diferença entre precisão e exatidão. Na 4.1-a tem-se alta precisão e baixa exatidão, provavelmente devido a erros sistemáticos; na 4.1-b alta precisão e alta exatidão e na 4.1-c baixa precisão e alta exatidão. Quando se trata de dados e informações espaciais, o valor verdadeiro raramente é conhecido e não há como falar em exatidão e sim em acurácia. • Acurácia: “propriedade de uma medida de uma grandeza física que foi obtida por instrumentos e processos isentos de erros sistemáticos”, (FERREIRA, 1986). Diz respeito, portanto, ao grau de aderência de um valor mais provável a outro valor mais provável sabidamente isento de erros sistemáticos. •• • •• • •• • •• • •••• • • • •• • • • (a) (b) (c) Figura 4.1: Diferença entre ‘precisão’ e ‘exatidão’. Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 77                   = 2 2 2 2 321 332313 232212 131211 nnnn n n n lllllll lllllll lllllll lllllll l σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ ⋮⋱⋮ ⋯ C (4.28) e JXL é denominada Matriz Jacobiana (Segundo Dicionário Ferreira, A.B.H., Do antr. (Karl Gustav Jacob) Jacobi (1804-1851), matemático alemão, + -ano). É a matriz das derivadas parciais dos parâmetros (Xi) em relação às observações (Lj) – com o seguinte formato:                                       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = n n 3 n 2 n 1 n n 3 3 3 2 3 1 3 n 2 3 2 2 2 1 2 n 1 3 1 2 1 1 1 l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X l X L )L(F L X ⋮⋱⋮ ⋯ LXJ , (4.29) Observa-se que as matrizes de covariâncias são quadradas e simétricas, uma vez que 1221 σ=σ , conforme mostra a equação (4.8). Sendo simétricas, é possível anotar nas MVCs somente os elementos da diagonal e os acima dela. Segundo Cooper (1987), é prática comum considerar as observações independentes, não correlacionadas, de forma que todos os pares de covariâncias sejam nulos e todas as medidas não correlacionadas, não somente por conveniência prática, mas por que a experiência justifica isso. De qualquer forma é muito difícil determinar a covariância entre pares de observações realizadas empregando procedimentos normais de campo. No entanto, se os elementos do vetor L são derivados de outras variáveis, poderá haver correlação entre eles. Para se propagar as variâncias e assim verificar o efeito de um erro de uma observação em um parâmetro, há necessidade de se determinar o valor numérico da derivada parcial da função em relação à variável. 4- ALGUMAS DERIVADAS A seguir são relacionadas algumas funções, e suas derivadas, comumente usadas em Agrimensura e Cartografia. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução à teoria dos erros 78 Tabela 4.1: Algumas funções e suas derivadas Função Derivada da Função nx)x(f = 1nxn)x(f −⋅=′ )x(g)x(f)x(h += )x(g)x(f)x(h ′+′=′ )x(g)x(f)x(h ⋅= )x(g)x(f)x(g)x(f)x(h ′⋅+⋅′=′ ( ) ( )xg xf xh =)( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xg xgxfxgxf xh 2 )(' ′⋅−⋅′ = ( ) ( )xg xf 1 = ( ) ( ) ( )xg xg xf 2 ' ' − = xarctg)x(f = 2x1 1 )x(f + =′ xarccos)x(f = 2x1 1 )x(f − − =′ xarcsen)x(f = 2x1 1 )x(f − =′ Em topografia, são muito comuns alguns tipos de observações e cálculos, como distâncias, ângulos, coordenadas e azimutes. Por isso, no que tange a propagação destas variâncias, serão mostrados alguns modelos e suas respectivas derivadas parciais. 4.1- Azimutes Sabe-se que, conhecendo-se as coordenadas de dois pontos, o azimute do alinhamento formado por esses dois pontos (Figura 4.2), pode ser obtido pela equação (4.30).       − − =− 12 12 21 YY XX arctgAz (4.30) Sendo assim, as derivadas parciais do Az1-2 podem ser notadas como: N Az1-2 1 2 Figura 4.2: Azimute e distância do alinhamento 1 - 2. d1-2 Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 79 2 21 12 2 12 2 12 12 1 21 )()( − − −−= −+− − −= ∂ ∂ d YY YYXX YY X Az 2 21 12 1 21 − − −= ∂ ∂ d XX Y Az 2 21 12 2 21 − − −= ∂ ∂ d YY X Az 2. e 1 pontos os entre quadrado ao distância a é , 2 21 2 21 12 2 21 − − − −−= ∂ ∂ donde d XX Y Az 4.2- Ângulos Ao se conhecer as coordenadas dos vértices dos alinhamentos que compõem o ângulo (Figura 4.3), pode-se então determinar esse ângulo através da equação (4.31).       − − −      − − =−= −− 12 12 13 13 21311 YY XX arctg YY XX arctgAzAzα (4.31) As derivadas parciais do ângulo α1 podem ser descritas como a seguir: 2 31 13 2 21 12 1 1 −− − − − = ∂ ∂ d YY d YY X α 2 31 13 2 21 12 1 1 −− − + − −= ∂ ∂ d XX d XX Y α 2 21 12 2 1 2 21 12 2 1 ; −− − = ∂ ∂− −= ∂ ∂ d XX Yd YY X αα 2 31 13 3 1 2 31 13 3 1 ; −− − −= ∂ ∂− = ∂ ∂ d XX Yd YY X αα 2 α1 1 3 Figura 4.3: Ângulo formado entre as direções 1-3 e 1-2. Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução à teoria dos erros 82 Para adequar as unidades na equação acima, é necessário transformar a unidade da variância de î para radiano ao quadrado, assim: 2-6222 î rad10 x 2,1154)rad1sen300()030( =′′⋅=′′=σ e 62622 D 101154,2)mm(10768,1973)mm(165625 −×⋅×+⋅=σ portanto, )mm(308,4175)mm(00090 222D +=σ De onde se observa que o efeito de um desvio de 5’ no ângulo vertical (segundo termo da equação) é menor que o efeito de um desvio de 3 mm na leitura com os fios estadimétricos. O efeito conjunto desses desvios na distância D, de 38,475 m, será: cm7,30D =σ , levando, portanto, um erro relativo de 1/125. iii) Sabendo que, de acordo com a Figura 4.4, as coordenadas do ponto B podem ser calculadas empregando as equações mostradas na Figura, que as coordenadas do ponto A têm as seguintes precisões: AX σ e AY σ e a seguinte covariância AAYX σ , que a distância e o azimute medidos têm precisões iguais a Dσ e Azσ e que não há correlação entre a distância e o azimute, ou seja, que 0AZD =σ , calcular as variâncias de XB e YB e a covariância entre XB e YB. As funções que relacionam as variáveis aleatórias XA, YA, DAB e AZAB, componentes de um vetor L, com as variáveis XB e YB, componentes de um vetor X, são: ABABAB AZsenDXX ⋅+= ABABAB AZcosDYY ⋅+= ABABAB AZcosDYY ⋅+= A B DAB AZAB X Y XA YA Figura 4.4: Coordenadas cartesianas (X e Y) a partir de coordenadas polares (AZ e D) ABABAB AZsenDXX ⋅+= Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos 83 Empregando a notação matricial tem-se que: T XLX JCJC LLX ⋅⋅= onde                 σ σ σ σσ = 2 ABAZ 2 ABD 2 AY AYAX 2 AX L 0 00 00 C . Os valores nulos na matriz relevam que não há correlação entre as coordenadas e as observações e entre as observações. As derivadas parciais são dispostas na matriz JXL da seguinte forma:               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = AB B AB B A B A B AB B AB B A B A B AZ Y D Y Y Y X Y AZ X D X Y X X X L )L(F LXJ Calculando as derivadas parciais, tem-se:         ⋅− ⋅ = AZsenDAZcos10 AZcosDAZsen01 XLJ Multiplicando a matriz JXL pela CL tem-se:         σ⋅⋅−σ⋅σσ σ⋅⋅σ⋅σσ =⋅ 2 AZ 2 D 2 AYAYAX 2 AZ 2 DAYAX 2 AX L AZsenDAZcos AZcosDsenAZ CJ LX . E multiplicando essa matriz pela transposta de JXL, tem-se:           σ⋅⋅−+σ⋅+σ σ⋅⋅⋅−σ⋅⋅+σσ⋅⋅+σ⋅+σ = 2 AZ 22 D 22 AY 2 AZ 22 DAYAX 2 AZ 22 D 22 AX X )senAZD()AZ(cos AZcossenAZDAZcossenAZ)AZcosD()senAZ( C Ou seja: 2 AZ 22 D 22 AX 2 BX )AZcosD()senAZ( σ⋅⋅+σ⋅+σ=σ 2 AZ 22 D 22 AY 2 BX )senAZD()AZ(cos σ⋅⋅−+σ⋅+σ=σ Rodrigues, D.D.; Gonçalves, R.P. - 2010 Introdução à teoria dos erros 84 2 AZ 22 DAYAXBYBX AZcossenAZDAZcossenAZ σ⋅⋅⋅−σ⋅⋅+σ=σ Verifica-se dessas equações que se 2 AX σ , 2 AY σ , AYAX σ e 2Dσ , na matriz CL, estão em mm 2, D, na matriz JXL, deve estar em mm e 2AZσ deve estar em rad 2. 6- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A partir das seguintes funções: 212 2 12 )YY()XX()x(f −+−= e       − − = 12 12)( yy XX arctgxg determinar as seguintes derivadas parciais: a) )x('f 1 b) )y('f 1 c) )x('f 2 d) )y('f 2 e) )x('g 1 f) )y('g 1 g) )x('g 2 h) )y('g 2 2) Sabendo-se que um ângulo α é resultado da diferença entre a direção final fδ , e a direção inicial iδ , ou seja, if δ−δ=α ; calcule as covariâncias de um ângulo α qualquer, sabendo que as direções são medidas com uma precisão de 10”. 3) Se distâncias são medidas com um erro relativo de 1/500 (0,2% ou 2000 ppm), qual é o desvio padrão de uma distância cujo valor mais provável é 30 m? 4) Se n X n X n X n X X n321 ++++= ⋯ ; calcular o desvio padrão de X ( Xσ ), sabendo que XXXXX n321 σ=σ==σ=σ=σ ⋯ . 5) Para obter o valor do ângulo da Figura 4.5, foram medidos os lados do triângulo com um desvio padrão de 1 cm. Qual será o desvio padrão do ângulo calculado, em minutos do sistema sexagesimal? Ou seja, qual é o efeito do erro de 1 cm nas distâncias medidas, no ângulo procurado? 6) Sabendo que, de acordo com a Figura 4.4, as coordenadas do ponto A, seus desvios padrão e o coeficiente de correlação entre elas, são iguais a: XA = 1245,192 m, YA = 2341,052 m, cm5XA =σ , cm5YA =σ , 12,0AYAX −=ρ . Sabendo ainda que DAB = 123,000 m , mm5D =σ , AZAB = 48º 00’ e '1AZ =σ , calcular as coordenadas do ponto B, seus desvios padrão, em mm, e o coeficiente de correlação entre elas. 30,16 m 26,57 m 41,83 m α Figura 4.5: Ângulo com trena