calculo com geometrica analitica earl swokwoski capitulo15, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe calculo com geometrica analitica earl swokwoski capitulo15 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! NASSCLESLTLTSETSSTDEDDDSDDIDDIDIDSO ES &8 Cálculo com Geometria Analítica Cop. 14 27 Acheas equações paramétricas da reta de inte ção dos planos 2:+y + 4:=8ex+3y=2=1 28 Ache a equação do plano por P(1, 3, — 2) que é paralelo ao plano Sx—4y +32=7, 29 Ache a equação do plano por P(S, 1, 2) que temo mesmo traço-yz que 0 plano 2x+ 3y-42= 11, 30 Ache a equação do cilindro de geratrizes paralelas ão eixo-z e que tem como diretriz o círculo no plano-iy com centro C(4,— 3,0) e raio 5. 31 Ache a equação do elipsóide de centro O, intercep- to-x8, intercepto-y 3 e intercepto-r 1 32 Ache a equação da superfície obtida pela revolu- cão do gráfico da equação = xem tomo do eixo-z 33 Dados os pontos P(2,= 1, 1). Q(-3,2,0) e R(%,— 5,3), ache: (a) um vetor unitário normal ao plano determina- doporP,QeR (1) à equação do plano por P, O eR (e) equações paramétricas da reta por P paralela à retaporQeR (DOR (e) o ângulo entre DP - OR (8 a área do triângulo POR (g)a distância de Rá reta por Pe O 34 Ache os ângulos ente as duas retas ger, 2+1 7 35 Escreva equações paramétricas para cada uma das. tetas do Exercício 34, 36 Determine se as seguintes retas se interceptam e em caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: xeZ+6 yel+t 44% X=-4+5, y=2-M 20 1-4 37 Ache os ângulos entre as retas do Exercício 36 38 Seareta Item equações paramétricasx = 2+1,y= =143,2= St ache a distância de A(3, 1, 1a. Exeres, 39-50: Esboce o gráfico da equação. 3924)242-14x+67-8:+10=0 so 4y-3:-15= a13-s+m=10 a2y=é+l 43 00 442=36 s6 20 +42. sea mpi+s? s02=9-2-y Capítulo 15 “FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS INTRODUÇÃO Os valores das funções consideradas até aqui são números reais. Neste capítulo intro- duziremos funções cujos valores são vetores. Exemplo de uma tal função com valor veto- rialé a velocidade, no instante 1, de um objeto que se move no espaço. Na Seção 13 estuda- remos esta aplicação, bem como outros as- pectos do movimento, tais como aceleração e força centrípeta. Definem-se os conceitos de limite, deriva- dae integral de funções com valores vetoriais aplicando-se às componentes dos vetores os métodos já estudados, Isto nos permite obter rapidamente propriedades análogas às esta- belecidas para funções nos Capítulos 3 e 5. Se uma função com valores vetoriais é con- tínua, então os pontos terminais dos vetores definem, em seu contradomínio, uma curva em tês dimensões , reciprocamente, a cada curva corresponde uma função contínua com valores vetoriais, Esta correspondência biunívoca é Gil em aplicações que envolvem um ponto em movimento ao longo de uma curva. Em parti- culas, a derivada de uma função com valores vetoriais nos dá vetores tangentes a uma curva. Nas Seções 15.4 e 15.5 utilizamos funções com valores vetoriais para definir curvatura — urm conceito que permite determinar quanto uma curva se afasta da direção de sua tangente, cuquanto muda de forma. A seção final contém um surpreendente exemplo do uso de vetores nas demonstrações das leis de Kepler. As de- monstrações são dificeis e exigem muitas pro- priedades dos vetores. O presente material deve ser lido cuidadosamente, com O objetivo de aquilatar o poder dos métodos vetoriais. 280  15.1 FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS E CURVAS NO ESPAÇO Pela Definição (1.10), uma função é uma correspondência que associa a cada elemento de seu domínio D exatamente u elemento de seu contradomínio E. Se os valores da fu números reais, referimo-nos à função como uma função com valores reais, ou função escalar. Estudaremos a seguir funções com valores vetoriais, denotadas por r (ou por 7); os valores dessas funções são veiores, Seja D um conjunto de números reais. Uma função vetorial | r com domínio D é uma correspondência que associa a cada número tem D exatamente um vetor r(:) em V;- * Definição (15.1) O contradomínio de r na Definição (15.1) consiste em | todos os vetores possíveis r(t), para tem D. Na Figura 15.1, 0 domínio D é um intervalo fechado; entretanto, D pode ser F qualquer conjunto de números reais. Esboçamos também o vetor posição de r(1). No futuro, não fare entre o “o vetor r(t) em V, e seu vetor posição DB. assim, esboçar r(t) ia significará esboçar OP. O ponto terminal P de OP é chamado ponto terminal de r(1) Como as irês componentes de r(1) são determin vocamente para cada em D, podemos escrever r() = Roi + sto + Ok onde f, g e h são funções escalares com domínio D. Reciproc: mente, uma fórmula deste tipo para r(t) define uma funç: com valores vetoriais. Temos, pois, o seguinte: Figura 151 Teorema (15.2) Se D é um conjunto de números reais, então r é uma função com valores vetoriais com domínio D se e somente se existem funções escalares f, g e h tais que | TO E RO + eco] + (ke | para todo tem D. - EXEMPLO 1 Seja nto) = (1+ + j + Pk tem R (8) Esboce r(1) e r(3) . (b) Ache os vetores r(1) que estão em um plano coordenado. Cap. 15 Funções com valores vetoriais 294 SOLUÇÃO (a) Fazendo t= 1 et= 3 na fórmula de r(t), obtemos (= A Figura 15.2 exibe estes vetores. -3j+ker()=4i+5+9k (b) O quadro seguinte exibe os vetores r(t) que estão em um plano coordenado. [ Plano que contém | [e Vatorder() | r( | e(t der(t) | Plano=y componente-k Planos É eomporestod [ o Planos componentej EXEMPLO 2 Sejarin)=(9 (8) Esboce r(0). (1) e (2) esteja (+ (b) Descreva g minais de r(9). icamente o co SOLUÇÃO (a) Façamos t=0, 1 e 2 na fórmula de r(t), como segue: H2)=i+8)+9k Tmsaso Fstessão osvetores0A, OB e OC da Figura 15.3. Figura 152 ui NASASDADASADASESSSSSSCADASANATAS Figura 158 Teorema (15.3) Escrevendo x? + y? em coordenadas polares, temos P=i a reio (Note quer = —16, porque r=|r(9]]=0) O gráfico da equação polarr= 16,0 4 0 < 3xé a parte da espiral de Arquimedes ilustrada na Figura 15.8 (ver Exemplo 5, Seção 13.3). A orientação é o sentido anti-horário, conforme indicado pelas setas. (b) Substituindo é por 6, obtemos r(6) = (3 cos G)i+ (3 sen 6)j = 29-08] etraçamos r(6) como na Figura 15.8. WD — Podemos definir o comprimento de uma curva C em três dimensões exatamente como o fizemos para as curvas planas na Seção 13.1. O próximo resultado é análogo ao Teorema (13.5). e SEER a me | Se uma curva C admite uma parametrização suave | | z=H0,=80, e se C não se intercepta, exceto possivelmente emt= ae t= | b, então o comprimento L de Cé Mijastsb ' L=j AO EUr+ Ur & | vie) EXEMPLO 7 Ache o comprimento L da hélice circular x=acosty=asent,z=bg0sts2x SOLUÇÃO A hélice é a parte da curva da Figura 15.6 entre os pontos (a, O, 0) e (a,0, 2x b). Aplicando o Teorema (15.3), obtemos L Cap. 15 Funções com valores vetoriais 297 = Vcom ros d+ EF & [ VEERTREATEE d o - F VE TE de «VETE nvfre EXERCÍCIO 15.1 Exeres, 1.8: (a) Trace os dois vetores indicados após. a fórmula de r(). (5) Trace, no mesmo plano, a curva C determinada por rt) e indique a orientação para os valores dados de 1 cg=24+(1-92], ro) (tem R r(d (2): 120 3 O=(-Distêsa, rp rgj=2s1s2 4 ry=(Q+cosai-(-sinai, ra) ra): 0sts2% K)=(3+Mi+(2-0]+(1+208, rc tkrO)te=1 KJ=4-3send +3cosik, TO) nao t=0 rg=ni+4cosg+9sinik, (0) rx); t=0 8 mQ=tndesecg+2, (O), (xs; =2/2<4 <a/2 Exeres, 9-18: Trace a curva C definida por r(9 e indique a orientação. =ecostise send; Ostsa =2coshd+3senhg; temR Mt HO =n4 28) 438%; Lnd=di Age tem 0s154 1 n)=(E+Died+dk Mr(g)=6sendi+4j+25costk; -2xsts 2x temR 15 ()=a+ 0 + sena; temB 16 r()=0+2]+e%; temR 17 n)=3sen(óis (4-0 OsraS 18 ()= Nie; Oses2x Exeres. 19:24: Ache o comprimento da curva para- metrizada. y=4ê, z=M3 Osts2 y=tsent, a=tcosg Osts] z=e'sençOsts2 nx=2, y=48en3%, 2=4c05350st52x Bx=38, 2=6; Ostst 2Mx=1-2, y=4, 2=3+27, 0sts2 25 Uma concho-espiral é uma curva C que adaite a parametrização x =aetcost, y=ae!sent, 2=bet;tz O, coma, be pconstantes. (a) mostre que C está no cone al? = b'(? +). () Trace Cparaa (0) Ache o comprimento de C correspondente ao intervalo-t (0, s) 26 Uma curva tem a parametrização x=asentsena,y=bsentcosa, cosnt20, coma, b, ce q constantes positivas.  298 Cálculo com Geometria Analtica Cop. 15 28 Um retângulo pode ser transformado em umilin- 1a gro unindo-se dois lados opostos e paralelos. À figura mostra, à esquerda, um retângulo ABCD de largura 27, Une-se o lado AD ao lado BC, posicio- nando-se então o ponto 4 em (1, O 0) de modo à formar parte do cilindro sé +32 = 1, ilustrado à direita, (3) Mostre que C está no elipsóide (b) Mostre que C também está em um plano que contém o eix (6) Descreva puriatã, (8) Se | € o segmento de A a cutro ponto P no 27 (8) Mostre que uma cúbica reversa = at, = bê, retângulo e m é o coeficiente angular de 1, 2= cf; tz O intercepta um plano dado no má. mostre que, como curva traçada no cilincio, | ximo em três pontos. admite a paremenrização x = cos 1, y = sem 1, tom (8) Ache o comprimento da cúbica reversa x = 6, entre os pontos correspondentes (b) Use aparte (a) paramostrar que a curvatraçada no cilindio, com menor distância de (1, 0, 0) a outro ponto P, é uma hélice (ver Exemplo +) de [ D: =» 15.2 LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Poderíamos definir limite de uma função com valores vetoriais F utilizando o método E-6 análogo ao utilizado na Definição (2.4) (ver Exercício 41); todavia, como r(1) pode expressar-se em termosdei, je k, onde es componentes são funções escalares fig eh, É mais simples utilizar a definição seguinte. Definição (15.4) | Seja r() = f()i + g()j + Mk. O limite de r(f) quando + | tende para a é tim nt = [Rm + E soji A 1259] desde que f, g e htenham limites quando + tende para a. E Cap. 15 Funções com valores vetoriais Assim, para achar lim r(1) tomamos o limite de cada componente de r(1). Podemos formular defini análoga à (15.4) para limites laterais, ILUSTRAÇÃO at pn + [Im islã) dia | =4+6]+5k Se,em(15.4), lim A) = a, tim g(o) e lim Ao) = a, Figura 18.9 Definição (15.5) Definição (15.6) então lim r() = ai + aj + ak. Fazendo a = a,i + 0,5 + a, obtemos a situação ilustrada na Figura 15.9, onde C é curva definida por r(1) e OA é o vetor posição de a. Quando t tendo para a. 0 ponto terminal P de r(t) tende para À, isto é, r() tende para OA. Define-se à continuidade de uma função vetorial r da mesma forma que no caso de uma função escalar. * Uma função com valores vetoriais r é contínua em a se im r(o = (o) | | L Segue-se que, se r(f) = f (Di + g()j + Mt), então r é contínua em a se e somente se f, g e hi são contínuas em a. A continuidade em um intervalo é definida na forma usual. Seja r uma função com valores vetoriais. A derivada de x é a função com valores vetoriais rº definida por (9 = lim z tre + 49 = (9) agr para todo rtal que o limite exista. Escrevendo 49) = rt) E lrto + 49) — no] = tt PC aaso o. 300 Cálculo com Geometria Analítica Cop. Teorema (15.7) <ESESLTETTESSESESDASSESASETTATÇTSEE > 15 então a Definição (15.6) toma a forma familiar das derivadas de funções escalares introduzidas no Capítulo 3. O próximo teorema afirma que, para achar r'(4), devemos diferenciar cada componente de rt). EMOke/ gchsão diferenciáveis então o ç POE + rn DEMONSTRAÇÃO Pela Definição (15.6) (9 = lim mta) nO amo im AO + (ra BO + bles AQ] [A + et + h(Ok! = lim! so dr =lim ao fer s)-fO,, ate A) 2d j, Mot A) 24] ar se ar “Tomando o limite de cada componente, chegamos à conclusão do teorema. Se r'(1) existe, dizemos que r é diferenciável em £. Deno- tamos também as derivadas como segue: EO = Dix = Era Podem-se obter derivadas de ordem superior de maneira análoga. Porexemplo, se f, ge têm derivadas segundas, então PD =f Mire + Pk EXEMPLO 1 Sejart)=(n)ire + ek (8) Ache o domínio de é e determine onde ré contínua. (5) Acher()er"(0. SOLUÇÃO (a) Como ntnãoé definidaser<0,o domínio de ré o conjunto de números reais positivos. Além disso, r é contínua em todo seu domínio, pois cada componente define uma função contínua. Teorema (15.8) Cop. 15 Funções com valores vetoriais 301 (b) Aplicando o Teorema (15.7), temos rg) = qi 302) + 2% Po = -H + 9e3j + Pk — O próximo teorema relaciona fórmulas de diferenciação para funções com valores vetoritis. Note a semelhança com as fórmulas escalares correspondentes. Seue v são funções vetoriais diferenciáveis e c é um escalar, então 10 DpO+VO=vO+"O (i) Dicu(g] = cuto | q) DEC) AOL = UP O + POVO o Diu xv]=uO=x70 + 0x0 DEMONSTRAÇÃO Provaremos (ii), deixando as outras partes como exercício. Sejam u(o = (OA FCO) + AOK “(= gi + (05 + gal onde cada função escalar f, e 8, é uma função diferenciável de +. Pela definição de produto escalar s uv = fLOSO + FADELO + ADE) = 3 fCOEO Conseguentemente D. luto =D, 3h 0084 (9 = 3, Di (O 8 (0) : =D e 0+ 00) 5 : = Sie) + 3, 140 840 e ua vos vtd:  306 Cálculo com Geometria Anclítica Cop. 15 EXERCÍCIOS 15.2 Eneres. 1-8: Ache 0 domínio de r. (5) Ache r'() e co. 1n)=-W>Ti+vi=Tj 2 nid=Hiesen3g 3 rD=gd+ (Pesa 4 med sarseng 5 e) 6 nj- Wisdjsok H)= Wise ek nO =In( = nie sen + Ex Exeres. 9:16: (a) Esboce, no plano-xy, a curva de- terminada por r(1) é indique a orientação. (b) Ache (0) e trace r(1) e r'(1) para o valor indicado de + Iucis3ted: rierãy = ie (s-nj; t=3 Exeres. 17.20: À curva C é dada parametticamente. Ache equações paramétricas da tangente a Cem P, Nx=2P-1, SP +43, 2=81+2:P(1,-2,10) 18x = 4, P-10, 2-4, P861) pre, 2=2+4P0,0,9) 2 x=tsent, P(u2,0,212) Exeres. 21-22: À curva C é dada parametricamente “Ache dois vetores unitários tangentes a Cem P. P+4;P(1,1,4) =sent+2y=costz=1;P(2,1,0) 23 Ref, Exercício 25, Seção 15.1. Mostre que a con- cho-espiral tem a propriedade especial de qu êngulo de k como vetor tangente r'(9) é con 2 A hélice gera! é uma curva cuja tangente faz ângulo cons Mostre o fixo ada por x = 3t y=38, ; rem R é uma hélice geral, Seterminando um vetor apropriado u 25 Um ponto se move em uma curva C de modo que O vetor posição rs) de P é igual ao vetor tangente F(0) para todo 1. Ache equações poramétricas de Ce trace o gráfico. 26 Um ponto se move sobre uma curva C de modo que o vetor posição rt) « o vetor tangente r'(9) Sejam sempre ortogonais, Prove que C está sobre uma esfera de centro na origem. (Sugestão: Mos- te que D, Jrtg] = 0) Exeres. 27-30: Calcule a integral mf to ag + md Bj ess n fl cd md of, (reli + vi) + (É + 1] de le rt) sujeito à condições dadas, de (Gee NA BK, r(0) 3j+k 40j + 6VTk, rO)=i+ 5) 3a rM)=6a-12j+k, Mr)=6a ESC Exeres. 35-36; Se uma curva Ctem vetor tangente a em um ponto £, então o pleno normal a C em P é o plano por P com vetor normal a. A plano normal à curva dada em P, Exeres, 37-38: Ache D, [u(t) -v(1)) e D [u(t) x v(0), 37 ul) = A+ ES + Pk (= send + cos + 2senik 38 u()=2i+6) + Ch v)=ei-ej+k 39 Seu e v são funções vetoriais que têm limites quando t+ a, prove: (a) tim fu(s) + vt] » lim u(o) + lim vt) Cm [ot - vt) = im vo) - tim vtd (0) lim cu(s) = e lim u(t), onde cé um escalar. calar fe uma função vetorial u têm limites quando t+ a, prove que Al, fouto) = [5 Ma] pr “9] 41 Prove que lim u(t) = b se e somente se, para todo €>0,existeumd> Otslqu que O <|r-o] < é. Desc resultado. Iu()-b]l<E sempre a graficamente este 42 Seu e v'têm limites quando t —» a, prove que im “(9 Je (MO xl = [im a] x Exeres. 43-44: Se u e y são diferenciáveis, prove as. regras para derivadas: “8 D,(u() + v(0)= + Cap. 15 Funções com valores vetoriais 307 4 D,lu(o) x ve] = u(g)x vç) +) x vo) 45 Se fe u são ciferenciáveis, prove que DU] = 10) + fu 46 Se fe u são diferenciáveis com domínios conse nientemente restritos, prove a regra da cadeia DA) = [0 (gt) 47 Seu, ye w são diferenciáveis prove que Du - vt e] = [9 vt ot) + uti evt)s (a) + luto vt x wto) 48 Se (9) e u”(1) existem, prove que D lui) eu (O)=u()xu"(o. 49 Seuevsioi prove: em[a,bJecéumes ef tuo viola f utgais f sta Bif cima ef una 50 Seu que grávelem [ab] ec pertence a V prove Leco def u(o) dt qe 3 MOVIMENTO O movimento se verifica em geral em um plano. Assim é que, por exemplo, embora a Terra se mova no espaço, sua órbita jaz em um plano. (Isto será provado na Seção 15.6). Para estudar o movimento de um ponto Pem um plano coordenado, é essencial conhecer sua posição (x,y) a todo instante. Como de há objetos emm trada em P. Sejam as coordenadas de P dadas pelas equações paramétricas para imento suporemos que sua massa esteja conci —e—eemmmemem “ ç “ e “ e li e e vm e e - e e “ ue e - ue  17 Lo PICO, tm) | 4) + ipura 15.14 NESSES)... 7 Cálculo com Geometria Analíica Cap. 15 com tem um intervalo 1. Fazendo ro) =f(0i+ e(nj então, quando + varia em 1, a extremidade de rf) descreve a trajetória C do ponto. Chamamos rtt) o vetor posição de P. Conforme Figura 15.14, representamos. r(D="(Di+ go como um vetor tangente a C com ponto inicial P. O vetor P'(0) aponta na direção dos valores crescentes de 1 e tem módulo tro! = APOF+ EO Sejat umnúmero em, e seja Pço ponto Correspondente at(ver Figura 15.14).SeC é suave, então, pelo Teorema (13.5), o comprimento de arco s(t) de C de Pga Pé so» [ MPF FIEOF a =), teola Aplicando o Teorema (5.35), obtemos D, 6) =D, leo de= Ir Assim, ['(9]| é a taxa de variação do comprimento de arco em relação ao tempo. Por esta razão chamamos Jr'(B) módulo da velocidade do ponto. O vetor tangente r'(4) se define com à valocidade vetorial do ponto P no instante t,e o vetorr"(9é a aceleração de P. Tal como no caso de r(1), representaremos "(0 graficamente por um vetor com ponto inicial P. Na maioria “cos casos, r”(8) está dirigido para o lado côncavo de €, confor- me ilustrado na Figura 15.14. A próxima definição resume o assunto € introduz os sím- bolos ve a para a velocidade e a aceleração. Definição (15.12) a(l) (1) Pon A õ, Figura 15.15 Cap.15 Funções com valores vetoriais 309 Seja r(g) =xi+ 3) =/(9i + g(0), 0 vetor posição de um ponto P(s,y) em movimento em um plano-2y, onde té 6 tempo é fe g têm derivadas primeira e segunda. A velocidade vetorial, a velocidade e a aceleração de P no instante 1 são: EXEMPLO 1 O vetor posição de um ponto P que se move em um plano-xy é rg=(C+mi+r,Osis2 (8) Ache a velocidade e a aceleração de P no instante (b) Esboce a trajetória C do ponto, juntamente com v(1) e a(1) SOLUÇÃO o (2) A velocidade e a aceleração são “O="()= (+ Mis 3a) =""()= +66 (b) As equações paramétricas de C (obtidas de r(1)) são. x=E+y=BiOsts2 A tabela relaciona as coordenadas de vários pontos (x, 3) em C. eo os 1 1,5 ê, | x 1/0 os 2 315º 6 EM CL Marcando os pontos e levando em conta a continuidade dos compo- Cp Es +" mentes escalaes de r(, obtemos o esboço de C na Figura 15.15. | t |  310 Cólculo com Geometria Analítica Cop. 15 + Em = 1,0 ponto está em P(2, 1) com o VD="(=3i+3ea(l)=r"(1) Pe), A Figura 15.15 ilustra esses vetores. A(t, 0) — % EXEMPLO 2 Mostre que, se um ponto P se move em um círculo de raio ka uma velocidade constante v, o vetor aceleração tem módulo | * constante v/k e é dirigido de P para o centro do círculo. Figura 15.16 soLução Suponhamos que o centro do círeulo seja a origem O em um plano-ay, e que a orientação seja anti-horária. Suponhamos ainda que, no instante t = 0, o ponto P esteja em A(£, 0) e que O seja o ângulo gerado por OP após t unidades de tempo (ver Figura 15.16). Como P percarte o circulo com velocidade constante, a taxa de variação de 8 em relação a « (a velocidade angular) é ums constante (9. Assim, S-vodi=od A integração dá Ja-fodoo=or+e para alguma constante e. Como 6 = 0 quando t = 0, vemos que €= O, isto é, B-= ux, Assim, as coordenadas (x, ») de P são x=kcos, y=ksen qr e o vetor posição de Pé r()=kcos wi +ksenwg ty Consegientemente, x | v()="()=— wksenã + wk cos wj “/Ã a()=1"()=- ck cos wi - uk seno eentão * a(t) = w(k cos wti + k sen qtj) = Isto mostra que a direção do vetor aceleração a(t) é oposta à de r(9 e, assim, ai) está dirigido de P para O, conforme Figura 15.17, que também apresenta o vetor velocidade v(t) Figura 15.17 Cap. 15 Funções com vetores veroriais 311 | O módulo de a(s) é t la(al= | roi que é uma constante, Além disso, trt ve fe(o]= VE oR sen or + (OE cos mr = Va” = uk e, então, o = vjk. A substituição na fórmula [a(9]] = «3: nos dá o módulo constante 0] O vetor aceleração a(s) no Exemplo 2 é chamado vetor de aceleração centrípeta, e a força que produz a(1) é uma força centrípeta. Note que o módulo [ja(1)] = 2/+ aumenta se aumen- tarmos vou reduzimos k, fato evidente para quem quer que tenha amarrado um objeto à ponta de uma corda, fazendo-a girar segundo uma trajetória circular. Nosso estudo do movimento pode estender-se a um ponto P que se move em um sistema coordenado tridimensional, Suponhamos que as coordenadas de P no instante t sejam (f(1). 80), (0), com f, 8, A definidas em um intervalo 1. O vetor posição de P é (= fGi+ en + hk Ao variar £, o ponto terminal P de r(t) descreve a trajetória. Tal como na Definição (15.12), a derivada rº(1), se existe, é o vetor velocidade v(t) no instante te é um vetortangentea Cem P.O vetor a(t) = 1º) é a aceleração no instante t. v(t) é o módulo |iv(o)]l da velocidade e, como no caso de duas dimensões, é igual àtaxa de variação do comprimento de arco em relação ao tempo. EXEMPLO 3 O vetor posição de P é r(s) d+30+Pk0sts2.Achea velocidade e a aceleração de P no instante 1. Esboce a trajetória de Peexiba v(1) ca(1). SOLUÇÃO A velocidade e a aceleração são ú “OD ="()=21+6] +3ºk ea() = "(= 6) + 61% | Emt= 1,0 ponto estáem P(2,3,1)e YD=2i+6] +3kea(1)=6j+ 6% NESLSESLLLLSSSSSDSSSDLTLTDI.IDSTD DI 316 Cálculo com Geometria Anolívica Cap 15 Exeres. 21-24: Resolva, usando os resultados do Exemplo 5 21 Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial de 456 m/s e ângulo de elevação de 30". Determine: (8) a velocidade no instante + (6) a atitude máxima (0) oalcance (8) a velocidade com que o projétil atinge o solo 22 Faça o Exercício 21 para um ângulo de elevação de 60". 23 Um jogador de beisebol lança a bola a uma distân- ciade 100 metros. Se abola é liberada a um ângulo de 45º com a borizontal, ache sua velocidade inicial, 24 Um projéil é lançado hotizontalmente com uma velocidade de 550 m/s, de uma altura de 300 rmeiros acima do solo. Quando atingirá o solo? 25 Para testar a capacidade de resistir a forças-G, um astronauta é colocado na extremidade de um dis- positivo centrifugo (ver figura) que gira a uma velocidade angular o. Se o braço tem 9 metros de comprimento, ache o número de revoluções por segundo que resulte em uma aceleração oito vezes ada gravidade g. (Use [gll= 9,8 ms”) 26 As órbitas da Terra, de Vênus e de Netuno são quase circulares. Com as informações abaixo, es- time a velocidade (média) de cada planet, a me- nos de Ol km/s. “SÍ. |, Período Planeta | - (dias) Terra | 365,3 Vênus | 2247 Netuno |" 60,188 27 Um satélite se move em órbita circular em tomo da Terra à uma distância de d quilômetros da superfície da Terra. A magnitude da força de atração F entre o satélite ca Terra é mM Red” ondem é a massa do satélite, M é a massa da Terra, Ré o raio da Terra e G é uma constante gravita- cional, Use os resultados do Exemplo 2 para esta- belecer a terceira lei de Kepler para órbitas circulares: ne - 6 onde T é o período do satélite. (Sugestão: JF] também é dada por mr" (91) 28 Ref. Exercício 27. Se o período de um satélite é medido em dias, a terceira lei de Kepler para órbitas circulares pode ser escri E+(dorP. (2) Um satélite se move em órbita circular acima da superfície da Terra. Admitindo que raio da Terra seja de 6.300 kun, estimeo período da órbita do satélite a menos de 001 hora. (6) Em uma órbita geossincrona, um satélite está sempre na mesma posição em relação à Terra, istoé, o período do satélite é de um dia. Estime, a menos de 1 km, a distância de tal satélite à superfície da Terra. (Informações deste tipo são necessárias para posicionar satélites de comunicação.) Cop. 15 Funções com valores vetoriais 317 Esxeres. 29:30: Resolva, utilizando os resultados do 30 Um jogador de um time de rugóy lança um passe, Exemplo 6, liberando a bola a um ângulo de 30" com a hori- zontal. Aproxime a velocidade com que à bola deve ser liberada para chegar ao tecebedor 45 m campo abaixo. (Desprezar a resistência do at.) 29 Um artemessador lança uma bola de um ponto a 1,80 m acima dosoloe a 17,5 m da placa-slvo a uma velocidade de 160 kr. Sea gravidade não influís- se abola seguiria uma retae passariaa 1,20 macima 31 As tesouras verticais de vento nos primeiros 100 m da placa, conforme figura. Determine a queda d da atmosfera são de grande importância para os. causada pela gravidade, aviões durante a decolagem ou a aterrissagem. Define-se à tesoura vertical de vento como D, y, onde y é a velocidade do vento ek é a altura acima do solo: Durante rajadas fortes de vento em certo aeroporto, a velocidade do vento (em milhas/hora) para altitudes h entre O e 60 metros é estimada em v=(12+0,006h33i + (10 + 0,005h32)j Calcule a magntude (módulo) da tesoura vertical de vento a 45 metros acima do solo. 175m Placa am Arremessador 15.4 CURVATURA Quando um ponto se move sobre uma curva C, pode mudar de direção mais, ou menos, rapidamente, dependendo de quanto à curva vire. Para medir a taxa à qual C vira, ou muda de forma, utilizamos à noção de curvatura. Se r é uma função vetorial e a curva C determinada por r(t) é suave, então r'(t) é um vetor tangente a C que aponta sempre na direção determinada pela orientação de C. Se r'(9) * 0, define-se como segue 0 vetor unitário tangente T( aC: vi ário (15. 'etor tangente unitário (15.14) Tg = Pi eo Como |T()l= 1 para todo 4, vemos, pelo Teorema (15.9), que, se T é diferenciável, então T'(1) é ortogonal a T(t). Defi- ne-se o vetor unitário normal principal N(t) a C como o vetor unitário de mesma direção que T'(): Vetor unitário normal principal (15.15) N(9 = As fórmulas (15.14) e (15.15) aplicam-se tanto a curvas planas como a curvas no espaço.  Figura 15.22 (2) Ache os unitários T(4) e N(t) da tangente e da normal, Cop. 15 Funções com vetores vetoriais 319 ÃO representar T(t) ou N(t) por segmentos orientados, SOLUÇÃO tomamos o ponto inicial no ponto P de C correspondente a £, Gi Eis biilcançã E E conforme ilustrado na Figura 1 nde utilizamos o símbolo | RE À ei de E da Figura E 24 o “de ângulo reto para frizar que N(1) e T(1) sãoortogonais. Como | a dois ads iferenciando r(1) e aplicando a Def O vetor tangente r"(7) aponta na direção dos valores crescentes ç 14), : Se 4, O mesmo acontece com T(). ” P=-4sentis a cos gs 3 EXEMPLO 1 | Teto] = VIGSERES I6cos TES = VIGET = V35 =5 5 ” Seja Ca curva plana definida por r(s) = Fi + q. | 1 4 4 3 | Tt) = mim eo) = É pad sk | (O = Temp rto FendeSosgrok (b) Esboce C,T()e N(1). SOLUÇÃO Diferenciando T(1) e utilizando a Definição (15.15), obtemos mM T)=-Scosii-Éseng (8) Por (15.14) com (= 25 +), ! Qisj-qalgaio + 1 r = estica Diferenciando os componentes de T(1), obtemos ta” (1) cos ti - sen sj Para verificar a ortogonalidade de T(1) e N(1), mostra-se que TO): N()=0, É fácil verificar que A Figura 15.24 exibe vetores ui tários típicos T(1) e N(1) Note-se que a normal principal NL) à hélice circula é sempre paralela so plano-xy e aponta para o eixo-z. e Para definir a curvatura, começaremos com as curvas planas. As curvas reversas, ou curvas no espaço, serão conside Tadas mais adiante. Iron = Aplicando (15.15) e simplificando, obtemos N() (b) O ponto P correspondente a t= 1 é (1, 1). Substituindo, + a, VBR curva plana suave C admite muitas parametrizações fiferentes. Às vezes é conveniente usar como parâmetro O Somprimento de arco medido ao longo de C. Conforme Figura 15.25, seja A um ponto fixo de C e denotemos por s o compri- mento do arco ÁP de 4 a um ponto arbitrário P(s, 3) de C, Suponhamos C dada paremetricamente por TO Elie) e NO)» Para verificar a ortogonalidade de T(1) e N(1), mostramos que T(1): N(1)=0. A Figura 15.23 é um esboço desses vetores e da curva (uma parábola) ! E a EXEMPLO 2 i Seja C determinada por | x=Í(9),y= (5); s = comprimento de AP Assim, a cada valor des corresponde um ponto P(f(5), g(s)) em C que está z 5 unidades de A, medidas ao longo de C, À. orientação de C é determinada pelos valores crescentes de s, Chamaremos s * O parâmetro comprimento de arco, para a curva C. MD=4costi+4seng+ 3,120 ' Figura 1525 A próxima definição resume o que acabamos de dizer Esboce C e ache T(1) e N(1)  NESLESSESSSSSSSSDSDSSSSASSSSSSDDSDDI ay Figura 15.26 | uma cuiva C sé existe uma parametrização, Sais T Uma variável s Eum parâmetro comprimento de a EXEMPLO3 Ache uma parametrização por comprimento de arco para O círculo +y)=,k>0. SOLUÇÃO Sejam A(f, 0) o ponto fixo da Definição (15.16) e P(x,») um ponto arbitrário do círculo. Denotemos por s o comprimento do arco circular ÁP., medido em sentido anti-horário de A a P (ver Figura 15.26). Se 6 é a medida em radianos do ângulo AOP, então as equações paramátricas do círculo são x=kcos0,y=ksen6;0s052% Por(L14), s=4, ou 0-7 Como 0 <s s 2xk corresponde a0 s 8.5 2x, uma parameirização por comprimento de arco para o círculo é x=kosd,y= sendo Ok “Tomando um ponto fixo diferente, poderíamos obter ou- tras parametrizações por comprimento de arco. Aa ga Nas instruções para os Exercícios 49-52 encontra-se um método geral para obter parametrizações de curvas por compri- mento de arco. É um método bastante fastidioso, no mínimo. Entretanto, como veremos, há grande conveniência em traba- lharmos com tais parametrizações. Se uma curva C admite uma parametrização por compri- mento de arco como na Definição (15.16), então o vetor posição do ponto P(x, y) de C é r(=2i+d + a(o Cop. 15 Funções com valores vetoriais 321 Diferenciando em relação ao parâmetro comprimento de arco s obtemos um vetor tangente a C, ro = Eis Lj = poi + po O módulo de r'(5) é o — teol= (&)-(2)- JE a Figura 1527 onde aplicamos (13.6). Assim, para uma dada parametrização por comprimento de arco, r'(s) é um vetor unitário tangente a Cem P. Tal como em (15.14), com t=s, denotaremos por T(s) este vetor tangente unitário. Para cada valor de s, seja O o ângulo entre T(s) e i, conforme ilustrado fia Figura 15.27. Note-se que o ângulo 6 é função de s, pois T(s) é função de s. Podemos usar a taxa de variação dg/ds de 6 em relação a s para medir 0 quanto a curva C muda de direção nos vários pontos. Suponhamos um ponto P que se move ao longo da curva C na Figura 15.28. No ponto R, a curva muda de direção gradativamente, e o ângulo O entre T(s) e i muda lentamente, isto é, |dB/ds| é pequeno. Em Q a curva muda de direção bruscamente, e |db/ds| é grande. Com estas observações, motivamos a próxima definição. Definição (15.17) | Suponhamos que uma curva plana suave C admita uma parametrização por comprimento de árco x = f(s), y = g(s), e seja 9.0 ângulo entre 0 vetor tangente unitário T(s) e. A curvatura K de C no ponto P(x, 3) é o Para a curva da Figura 15.28, a curvatura é rel pequenanos pontos Res, é grande em O e V. Os dois próximos exemplos constituem ilustrações da Definição (15.17). EXEMPLO 4 Prove que à curvatura de uma reta | é zero em qualquer ponto del ATT Ok Figura 15.28 326 Cóleulo com Geometria Analítica Cap. 1 Figura 15.34 Círculo de curvatura Figura 1533 EXEMPLO 8 a: Uma curva C admite a parametrizaçãox = 1, y a curvatura no ponto P cortespondentear = £ Fjtem R. Ache sboce o gráfico de Ce do círculo de curvatura para P. SOLUÇÃO Fazendo (1) = £, g(t) = fe diferenciando, temos O=P = 8 0=38, g")=6 Substituindo no Teorema (15.19), temos Io(ey [29 + GP? * af T+ 57 Ser = L então s6 K = = = 0768 O ponto comespondente at = 1 tem coordenadas (1, 1), e Orajo de curvatura p nesse pontoé 1/K, ou = 13.0 gráfico de Ce o círculo de curvatura aparecem na Figura 15.34, Note que & curvatura na origem não exist, pois K não é definido se t = 0 A definição de curvatura K = [d6/ds| para curvas planas não tem análogo imediato em três dimensões, porque o vetor tangente unitário (9) não pode ser definido em termos de um único êngulo 8.É, assim, necessário adotar um método diferente para curvas no Cop. IS Funções com vetores verariais 327 espaço. Naturalmente, paricularizada para vetores no plano, à nova definição de curvatura deve coincidir com (15.17) Para obteruma chave para uma definição adequada, note. MOS primeiro que, em duas dimensões, o vetor tangente unitário Ts) pode escrever-se como T(s)= cos Oi + sen q; onde À é o ângulo entre T(5) ei (ver Figura 15.28). Encarando 8 como função de s e diferenciando, obtemos TO-[20 Bi (eso Gsm Bi+cosQj) do -sen 61 + cos Gi] = a Logo, [T'(9) = | a Is Com sto passemos à definição de curvatura em três dimensões, Nosso esquema consiste em descrever o velor langente unitário T(ç) sem qualquer referência so êngulo 6 e então definir K como ro) Suponhamos que uma curva C admita a parametrização por comprimento de arco x=/()y = g(9),2=h(5) E que”, "eh" existam. De acordo com a Figura 15.35, sé o somprimento de arco 20 longo de C de um ponto fixo À ao ponto PC), 869), H()). Tal como em duas dimensões, se (5) = (si + 869) + A(k É o vetor posição de P, então r'(9) é o vetor tangente unitário a C em P, denotado por T(s). Como |fT(s)] é vma constante, segue-se que T'(9) é oriogonal a (5) (ver Teorema (15.9)). Se T'(9) x O, fazemos 7 Ls NO = ego O vetor N(s) é um vetor unitário ortogonal a T(s) e é chamado Vetor unitário normal principal de C em P. À Figura 15.35 ilustra estes conceitos E Senna ines  NTE... Cteuto Figura 1535 “Tendo obtido um vetor tangente unitário conveniente T(s) é admitindo a existência de T'(5), seguimos nosso plano e definimos como segue a curvatura em três dimensões. com | Suponhamos uma curva suave no espaço C parametização por comprimento de arco =f0)y=e(9),2=h0) Sejam ro) =f(9)i+ (9 + HO) e TS) = (9): A curvatura | K de C no ponto P(x, 2) é | Definição (15.20) Como já provamos, a definição precedente se reduz * (15.17) se C é uma curva plana. Note que N6) = ET os TH) = ENG) A fórmula de K na Definição (15:20) é em geral de aplicação trabalhosa em problemas específicos. Na práxis seção esabeleceremos uma fórmila mais prática para calcular a curvatura. Cap. 15 Funções com valores vetoriais 329 EXERCÍCIOS 15.4 Exeres. 1-6: Ache os unitários da tangente Tt) e da normal N(t) para a curva C definida por r(t). (9) esboce o gráfico de C, e exiba T() e N(t) para o valor de t dado, 2 3 ng=85+36 4 m)=(4+cosdi-(3-sen aj; 5 r)=2s0d+3+2c05% 6 ngm dede Exeros, 7-18: Ache a curvatura em P de: 7 y=2-%; P(L,1) 8 y= PA, 9 y = dd; P,1) 10 y=in(e=1); PRO 1 y=cos2s PO) 2 y=seex; P(ai3,2) Bret yevi P3,2) 1 x=t+1, y=Ê+4+3 PL) 1Sz=108 y=1-8 PO l6x=t-sent y=l-cost P(u2-1,1) Wx-2sent y=3cs5 P(, 25) PúvE iva Exeres. 19:22: Para a curva e o ponto P dados, (3) ache o rio de curvatura, (b) ache o centro de curvatura e (6) esboce o gráfico da curva e o círculo de curvaturaem P. (O, 1) 2 y=1;P1,1) Exercs. 23-28: Ache os pontos da curva dada em que a curvatura é máxima. 18x=- cod ya sems 19 y = sena; (342,1) 20 y=secx; P(0,3) Byset My=coshz 25924 42x36 2692-492 = 36 27 y=lnx 38 y=senx Exeres, 29-32: Ache os pontos do gráfico da equação em que a curvatura é 0. Dye 30 y=tgr 31 y=senhx Bayer 33 Suponha que uma curva C seja o gráfico de uma. rldo?, (Sugestão: Use x = 1 cos 0 ey = 1 sen 6 para expressar C em forma paramétrica ) Exeres. 34-36: Aplique a fórmula do Exercício 33 para achar à curvatura da curva polar em (r, 6). 34 r=a(1-cos0); 0<0<x 35 r=sen20; 0<0<2x 36r=eº 37 Seja Px, 3) um ponto do gráfico de y = f(x) em que K x 0. Se (k,k) é o centro de curvatura em P, mostre que Exercs. 38-42: Use as fórmulas do Exercício 37 para achar o centro de curvatura para o ponto P do gráfico da equação. (Ref. Exercícios 7-1). 38y=2-%; P(,1) 39 y=at; PAI 40 y = ed; PO, 1) Siy=In(x-1); PR) 42 y=cosas PO)  10 Cileulo com Geometria Analítica Cop. 15 43 O trajeto de uma rodovia e de uma rampa de saída estão referidos a um mesmo sistema de eixos coordenados, de modo que a rodovia coincide com ampa de saída começa na origem O. Lê de O ao ponto P(3,-1). ara germes quam conforme figura. Se K(x) é a curvatura da rampa de saída em (x, 3), ache o centro de curvatura do arco de citeulo que toma a curvatura em P(3,-1) contínuzemx=3. ' war que a cur- reta é O (ver m qualquer ponto Exemplo 4) 45 Prove que a curvatura máxima de uma parábola ocorre no vértice. 46 Prove que as curvaturas máxima e mínima de uma elipse estão nas extremidades dos eixos maior e menor, tespectivamente 47 Prove que a curvatura máxima de uma hipérbole ocorre nas extremidades do eixo transverso, 48 Prove que retas e círculos são as únicas curvas planas que têm curvatura constante. (O Exercício 17 €a Seção 15.5 mostra que este resuliado ão é válido para curvas no espaço) Exeros, 49.52: Se a curva C da Figura 15.22 admite uma parametrização suave x x f (9), = 8 (1) então, pelo Teorema (13.5), a relação entre t e o parâmetro comprimento de arco s é dada por = TF TROF da onde a é o valor de t correspondente ao ponto fixo Use esta relsção para expressar à curva dada em termos do parâmetro s se o ponto fixo 4 corresponde a t=0. (Sugestão: Calcule primeiro a integral para tua então 0 valor de 10 10 =4sn5 Osts2r a=ecosn yedsenn 120 83 Proveçuesek se anula e é contínua em um imervalo (0,0), então existe uma curva plana C tal que k representa a curvatura de C como função do comprimento de arco (Sogestta Se eim 0a), defina his) -h Mo) de, x = 18) -f cos h(s) dt, es =sto= fi sen hi) de 54 Use o Exercício 53 para fazer o Exercício 48. Cop. 15 Funções com valores vetoriais 331 15.5 COMPONENTES TANGENCIAL E NORMAL DA ACELERAÇÃO Nesta seção utilizaremos o conceito de curvatura para auxiliar na análise do movimento de objetos. Seja r() o vetor posição de um ponto móvel P no instante 1, é Seja s 0 parâmetro comprimento de arco para à curva C determinada por r(). Se T(s) e N(s) são os vetores unitários tangentee normal principale se K éa curvatura de C noponto | correspondente a s, então a velocidade e a aceleração de P | | podemescrever-se: Teorema (15.21) | | “a = GET ) N(s) Í ali) = ER] + “( DEMONSTRAÇÃO A Figura 15.36 é uma interpretação geométrica da fórmula de i a(t) no enunciado do teorema. Recordemos que o vetor tangente unitário T(s) a C é dado por Ai O = tear FO=I"OITO 4 Como r(9 = v(t) e Ilr'(9)l = |) = dit, temos a fórmula da / velocidade Diferenciando a equação precedente em relação a te utilizando as regras da cadeia dos Exercícios 45 e 46 da Seção 15.2, obtemos | e então at = vt) = Sem + Sim Es nã , é «Sto + GÉr Pi sad Pela observação que segue a Definição (15.20), T*(s) = x 4) Assim, à última fórmula pode ser escrita | Figura 15.36 TO + «(£) ED) E nte Dia  Cálculo com Geometria Ara Teorema (15.25) A TITISSSSSSSSDSDDDDDDEDDDDD,DDD II iea Cop 15 exria Analítica Copls Pelo Exemplo 5 da seção anterior, a curvatura do círculo é 1/k. Logo o componente normal da aceleração (ver (15.23) é (UR, Isto mostra que a aceleração é um vetor de módulo constante v:/k dirigido de P para o centro do círculo, conforme se viu no Exemplo 2 da Seção 15.3 2 ———————— Pode-se aplicar (15.23) para obter uma fórmula para a curvatura de uma curva no espaço C. Se C admite a parametri- ação nes x=f(0,y=8(0),2=H0 então C é definida pelo vetor posição (O =[(Oi+ eta) + Ok Resolvendo a equação (15.23) em relação a K e considerando que dsfdt = [t*(9), obtemos o próximo teorema. Seja C uma curva no espaço com parametrização x = / (9, y = g(8),2=h(1), onde P”, 8”, h"" existem. A curvatura K no ponto Pl, y, 2) de C é dada por EOxPOL ol *-Cieor CIO Esta fórmula também se aplica a curvas planas (ver Exer- cício 16). EXEMPLO 4 (2) Ache a curvatura K da cúbica reversax = y=,2= Pno ponto (x, y, 2). (b) Ache aproximações de K com quatro decimais nos pontos correspondentes at = 1,2,3€ 4. SOLUÇÃO (a) Fazendo rg=d+ej+k acurvaé a mesma que a considerada no Exemplo 1. Substituin- do e'(9 e r'(8) x 1º (0 pelas expressões achadas ali na fórmula de K no Teorema (15.25), obtemos 296 + 9º + 12 ' Ke oarara DT Cop. 15 Funções com valores vetoriais 337 Poderíamos também achar K fazendo substituições para ay € Ir(]lno Teorema (15.25). (b) Fazendo = 1,2,3.e 4 na fórmula de K obtida na parte (a), (352) K LD (24,8) 0,1664 00132 0,0027 0,009 s seguintes aproximações para K (compare com a tabela (39,27 (416,68) Por meio de teoremas sobre limites, pode-se mostrar que lim K = 0, isto é, a curvatura da curva tende para a de uma reta quando t aumenta. EXERCÍCIOS 15.5 Exeres, 1-8: Estabeleça fórmulas gerais para os com- ponentes tangencia! e normal da aceleração e para a curvatura da curva C definida por rt). 1 mO=Asgueaj 2 r)=QÊ-nissg 3 nO=3d+BjA3ck 4 r()=4d+0)+2% r(f)=e(costi+sent)) ro) =coshei+senh 5 6 7 mQ=4cosd+9sengitik 8 ry=elsend+cos+k) 9 Um ponto se move ao longo da parábola y = 2º de modo que o componente horizontal da velocidade é sempre 3. Ache os componentes tangencial e normal da aceleração em P(1, 1) 10 Faça o Exercício 9 se o ponto se move ao longo do gráfico de y= 20x. 11 Prove que, se um ponto percorre uma curva Ccom velocidade constante, então a aceleração é sempre. normalaC. 12 Use o Teorema (15.25) para provar que se um ponto se mave no espaço com aceleração sempre igual a 0, estão o movimento é retilíneo. 13 Se um ponto P se move 30 longo de uma curva C com velocidade constante, mostre que o módulo da aceleração é diretamente proporcional à curva- tura da curva 14 No Exercício 13, se um segundo ponto se move ao longo de C com velocidade igual ao dobro da de P, mostre que o módulo da aceleração de Q é quatro vezes maior que o de P. 15 Mostrê que se um ponto se move ao longo do gráfico de y = f(x) para a sx < b, então o compo- nente normal da aceleração é O em um ponto de inflexão. 16 Se uma curva plana é dada parameticamente por x=fl)y = 8) ese fre g” existem, use o Teorema (15.25) para provar que a curvatura no ponto P(x,y) é dada pelo Teorema (15.19). 17 Mostre que à curvatura em qualquer posto da hélice circular x = a cost, y = a sem, 2= br(coma> 0) é dada por K = aí(a” + b). 18 Uma hélice elíptica tem equações paramétricas x =acos 1,y=b sent, 2 =cr, coma, be enúmeros reais positivos e a sb. Determine a curvacura em Goa)  338 Cálculo com Geometria Analítica Cap 15 15.6 LEIS DE KEPLER Leis de Kepler (15.26) É oportuno concluir este capítulo evidenciando o poder e a beleza dos métodos vetoriais quando aplicados à dedução de três leis físicas clássicas. O assunto não é simples, pois não temos a intenção de considerar um problema simples. Não há exercícios propostos no fim desta seção. A razão é que não estamos interessados em cálculos numéricos que envolvam as leis à serem estudadas. Você deverá ler cuidadosamente € entender cada tópico da discussão, caminhando sem pressa, O estudo do material que segue proporcionará considerável visão dos méio- dos vetoriais. “pós muitos anos de análise de uma enorme quantidade de dados empíricos, o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) formulou três leis que descrevem omovimento dos. planetas em tomo do Sol. Estas leis podem ser enunciadas como a seguir. Primeira lei: A órbita de cada planeta é uma elipse que tem o Sol como um dos focos, Segunda lei: As áreas varridas pelo raio vetor que une o | centro do Sol ao centra do planeta são proporcionais ao tempo gasto em percorrê-las. percorrer uma vez sua úrbita elíptica é T e se O eixo maior da elipse é 2a, então Tº= ka* para alguma constante k. Terceira lei: Se 0 tempo necessário para um planeta | Cerca de 50 anos mais tarde, Sir Isaac Newton (1642- 1727) provou que as leis de Kepler eram consegiência da lei da gravitação universal de Newton e da segunda lei do movimento. Os resultados obtidos por ambos foram monumentais, porque as leis como que justificavam todas as observações astrônomi- cas feitas até então. Nesia seção demonstraremos as leis de Kepler utilizando vetores, Como a força da gravidade exercida pelo Sol sobre um planeta excede de muito a força exercida por outros corpos celestes, desprezaremos todas as outras forças que atuam sobre um planeta. Deste ponto de vista, temos apenas dois objetos a considerar: o Sol e um planeta que se move em tormo dele. É conveniente introduzir um sistema de coordenadas com o centro e massa do Sol na origem, O, conforme ilustrado na Figura 15.37. O ponto P represen o de massa do planeta, Para simplificar a notação, denotaremos o vetor posição de P Figura 1538 Cop. 15 Funções com vetores vetoriais 33 por r, e não por (1), e representaremos por v e a a velocidadi r'(9 ca aceleração 1º), respectivamente Antes de provar as leis de Kepler, mostraremos que 1 movimento de um planeta se processa em um plano (isto é, órbita é uma curva plana). Fazendo r = |). então u = (1/r)r um vetor unit da gravitação de Newton, a força F da atração gravitaci sobre o planeta é dada por io de mesma direção que r. De acordo com a | nm F=--G Mn Eu P onde M é a massa do Sol, mé a massa do planeta, e G é uma consta gravitacional, A segunda lei de Newion (15.13) afirma que Fr ia Igualando essas duas expressões de F e resolvendo em relaçã aa, obtemos «1 a Isto mostra que a é paralelo a r = rue, então, r xa disso, como v x v = O, vemos que EN Axe rx Ls E dr de ta =rxarvxv= 0 Segue-se que 2 rxv=e para um vetor constante e. O vetor e desempenhará um pap importante na prova das leis de Kepler. Como r x y = €, 0 vetor r é ortogonal a c para todo val det. Isto implica que a curva descrita por P jaz em um plan isto é, a órbita do planeta é uma curva plana, conforme ilustrad na Figura 15.38. Vamos agora provar a primeira lei de Kepler. Podemos sup que omovimento do planeta ocorre no plano-sy. Neste caso, o vel: € é perpendicular 20 plano-xy; admitimos ainda que tenha mesma direção do eixo-z positivo, conforme Figura 15.38. Como ru, vemos que  ACVOOUOSSSSSSSESSDISESSTSESSESIITTITTA 140 Célculo com Geometria Analítica Cap. 15 A substituição em produto vetorial dá coma(rã -e(ee 2) cromo Como u x u= 0, isto se reduz a e em efe x &) Utilizando (3) e (1) juntamente com (i) « (vi) do Teorema (14.33), vemos que axe= (Su) x [fr x 4) E =-oufu x (1 x )] ufa E) -u- 8] Como [Jul = 1, decorre do Teorema (15.9) que u - (dw/di) = 0. Além disso, u-u= [ulf-= 1, e, então, a última fórmula de a x sereduza da à axem GM, = q (MU) Pode-se escrever também dc l axenfixená(rxo) dt e, consequentemente, d d Grao = SG (ou) Integrando ambos os membros desta equação, temos Go. vxe=GMu+b onde b é um vetor constante. O vetor v x e é ortogonal a c e, assim, está no plano-x. Como u também está no plano-1y, segue-se, de (4), que bestá no plano. Figura 1539 Figura 15.40 Cop.15 Funções com valores vetoriais 341 Até aqui, nossa demonstração não tem dependido das posições dos eixos x ey. Escolhamos agora um sistema coorde- nado tal que o eixo-x positivo tenha a direção do vetor constante b, conforme Figura 15.39. Sejam (r, 8) as coordenadas polares do ponto P, com r = [il Segue-se que u-b=lullfbilcosO = bcos6 onde b = [bj]. Fazendo c = [Jo e usando (2), juntamente com propriedades dos produtos escalar e vetorial, e também (4), obtemos E=e-e=(rxv)ce=r-(vxe) = (ru) -(GMu +b) =rGM(u-u)+r(u-b) =rGM+rbcos6 Resolvendo a última equação em relação a r, obtemos p= E * GM +b 056 Dividindo numerador e denominador por GM, obtemos 5 op & Trecos6 com p= MGM) é é = bI(GM). Pelo Teorema (13.16), o gráfico desta equação polar é uma cônica com excentricidade e e foco na origem. Como a órbita é uma curva fechada, segue-se que O <e < Le que a cônica é uma elipse. Com isto completamos à prova da primeira lei de Kepler. Provemos agora a segunda lei de Kepler. Podemos admitir que à órbita do planeta seja uma elipse no plano-sy. Seja (6) a equação polar da órbita, com o centro do Sol no foco O. Denotemos por P, a posição do planeta no instante ge P sua =) posição no instante £ > fy- Conforme Figura 15.40, “5, 8 e denotarão os ângulos medidos do eixo-x positivo para = OP, respectivamente. Pelo Teorema (13.11), aáreaA varrida por OP no intervalo de tempo [ty 1] É