Baixe 6fundamentos de física moderna e contemporânea-módulo 6 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA E CONTEMPORÂNEA Autora: Patrícia Camargo Magalhães Revisão atualizada segundo o novo acordo ortográfico: Profª. Ms. Camila Menezes Coordenação Pedagógica INSTITUTO PROMINAS MÓDULO – 6 Impressão e Editoração APOSTILA RECONHECIDA E AUTORIZADA NA FORMA DO CONVÊNIO FIRMADO ENTRE UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES E O INSTITUTO PROMINAS. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 3 CAPÍTULO 1 – RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO ................................................................................. 5 CAPÍTULO 2 - QUANTIZAÇÃO DA CARGA, ENERGIA .................................................................... 18 CAPÍTULO 3: PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA .................................................... 36 CAPÍTULO 4: O MODELO DO ÁTOMO .............................................................................................. 47 CAPÍTULO 5: INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA .................................................................. 64 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 71 Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 5 CAPÍTULO 1 – RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO 1.1- Radiação do corpo negro O processo histórico de estudo da radiação do corpo negro iniciou-se em análises empíricas da luz solar e o subsequente nascimento da espectroscopia, utilizando o prisma recém descoberto por Newton. O primeiro espectroscópio foi inventado por Joseph Von Fraunhofer e constituía uma luneta ocular acoplada com um prisma. Esse aparato foi aperfeiçoado por Gustav Robert Kirchhoff e Robert Bunsen, na segunda metade do século XIX, e a partir desse, em 1959, detectaram que cada elemento químico poderia ser caracterizado por um espectro próprio. Em um segundo trabalho, no mesmo ano, Kirchhoff propôs o que seria conhecido como a “lei de Kirchhoff”: Para raios espectrais de igual comprimento de onda, a uma mesma temperatura, a razão do poder de emissão para a capacidade de absorção é a mesma para todos os corpos, independente da sua natureza. λ λ λ λ a P = a P 2 2 1 1 , (1.1) sendo λP o poder emissivo (energia irradiada no comprimento de onda l por unidade de tempo) e λa o poder absorvente. Essa relação evidencia o surgimento do primeiro absoluto na natureza. Kirchhoff introduziu o conceito de corpo negro, como sendo o corpo ideal, cuja superfície absorve toda a radiação que incide sobre ele, visível ou não. Seu coeficiente de transmissão e reflexão é nulo e o coeficiente de absorção é um, 1=aλ . Daí a analogia com objetos pretos, pois sendo toda a radiação incidente absorvida, não é possível identificar uma cor (a cor dos objetos é fruto da radiação refletida nele) e, portanto, o objeto será preto representando a ausência de cor. O conceito de corpo negro é ideal, segundo a lei de Kirchhoff (1.1), se ele absorve toda a radiação, ele será um emissor ideal. O único corpo que se aproxima de ser perfeitamente negro é o sol, mas, embora possamos considerar que ele absorve Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 6 toda a radiação nele incidente, seu espectro de emissão não é contínuo, como se espera de um corpo negro. O fato da radiação do corpo negro aparentar ser um absoluto da natureza instigou muito cientistas da época, entre eles Max Planck, que em sua autobiografia fala o seguinte a respeito do tema: (...) a radiação, em todas suas propriedades, incluindo sua distribuição espectral de energia, não depende da natureza dos corpos, mas somente e exclusivamente da temperatura. Portanto, a assim chamada distribuição normal de energia espectral representa algo absoluto, e uma vez que eu sempre considerei a procura por absoluto como o principal objetivo de toda a atividade científica, eu ansiosamente me pus a trabalhar. Os estudos de Planck e de tantos outros passaram a ser mais efetivos após Kirchhoff mostrar que a emissão de radiação de um corpo negro é equivalente a radiação emitida por uma cavidade de paredes adiatérmicas (impermeável a radiação térmica) e temperatura T. E, portanto, o estudo do corpo negro podia se restringir a estudar a emissão de radiação de tal cavidade. A distribuição espectral da radiação de um corpo negro é quantificada pela função ( )νRT (radiância espectral), definida de tal forma que ( )dννRT seja a energia emitida por unidade de tempo e área (de uma superfície) em um intervalo de frequência dν para uma temperatura definida T. A primeira medida experimental de ( )νRT foi feita em 1865, por John Tyndall. Mas, foi em 1879, que Josef Stefan deduziu, empiricamente, dos resultados dos experimentos de Tyndall que a emissão do fio de platina aquecido era proporcional a T 4 (em Kelvin). De outro ponto de vista, em 1884, Ludwig Boltzmann, usando considerações termodinâmicas e eletromagnética no estudo da radiação da cavidade, encontrou que a densidade de energia dessa cavidade, assim como o fluxo emitido, seria proporcional a T 4 e o fluxo de radiação dessa cavidade deveria ser igual à radiação total ( )νRT , consolidando a observação empírica de Stefan ( ) 4σT=νRT . (1.2) Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 7 Essa relação é conhecida hoje como a lei de Stefan-Boltzman, para σ a constante de Stefan que somente foi calculada quando o problema do corpo negro foi totalmente solucionado por Planck. Wilhelm Wien, em 1984, foi o primeiro físico a fornecer uma tentativa de análise teórica a partir da termodinâmica e das considerações de Boltzman. Ele propôs uma função de distribuição espectral para a radiação do corpo negro, em que, conhecido o espectro de emissão do corpo, seria possível obter ( )νRT . Wien notou, em seus estudos, que a mudança da temperatura altera a distribuição dos comprimentos de onda de maneira constante em uma relação conhecida hoje como a lei de deslocamento de Wien const.= T ν =Tλ maxmax . (1.3) Ambas as deduções, de Boltzman e Wien, provocaram um grande empenho de parte da comunidade científica para encontrar a descrição do fluxo de emissão de radiação do corpo negro, tido como um problema em aberto da física, no final do século XIX. 1.2 - Modelo clássico para a radiação do corpo negro Antes de seguir com os avanços no estudo da radiação do corpo negro, façamos uma pausa para relembrar a formulação do teorema da equipartição da energia. Em 1845, J.J. Waterston escreveu um artigo para a Royal (que seria recusado pelo argumento de ser descabido) sobre: “A física dos meios que são compostos de muitas moléculas livres e elásticas num estado de movimento”. A conclusão principal foi que “num meio misto a velocidade quadrática média é inversamente proporcional ao peso específico das moléculas”. Em 1860, Maxwell formula a primeira versão do princípio de equipartição da energia, na qual dois conjuntos de partículas distribuem suas velocidades e suas energias cinéticas. Boltzmann generalizou o teorema, em 1868, para todos os tipos de partículas que tivessem números inteiros de graus de liberdade. Ao final do século XIX, a ideia da Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 10 Ao comparar a curva teórica com os dados experimentais, como mostra a figura 1.2, podemos observar que para valores baixos de frequência, o comportamento da curva teórica é condizente com os dados experimentais, o que indica que neste limite a teoria consegue descrever o fenômeno. No entanto, para altas frequências, observa-se uma grande discrepância entre a curva teórica e os dados. Enquanto o experimento mostra que a densidade de energia é sempre finita e tende a zero para altas frequências, a equação (1.5) cresce com 2 e tende ao infinito. Essa discrepância ficou conhecida como a “catástrofe do ultravioleta”, pois a teoria clássica não conseguia justificar o comportamento experimental nesta região de frequência. Estava em aberto um problema cuja solução significou uma mudança do paradigma da física clássica. Figura 1.2: A comparação da previsão de Rayleigh e Jeans para a radiação de corpo negro com os dados experimentais em função do comprimento de onda. Evidência da catástrofe do ultravioleta. 1.3 A teoria da radiação do corpo negro de Planck Max Planck estudou a fundo o problema da radiação do corpo negro usando as teorias da termodinâmica clássica, mas não o fez na perspectiva do princípio da equipartição da energia. Planck se fixou na entropia do sistema, ele reformulou a segunda lei da termodinâmica, na qual a entropia de um sistema tende sempre a Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 11 aumentar e, no limite, pode permanecer constante para o caso de uma cavidade adiatérmica. A partir da sua formulação da segunda lei da termodinâmica, Planck encontrou um análogo a lei de Wien, que, no entanto, não valia para pequenos valores de frequências: ∂ 2 S ∂ 2 U = const U . (1.6) Para S a entropia do sistema e U a energia interna. O cenário do problema do corpo negro, no início do século XIX, indicava que a cada faixa de comprimento de onda em que se trabalhasse, o fenômeno era regido por equações diferentes. Foi então, em 19 de outubro, de 1900, que Planck apresentou um artigo à Sociedade Alemã de Física, no qual propunha uma solução matemática ao problema da radiação do corpo negro baseada na interpolação dos dados experimentais e as soluções válidas em determinadas regiões sem, a princípio, nenhuma justificativa teórica consistente. Em sua autobiografia, Planck revela: Mas, Ainda que a formulação da radiação estivesse perfeita e irrefutavelmente correta, teria sido, afinal de contas, apenas uma fórmula de interpolação descoberta por um feliz acaso de raciocínio e isso nos teria deixado relativamente satisfeitos. Em consequência, a partir do dia da descoberta, dispus-me a dar-lhe interpretação física, o que me levou a examinar as relações entre entropia e probabilidade, segundo os conceitos de Boltzmann. Após algumas semanas do mais intenso trabalho que já realizei na vida, as coisas começaram a clarear e visões inesperadas revelaram-se a distância. Os cálculos desenvolvidos por Planck são de uma complexidade que não cabe neste texto, no entanto, podemos fazer uma leitura de sua ideia partindo da função de distribuição de Boltzmann que se aplica ao caso da radiação do corpo negro. ( ) kT e =εP kT ε , (1.7) sendo ( )εP a probabilidade de encontrar um dado ente (uma onda estacionária) com uma energia ε , quando o número de estados de energia para o Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 12 ente independe de ε . O valor médio das energias na cavidade é dado em função da distribuição de Boltzmann (1.7 ) como sendo ∫ ∫ ∞ ∞ ∞−= 0 )( )( εε εεε dP dP ε . (1.8) Se resolvermos essas integrais, sendo o denominador igual a um (dado que a probabilidade de encontrar um estado com qualquer energia é um), recaímos sobre o princípio de equipartição da energia: kTε = , como mostra a figura 1.3. Figura 1.3: Em cima temos o gráfico da distribuição de Boltzmann ( )εP , e embaixo o gráfico de ( )εPε , cuja área sob a curva nos dá o valor de ε . O salto qualitativo de Planck foi descobrir que poderia deslocar a posição do valor médio de ε no gráfico da figura 1.3 se considerasse a energia como uma variável discreta e não contínua como até então. Assim, definiu que a energia assumiria valores discretos uniformemente distribuídos (espaçados) de tal forma que os valores possíveis de energia pudessem ser Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 15 Figura 1.4: Comparação entre as diferentes propostas para a densidade de energia do corpo negro em função do comprimento de onda. Assim, o “truque matemático” de Planck se consagrou por finalmente resolver o problema da descrição do espectro de radiação do corpo negro. Podemos voltar às primeiras discussões qualitativas a respeito do comportamento do espectro. O gráfico da figura 1.5 representa a radiação espectral de um corpo negro para três valores de temperatura. A partir dessa figura, podemos observar que os picos (o máximo da curva) de radiação emitida variam para as diferentes temperaturas de forma linear, e quanto maior a temperatura, maior a frequência. A potência desta radiação é dada pela área embaixo da curva, dessa forma, podemos observar em 1.5 que a potência cresce com a frequência, para uma temperatura fixa, e a potência total irradiada pelo corpo negro cresce abruptamente com a temperatura. Esse foi o resultado observado empiricamente por Stefan e calculado explicitamente por Boltzman, dando origem a lei de Stefan-Boltzman, equação (1.2). Com a equação de Planck foi possível calcular o valor da constante de Stefan: 4028 /105,67 KmW=σ −× − . O deslocamento do espectro que observamos em 1.5 é a visualização da lei do deslocamento de Wien equação (1.3). Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 16 Figura 1. 5: A radiação espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda da radiação, para 3 valores de T. 1.4 O quantum de ação de Planck Em artigos que sucederam a publicação de 19 de outubro, Planck buscou dar interpretação física ao que chamou de um simples “truque matemático”. No ano seguinte, então, Planck formulou sua teoria admitindo que a entropia do corpo negro estivesse sempre em equilíbrio, apresentando a constante h como um “quantum de ação”, pois h tem dimensão de ação, que é energia multiplicada pelo tempo, baseado na ideia do princípio da mínima ação (ação tem o significado que aprendemos na mecânica, princípio de Lagrange). A contribuição de Planck, a lei de distribuição de energia de um corpo negro, foi muito mais importante e transformadora do que o próprio Planck poderia supor. A sua interpretação do comportamento do “ente” que oscila em uma energia que é sempre múltiplo inteiro de hν pode ser estendida a todos os sistemas físicos com um grau de liberdade que oscilam de forma harmônica no tempo (função do tipo seno), como molas e pêndulos. Ao contrário da física clássica em que a distribuição de energia é contínua e o sistema pode adquirir qualquer energia entre zero e infinito, o novo postulado de Planck limitava esses sistemas a múltiplos inteiros de hν , criando Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 17 o que chamamos de níveis de energia quantizados pelo número quântico n. É importante ressaltar que Planck formulou que apenas a partícula oscilante era quantizada. Esse cenário abriu precedente para um novo campo de estudo, no qual De Broglie buscou compreender o significado e o comportamento do quantum de ação de Planck, Einstein passou a reformular a eletrodinâmica e a estatística segundo essa nova visão do comportamento da radiação, o que culminou na formulação de sua teoria corpuscular da luz, como veremos nos capítulos seguintes. Estava aberto o caminho para a mudança do paradigma da física clássica para a mecânica quântica. Avesso as interpretações que se desdobravam de sua teoria, Planck tentou a todo custo “encaixar” a constante h na física clássica. Sem sucesso, Planck ficou desolado com sua própria contribuição a ciência, ele não esperava que a sua teoria pudesse contradizer qualquer parte da teoria clássica, como ele mesmo escreveu em uma carta a R. W. Wood em 1931: Em poucas palavras posso caracterizar todo o procedimento como um ato de desespero, desde que, por natureza, eu sou sossegado e contrário a aventuras duvidosas. Contudo, eu já tinha lutado por seis anos (desde 1894) com o problema do equilíbrio entre radiação e matéria sem ter alcançado nenhum resultado positivo. Eu estava ciente que este problema era de importância fundamental pra a física, e eu reconhecia a fórmula que descrevia a distribuição de energia no espectro normal (corpo negro); portanto, uma interpretação teórica tinha de ser fornecida a todo custo, qualquer que fosse o preço, por mais alo que ele fosse. O que, finalmente, convenceu Planck do significado mais profundo de sua hipótese quântica foi a reformulação da terceira lei da termodinâmica e a introdução do conceito estatístico da entropia. Planck foi agraciado com o prêmio Nobel, em 1918, como reconhecimento da sua contribuição para o desenvolvimento da mecânica quântica. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 20 2.3 Experimento de Milikan Experimento famoso, pois a partir de um modelo simplificado, foi capaz de medir a carga do elétron. Usando um aparato experimental que podemos reproduzir em laboratório didático, como mostra a figura 2.1, Milikan borrifa gotas de óleo dentro de um capacitor de placas paralelas. O método empregado neste burrifador é tal que a gota de óleo ao sair dele adquiri carga elétrica. E, portanto, ao aplicarmos um campo elétrico E sobre o capacitor, a bolha sofrerá efeito da força elétrica ( Eq=F ne ) no sentido contrário a ação da força gravitacional ( mg=Fp ), dado que a bolha tem carga negativa. Além dessas duas forças, age sobre o corpo da bolha a força de empuxo ( lρgv=F ) que vamos desprezar e a força viscosa ( bv=Fv ), devido ao atrito da bolha com o ar. Sendo b o coeficiente de viscosidade definido pela lei de Stokes como sendo πηa=b 6 para a o raio da gota eη o coeficiente de viscosidade do fluido (ar). Dessa forma, ligando e desligando o campo elétrico no capacitor temos duas equações de movimento para a bolha, são elas respectivamente: dt dv m=bvmg d− , (2.2) dt dv m=bvmgEq sn −− , (2.3) A partir dessas equações de movimento é possível calcular as respectivas velocidades terminais (quando 0= dt dv ) de subida e decida da bolha: b mg =vd , (2.4) ( ) b mgEq =v ns − . (2.5) Combinando as equações (2.4) e (2.5) podemos eliminar b e obtemos uma expressão para a carga da bolha Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 21 ( )ds d n v+v Ev mg =q (2.6) No experimento de Milikan, as velocidades terminais de subida e decida eram calculadas medindo o tempo que a bolha demorava a percorrer um mesmo espaço L conhecido. Dessa forma, s s T L =v e d d T L =v . Durante o processo de subida e decida, a gota “adquiri” mais carga elétrica, portanto, em medidas sucessivas das velocidades terminais, elas serão diferentes, pois, como mostra a relação (2.5) ela depende da carga. O aumento da carga da bolha pode ser calculado através da diferença entre os tempos de subida: ( )       −− ss d ss d nn T ' TE T mg=+vv' Ev mg =qq' 11 (2.7) E, foi usando a relação (2.7) para várias medidas de um mesma bolha (Milikan chegou a ficar diversas horas calculando o tempo de decida e subida de uma mesma bolha), que Milikan constatou que a diferença entre as cargas era sempre um múltiplo inteiro do valor C=e 19101,591 −× . E, então, a carga era sempre ne=qn o demonstra novamente a quantização da carga elétrica. Com medidas mais precisas, o valor foi corrigido para C=e 19101,6021 −× , o que Milikam atribuiu a um erro no coeficiente de viscosidade η . Depois de corrigido, com os mesmos dados do seu experimento de 20 anos antes, Milikan conseguiu reproduzir o mesmo valor C=e 19101,6021 −× para a carga do elétron. Figura 2.1: Aparato experimental similar ao utilizado por Milikan2 2 figura modificada de WWW.deltate.com.br. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 22 2.2- Propriedade corpuscular da Radiação Nesta seção, vamos estudar processos nos quais ocorrem espalhamento, absorção ou produção de radiação pela matéria, são eles: efeito fotoelétrico, efeito Compton, produção e aniquilação de pares e bremsstralung. Nesses processos, veremos que diferente do comportamento ondulatório, conhecido na propagação da radiação, na interação com a matéria, ela se comporta como uma partícula. 2.4 Efeito fotoelétrico O Efeito Fotoelétrico é a denominação usada para a emissão de elétrons provocada por ação de radiação (luz), especialmente, a radiação ultravioleta. A primeira observação desse fenômeno foi feita por Heinrich Hertz, em 1886 e 1887, enquanto realizava as experiências que vieram a confirmar a existência de ondas eletromagnéticas e, a teoria de Maxwell sobre a propagação da luz. Durante as experiências, Hertz percebeu um curioso fato de que a luz ultravioleta facilitava a descarga elétrica entre dois eletrodos; isto decorre do fato da luz ultravioleta provocar a emissão de elétrons da superfície do catodo. Em 1900, usando um aparo experimental descrito na figura 2.2, Lenard comprova que a radiação faz o metal emitir elétrons. Nesse experimento, a luz atinge o catodo C e provoca emissão de elétrons. O número de elétrons que atingem o ânodo A é medido pela corrente no amperímetro sendo que o ânodo pode ficar positivo ou negativo em relação ao catodo, a fim de atrair ou repelir elétrons. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 25 Isolando-se a energia cinética do elétron na equação (2.8), nota-se que ela depende linearmente da frequência da radiação incidente. Portanto, se fizermos um gráfico da energia cinética do elétron em função da frequência, obteremos a sua energia de ligação ( eφ ) como coeficiente linear e a constante de Planck (h) como coeficiente angular. Quando o elétron é submetido, há um potencial de freiamento, como mostramos na figura 2.4, podemos escrever a energia cinética do elétron mais veloz como sendo 0eV=Ee , para 0V o potencial de corte, ou seja, aquele potencial a partir do qual a corrente fotoelétrica cai a zero. Assim, podemos escrever a equação energia da forma: φν e h =V −0 . (2.9) Em 1914, Millikan verificou, em uma experiência que lhe rendeu o Prêmio Nobel, de 1923, que o potencial de corte não depende da intensidade da luz incidente, e que ele está associado a uma frequência de corte, abaixo da qual o efeito fotoelétrico deixa de ocorrer, como mostra a figura 2.4, provando a equação (2.9). Milikam também calculou o valor da constante h a partir do mesmo experimento e chegou ao mesmo valor obtido por Planck. A frequência (ou comprimento de onde) de corte para que o efeito fotoelétrico seja observado, tν (ou tλ ), são obtidos fazendo o potencial de corte nulo ( 00 =v ) t t λ hc =hν=φ . (2.10) Figura.2.4: Dados obtidos por Millikan para o potencial freador V0, em função da frequência, no efeito fotoelétrico, para νL=43,9.10 13Hz. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 26 A teoria corpuscular de Einstein introduz a comunidade científica a quantização da energia. Todo quantum de luz, o fóton, possui uma energia proporcional a frequência de oscilação: hν=E . É preciso tomar cuidado com a distinção entre a energia de um fóton e de um conjunto de fótons, que teriam uma energia nhν=E sendo n o número de fótons. A teoria de Einstein deu um passo muito importante na mudança do paradigma da teoria clássica para a teoria quântica. No entanto, o reconhecimento da sua contribuição à mecânica quântica, veio muitos anos após sua publicação. Planck, em discurso de indicação de Einstein para membro da Academia Prussianas de Ciências diria o seguinte a respeito da teoria corpuscular de Einstein: (...) em resumo, podemos dizer que dificilmente haverá um grande problema, dos quais a física moderna é tão rica, ao qual Einstein não tenha dado uma importante contribuição. Que ele tenha algumas vezes errado o alvo em suas especulações, como por exemplo em sua hipótese sobre os quantum de luz (fótons), não pode ser realmente colocado contra ele, pois é impossível introduzir ideias fundamentalmente novas, mesmo nas ciências mais exatas, sem ocasionalmente correr um risco. 2.5 Efeito Compton Em 1927, o Físico alemão Arthur H. Compton foi agraciado com o prêmio Nobel devido a seus experimentos com raio X e γ , em 1923. Nesses experimentos, ele observou o espalhamento elástico de fótons por elétrons livres, denominado Efeito Compton, o qual constituía em mais uma evidência de que a luz interagia com a matéria como uma partícula e não como uma onda, confirmando de forma definitiva a teoria corpuscular de Einstein. Em seu experimento, Compton fez incidir um feixe de raio X (será introduzido na seção seguinte) sobre um alvo material, e mediu a intensidade dos raios X espalhados em função do comprimento de onda para diferentes ângulos de espalhamento. Os resultados obtidos por Compton, para o grafite como alvo, estão dispostos na figura 2.5. A partir deles, Compton observou que, embora a radiação Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 27 incidente tenha sempre o mesmo comprimento de onda, λ , os raios espalhados possuem uma distribuição em um intervalo de comprimentos de onda, com dois picos, o primeiro é de mesmo valor ao comprimento incidente e o segundo em λ' . Esse deslocamento é definido como deslocamento Compton λλ'=δλ − , e é diferente para cada ângulo de espalhamento. A teoria clássica não podia explicar esse comportamento, segundo ela os elétrons vibrariam na mesma frequência da radiação incidente e irradiaria na mesma frequência. Compton, por sua vez, apropriou-se da teoria corpuscular de Einstein para explicar o fenômeno observado. E, então, cada quantum de luz do feixe de radiação incidente irá colidir elasticamente com um elétron do material, como esquematizado na figura 2.5. A analogia de Compton foi com o tratamento clássico dado a dois corpúsculos que colidem, como duas bolas de bilhar Figura 2.5: espalhamento elástico Compton de forma esquemática. Dessa forma, supondo que o fóton incide no material com momento νp , se choca com o elétron, que se encontra inicialmente em repouso, e este adquire momento ep e energia eE , resultando em um fóton de momento final νp' . Considerando uma colisão elástica, temos conservação de energia e momento linear, portanto, com base no esquema da figura 2.5, é possível obter as equações: hν=φEp+θp'=p eνν coscos (2.11) sinφp=sinθp' eν (2.12) ehνν'+=hν+cm 2 0 (2.13) Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 30 Figura 2.7: Regiões em que predominam as 3 formas possíveis de interação da radiação γ com a matéria. Em função da energia e do número atômico Z do material. A análise de Compton expõem um cenário no estudo da interação da radiação com a matéria, no qual é necessário supor que o fóton seja uma partícula pontual, quantizada. No entanto, a interpretação ondulatória da radiação ainda é necessária para explicar os fenômenos de interferência e difração. A constatação do comportamento dual partícula-onda da radiação, causou muito estranhamento na comunidade científica da época. Até ser formulada formalmente por De Broglie como uma característica de todas as partículas quânticas. 2.6 Raio X Após a descoberta dos raios X, quase que acidentalmente por Wilhelm Konrad Röentgen, em 1985, despertou imediatamente o interesse de outros cientistas por essa radiação. As duas seções que antecederam esta foram consequência dessa descoberta. Esses raios, inicialmente considerados misteriosos3 por Röentgen e por isso a denominação do nome de Raios X, trouxe grandes aplicações em várias áreas. Os 3 Detalhes desta história podem ser consultada nas referências [2] e [3]. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 31 raios X são utilizados, na área médica, em radiografias de ossos e outros órgãos, devido ao seu alto poder penetrante. São utilizados também em tratamentos de câncer, por radioterapia. São usados na detecção de falhas estruturais em materiais como aço, concreto, entre outros. Atualmente, todas as propriedades do Raio X, que são muitas, são compreendidas. O Raio X é uma radiação eletromagnética de comprimento de onda entre ~10-1m e ~10-7m. É uma radiação muito penetrante, pouco ionizante e que pode atravessar, sem absorção apreciável, meios materiais com espessura bastante grande. Não difere essencialmente de um raio gama, distinguindo-se os dois tipos de radiação, na maioria dos casos, pela respectiva origem. Em seguida, vamos discutir algumas das características fundamentais dos Raios X. i) Emissão de raios X Raios X podem ser produzidos quando elétrons são acelerados em direção a um alvo metálico. O choque do feixe elétrons (que sai do catodo com energia da ordem de 30 000 eV) com o ânodo (alvo) produz dois tipos de raios X. Um deles constitui o espectro contínuo, ou bremsstrahlung em alemão, e resulta da desaceleração do elétron durante a penetração no ânodo. O outro tipo é o raio X característico do material do ânodo. Assim, cada espectro de raios X é a superposição de um espectro contínuo e de uma série de linhas espectrais características do ânodo, conforme ilustrado na figura 2.8. Figura 2.8: espectro de emissão de raios X Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 32 A radiação bremsstrahlung tem origem em uma partícula carregada em alta velocidade se aproximando do núcleo de um átomo, sendo desacelerada neste processo e tendo sua trajetória desviada. A diferença de energia entre o estado final e inicial da partícula é liberada na forma de raios X a uma taxa R dada por: 3 22 0 3 2 4 1 c aq R πε = (2.18) onde q é a carga da partícula, a é a aceleração da mesma e c é a velocidade da luz. A emissão de energia pela carga é máxima na direção perpendicular e nula na direção do vetor aceleração. A energia do raio X emitido é dada por: λ hc =EEE fiRX −= (2.19) onde Ei e Ef são, respectivamente, as energias cinéticas inicial e final da partícula e λ é o comprimento de onda do raio X emitido. Como se pode observar a partir da equação (2.18), a energia do raio X emitido por assumir uma série contínua de valores, desde zero (sem colisão nem emissão) até Ei (partícula totalmente freada). Assim, o espectro de emissão devido à radiação bremsstrahlung é contínuo, com um valor mínimo para o comprimento de onda emitido (hc/Ei). O raio X característico é produzido por um mecanismo quântico4 dado pela interação de elétrons incidentes com elétrons das camadas internas dos átomos que constituem o material do ânodo tubo. Se a energia cinética do elétron incidente for maior que a energia de ionização da camada na qual se encontra o outro elétron, o incidente transfere energia para o elétron do átomo e este é arremessado para fora, deixando um espaço vazio na camada em que se encontrava. Em seguida, um elétron pertencente a uma camada superior decai para ocupar o espaço deixado pelo elétron arremessado. Como as camadas interiores possuem menor energia, ao decair o elétron emite um fóton de raio X com energia equivalente à diferença de energia entre as camadas inicial e final desse elétron. Sendo os níveis de energia de 4 Essa característica já preestabelece o modelo atómico de Bohr, para detalhes leia o capítulo 3. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 35 atômico do elemento bombardeado e à camada onde ocorre à vacância. Nesta experiência foram bombardeados átomos cujo número atômico varia de Z = 23 até 30, portanto as linhas αK e βK dominam o espectro de fluorescência, como pode ser visto na figura 2.10. Figura 2.10: Rendimento de fluorescência Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 36 CAPÍTULO 3: PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA 3.1 Postulado de De Broglie A partir da contribuição de Planck, foi constatado que a radiação, ondas eletromagnéticas eram quantizadas. Em seguida, com a teoria corpuscular, Einstein propôs que a radiação se comportava como uma partícula, como no efeito fotoelétrico em que um fóton colide elasticamente com o elétron como se fossem bolas de bilhar. Instigado pela na ideia da dualidade onda partícula constatada na energia eletromagnética, Louis De Broglie propôs, em 1924, na sua tese de doutorando, em Paris, que a dualidade onda partícula é um comportamento extensível a toda matéria presente na natureza e não só a energia eletromagnética. Assim, todos os corpúsculos ou partículas poderiam se comportar como onda e todas as ondas conhecidas, como o som, poderiam se comportar como partículas. Como o próprio De Broglie apresenta em seu livro: Depois da primeira guerra mundial, pensei muito a respeito da teoria dos quantum e do dualismo onda partícula (...) Foi então que tive uma súbita inspiração. O dualismo onda partícula de Einstein era um fenômeno absolutamente geral, que se estendia a toda a natureza. Foi Einstein o primeiro a reconhecer a genialidade da proposta de De Broglie e a chamar atenção de outros cientistas para ela, no entanto, a falta de evidências experimentais descreditaram a importância da sua proposta. Cinco anos mais tarde, De Broglie ganhou o Prêmio Nobel em física, pois suas previsões foram confirmadas com muita precisão por diversas experiências. A ideia apresentada por De Broglie foi de que a matéria, assim como a radiação, possui uma energia total E dada em função da frequência ν da onda que descreve seu movimento, Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 37 hν=E . (3.1) O momento do sistema p é dado em função do comprimento de onda λ , da onda que descreve o movimento como: λ h =p . (3.2) Com a equação (3.2), De Broglie conseguia calcular o comprimento de onda de um corpo material se movendo com um momento conhecido p , o que passou a ser chamado de comprimento de onda de De Broglie : ph=λ / . Assim, por exemplo, é possível calcular o comprimento de onda de De Broglie para um bola de tênis com uma velocidade de 30 m/s. Supondo a massa da bola 0,1Kg, temos: 2434 34 2,2102,210 /300,1 106,6 −− − × × =m= sKg.m J.s = mv h = p h =λ Å , o que é um comprimento de onda muito pequeno. Essa característica explica a dificuldade de observar esse fenômeno por meio de experimentos óticos, pois segundo a ótica geométrica, os efeitos ondulatórios podem ser observados no limite em que 1/ ≈aλ , sendo a o tamanho da fenda ou lente ótica. Nessa situação, o ângulo de difração é dado por aλθsenθ /≈≈ e os efeitos ondulatórios da luz ou de qualquer objeto material se tornam evidentes. Dessa forma, no caso da bola de tênis, para que a razão aλ / atenda o requisito de ser mensurável do ponto de vista da ótica geométrica temos que 24102,2 −×≈a Å o que é impossível do pondo de vista operacional. Mas, para massas centenas de vezes menor, a relação se inverte e os comprimentos de onda aumentam. A ferramenta experimental de menor espessura utilizada por De Broglie para estudar o comportamento ondulatório da matéria foi a distância interplanar de átomos em um metal, nesse caso 1≈a Å. Usando um aparelho com dimensão característica de 1=a Å, foi possível observar aspectos ondulatórios do elétron, obtendo um comprimento de onda de De Broglie em 1,2=λ Å. Em 1926, Elsasser mostrou que a natureza ondulatória da luz poderia ser observada de maneira análoga ao raio X, fazendo incidir um feixe de elétrons em sólidos cristalinos que difratam os elétrons e criando picos de espalhamento em Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 40 caso da bola de tênis) e por isso não podem ser observados. No capítulo anterior, vimos que a interação da radiação com a matéria se dá de forma corpuscular e não ondulatória, e então, podemos perceber que mesmo para partículas microscópicas a interação se dá preferencialmente na forma de partículas. Assim, também podemos notar outra leitura do princípio da dualidade, quando está interagindo em uma localização espacial ele o faz como partícula, e quando ele está se movendo, age como onda, se propaga pelo espaço e, portanto, não é localizável em pontos definidos. A física clássica não possuía explicação para esse comportamento dual, ainda pairava no ar alguma explicação teórica contundente que unificasse as duas descrições, ondulatória e corpuscular, que apresentava a matéria e a radiação. 3.2 Princípio da Complementaridade de Bohr Neste contexto de transição de paradigmas (da física clássica para a física quântica), Niels Bohr apresentou o que ele mesmo definiu como sendo um princípio, no qual os modelos corpusculares e ondulatórios devem ser complementares. Para Bohr, a medida de um anularia a possibilidade da medida do outro, no entanto, segundo ele, isso não deveria ser entendido como se a radiação, ou a matéria, fossem apenas onda ou apenas partícula. Bohr clamava por um modelo mais geral que unificasse as duas descrições ondulatória e corpuscular. É uma interpretação probabilística da “função que descreve a trajetória” que unifica os modelos. Mas como poderia ser esse modelo? A resposta a essa questão viria muitos anos após as indagações e problematizações de Bohr, que teve um papel fundamental na concepção e definição da estrutura atômica, como veremos no próximo capítulo, na construção da velha e nova mecânica quântica. Suas discussões com Heisenberg ficaram famosas e estão em livros de literatura9 e peças de Teatro10. Muitos outros físicos importantes como Pauli, Dirac fizeram parte da chamada convenção de 9 W. Heisenberg, A parte e o todo, contraponto, 1996. 10 Copenhagen, peça de Michael Frayn Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 41 Copenhagen, que foi responsável por grandes avanços na definição do novo paradigma da mecânica quântica. A resposta ao questionamento de Bohr viria após o estabelecimento da mecânica quântica de Schrödinger, em um modelo apresentado por Max Born. Born se espelhou na resposta que Einstein deu quando tentou responder a mesma questão no caso da radiação. Na teoria corpuscular de Einstein (capítulo 2) a intensidade da radiação é dada por Nhν=I , (3.4) em que N é o número médio de fótons por unidade de tempo que atravessam uma área perpendicular a direção de propagação dos fótons. O que introduz um caráter probabilístico, similar a teoria cinética dos gases de Maxwell. Na teoria clássica a intensidade da onda eletromagnética é dada em função do valor médio do vetor de Poynting: 2ε . Einstein propôs que 2ε poderia ser interpretado como uma medida do número médio de fótons por unidade de volume na descrição ondulatória, igualando a expressão ondulatória e corpuscular, tem-se: νε Nh cµ =I =2 0 1 . (3.5) O que fica claro de (3.5) é que uma vez que 2ε é proporcional a N, representa uma medida probabilística da densidade de fótons. Baseado no que fez Einstein para a radiação, Max Born, por volta de 1930, propôs uma unificação para a dualidade partícula onda na matéria. Para tal, é importante introduzir um objeto crucial, a descrição dos fenômenos quânticos, uma função que representa a função de onda de De Broglie, é a função de onda ψ . Essa função é sempre uma função do espaço, do tempo e da frequência de oscilação da onda ν . Em analogia a onda eletromagnética ela pode possuir a mesma estrutura senoidal ( )       − νt λ x πAsen=tx,ψ 2 . (3.6) Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 42 O que é idêntico ao campo elétrico ( ε ) de uma onda eletromagnética unidimensional (como vimos no exemplo do capítulo 2). Nesse caso o 2ψ tem o mesmo papel que 2ε , será uma medida da probabilidade de encontrar uma partícula por unidade de volume em um dado ponto do espaço-tempo (x,t) . Born ganharia o Prêmio Nobel de física, em 1954, por essa interpretação probabilística da função de onda. Dessa forma, ψ obedece a todas as características de uma onda, então deve sempre satisfazer a equação geral de uma onda que é dada pela equação diferencial 2 2 22 2 1 t ψ ν = x ψ ∂ ∂ ∂ ∂ , (3.7) e o princípio da sobreposição é sempre válido: ψ=ψ+ψ 21 , o que está de acordo com as experiências em que se observaram figuras de interferência construtivas e destrutivas no espalhamento de elétrons (por exemplo), um fato impossível de ser compreendido pela física clássica. É muito importante ressaltar que a probabilidade, a ferramenta essencial utilizada por Einstein e Born, introduz uma não localidade da partícula, ela tem sempre uma probabilidade associada a sua posição no espaço-tempo, não é portanto, uma equação determinística. Até agora a probabilidade apareceu como uma consequência ou até mesmo um artifício para unificar as descrições corpuscular e ondulatória da radiação e da matéria, mas, em 1927, Bohr e Heisenberg demonstram a função essencial que a probabilidade possui nessa união. Antes disso, porém, vamos discutir de que maneira a dualidade partícula onda se manifesta na função de onda ( )tx,ψ . A ideia é que da mesma forma como o campo eletromagnético (ε ) representa a energia da radiação e é uma onda associada a um fóton, a função de onda ( )tx,ψ está associada a uma partícula material. Assim, se pensarmos na velocidade de ambas as parte, a velocidade de propagação da onda deve ser igual a velocidade (deslocamento cinético) da partícula. A velocidade de propagação de uma onda ( pv ), segundo a teoria canônica de ondulatória é dada por: Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 45 a evidenciar esse fenômeno, segundo ele, quando fazemos uma medida sobre um objeto e você consegue determinar a componente x do momento ( xp ) com uma incerteza ∆p , você não pode, ao mesmo tempo, saber a posição x com mais precisão do que ∆p =∆x 2/h , em que πh= 2/h . Como decorrência, o produto das incertezas tem que ser maior do que 2/h e portanto o princípio da incerteza é dado por: 2 h ≥∆x∆p . (3.12) O princípio da incerteza fala sobre o produto das incertezas em uma medida simultânea de x e p e não sobre cada uma delas. Portanto, segundo ele, se você medir um deles com uma precisão infinita, ou seja, determinar a posição (ou o momento) de um evento, a incerteza associada ao momento (ou a posição) tem que ser infinita ( ∞=∆p;=∆x 0 ) para satisfazer (3.12). Uma ideia mais geral por detrás desse princípio é que não é possível fazer uma experiência, o das duas fendas, por exemplo, em que consiga determinar qual das alternativas (no exemplo, as fendas) foi escolhida pela partícula sem que com isso destrua o experimento (no exemplo, a figura de interferência). Em uma experiência mental, Heisenberg estabelece que um gato seja posto vivo no interior de uma caixa que é posteriormente vedada. Supondo também que a alimentação ocorre de maneira em que não se abra a caixa, a única forma de descobrir se o gato esta vivo ou morto depois de um tempo é abrindo a caixa, mas, dessa maneira, o experimento seria destruído. Dessa forma, Heisenberg tomou como impossível definir com precisão infinita as duas variáveis e afirmou explicitamente que caso isso fosse em algum momento possível, a mecânica quântica iria colapsar. Diversos experimentalistas trabalharam para mostrar que Heisenberg estava errado, mas nunca lograram e a mecânica quântica continua válida até hoje. Existe uma segunda formulação do princípio da incerteza, que não foi formulada inicialmente por Heisenberg, mas é costumeiramente apresentada como tal. Ela diz respeito à medida da energia E de um sistema e o intervalo de tempo em Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 46 que ocorre a emissão de tal energia, ou de outra maneira, o tempo em que ocorre a própria medida. E, então, 2 h ≥∆E∆t , (3.13) em que ∆E é a incerteza na definição da energia e ∆t o intervalo de tempo no qual o sistema muda. O princípio da incerteza não define a mecânica quântica, podemos descrever sistemas e calcular observáveis sem usá-lo. Mas, ele é interessante, pois evidencia uma qualidade fundamental na mecânica quântica, a de que os fenômenos não podem ser descritos de forma determinista e sim por meio de grandezas probabilísticas. Se por um lado a interpretação probabilística foi o grande salto da mecânica quântica moderna, em oposição a velha mecânica quântica que veremos no capítulo seguinte, ela não foi bem aceita logo de início. Einstein, por exemplo, foi um crítico ferrenho a ideia de que a posição da partícula poderia ser apenas definida de maneira probabilística. Em uma frase famosa, em ocasião de uma carta que enviou a Max Born, Einstein disse: “Deus não joga dados com o universo”, ele acreditava que a natureza era única e, isso, segundo ele, ia de encontro a uma descrição probabilística. No entanto, anos mais tarde, Einstein acabou por se convencer após o comprovado sucesso e imenso potencial que a teoria quântica demonstrou ao prever e explicar diversos fenômenos físicos. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 47 CAPÍTULO 4: O MODELO DO ÁTOMO Voltando um pouco para o final do século XIX, o espectro de emissão atômico era observado experimentalmente, mas não havia um modelo de átomo que pudesse justificar tal comportamento. Assim, como vimos no desenvolvimento do raio X, no capítulo 2, o final do século XIX foi muito frutífero do ponto de visa de experiências para entender o comportamento da matéria, das estruturas físicas para além do que os olhos podiam enxergar, novas teorias estavam surgindo e ao final, no início do século XX foi consolidado o que chamamos de antiga mecânica quântica composta pelas teorias de Einstein e Planck. A nova mecânica quântica viria só depois com a contribuição de Bohr e Heisenberg. Neste capítulo vamos analisar essa transição e entender o modelo de Bohr para o átomo da forma como o concebemos hoje. 4.1 Espectro atômico A espectroscopia é, até hoje, uma técnica muito importante na física para estudar a composição de elementos químicos de substâncias e compostos. O espectro de emissão dos elementos e compostos químicos é dividido em três categorias: contínuo, em bandas e em linhas. O primeiro ocorre na emissão de radiação de sólidos incandescente, já o segundo, é formado por vários grupos de linhas muito próximas que se assemelham a bandas contínuas, quando vistas em espectroscópio de baixa resolução, a ocorrência desse tipo de espectro é observada quando pequenos sólidos são submetidos a chamas ou descargas elétricas. E, por fim, o espectro de linhas são características da radiação emitida por átomos isolados. Tanto o espectro de bandas, como o de linhas, não possuiam explicação na física clássica, até o início do século XX, foi a partir das teorias de Planck e Einstein, na qual a energia da radiação era quantizada, que o espectro de linhas na emissão de radiação passou a fazer algum sentido, embora a justificativa da razão de cada uma delas só tenha sido entendida após o modelo atômico de Bohr . Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 50 4.2 O pudim de Thomson O avanço da espectroscopia não era correspondido, em contra partida, a um modelo de estrutura do átomo que pudesse descrever os fenômenos observados experimentalmente. O modelo vigente, a partir de 1910, era o pudim de Thomson, figura 4.2, em que elétrons eram uniformemente distribuídos em uma esfera carregada positivamente de forma a manter o átomo neutro. Thomson buscava, a partir do seu modelo, configurações estáveis cujos modos normais de vibração correspondessem às frequências observadas na emissão. Um grande problema que esse modelo apresentava, além de não encontrar nenhuma configuração que descrevesse as linhas espectrais observadas, é que a força eletrostática não é suficiente para manter um sistema em equilíbrio e, portanto, as cargas deveriam estar em movimento. No entanto, como sabemos, toda carga em movimento emite radiação, o que não era observado no átomo. O modelo de Thomson foi definitivamente abandonado, em 1911, quando Rutherford mostrou que a carga positiva do átomo estava toda concentrada no centro, formando um núcleo, analisando o espalhamento de partículas α por diferentes átomos. 4.3 O modelo do átomo de Rutherford Rutherford, um antigo aluno de Thomson, investigava a radioatividade natural dos elementos quando descobriu que o urânio emitia dois tipos diferentes de partículas, denominadas α e β. Buscando analisar o comportamento dessas partículas, em um experimento célebre, Rutherford deixou uma amostra radioativa se desintegrar emitindo partículas α em uma câmera de vácuo e, em seguida, submeteu o conteúdo da câmera a uma descarga elétrica. As linhas observadas correspondiam ao hélio. Então, Rutherford percebeu que essa partícula α, uma partícula carregada positivamente e com metade da massa do próton, poderia Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 51 funcionar como uma sonda no interior de outros átomos, e iniciou uma série de experimentos nessa direção. (a) (b) Figura 4.2: (a) O modelo do Pudim de Thomson13 e (b) O espalhamento de uma partícula α por um átomo de Thomson14. O experimento consistia em colimar um feixe de partículas α emitidas de uma fonte radioativa e fazê-la incidir sobre um alvo metálico. Ao atravessar o átomo, a partícula α sente a força colombiana das cargas positivas e negativas, o que provoca uma mudança na sua trajetória. Uma forma de medir essa divergência é contar o número de partículas α que emerge do átomo com um ângulo de deflexão θ (N(θ)). No modelo de Thomson, como a carga positiva está espalhada por todo o volume do átomo de raio 1010−r m, a força colombiana de repulsão não é tão intensa e a força de atração do elétron é ainda menor, uma vez que a partícula α é da ordem da massa do próton. Portanto, como mostra a figura 4.2, no modelo de Thomson é esperado que o ângulo de espalhamento θ seja pequeno. De fato, podemos 13 Figura modificada de M. Le Bellac, “Quantum Physics”, Cambridge University Press, 2006. 14 Figura modificada de R. Eisberg, “Fundamentals of Modern Physics”, John Wiley&Sons Inc, 1963. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 52 calcular, usando o modelo de Thomson, a deflexão máxima que a partícula sofre ao passar pelo átomo, ela será 410−≤θ rad. Na experiência realizada por Rutherford em seu laboratório, com ajuda de Geiger e Marsden, foi medido que 99% das partículas α foram espalhadas em ângulos menores do que 3°. No entanto, surpreendentemente, uma fração da ordem de 410 − das partículas α foram espalhadas com ângulo maior que 90°, sendo algumas delas espalhadas com um ângulo de 180°. Mesmo sendo pequena essa fração, ela é absolutamente incompatível com o modelo de Thomson. Como o próprio Rutherford declarou: “Foi a coisa mais incrível que aconteceu em toda a minha vida. Era tão incrível quanto se você disparasse um projétil de 15 polegadas contra um pedaço de papel e o projétil ricocheteasse de volta.” Esse foi mesmo o fim do modelo de Thomson. O modelo proposto por Rutherford considerava que deveria existir um núcleo no átomo que concentrasse toda a carga positiva do átomo em uma região pequena do átomo, isso justificaria uma interação de repulsão mais forte com a partícula α. Ao supor que o núcleo se comportava como uma partícula pontual no centro da esfera, e que a quantidade de carga no núcleo era tão maior que α, então, não haveria recuo do núcleo ao interagir com α, Rutherford calculou a distribuição angular esperada para a partícula α após a colisão. Ainda, foi considerado que a partícula α não iria penetrar dentro do núcleo e dado que 20/1/ ≈cv o cálculo pode ser não relativístico. As previsões foram comprovadas por experiências feitas por Geiger e Marsden, mas mostraram que as hipóteses assumidas não são exatamente verdade quando a partícula α é espalhada por átomos muito leves. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 55 também para determiná–lo. Só assim, descobriu-se que Z era igual ao número atômico químico dos átomos. A fórmula de Rutherford é, geralmente, expressa em termos da seção de choque diferencial dΩ dσ , definida de tal forma que o número de partículas α espalhadas em Θ dentro de um ângulo sólido dσ é dada por IndΩ dΩ dσ =dN(ΘN , (4.8) Então, a seção de choque diferencial é dada usando (4.7) e (4.8) como: ( )2/ 1 24 1 22 Θsenmv zZe πε = dΩ dσ 42 2 0             . (4.9) 4.3.1 O tamanho do núcleo O fato de as confirmações previstas por Rutherford terem se concretizado nas experiências de Geiger e Marsden, não significavam que a hipótese de que o núcleo era uma partícula pontual estava correta, muito pelo contrário, Rutherford sabia que isso era uma aproximação grosseira. Da eletrostática sabemos que a força coulombiana de uma distribuição esférica de cargas é a mesma que uma carga pontual para um ponto externo a esfera e dentro de uma esfera carregada a força cresce linearmente com o raio. A partir da equação (4.5), tendo o conhecimento de Z para o alvo, ele poderia determinar a distância de maior aproximação D, que seria, a princípio, um limite superior para o raio do núcleo. Foi então que Rutherford percebeu que se pudesse fazer α incidir com mais energia, a distância D diminuiria e poderia entrar no núcleo. No entanto, não era possível aumentar a energia de α, o que ele fez, então, foi diminuir a distância D usando alvos mais leves, como o alumínio. Nesse caso, Rutherford comparou, para um ângulo fixo, a razão do número de partículas espalhadas detectadas experimentalmente e a previsão teórica em função de Dr , a distância de máxima aproximação dada pela equação 4.5, como mostra a figura 4.4. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 56 Figura 4.4: Resultado obtido por Rutherford usando o alvo de alumínio (para um ângulo fixo)16 . O valor de Dr , a partir do qual a previsão teórica pára de concordar com as observações experimentais, pode ser considerado o tamanho do núcleo (a distância do centro da esfera até as sua superfície). Assim, para o caso do alumínio, Rutherford estimou o raio do seu núcleo em 14101 −× m. 4.4 O modelo do átomo de Bohr Niels Bohr, um físico dinamarquês, em 1913, publicou, no formato de postulados, uma teoria para o átomo de Hidrogênio que uniria as teorias de Planck, Einstein e modelo de Rutherford para o átomo. Bohr trabalhou no laboratório de Rutherford na época que Geiger e Marsden analisavam os resultados do experimento que comprovavam o modelo de Rutherford. O modelo de Rutherford, no entanto, não dizia nada a respeito do elétron, apenas que a carga positiva estava contida no núcleo. Bohr formulou a hipótese de que o elétron no átomo de hidrogênio girava em torno desse núcleo, em um movimento resultante da força de atração coulumbiana. Em analogia ao sistema solar, a trajetória do elétron seria 16 Figura modificada de R. Eisberg, “Física Quântica- Átomos, sólidos, Núcleos e Partículas” , John Wiley&Sons Inc, 1974. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 57 circular ou elíptica, a qual Bohr supôs circular por facilidade e, então, a força coulumbiana deve ser igual a força centrípeta que o elétron “sente” para uma trajetória de raio r e velocidade v r mv = r kZe =F 2 2 2 . (4.10) Como descrevemos anteriormente, classicamente, o movimento de cargas é associado a emissão de uma radiação (pois carga em movimento significa campo elétrico e assim por diante) com uma frequência dada por πr v =ν 2 . Mas, da equação (4.10), temos que a velocidade do elétron é dada por mr kZe =v 2 2 e, portanto, a frequência é definida como: 2/3 2/1 2 2 2/1 2 1 42 1 rmπ kZe = πrmr kZe =ν             . (4.11) A partir de (4.11), podemos ver que quanto mais o elétron perde energia por radiação, o raio da sua órbita diminuiria e a frequência da radiação emitida passa a ser cada vez maior, até o limite em que o elétron colapsaria no núcleo. O tempo de vida do elétron, estimado pela física clássica, é de microssegundos. Mas, essa emissão contínua de radiação nunca foi observada. Bohr, em seus dois primeiros postulados, contornou esse problema propondo de forma revolucionária que o elétron se move em uma trajetória circular SEM irradiar energia, o que ele chamou de um estado estacionário. Figura 4.5: figura esquemática do modelo de Bohr para o átomo17. 17 Figura modificada de M. Le Bellac, “Quantum Physics”, Cambridge University Press, 2006. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 60 Segundo o modelo de Bohr, a transição entre linhas ou estados significa uma emissão ou absorção de fótons, como mostra a figura 4.6. Quando a primeira situação ocorre, isso significa que o elétron ganha energia o suficiente para “pular” para o próximo nível, já o segundo, ocorre qunado o elétron decai para seu estado inicial. A partir da equação (4.16), fazendo λc=ν / , obtemos uma expressão análoga à obtida por Rydberg (4.2) para as séries das linhas do espectro de emissão dos átomos. Comparando as duas expressões (4.2 e 4.16), podemos identificar que a constante empírica obtida por Rydberg é dada teoricamente por Bohr como 3 42 0 4 hπc emk = hc E =R . Usando os valores das constantes conhecidas na época, Bohr chegou a um valor muito próximo ao obtido por Rydberg e sugeriu que a igualdade entre elas fosse usada para aprimorar o valor das próprias constantes, o que foi feito anos mais tarde. De acordo com o modelo de Bohr, ilustrado na figura 4.5, a energia quantizadas permitidas para o átomo de hidrogênio são definidas pela equação (4.15) com Z=1 2 0 n E =En − , (4.17), com a qual podemos graficar os diferentes níveis de energia, do fundamental, quando n=0 até a energia zero quando n é infinito, como mostra a figura 4.7. Esse diagrama é chamado de diagrama de níveis de energia. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 61 Figura 4.7: Um diagrama de níveis com as transições de cada série representada para o átomo de hidrogênio19. Na figura 4.7, mostramos a relação entre as linhas das séries obtidas pela análise espectroscópica e os níveis de energia de Bohr. A energia para arrancar um elétron do átomo de hidrogênio é 13,6 eV, o que chamamos de energia de ionização ou energia de ligação do elétron. 19 Figura modificada de S. Ivamov, “Theoretical and Quantum Mechanics-Fundamentals for Chemists”, Springer, 2006. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 62 4.4.1 Princípio da correspondência Em 1923, Bohr enunciou seu último postulado, o princípio da correspondência, no qual definia que as previsões da física quântica, para qualquer sistema físico, devem corresponder as previsões da física clássica no limite em que os números quânticos se tornam muito grandes. A motivação desse princípio está no limite clássico da energia de radiação, como mostramos no capítulo 1, o espectro de radiação do corpo negro tende a KT no limite de baixas frequências. 4.5 Crítica à “velha” mecânica quântica O modelo de Bohr foi recebido, em um primeiro momento, com muito espanto pela comunidade científica internacional. A ideia parecia muito ousada para contas tão simples. De fato, o modelo de Bohr era simplificado, de tal forma, que ele apenas de adequava perfeitamente aos resultados experimentais do hidrogênio. Por outro lado, ele foi fundamental ao introduzir a ideia da quantização da energia em todos os níveis e explicar a espectroscopia atômica. A sua suposição de que não há recuo do núcleo do átomo com a interação com o elétron, foi em seguida corrigida pela utilização da massa reduzida M+m mM =µ , para M a massa do núcleo. Uma segunda aproximação do modelo de Bohr foi ainda proposta por Sommerfeld, usando órbitas elípticas e grandezas relativísticas buscou descrever a estrutura fina do espectro de hidrogênio. O modelo de Bohr foi confirmado posteriormente por experimentos de raio-X e por um experimento célebre, que provou a quantização da energia de Bohr, o experimento de Franck-Hertz. A consagração da teoria de Bohr era então inegável, no entanto, ela ainda não possuía uma justificativa lógica causal, dessa maneira, “Por que nas teorias de Bohr ainda eram válidas teorias clássicas da mecânica, mas não as da eletrodinâmica clássica?”, essa era uma pergunta ainda sem resposta. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 65 aplicado a sistemas não relativísticos. Uma equação relativística só foi introduzida três anos depois por Dirac, em 1928. Para construir sua equação, Schrödinger partiu da solução conhecida, a onda eletromagnética que representava a propagação de fótons. Assim, o campo eletromagnético ε satisfaz a equação da onda clássica 2 2 22 2 1 t ε c = x ε ∂ ∂ ∂ ∂ . (5.1) Como vimos anteriormente, a onda eletromagnética é dada como um função do tipo seno ou cosseno, supondo ( )ωtkxε=ε −cos0 , em que λ=k /1 e πν=ω 2 e as respectivas derivadas segundas são dada por: ( ) εω=ωtkxεω= t ε 2 0 2 2 2 cos −−− ∂ ∂ , (5.2) ( ) εk=ωtkxεk= x ε 2 0 2 2 2 cos −−− ∂ ∂ . (5.3) A solução da equação (5.1) implica que 2 2 2 c ω =k e kc=ω , (5.4) se substituirmos nas equações de De Broglie para o momento e a energia, encontraremos que pc=E , que é exatamente a energia de um fóton. Schrödinger se fixou nessa proporção entre a frequência e o número de onda, e buscou determiná- la no caso de uma onda de matéria. Nesse caso, partindo de traz pra frente, a energia de uma partícula é dada pela energia cinética da partícula e o potencial ao qual ela está sujeita: V+ m p =E 2 2 , aplicando o postulado de De Broglie temos: V+ m k² =ω=hν 2 2 h h . (5.5) Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 66 Comparando as equações (5.4) e (5.5), vemos que enquanto na primeira ω depende linearmente de k, na segunda não, além do potencial que varia dependendo do sistema observado. Dessa forma, sabendo que o ω está associado à derivada temporal, como mostra a equação (5.2) e k está associado à derivada na posição, Schrödinger notou que sua função de onda precisaria ter uma primeira derivada no tempo e uma segunda derivada na posição. Ainda, a equação da onda deveria ser necessariamente linear na função de onda ( )tx,ψ para que o princípio da sobreposição fosse preservado. E, então, Schrödinger propôs a seguinte equação: ( ) ( ) ( ) t tx,ψ i=tx,Vψ+ x tx,ψ ∂ ∂ ∂ ∂− h h 2 22 2m . (5.6) A equação de Schrödinger, dessa forma, depende do potencial V(x,t) que age sobre o corpo, e portanto, dependo do sistema de forças que atuam a equação (5.6) pode ser muito complicada de ser resolvida. Resolver a equação de Schrödinger significa encontrar a função de onda ψ(x,t), que para uma dada configuração do potencial V satisfaz a relação imposta pela equação (5.6). Podemos perceber que uma função de onda senoidal ou cossenoidal, como uma onda eletromagnética, não é solução da equação (5.6), pois, ao diferenciar em uma ordem no tempo, a função seno passa a ser cosseno e vice-versa (com sinal trocado) e do outro lado da equação, ao diferenciar em duas ordens na posição a função seno se mantém seno e o cosseno se mantém cosseno, impedindo que exista igualdade entre ambos os lados. A função mais simples da equação de Schrödinger, no caso em que o potencial é uma constante, é a exponencial complexa )( tkxie ω− , que nada mais é do que a forma exponencial da função de onda harmônica, sendo: )()cos()( tkxisentkxe tkxi ωωω −+−=− . (5.7) Vamos mostrar que a função de onda )(),( tkxiAetx ωψ −= , sendo A uma constante chamada de constante de normalização, é solução de (5.6), para isso temos: ),( ),( )( txiAei t tx tkxi ωψω ψ ω −=−= ∂ ∂ − , (5.8) Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 67 ( ) ),(),( 2)(2 2 2 txkAeik x tx tkxi ψ ψ ω −== ∂ ∂ − . (5.9) Substituindo em (5.6), para o caso em que o potencial é constante 0),( VtxV = , obtemos: )()( 0 )(2 2 )()( 2 tkxitkxitkxi AeiiAeVAek m ωωω ω −−− −−=+− − h h , (5.10) em que podemos cortar a constante A e as exponenciais, tal que ωh h =+ 0 22 2 V m k , (5.11) é uma equação para a energia da partícula exatamente igual a (5.5) obtida a partir do postulado de De Broglie. Dessa forma, provamos que a solução exponencial complexa é solução da equação de Schrödinger. É fundamental notar que com essa característica a função de onda pode assumir valores complexos, isso significa que ela não pode ser mensurável diretamente, já que apenas grandezas reais são mensuráveis diretamente. Essa qualidade da função de onda foge da convenção clássica em que podemos desenhar e visualizar as trajetórias de objetos. Agora, podemos desenhar as possíveis trajetórias, se soubermos a função de onda, mas não podemos medir o valor dessa função em cada posição do espaço-tempo. Isso está de acordo com o que discutimos no capítulo 3, na ocasião em discutimos o princípio da incerteza de Heisenberg. Como vimos no capítulo 3, embora não seja possível medir a posição, podemos calcular a probabilidade de a partícula estar em um dado estado (posição espaço-tempo) com uma dada energia dxtxdxtxtxdxtxP 2 ),(),(),(*),( ψψψ == , (5.12) sendo ψ*(x,t) o complexo conjugado de ψ(x,t). P(x,t) é chamada de função densidade de probabilidade, por definição de probabilidade a soma sobre todos os estado possíveis deve ser um 1),(),(* =∫ ∞ ∞− dxtxtx ψψ . (5.13) Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 70 desenvolvida a partir da mecânica quântica. A mecânica quântica que descrevemos neste trabalho é apenas a pontinha de uma sucessão de várias teorias quânticas que descrevem os diferentes estados da matéria na escala abaixo de um Fermi. Figura 5.1 : Uma charge sobre a evolução dos aceleradores na física de partículas20. 20 Charge retirada de D. Griffiths, “Introduction to elementary Particles”, John Wiley&Sons Inc., 1987. Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 71 REFERÊNCIAS R.B.Leighton, Principles of Modern Physics, McGraw-Hill Book Co., New York (1959). R.A.Martins, Rev. Bras. Ensino de Física 20, 373 (1998). Max Planck, Scientific autobiography and other papers, Wilians and Norgate, London, 1950. J. Mehra, H. Rechenberg, The historical development of quantum theory, Springer- Verlag, New York, 1982. F.K.Richtmyer, E.H.Kennard, T.Lauritsen, Introduction to Modern Physics, McGraw- HillBook Co., New York (1955). O.Oldenberg, Introduction to Atomic Physics, McGraw-HillBook Co., New York (1954). M.Krummernacker, J.Lewis, Prospects in Nanotechnology : Toward Molecular Manufacturing, John Willey & Sons, New York (1995). E. R. Cohen, B.N. Taylor, The Fundamental Physics constants, Physics Today, 1996. H. Boorse, L. 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Site: www.ucamprominas.com.br E-mail: ouvidoria@institutoprominas.com.br ou diretoria@institutoprominas.com.br Telefone: (0xx31) 3865-1400 Horários de Atendimento: manhã - 08:00 as 12:00 horas / tarde - 13:15 as 18:00 horas 72 N. Ashby, S. Miller, Principles of Modern Physics, Holden-day, São Francisco, 1970. G. Herzberg, Atomic Spectra and Atomic Structure, Dover, New York, 1944. P. A. Tipler, R. A. Llewellyn, Modern Physics, W. H. Freeman and company, 1999. K. Ziock, Basic Quantum Machaninics, John Wiley&Sons Inc.,1969.