01 - Introdução à Análise Não Linear de Estruturas

01 - Introdução à Análise Não Linear de Estruturas

Disciplina: Análise Não Linear de Estruturas Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC

Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Maceió - Alagoas 2012

Introdução à Análise Não Linear de Estruturas

Relações Cinemáticas que desprezam os Movimentos de Corpo Rígido:

Relações Constitutivas Lineares (Lei de Hooke Generalizada):

Condições de contorno que não mudam com a mudança de forma do corpo:

Imposição do Equilíbrio utilizando a Configuração Inicial ou Indeformada:

onde xj são coordenadas referentes à configuração inicial ou indeformada do corpo.

onde nj são componentes do vetor unitário normal à superfície do corpo indeformado.

e e

Não linearidade física

Não linearidade geométrica

Não linearidade nas

Condições de Contorno Essenciais

Não linearidade nas Condições de Contorno Naturais

C t = Configuração do corpo no tempo t Descrição Lagrangiana do Movimento:

Xj são denominadas coordenadas materiais ou Lagrangianas.

xi são pontos do espaço ocupados pela partícula Xj durante o movimento.

C 0 = Configuração inicial do corpo

C 0 = Configuração inicial do corpo

C t = Configuração do corpo no tempo t Descrição Euleriana do Movimento:

xj são denominadas coordenadas espaciais ou Eulerianas.

Xi são as partículas que passam pelo ponto xj durante o movimento.

onde:

Deformação do elemento infinitesimal dX:

Tensor Gradiente de Deformação: Movimento do ponto P:

Movimento do ponto Q (vizinho ao ponto P):

Densidade do Material e Variação de Volume:

Conservação da massa (Física Newtoniana): onde:

Tempo 0 Tempo t

Densidade do Material e Variação de Volume:

Densidade do Material e Variação de Volume:

O material do corpo não pode penetrar ele mesmo, e o volume final não pode ser comprimido a um ponto ou expandido para um volume infinito durante o movimento.

Matematicamente isso implica em:

Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:

onde U, V e R existem e são únicos. U e V são tensores simétricos positivo-definidos:

R é um tensor ortogonal próprio: A deformação pode ser decomposta em duas partes:

Decomposição polar do tensor gradiente de deformação:

Como U é um tensor simétrico positivo-definido, existe um conjunto de eixos, denominados eixos principais, para os quais U é diagonal. Para estes eixos, tem-se:

Ui são denominados alongamentos principais, onde:

(representa um alongamento simples na direção Xi ) (representa um encurtamento simples na direção Xi )

(representa nenhuma mudança na direção Xi )

Rik representa uma rotação de corpo rígido do elemento dy para o elemento dx:

Decomposição polar do tensor gradiente de deformação: Decomposição do movimento do elemento dX:

1) Translação de X para x

2) Deformação (alongamento ou encurtamento) definida por U 3) Rotação de corpo rígido definida por R

Decomposição polar do tensor gradiente de deformação: Para a decomposição:

A rotação vem antes do alongamento ou encurtamento.

Os tensores U e V são conhecidos como tensores de alongamento à direita e à esquerda, respectivamente.

Embora muito úteis, o cálculo dos tensores U e V pode ser bastante tedioso, mesmo para as deformações mais simples.

Por esta razão, outras medidas de deformação pura são propostas.

Tensores de deformação de Cauchy-Green: Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita:

Relação com o tensor de alongamento à direita:

Características dos tensores de deformação de Cauchy-Green:

1) São tensores simétricos e positivo definidos.

2) Resultam em um tensor identidade para movimentos de corpo rígido.

Tensor de deformação de Cauchy-Green à esquerda: Relação com o tensor de alongamento à esquerda:

Tensores de deformação de Cauchy-Green:

Interpretação alternativa do tensor de deformação de Cauchy- Green à direita:

Comprimento do vetor linha dX: Comprimento do vetor linha dx:

Desta forma:

Tensores de deformação de Cauchy-Green:

Interpretação alternativa do tensor de deformação de Cauchy- Green à esquerda:

Desta forma: Onde:

Tensor de deformação de Green-Lagrange:

Definição:

Características do tensor de deformação de Green-Lagrange:

1) É um tensor simétrico. 2) Resulta em um tensor nulo para movimentos de corpo rígido.

Interpretação alternativa:

Componentes de deslocamento para uma descrição Lagrangiana do movimento:

Isso implica em:

Tensores de deformação em termos das componentes de deslocamento:

Tensor de Deformação de Cauchy-Green à direita:

Tensor de Deformação de Green-Lagrange:

Tensor de Deformação de Engenharia (Infinitesimal):

Despreza os termos de segunda ordem do tensor de deformação de Green-Lagrange!

Exemplo de Aplicação:

Encontre os tensores F, C, B, U, V, R, E e e para a seguinte deformação:

onde a > 0 é uma constante, e interprete a deformação como uma sequência de alongamentos/encurtamentos e uma rotação, fazendo a = tan(q) (0 < q < p/2) , que representa uma rotação definida pelo ângulo q em torno do eixo-1.

Forças de Superfície e Forças de Corpo:

Análise do volume Vt limitado pela superfície St na configuração deformada do corpo:

1) Na mecânica do contínuo nós consideramos a interação entre porções vizinhas do corpo deformável de forma bastante simplificada.

2) Na realidade, tais interações ocorrem de maneira bastante complexa por meio de forças interatômicas.

Forças de Superfície e Forças de Corpo: Na mecânica do contínuo o efeito de todas as forças interatômicas através de uma dada superfície St é representado por um simples campo vetorial t(x,n) definido em St .

Além disso, o efeito de forças externas tal como a gravidade é representado por um outro campo vetorial b(x) definido no volume Vt .

Em pontos onde St está no interior do corpo, t(x,n) representa a força por unidade de área em St exercida pelo material fora do volume Vt .

Em pontos onde St coincide com a superfície do corpo, t(x,n) pode representar uma força por unidade de área exercida em St por um agente externo.

b(x) representa uma força distribuída por unidade de volume causada por um agente externo, normalmente a gravidade.

Forças de Superfície e Forças de Corpo:

onde:

t(x,n) = vetor de tensão ou força de superfície; b(x) = força de corpo e n = vetor unitário saindo da superfície S.

Desta forma: (Força resultante no volume Vt )

(Momento resultante em relação à origem no volume Vt )

Princípio do momento linear:

“A resultante das forças externas atuando num sistema é igual à taxa de variação total do momento linear do sistema.”

Densidade de momento linear:

Momento linear total no volume Vt : Onde:

Interação entre partes do corpo deformado:

Suponha o volume Vt sendo cortado por uma superficie S’t em duas partes:

Desta forma:

Comoe

O que resulta em: Uma vez que Vt e S’t são arbitrários!

Interação entre partes do corpo deformado:

Fórmula de Cauchy:

Considere um tetraedro infinitesimal com três faces paralelas aos planos de coordenadas e passando por um ponto arbitrário P. A quarta face tem área dAt e vetor normal unitário n.

Fórmula de Cauchy: Relações geométricas utilizadas:

onde dh é a altura do tetraedro definida pela distância de P até a quarta face dAt . Do princípio do momento linear, tem-se:

Fórmula de Cauchy:

Onde sij são as componentes de um tensor de segunda ordem conhecido como tensor de tensão de Cauchy.

sij representa a componente na direção j da força por unidade de área atuando no elemento de superfície da configuração deformada que tem normal na direção i.

Fórmula de Cauchy:

Fórmula de Cauchy:

Representação no cubo infinitesimal das componentes do tensor de tensão de Cauchy, também conhecido como tensor das tensões verdadeiras, por ser definido utilizando a configuração final ou deformada do corpo:

Obrigado a todos pela atenção. Obrigado a todos pela atenção.

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