CAPÍTULO 2 DINÂMICA DA PARTÍCULA: FORÇA E ACELERAÇÃO

Neste capítulo será analisada a lei de Newton na sua forma diferencial, aplicada ao movimento de partículas. Nesta forma a força resultante das forças aplicadas numa partícula está relacionada com a sua aceleração.

2.1 LEIS DE NEWTON PARA MOVIMENTOS

A mecânica vetorial está baseada na teoria de Newton, apresentada originalmente em 1687. Newton utilizou para o desenvolvimento de sua teoria os trabalhos de outros cientistas que o precederam, especialmente de Galileo e de Kepler. Através de experimentos práticos, Galileo demonstrou alguns princípios do movimento dos corpos. Entretanto Newton foi o primeiro a estabelecer de uma forma sistemática um conjunto de leis gerais para o estudo desses movimentos. Estas leis foram formuladas inicialmente para partículas simples, assumindo a existência de sistemas de referência, em relação aos quais são válidas. Estes sistemas de referência, chamados sistemas inerciais ou galileanos, formam um conjunto especial de sistemas de referência que estão em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, um em relação ao outro. Na mecânica newtoniana um sistema inercial é definido como aquele que está em repouso ou em movimento uniforme em relação a uma suposta posição média de estrelas fixas e distantes. Entretanto, para muitos objetivos práticos é possível adotar como inercial um sistema fixo ao sistema solar. Em muitas aplicações da engenharia é possível adotar como inercial um sistema de referência fixo à superfície da terra. Newton enunciou suas leis como axiomas do movimento, hoje apresentadas da seguinte forma:

Primeira lei: Uma partícula se move em linha reta com velocidade constante quando não há forças atuando sobre ela.

Uma partícula é a idealização de um corpo material cujas dimensões são muito pequenas quando comparadas com as distâncias a outros corpos e cujo movimento relativo entre seus pontos não é relevante para o movimento do corpo. Matematicamente estes corpos são representados por massas pontuais.

Sendo FR a força resultante numa partícula e v a sua velocidade em relação a um referencial inercial, a primeira lei pode ser estabelecida por:

0 dt

0R v F ou v = constante (2.1)

Segunda lei: Uma partícula se move de maneira tal que a força resultante a ela aplicada é igual à derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento linear.

A quantidade de movimento linear, ou simplesmente quantidade de movimento, é definida como o produto da massa pela velocidade, ou seja, igual a mv. Assim a segunda lei pode ser dada por:

dt mdR

Sendo constante a massa da partícula, então a equação (2.2) pode ser escrita como:

av F m dt mdR

Terceira lei: Quando duas partículas atuam uma sobre a outra, as forças de interação correspondentes situam-se sobre a linha que une estas partículas; são iguais em módulo e de sentidos contrários.

Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Indicando por FAB a força exercida pela partícula A sobre a partícula B e FBA a força que a partícula B exerce em A, a terceira lei pode ser estabelecida matematicamente por:

Newton também propôs uma lei para reger a atração mútua entre duas partículas, denominada Lei de Newton da Atração Gravitacional, dada por

G r onde

FG é força de atração entre as duas partículas

) m3 /(kg.s2 ) é uma constante universal de gravitação m1, m2 são as massas de cada uma das partículas r é a distância entre as partículas

Analisando a lei dada por (2.5) poderemos considerar como desprezível esta força quando se trata da atração entre dois corpos sobre a terra. Se considerarmos, por outro lado, a atração que a terra exerce sobre um corpo em sua superfície, pode-se mostrar que esta força é dada por mg R onde

W é a força de atração entre a terra e o corpo, denominada peso M é a massa da terra R é igual ao raio da terra m é a massa corpo na superfície da terra

M Gg é denominada aceleração da gravidade

Esta constante de fato varia ao longo da superfície da terra, mas estas variações são consideradas pequenas na maioria das aplicações em engenharia. Os valores de referência adotados universalmente são: g = 9,81 m/s2 ou 32,2 ft/s2 .

2.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA PARTÍCULA

Quando várias forças atuam sobre uma partícula, a equação (2.3) pode ser escrita como onde FR é a força resultante do sistema de forças que atua na partícula de massa m. A Figura 2.1 ilustra o diagrama do corpo livre de uma partícula P onde atuam duas forças.

Figura 2.1 - Diagrama do corpo livre de uma partícula P.

2.3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Seja um sistema de várias partículas e sejam as forças externas ao sistema indicada por F e as internas indicadas por f. Aplicando a lei de Newton para cada partícula deste sistema podemos escrever iijiimafF (2.8) onde

Fi é a força resultante externa na partícula i fji é a força da partícula j sobre a partícula i mi é a massa da partícula i

Podemos agora somar a equação (2.8) aplicada a todas as partículas internas ao sistema, cujo resultado é

P FR = ma

Sendo as fji forças internas ao sistema dado, sempre ocorrerão em pares de ação e reação, resultando numa soma nula. Assim (2.9) é igual a

Agora vamos lembrar que a posição rG do centro de massa de um sistema de partículas de massas mi é dada por

imm é a massa total do sistema

Derivando (2.1) duas vezes no tempo, obtemos

que é uma forma parecida com a equação de movimento para uma partícula, mas cujos termos devem ser interpretados de forma diferente. A força FR é a força resultante de todas as forças externas que atuam no sistema de partículas; a massa m é a soma de todas as massas das partículas e a aceleração aG é a aceleração do centro de massa do sistema. O centro de massa do sistema está localizado numa posição que varia com o tempo, em geral não coincidente com nenhuma partícula do sistema.

18 2.4 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS RETANGULARES

Vamos tomar um sistema inercial de referência nas coordenadas xyz. A força resultante aplicada a uma partícula de massa m pode ser escrita como kjiFFzyxRFFF (2.14) e a equação do movimento

)(kjikjizyxzyxaaamFFF (2.15) Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares xxamF yyamF (2.16) zzamF

A Figura 2.2 mostra as componentes retangulares de uma dada força aplicada a uma partícula P de massa m.

Figura 2.2 - Componentes Retangulares.

x y

Fz m Fy

Fx

19 2.5 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS TANGENCIAL E NORMAL

Em muitos movimentos que ocorrem em trajetórias curvilíneas conhecidas, forças aplicadas podem ser escritas em função das coordenadas tangencial, normal e binormal (esta completa o sistema de referência numa direção normal ao plano do movimento) como bbnnttRFFFuuuFF (2.17) e a equação do movimento

)(nnttbbnnttaamFFFuuuuu (2.18) Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares ttamF nnamF (2.19) 0Fb

A Figura 2.3 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num dado instante do movimento de uma partícula P.

Figura 2.3 - Direções tangencial, normal e binormal.

y t ub ut un

O b

20 2.6 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS CILÍNDRICAS

Alguns movimentos são mais facilmente escritos em função de coordenadas cilíndricas. Nestes casos as forças aplicadas podem ser escritas como zzrrRFFFuuuFF (2.20) e a equação do movimento

)(zzrrzzrraaamFFFuuuuuu (2.21) Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares rramF amF (2.2) zzamF

A Figura 2.4 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num dado instante do movimento de uma partícula P.

Figura 2.4 - Coordenadas cilíndricas.

y r uz P ur u u ur

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