Baixe Lei dos senos e cossenos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! A Lei dos senos e a Lei dos cossenos
"Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos
guadrados dos comprimentos dos catetos”
"Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das
áreas dos quadrados cujos lados são os catetos"
Como sabemos, as afirmações acima foram atribuídas ao grande matemático grego Pitágoras, que viveu
antes de Cristo!
Geralmente, os estudantes de engenharia não têm dificuldades para entender essas relações, entretanto, é
conveniente conhecer outras relações para que possamos resolver os problemas que envolvam quaisquer
tipos de triângulos
A idéia aqui é fazer com que o estudante pare um pouco de sair jogando os valores nas fórmulas e se
pergunte: De onde vêm essas relações”... Por que que essa fórmula tem sempre esses valores?.Tem que
pensar!!! aliás, engenheiro não faz outra coisa na vida a não ser pensar!
Vamos entender e descobrir de onde vêm duas relações importantíssimas: A Lei dos senos
ea Lei dos cossenos
1-Lei dos senos
Bem, como iniciamos falando sobre o triângulo retângulo, podemos comprovar a lei dos senos no
próprio triângulo retângulo, pois: Em todo triângulo retângulo a razão entre a medida de um lado e o seno
do ângulo oposto a este é constante, ou seja, é a mesma seja qual for o lado escolhido.
Use um software de CAD para comprovar ou então pegue régua, esquadro, transferidor, lápis,
borracha, calculadora e desenhe num papel.
Vamos lá...
Dado um triângulo AABC, seja BP a altura relativa ao lado AC, e consideremos as seguintes situações: P é
um ponto do segmento AC e P não é um ponto do segmento AC, isto é, o ângulo CÂB é agudo (ou mesmo
reto) e o ângulo CÃB é obtuso.
Primeiramente consideremos o caso em que CÃB é agudo (ângulo maior que 0º e menor que 90º e P
pertence ao segmento AC).
Neste caso, defina a=BC, b=AC, c=AB, h=BP, m=APe n=PC.,
B
C
A P b
No triângulo AABP, temos que h=c.sen(BÃP)
E no triângulo ABPC, temos que h = asen(BCP)
das duas equações acima, concluímos que c.sen(BÃP) = asen(BÊP)
. . a A. a =
e como os ângulos envolvidos satisfazem BAP £ 0 e BCP £0 ( e consequentemente seus senos não são nulos),
podemos escrever
A
sen(BÊP) sen(BÃP)
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f
Continuando...
A Lei dos senos e a Lei dos cossenos
Agora, consideremos o caso em que CB é obtuso (ângulo entre 90º e 180º e P não pertence ao segmento AC).
defina a=BC, b=AC, c=AB, h=BP, m=APe n=PC, como foi feito no primeiro caso.
No triângulo AABP, temos que:
h= c.sen(BÂÃP)
Perceba que o ângulo em questão agora é obtuso (ângulo BÃC), então, neste caso:
h=c.sen(BÃC)
E no triângulo ABPC, temos que: h = a.sen(BCP)
E da mesma forma como no caso anterior, podemos escrever
PR
sen(BÊP) sen(BÃC)
e também
a bo
sen(BÃP) sen(ABC)
então...
a
sen(BAC) sen(ABC) sen(BCA)
Essa relação é chamada de Lei dos senos
Isso significa que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a este é constante, ou seja,
é sempre igual. E assim e sempre será!!!
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