Equações Diferenciais Ordinárias - apostila equações diferenciais

Equações Diferenciais Ordinárias - apostila equações diferenciais

(Parte 1 de 2)

1) Equações Diferenciais de 1a Ordem a) Definição e classificação das equações diferenciais. b) Solução geral e solução particular. c) Equação de Variáveis Separáveis. d) Equação Homogênea. e) Equações Lineares. f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante. g) Aplicações. 2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n a) Classificação. b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2a ordem com coeficientes constantes. c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular. h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea. j) Equação de Euler-Cauchy generalizada. k) Método da Redução de Ordem. l) Aplicações. 3) Sistemas de Equações Diferenciais a) Método da Eliminação. b) Método dos Operadores. c) Método Matricial (autovalores e autovetores). d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos).

4) Transformação de Laplace a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais.

b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais. 5) Seqüências e Séries de Números Reais a) Seqüências. b) Séries Numéricas. c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. e) Série de MacLaurin. Série de Taylor. 6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius).

Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William Boyce & Richard Diprima

1 Equações diferenciais de 1a ordem 1.1 Equações diferenciais

Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação diferencial.

Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas totais é denominada de equação diferencial ordinária.

Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada parcial é denominada de equação diferencial parcial.

Exemplos:

b) 0dxydyx=⋅−⋅ordinárias

∂ parciais

Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior” derivada que aparece na equação.

Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior ordem envolvida na equação.

Exemplos:

a) 0y dx xd tcos22t c) x dy x

uy yx

1.2 Resolução

Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que satisfazem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas curvas integrais.

Existem 3 tipos de soluções:

1.2.1 Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração; 1.2.2 Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes; 1.2.3 Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só existe em alguns casos.

Exemplos:

a) Dada a equação 2x dx dy =, determine a solução geral e represente geometri- camente. (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária:

iv) ()bxcosay+⋅=, onde a e b são constantes

Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação diferencial num ponto.

Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é chamada problema de valor inicial (PVI).

Exemplos: a) Seja a equação diferencial 0yy=+′′. Verifique que a função

()()xcoscxsency21⋅+⋅= é solução da equação diferencial e determine o valor das constantes (a solução particular) através do PVI ( )

b) Idem para 06y dx

1.3 Exercícios

1) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária:

222cyx=+R: 0dyydxx=⋅+⋅
b) xecy⋅=R: 0y

a) dx

21cexccy+⋅+=R: 0

dx yd2

2x1ececy−⋅+⋅=R: 02y

f) x2 dx

R: 0dyy

2) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação:

h) cy x;

cxcy ; 0yyxy2 2

4 xseny

3xseny xseny e2y ey ; 0yy

xcxcy xy xy ; 06yy4xyx

3) Em cada caso, determinar () ⋅=dxxfy e a constante de integração c, de modo que y satisfaça a condição dada:

==R: ()8x

y ; xcosxf2pi pi== R: ()2xsen

c) ()()()10y ; 2xcosxf==R:
=⋅=R: 

4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular satisfaça a condição dada:

=⋅==R: 2x3y⋅=

81y ; cxcy ; 0 dx

2a23y ; bxcosay ; 0y dx yd 2 pi xcos2y pi

5) Suponha que r1 e r2 são duas raízes reais e distintas da equação

()0crabar2=+−+. Verifique se a função

21 r2r 1xdxdy+=, onde d1 e d2 são constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial 0cyybxyax2 =+′+′′

1.4 Equações de 1a ordem e 1o grau

São equações do tipo ()yx,f dx yx,Myx,f−=, com ()0yx,N≠, podemos escrever:

1.5 Equações de Variáveis Separáveis

Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo 0NdyMdx=+, onde M e N podem ser:

1.5.1 funções de uma variávelou
1.5.2 produtos com fatores de uma só variávelou

São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar.

a) ()()0dyxy2ydx1y2=+−−b) 0xdyydx=−

Exemplos:

=⋅−⋅−⋅−d) 13x

1.6 Exercícios

a) ()0ydxdy1x=−−R: ()1xky−=

1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

=R: 1
=⋅+R: ()xsene

e) dx dyxy2y dx

=−−+++

R: c b y arctg2by axlnx a dx dyytgx

=−R: ()kycosx=⋅
()0dy1xdx4xy22=++R:
j) ()0dy2y3dxxy=⋅−−⋅R: ()122kylnx6y=−
l) ()()0dyx3dxy2=−−+R: ()()kx3y2=−+
=⋅+−⋅R: ()22x1ky+=

4xe dx

2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

==−R: 12eyx2
==+−

2x dx dy

=R: ()[]2 222x1elny+=

2x dx dy

3) Observe que a equação yx dx dy −

− = não é separável, mas se a variável y for substituída por uma nova variável v, definida por x y v=, então a equação se torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica.

1.7 Equações Homogêneas

Definição 8: Diz-se que uma função ()zy,x,f é homogênea se, substituindo-se x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade ()()zy,x,fkkzky,kx,fm ⋅=, onde m é dito grau de homogeneidade.

y sen

yxyx yxyxyx,f 2

Definição 9: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser transformadas, em 0NdyMdx=+, onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Exemplos:

Então, NdyMdx−=

Seja 0NdyMdx=+ uma equação homogênea.

NM dx

Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade m. Daí, se dividirmos M e N por xm , transformaremos

M − numa função do tipo x yF.

x yF dx

(I)

Se fizermos t x y = ou txy= e derivarmos em relação a x, teremos a equação dt xt

+=(I)

Substituindo (I) em (I), F(t)

xt=+

dt x dx tF(t) dt

=− , que é uma equação de variáveis separáveis.

Exemplos:

1.8 Exercícios

2) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

=−−R: k3xyx23
=−+R:

2xy ekx=

c) ()()0dyyxdxyx=+−−R: ky2xyx22
()()0dyxydxyx=−++R:

y arctg2yxkln 2

i) x y e dy xy x klnlnxy

j) 0xdydxyx x y sec x ytgkxln

l) ()()0dyx3xy4ydxy3xy4x2222=+++++R: ()()kyxyx

m) 0dyy x cosx x senydx

R: 

x cossecky

n) ()0ydxdy2yx=+−R: ()kxyy=−⋅

2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: a) ()()2y ; 1 x; 0dy4yxdxy2x===+−− R: 092yxyx22=+−− xyx

x x y cosxy dx dy 3

3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares, ()θcosrx⋅= e ()θsenry⋅=, transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações:

=−+R: ()2

yxkxln + =

b) xyy xln xy dx

⋅=R: ky

1.9 Equações Diferenciais Exatas

Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma 0NdyMdx=+ é diferencial exata se existe ()yx,U tal que:

(como 0dU= então ()cyx,U=)

Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. 0NdyMdx=+ é

diferencial exata se, e somente se, x y M ∂

Demonstração: ( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 0NdyMdx=+ é diferencial exata. Então, ()yx,U∃ tal que ()cyx,U= e 0NdyMdxdU=+=.

Pela definição de diferencial total,

dy y

Udx x UdU ∂

dy y

Udx x

UNdyMdx ∂ x UM ∂

∂ = e y UN ∂ xy U y y x U x

Pelo teorema de Schwartz, xy U y x

Daí, x y M ∂

(⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que x

N y M ∂

Seja 0NdyMdx=+.

U x x U y .

x UM ∂

∂ = e y UN ∂

dx x

UMdx ∂

= e dy y UNdy ∂

0dUdy y

Udx x

UNdyMdx == ∂

Logo, 0NdyMdx=+ é diferencial exata.

Exemplo: Verificar se a equação ()02xydydxyx22 =−− é diferencial exata.

Resolução: Sabemos que x y M ∂

∂ e queremos determinar a função ()yx,U tal que NdyMdxdU+=.

Seja =Mdxw a integral parcial de Mdx, isto é, a integral obtida quando se considera y constante ()()yx,M=.

Mostraremos que y wN ∂

∂ − é função apenas de y:

w y x x y wN x

= Mdx y x x

= Mdx xy x

∂= M y x

M x

Se tomarmos dy wNdy y wdx x wdU

= dy y wNdydy y wdx Mdx x

NdyMdx+=.

Logo, ()cdy

NMdxyx,U =

−+=é a solução geral da equação.

Exemplos:

1.10 Fator Integrante Quando a equação ()()0dyyx,Ndxyx,M=+ não é diferencial exata, isto é,

x N y M ∂

∂∂ , pode-se transformá-la em uma diferencial exata multiplicando-se um

()yx, λ, denominado fator integrante.

Pesquisa do Fator Integrante: Seja ()yx, λ fator integrante de 0NdyMdx=+.

x N y M ∂

x N N x y

M M y ∂

M x N x N y

Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1a ordem em λ e, portanto, sua solução não poderia ser efetuada por enquanto.

Assim, ela se simplifica supondo-se λ função apenas de x ou de y.

Suponhamos ()x λλ=. Então, 0

Daí e de (2), temos:

M x N x N N1 x

1 λ λ y M N1 x

Como λ é função apenas de x, seja y M N

λ
1dxxR

du u λ

ou

dx x y M N1

Analogamente, se ()y λλ=,

ou

dy y x N M1

Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste fator.

Exemplos:

1.1 Exercícios

3) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ()()0dy23yxdx1y2x=−+−+− R: k4y3y2x2xy2x22=+−+−

+⋅

c) 0dyy 3xydx

+R: Cy1yx32

e) 22yx ydxxdyydyxdx +

=+R: ()k4xyyx222
g) ()()()()()()0dw2twtgwsecdtwttgtsec=+−⋅+−⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅

dye3yycosteyysen2t t22t3

yx dx k) yxy xyx

−=R: kyyxx2222=++
l) ()02xdydx2yx=−−R: ()C4yxx=−⋅

o) 0dyyxyxdxyxxy 2

+⋅−
=⋅++⋅++
q) ()()()()0dy 2ysenh2xsenhdx 2ycosh2xcosh=⋅+⋅

s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcotgycotgycossec2xyedxxcossecycossece 2 y2y

1dx2x yxx

R: Kx

a) ()0xdydxxyx23=+−R:

4) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações: 3

e x

=−+R:

b) ( ) 0dyyxyeydx 2y yee

d) ()0dyxdx2xyx23=+−R: 4x

5) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

()02xydydxyx22=+−R: Cx
b) xdyydxdyy2=+R: Cyxy2=+
=−+R: ()kyyxln32=+
dy2x−+=R: 1ekeyx2x+⋅=−

f) 1ye dx

=−+R: ()()Cxxln1x9y34

6) Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações:

xyeyx, ; 0dyy xcos2eycosdxxsen2e y

7) Achar a solução particular para 0x= na equação:

8) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

4yye dx dy 2xy yxxln3x dx

7) Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a equação resultante:

axeyex2xy2xy=++R: kex

dyy 1axy1x

++R:

1.12 Equações Lineares

Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma QPy dx dy =+, onde P e

Q são funções de x ou constantes.

Observe que, neste tipo de equação,

Pdx e é fator integrante.

De fato, QPy dx

=+()0dydxQPy=+−

( ) 0dyedxQPye

Pdx− =λ e = PdxeN λ.

∂ PdxeP y

∂ PdxeP x

Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata. Vamos achar, então, sua solução:

()()Cdy dx QPye y edxQPye PdxPdxPdx

−⋅(1)
−⋅dxQedxePydxQPye

PdxPdxPdx

PdxPdxedx QPye y (3)

= − + ⋅ − ⋅ CdyeedxQeey PdxPdxPdxPdx

CdxQeey PdxPdx +

⋅ = ⋅

que é a solução geral de uma equação linear de 1a ordem e 1o grau.

Exemplos:

x=+c) 2x

xy dx

l) xey dx

1.13 Exercícios

1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ()()xsenxtgy dx xsen xsecy 2

()()()0dxycosdy1ysenx=−−+

( ) 0x xcotgxy dx e) ()()xcosxtgy dx

1 xsecy f) 2xy dx

x=−R: 2xCxy+=

2y dx

=+R:

i) xy dx

=+R: xek1xy−⋅+−=

j) ()xseny dx

=+R:

l) ( ) yyylnx

y x

6y dy dx p) ()xarctgxyx2 dx

⋅=⋅−R: ()

( )xsen xcosy1xsen dx

()()()()[]0dx1xcosxsenxydyxcosx=⋅−+⋅⋅+⋅⋅

xy dx

dx dyxlnx=+⋅⋅ R:

kxlnlny −+=

2) Achar a solução particular para 0y= e 0x= na equação:

( ) ( )xsecxtgy dx

=⋅−R: ()xsecxy⋅=

3) Achar a solução particular para by= e ax= na equação:

0ey dx

=−+⋅R: ()axeabe

1.14 Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis

cybxa cybxaF dx constantes e o determinante 0 ba

1 =, podem ser redutíveis a variáveis separá- veis. Se o determinante acima é zero, então 0baba1221=−.

c m≠ (caso fosse igual seria possí-

vel uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o processo em descrição).

Levando (2) em (1), temos:

cymbxma cybxaF dx cybxam cybxaF dx

Seja ybxat 1 +=

xatyb11−=()xat
−=

dx dtb1 dx

G(t) cmt ctFa dx dtb1 2

G(t)a

dx dtb1

+⋅=

dt dx

, que é uma equação de variáveis

separáveis.

Exemplos:

1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas

cybxa cybxaF dx constantes e o determinante 0 ba

2 1≠, podem ser reduzidas à forma das homogê- neas.

Considerando o sistema =++

, com solução genérica α=x e β=y.

Reintroduzindo x e y na equação (1) como =∴+= dydvvy dxduux βα

(geome- tricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ()βα, que é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, uma vez que o determinante considerado é diferente de zero).

cbvbaua cbvbauaF cvbua cvbuaF du dv βα βα βα βα

cbavbua cbavbuaF βα βα (vemos, em (2), que α e β são soluções do sistema)

vbua vbuaF du

2 1 que é uma equação homogênea.

1.16 Exercícios

Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ()()0dy23y2xdx13y2x=+++−+ R: ()k73y2xln3y3x9=+−−++

f) ()()0dy85yxdxx3y=−+++

1.17 Aplicações

Problemas, fenômenos, processos etc. que dependem (são funções) de uma variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja modelar.

A modelagem – representação matemática de um enunciado em palavras – de um fenômeno, processo etc. é facilitada se forem levadas em consideração as seguintes sugestões:

a – no enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a por

uma função ( f ) da variável independente ( x ) b – Represente uma “taxa de variação” pela derivada da função em relação à variável independentedfxdx() c – Represente a frase “proporcional a ...” por “=kgx()” onde gx()pode ser a própria f(x) ou o x ou uma outra função ( g ) de f e/ou de x , conforme especificado no enunciado.

d – A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, dependendo se f(x) cresce ou decresce – de acordo com o enunciado.

Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valôres da constante k e da constante arbitrária (proveniente da solução da equação diferencial) serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema

- 1.18 Exemplos

1. A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo.

Sejat - tempo ( variável independente)
f ( t )- valor do investimento no instante t (variável dependente)

df t dt

( ) - taxa de crescimento do investimento com o tempo

=kft() - representando o “proporcional ao investimento”

Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema:

df t

()()= onde k > 0 por ser a taxa de investimento crescente (pelo

k f t enunciado do problema)

2. Experiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa

proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno.

Sejat - tempo ( variável independente)

f ( t ) - quantidade (massa) de substância presente no instante t df t dt

( ) - taxa de variação da quantidade de substância

=kft() - representando o “proporcional à quntidade de substância”

Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema:

df t k f t ()()= onde k < 0 por haver decaimento (pelo enunciado do problema)

3. Qual a equação diferencial que vai permitir determinar a velocidade inicial mínima de um corpo o qual é disparado na direção radial da terra e que é suposto escapar desta. Despresar a resistência do ar e a atração gravitacional de outros corpos celestes.

Sejat - tempo ( variável independente)

v ( t ) - velocidade do corpo no instante t

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