1000 ejercicios, Exercícios de Matemática

Baixe 1000 ejercicios e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! RE TE CEGA RD RR TE y Trigonometria | A ctaptados | BU.P. rm y Selec tividad N.Antonov || M.Vygodsky | V. Nikitin É A. Sankin [IPARANÍNFOS | | N. Antonov M. Vygodsky . V. Nikitin A. Sankin 1000 PROBLEMAS DE Aritmética, Algebra , Geometría y Trigonometría Revisión de traducción por RAF AEL PORT AENCASA BAEZA Profesor de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación. Universidad Politécnica de Madrid. 1977 rJeARANINFí/J;;J MADRID www.hverdugo.cl FORMULAS DE REFERENCIA L ARITMETICA y ALGEBRA Proporciones 1. En la proporción ~ = ~ , a y d son los extremos, b y e son los medios. La propiedad principal de la proporción es: a·d= b·c 2. Intercambio de términos: a e (a) b=(j; (b) 3. Proporciones derivadas: siguientes: d e a b d¡;=a:; (e) ¡;=a:; (d) e si ~ = ~"entonces se cumplen las proporciones a a±b(a) a ± e a e(b) b±d=¡;=a:a Involución 2. (~ r= ~: . es decir ~: = ( ; f; 4. am.: an = a1n-n~ 6. (am)n = amn Evolución * 1. Ya.b.c = 'Ya.Yb. y~, es decir "Vii. 'l,·ii. yc= n., a.iJ·c ') nVa =7lVíi . v-. 'V' .!:.~. b lIb ' es de cir r'jlb- b n n - 1!'í- . m.~ ID 3. a lit = l' an• es decir l' all =a 4. (')Iañ)1J = '~ra"l' 5. yan=m~/¡;-;;¡;. es decir m~/anp= n~."an * Se supone que las raíces son aritméticas, véase pág. 99. I,'ORMULAS DE REFERENC1A Ecuaciones cuadráticas l. La ecuación de la forma X2 + px + q = O se resuelve utilizando la fórmula 2. La ecuación de la forma ax' + bx + e = O se resuelve utilizando la fórmula 3. La ecuación de la forma ax' + 2kx + c = O se resuelve utilizando la fórmula -k±l/~ a 4. Si XI Y X¡ son las raíces de la ecuación x2 + px + q = O, entonces Xl + X2 = - P y Xl X2 = q. S. X2 + px + q = (x - xI) (x = X2), donde Xl y X2 son las raíces de la ecuación X2 + px + q = O. 6. ax? +bx+c=a(x-x¡) (X-X2)' donde XI y X2 son las raíces de la ecuación ax? + bx + e = O. Progresiones (véase pág. 36) Logaritmos * 1. Simbólicamente, log, N = X equivale a é' =N, luego de aquí obtenemos la identidad a logaN =N. 111 - 1 7. loga .'jiN "-= - logaN fII, 8. Para el módulo que hace posible la conversión de un sistema de logaritmos en base b a otro de base a véase la página 1S9. Combinatoria 1. AIh=rn(m-1) (m-2) ... (rn-n+1); 2. Pm=1·2·3 ... m = m! :l. G" __ A:¡, _m(m-1)(m-2) (rn-n+1). 4. C¡:¡¡=c~-n m- Pn - 1.2.3 n ' * Los números a (base logarítmica) y Nse suponen positivos, y a no puede ser igual a la unidad. 8 www.hverdugo.cl FORMULAS DE REFERENCIA Binomio de Newton 1. (.1' + ll)m=Xm +CJé.l11l-1 + Q1la2xm-2+ ... +Cm-2am-2x2+ Cm-1am-1x+am 2. Término general del desarrollo: Tk+1 = C~ahxm-k 3. 1+CJ1I+Qn+ ... +Cm-2+Cm-l.'_1=2m 4. t-CIn+Ck-C~,+ ... ±1=0 11. GEOMETRIA y TRIGONOMETRIA La circunferencia de un círculo y la longitud de su arco n11ae =2:rrR; 1 = 180 = Ro: Ca es la medida del arco en grados y a su medida en radianes). Areas Triángulo: S = a;t (a es la base y h la altura); S=..jp (p - a) (p - b) (p - c) (p es ab sin Cel semiperímetro ya, by c los lados); S 2 En un triángulo equilátero:S = a 2 y3 (a es el lado). Paralelogramo: S = bh (b es la base y h la altura). Rombo: S = d~2 (d ¡ y d2 son las diagonales). Trapecio: S = at b h (a y b son las bases y h la altura); S = mh (m es la base media). Polígono regular: S = ~a (P es el perímetro ya la apotema). Circulo: S = 1TR 2. Rl RZa nR2a .Sector circular S =2=2 = 360 (a es la medida del arco del sector en grados; a en radianes y Ila longitud del arco). Superficies Prisma: Slat = PI (P es el perímetro de la sección recta y Ila arista lateral). Pirámide regular: Sial = ~a (P es el perímetro de la base y a la altura lateral). Tronco d~ pirámide regular:Slat=P11p2 a(P¡ y P2 son los perímetros de las bases ya la altura lateral). 9 P rte Primera ARITMETICA y ALGEBRA Capítulo 1 CALCULOS ARITMETICOS L (152f-148i) ·0,3 0,2 5 ~ '1 5 172 ti -110 3' + 3 [2 2. 0,8.0,25 9 3 1 .3. 2151]-2084:2 4. (0,012+0,0410!!).45GO_42~ 0,0001: 0;005 5 5,4 3 (85 370-83158) : 2 ~ (140 ;0-138152) : 18 {- 5. 0,04 ; 6. 0,002 (49;~-46;0)·2~ +°46 8. 0,2 ( 95 !.... - 93 ~) .2 ~ + ° 37330 ';8 4 '7. 0,2 ( 6 ; - 3 1~ ) . 5 ~ 11. (21-1,25) : 2,5 525 2---·2- 12 8::J 14. 1. 8 (3 [2+4,375) : 19"9 ( "8 4 "ü 7 ) '. ° 8 2 1 ° 22"0,134+0,05 .' t. <:115-<:1 24 . , + 9" <J 1 11 2 s : 1!. 3 3 18--1---·2- 8-·-6 14 15 7 4 5 ( 68 370- 66 1~):6 ~ + ( Z) + 332) .4 , 5 15. ~~----~~~~--~--- 0,04 13. 16; (2.1-'1,965): (1J2.0,045) 1: 0,25 0,00325:0,013 1,0·0,025 [(4ufo-38~52):'1O,9+(~ -;O)'1191}4J2 17. 0.U08 [ (2,l!+1~).4,375 _ (2,75-1 ~).21J'~ 18. 2 _~ 8~-O 4~ . 200 3 (j 20 ,;) 14 www.hverdugo.cl CALCULOS ARIT\1ETICOS [ ( 1) (3) 1]6-4."2 :0)03 _ 0 3-26.1"2 , 2_!_ 19. (3 1 .) 4 2 ( "? 3) J • 2020-2,05 ·4 ,'5 1)S~T~25 'so 20 2G' [ 3: (0,2-0,1) (34,06-33,81)·4, _¡ 2, 4• . .2,5·(0,8+1,2) + 6,84: (28,57-25,15)J ,- '3' 21 3: ~ - O) 09 : ( 0,15 :2 ~ ) 21. ° 32.6+003-(5 3-3 88)+0 67, , , ) .1 22. 1 2~ : 2,7 + 2,7 : 1,.35-1 ('0,4: 2 ~ ) , ('!¡ J 2 - 1 }O) 23. (10: 2 ; -1-7,5 : 10 ) . (¿:O - 370' 0,25 ' r' ~~~) 24. (~>~156+~ :~) + (;;~- 2:'! ) + 0,fiU5: 1,30 (4.,5.1~+3,75)·1~5 1 5 25.1.7: 5 -(O'!)+1f-12) 9 26. !:~+0,228: [( 1,5291- ~~~~~~~ ,0,305) : 0,12] 27. { 8,8077 + 4 9} ,-~ 20-[28,2; (13,333·0,3+0,0001)]·2,0011 ' 32 [( 6,2; 0,31- ~ .0,9) ·0,2+0,15 J: 0,02 28. ¿, 1 (2-1-1 IT ·0,22: 0,1) , 33 1 11+-,- 29 f' 1 O 8 1,5 _1_i._1_ 2 0,25. i : 3 -- , : 3 50 4 46 2.0,4'-1- 6-1+2,2,10 1:2 ( T' 2 1 -c: 1 1 ), 7l 0,'3- ,/;). '8 '12 30. -(17 '»), :(6,79:0,71-0,3) 80-0,Ov25 .400 . 4,5: [47,375- (26 i-1S.O, 75) .2,4: 0,88] 31. 2 5 17,81: 1,37- 233' :16' 15 PROBLEMAS 32. Hallar el número cuyo 3,6 por ciento vale :~-L!,,2: 0,'1 (1: 0,3-2+ ) .0,3'125 33. Calcular (!.G 2 12 L_¿123'2GO~_'--8!)0' 1?21i) O,8.7,2·~,5·1,3-1 :¡¡;: ,1"5 . 1!'" ..~ 31 . . c. 2 '7. 1 (1')_Q •..1 1 IJ ,,) .,/1 ,0:1.. .. ;~". Calcular [10:. (0,0+(1,1125-0,005) : o,I11J (ll (:JI o: . U·r) --11(7)o . 5 4 ' ) so : ,.) 1 RO x 309+39 X ( 4: 6,2? - ; -+ ~ .1,96) 35. Calcular - [ ( 2 . 8 5) ( 3 2 1) 7 141 73-G'15'14 : 84'7-16 +18:27. X(~_° 7r::.) 20,4.4,8.6,5X O ,;). 22,1.1,2 36. Calcular 2,045·0,033+10,51S3H5-0,464774: 0,05(i2 0,003092: 0,0001- 5,188 37. Calcular (7 _!_ _ 2 14) . (2 2 .L 1 i) _(~__!_) • (~_ 5 )9 15' 3 I 5 4 20 7 14 38. Calcular (41~~llO~) {[4-3 ~ (2~-1;)] :0,16} 39. Calcular 4510_44~ 63 84 .31 '1 1 3 . (23-19) :4--¡- 40. Calcular 0,8:(;.1.25) (1,08-225):~ 4 ----1,----+ 5 '1 2 + (1,2.0,5):"5 064-- (0--3 -) ·2- J 25 9 4 17 4.1. Calcular [41 ~; -'- ( 18 ~ - 5 !)(10 ~ -74 )J : 22178 16 www.hverdugo.cl TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS 1 1 159. + + --,----c-;----:-o-a(a-b)(a-c) b(b-a)(b-c) c(c-a)(c-b) 60. 11+(a+x)-1¡.[1_1-(2a2+x2) ] -(a+x)- ax Evaluar el resultado parat x = a 1 1 . 61. [2+ba- 1 -6b(4b2-aZt1J: (2anb+3an+1_ 6an+2 )-\ a+2b 2a-b * [ 1-'- ( ~ ) - 2 ] a2 62 . (Va- Vb)2+2 Vab 63. _')- V'°(a2 - 2ab + b2) (a2 - b2) (a + b). ° a3_b3 a-h V(a+b)2 64. ~/8x (7 +4 Vs) t/2 -v ox-,-4 V2x 65• .!:_Y((/_:-1)(a2-'1)(1";-2a..La2).( a2+3a+2 )-1 2 Ya-l 66. -. / (1+a)~r1+a VOl 0-- V 3a 9+18a-1+9a-z 67. al;;y"aJ-nb n_a nb1 ny(a-bt1 68. (~_L ~_ 12 _) (V6 1-11) V6+1 I Y6-2 3- Y6 . (19. ( 1 + 1 ): (1+-./a+ b b )Vii- -Va-b Y/L+Va+b V a- f I 1 . -V {-a-2b-1 70. ( b- ya T h+Va ). a-2- a-1/¡-2 19 * Antes de resolver los problemas siguientes, leer las notas de las págs. Evaluar la expresión Va+bX +Va=bx V a+b.1:- Va-bx PROBLEMAS 2(11/1 para x = /-1--0 , I m ¡< 1.J( +111-) Simplificar las expresiones siguientes: 1 1 .) . :; (ti! -;- x)- -~ r 111 - x)- I 1 7-i ? (111 +.1')-- (m- x)- . 2mn O O 1 Si X = n2 -+r 1 y m >, < n < . 1 1 1 1 [ J1-XZ)- 2+1'l- 2 -1_ [ (1-x2)- 2_1 J- 2' 75. 2 J' 2 7/j. 77: 1 (2 VX4- a2x2_ 2a Z ) . ~(x_Z_a_-Z4..::...+...!........::i_aZ...::x_-Z-!-)_-_2 V'l- a2x-Z - .!. 2ax (xZ_ a2) 2 1 si x= 2k2 (1 +kt1 y k> 1. 3 76. (21 --411 _~) [(a-1) 3/(a+1)-S_ (a+1)Z ] a-.a y . V(a2-1)(~-1) a ( Vii +Vii ) - i + b ( Vii +VI) )-1 2b Va 2a Vb 78. -(----a----+!:........V=abC--)--l-(-b+----V:._,.,a~b----)-1 - 2ab + 2ab 79. (Vii-\- Vx _ Va+x ) -2 _ ( Vli- V;:; _ V~ )-2' Va+x Va+Vx Va+x Vii-Vx . 1+ x 80. ; (Vx2+a+ V X2 )+a 2 • Vx2+a :., x2+a x-j- Vx2+a 1+ x 81. 2x+ -V-x2-1 (1+-::-)- Vx2-1 x--1 x+Vx2-1 20 www.hverdugo.cl TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS 82. Calcular [ 3 1 2J3 a -"2b (ab-2) -"2 (a-1)- '3 , V2 1 .para a=-2-' b= V2' 83. Evaluar la expresión (a+ 1t1+(b +1t1 para a = (2 + J/"3t1 y - b = (2 - V3tl , Simplificar las expresiones siguientes: 84. x +vXZ=¡;; x - vXZ=¡;; x-Vx2-4x x+ Vx2-.4x n+2+ VñC4 + n+2-V~ n+2-Vn2-4 n+2+ Vn2-4 85. -.r=«: .(Vx-Vx-a2 V;; + Vx-a2) 86. V x=-;¡2' Vx+Vx-a2-Vx'-Vx-a2 1 1 ? 3 3 -- 1 87. x~t1 : xl.: -1; 88. (2Z+27y5): f.( ~) 2 +3y5"] x+x2+1 89. Comprobar la identidad 1 2_ a-a-2 + l-a-2 +2.=0 a 1 1 1 1 3 aZ_a-Z a"2+a-Z aZ 90. Calcular 3 3 2 a2 -+ b2 • a - "3 Va=b ~ . aV a- bVb (a2_ab)3 3 a=1,2 y b=S'para Simplificar las expresiones siguientes: 1 1 1 i i i i.1 i i 91. [(a2 + b2) (a2 + 5bZ) - (a2 +2b2) (aZ- 2b2)] : (2a + 3a2bZ) 21 PROBLEMAS / 124. 3,- 3r:::?: a -1- x y ax2 -" a2x 3 3 + 3 a > 3í)faZ-V x2 )fa2-2 y' aX+"JI x2 V V·-a- x V - - X ·128. - ~ ( 3a2 a+b ab) -a 3 3b-6a+2ab--b2: 3a-ab - a+b [ 10x2+3ax +- bx-xZ-ax+ab : (b - X) - 2J X 4xZ-aZ 2x+a i 1 2 X [(a+2X)-2~ix-a)2l (4xZ_aZ) 2+1 129. [ x+4 x+2 ] V-2x2_2x-4 + 2 (xz+3x+2) 2 x- i 1 (V- V- x +6 ) 2" 2- 2+ x- Yx+ y2 : (x -2 )2 130. 24 www.hverdugo.cl TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS a2.ya¡¡=¡ V~ - 2 Ya3b Viib5 (a2.- ab- 2b2) Va5b a-3 [a+2b (1) (2. 4 3 -lJ- a+2b a2+ab-3a-3b - a- a - a+ ) 3 132. V~~~~b~:l:y; .(4J/ : +4J;/-~ ) + 131. 133. a2+21ab ) 2a2- 6ab- 8bZ 3 4 (2ab)4(a+2b)-1 . V2bY2ab+V2ii3b t34. ..../ ya- V 2b y2ab _ 6 ( a _ 2b _ 8b2 ) 6a-48b 3a-6b a2-10ab+16b2 25 Capítulo 3 ECUACIONES ALGEBRAICAS Resolver las ecuaciones siguientes: 135. 6b~7a _ :2:abYZz=1-__::}L_. 136. ax-b + bx+a = aZ+bZ bZ-ab I a+b a-b a2-b2 137. x-a-b x-b-c x-c-a _ Rc + a 1- b -< c+3z c-2z 2c+z 4c2 +Bcd 9d2 - 6cd = 4c2 - 9d2 x-1 2nz(1-x) 2x-1 1-x-+ =----n-1 n4-1 1-n4 1+n 3ab+1 3ab (2a+1) x 0.2 a x= 0.+1 + a(a+1)2 -1- (0.+1)3 138. 139. 140. 1t.l 3abc -1- a2b2 I (2a+b)b2x 3 I bx i • a+b (a+b)3' a(a+b)2 = cX'a 142 ,1:+m ax am b2x . a+b - (a+b)2 = a2_b2 - a3-ab2+a2b-b3 143. !':+_:__+m(z-m) _ z(z+m) = mz -2 z m z (z+m) In (z-m) m2-z2 a2 + ,1: a2-x 4abx+2a2-2b2144. -- - --- - ----,'¡,--;;---b2-x b2+x - b4-x2 a-x 30. ax-x2-a2 = x(a4+a2x2+x4) 145. 146. 148. a (Vx-a)-b (Vx-b)+a+b= Vx 1 1 1 2x X bZ 149. -a+ a+x + a+2x =0; 150. x+b - b-x = 4 (xZ-bZ) 2a b2_a2 x2 a-b x 151. 1---= 2-1 Z 2 ; 152. b 2b2= 2 2b 2 +-bx - a a - x - ax a - ac - e _ e 153. _',(;_+____3_::_= 50.2 ,154. :2+~ _1_=_:_ x+a x-a 4(:1:2-a2) I n x-- n 2-nx n 155 a-x2 1 0.-1 156.1'-~= a2-b2 • (a-x)2 --¡¡= a3-ax (2a-:r); x-a a2+x2-2a:¡; 26 www.hverdugo.cl ECUACIONES ALGEBRAICAS 180a., ¿En qué intervalo tiene que variar el número m para que las dos raíces de la ecuación X2 - 2mx+ m2 - 1 = O estén comprendidas entre - 2 y 4? Resolver las ecuaciones siguientes: 181. Vy+2-Vy-6=2;' 182. V22-x-V10-x=2 183. V3x+ 1- V x-1 =2; 184. V x+3+ V3x-2= 7 185. Vx+1+V2x+3=1; 186~V3x-2=2VX+2-2 187. V2x+1+V~=2Vx; 188. V1+xVx2+24=x+1 3+x ,/1 1 ...í4 2 189. --ax:-= V '9+-:; V 9+-;;2 29 190. .../x-5' ,íx-4 7 ,íx+2V x+2 + V x+3 = -x+2 V x+ ' V:;LR +Vx+3= 7 Vx-3 Vx-3 191. 192. V4 1 3 x+ x2+x x- Vx2+x x 2 1 1193. 2+ V4-x2 2- V4-x2 x 194. Y2 V7+ 11x-V2V7- Vx=V28 195. V x+Vx-Vx-Vx= ~-v xV' x+ x 196 V2'7Tx+ V21=X _ 27. 197 _ V-z--V-z--z. v V -, . x-a- a -x x +a, 27+x- 27-x x 198. V1+a-2x~-xa-t =_!_; 199. V~-ax =_1 Vi + a-2x2+xa-t 4 V1+a2x2+ax c2 200. x+e+ V~ = 9 (x+e) x+e- V x2-e2 8e 201. VX+3-4Vx-1+ Vx+8-6Vx-1= 1 202. 2 Va+x+ Va=x= Va-x+ Vx (a+x) 203. Ya2-x+Vb2-x=a+b ' 204: Va-x+ Vb+x= Va+ b PROBLEMAS 205. V x+a= a.:._VX;1 206. Vil+X + Va+x = Vx a x 1 1 207. líx + t/x = 12; 208. (x-1)2 + 6 (X-1)4 = 16 209. Y2+ V10+2x= -YV15-2x-9 210. Yx+Y2x-3=y! 12(.x-1) 211. ra=x+yb-x=VJ'a+b-2x 212. yx+2yx2=3; 213. 2YZZ-3yz=20 214. Va+x-Ya+x=O; 215.,/2x+2--,--,/x+2 =2. . JI x+2 V 2x+2 12 216. x2+11+Vx2+11=42' 217. ~V;;-l V;;2-1 =4, VX2-1 Vx+1 218 x-4 _ -s' 219 ~a-x) Va="X+(x-b) Vx-=b. V- - X , • - a- b.1;+2 Va-x+ VX-b - 220. 2-x_ =' /2-x; 221. x-1 =4- 1-Vx 2-Vx V 2 1+Vx 2 222..YX2- 3x+ 5 +X2= 3x + 7 223. V3x2+5x-8- V3x2+5x+1 = 1 224. V y2+4y+ 8+ Vy2+4y+4 =V2 (y2+4y+ 6) Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes: J x2-xy +v'> 7 233. l x-y= 1 30 { X-1-XY+Y= 11 226. x2y+xy2= 30 { X2-y=23 228. ? 50x~y= { 3X2- 2xy+5y2-35 =0 230. 5x2-10y2-5=O { X2+xy+ y2= 13 232. x+y=4 { X y 25 234. 7+x=12 . x2_y2 =7 www.hverdugo.cl ECUACIONES ALGEBRAICAS (:r·(~r=c 235. { .(~r·(~r =d Dar sólo las soluciones positivas, suponiendo que a> 0, b > O, e> Ú, d > Oy m =1= n. { X2_ xy + y2= 7 {X3 + y3= 7 236. 3 237. 2x +y3=35 xy(x+y)=- Dar sólo las soluciones reales. ( +) 30 { X +1I x - y _ 5 1 { XY x y = 239. x-y + x+y - "5238. 3 3x +y =35 xy=6 + + 1 { x+2y+3z+4u=30 { X y z= 2x-3y+ 5z-2u= 3 240. ax +by + cz = d 241. 3 + 4 2 '1x y- z-u= a2x +b2y + c2z = d2 4x _ y + 6z _ 3u = 8 { x+y+z=4 {V4X+Y-3Z+7=2 242. x +2y+3z= 5 243. ;/2y+ 5x +z+ 25.5=3 . X2+ y2+ Z2 = 14 V y + z _ V 6x = O { x+y+z=13 { X2+y2=Z2 244. X2+ y2+ Z2= 61 245. xy+yz+ zx = 47 xy+xz= 2yz (z-x~ (z- y) = 2 í 12' + 5 = 5Vx-1 -./ +1.~ V y 4 I 8 + 10 = 6. l Vx-1 Vy+ ¡ 31 { a3 +a2x + ay + z = O 246. b3+b2x+by+z=0 247. c3 +c2x+cy +z=O 248. { X+y-2V xy =4 x+y=10 { -. / 3x _ 2 +../ x+ y = O V z + y V 3x xy-54=x+y { 1y;~X2 + y2 -- ~ y 17 = O Vx+y+ V~-.Y= 6 249. 250. PROBLEMAS x+5 x+17 272. 0,5x2• 22x+2 = 64-1; 273. 32x-7' = 0,25.128 x-3 1 2 ·274. (~ r (287f-1 = ~~~~;275. [2 (2 Yx+3)2 vx] Vx-1 = 4 1 2-1 - 2 276. 2 (2VX+3) x _ vxj:Y 42 =° 277. x2-ya3 2x-ya.y a-1 = 1; 278. 31ogxa2x + ; log_x_x = 2 Va 279. log4(x+12).logx 2=1; 280.logx(5x2).log:x=1 281. 1+a+a2+a3+ ... +ax-1+ax=(1 +a) (1.+a2) (1+a4)(1+a8) 282.52.54.56 ••••• 52X=0.04-28; 283.4x-2-17·2x-4+1=O 284. 2·42X -17 ·4X +8= O; 285. 3y81-10y9 +3 =0 log x+7 286. X-/1- = 1010gx+1 287. log(4-1.2 VX-l)-l = log (V 2 Vx-2 + 2)-2log 2 288. 2 (log 2 -1) + log (5Yx + 1) = log (51- Yx +5) 289. 51ogx_31ogx-i =3'Ogx+i_Slogx-i 290. x210g3X-l,510gX=V10; :291.1og(6472X2-itOX)o;=ü 292. logz.(9- 2X) = 3 - x 293. log 2 + log (4X-2+ 9) = 1 + log (2X-2 + 1) 294. 2 log 2 + (1 + 2~ ) log 3 -log (73 --1- 27) =O 295. log (3 VI.x+l .24~ ¡/ 4X+1) - 2= {log16- Vx+ 0.251og4 2 log2+1og(x-3) 1 296. log(7.x+1)+log(x-6)+log3 2 297. log5120+(x-3)-2Iog5(1-5X-3)= -logs(O,2-5\"-4) Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes: { 82x+1 = 32 . 24y-1 298. 5 .5x-y = V252Y+1 { log, x + log, y = 2 300. 1 1 4. Ogb X - Ogb Y = { lOg3 X + log, y =- O 299. 1"" (3)X,Y=',)· { log (X2 --1- y2) -1 = log 13 301. log(x --1- y) -log(x-y) = 3log 2 34 www.hverdugo.cl ECUACIONES LOGARITMICAS y EXPONENCIALES 307. { logxy (x - y) = 1 {IOga ( 1 + ..:..)= 2 -loga y302. 303. y logxy (x + y) = O 10gb X + Iog, y = 4 { log, .1: + log¿ y + log, 4 = 2 + log¿ 9304. x+y-5a=0 { . xy=a2 {3x.21J=576305. 306 log" x + log" y = 2,5log2 (a2) • log]/2 (y -x) = 4 { log x + log Y = log a . t;x + loga2y= ~ 2(logx-logy)=logb 308. 1 +1' 3, .. ogb2X ogby ='2 { IOgax+IOga2Y= ~ 310. {logvU+lOguV=2 logb2x-logb2 y = 1 u2+ v = 12 { X2 + xy + y2 = a2 logra Va + logjlb Vb = V3 309. 311. { log~X -logz y = O { log2X + log4_y + log4 Z = 2 312. X2_ 5y2+ 4 = O 313. log, Y+).Og9 z +logg x = 2 log4Z + logl6 X + IOgl6y = 2 314. { x-Yx+y=2YS (x+y) 21l-X =3 315. {1~2XV ;Y2Y=?128 log (x + y) = log 40 -log (x - y) { {/4X=32?81l {9-1ygx-27?27U=0316. y/7)X _ 317. ;;, 3x=3 {j/91-U log(x-1)-log(1-y)=O { ; log x + ; log y -log (4 - V:X) = o . 318 log; ay = p. 319. (25 Yx) y¡; -125.5 Yíí =0 Logy bx = q 35 Capítulo 5 PROGRESIONES an =a1 +d(n-1) S _ (a1+an) nn - 2 S _ [2a1+d(n-1)1n11 - 2 (1) (2) (3) Notación y fórmulas l' al = primer término de una progresión aritmética; Iln = n-ésimo término de una progresión aritmética; d = razón de una progresión aritmética; uI = primer término de una progresión geométrica; un ='n-ésimo término de una progresión geométrica; q = razón de una progresión geométrica; Sn = suma de los n primeros términos de una progresión; S = suma de una progresión geométrica decreciente indefinida- mente. - Fórmulas para progresiones aritméticas Fórmulas para progresiones geométricas Un= u1qn-1 'S Ut-unqo n= 1-q 'S [tt (1-qn) o n= 1-q ts «: 1) ts=: 1) (4) (5) (6) (7) PROGRESION ARITMETICA 320. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética 5; 9; 13; 17; ... para que la suma valga lO.877?· 36 www.hverdugo.cl PROGRESIONES después de demostrar que los sumandos entre corchetes son los térmi- nos de una progresión geométrica decreciente. 343. Hallar la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente indefinidamente en la que todos los términos son positivos, el primero vale 4 y la diferencia entre el tercero y el quinto vale l3._ . 81 344. Determinar la suma de una progresión geométrica decreciente indefinidamente si se sabe que la suma de los términos primero y cuarto vale 54 y la suma del segundo y el tercero vale 36. 345. En una progresión geométrica decreciente indefinidamente la suma de todos los términos que ocupan lugares impares es igual a 36 y la de los términos que ocupan lugares pares es igual a 12. Hallar la progresión. 346. La suma de los términos de una progresión geométrica decre- ciente indefinidamente vale 56 y la suma de los' cuadrados de sus términos vale 448. Hallar el primer término y la razón. 347. La suma de los términos de una progresión geométrica decre- ciente indefinidamente es igual a 3 y la suma de los cubos de todos sus ,. . I 108 E ibi l . ,términos es igua a --. sen ir a progresíon. 13 348. Determinar una progresión geométrica decreciente indefinida- mente cuyo segundo término sea 6 y la suma de los términos sea igual a 1 de la suma de los cuadrados de los términos. 8 PROGRESIONES ARITMETICAS y GEOMETRICAS 349. El segundo término de una progresión aritmética es 14 ,y el tercero es 16. Se pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones. 350. Los términos primero y tercero de una progresión aritmética y otra geométrica son, respectivamente, iguales, siendo los primeros tér- minos de ambas iguales a 3. Escribirlas sabiendo que el segundo término de la progresión aritmética sobrepasa en 6 al segundo término de la progresión geométrica. 351. En una progresión geométrica se puede considerar que los términos primero, tercero y quinto equivalen a los términos primero, cuarto y decimosexto de una progresión aritmética. Determinar el 39 PROBLEMAS cuarto término de esta progresión aritmética sabiendo que su pnmer término es 5. 352. Tres números, cuya suma es igual a 93, constituyen una progre- sión geométrica. También se pueden considerar como el primero, el segundo y el séptimo términos de una progresión aritmética. Hallar estos tres números. 353. En una progresión aritmética el primer término es 1 y la suma de los siete primeros es igual a 2.555. Hallar el término central de una progresión geométrica que consta de siete términos si el primero y el último coinciden con los términos respectivos de la progresión aritméti- ca indicada. 354. La suma ele los tres números que forman una progresión aritmé- tica es igual a 15. Si 1, 4 y 19 se suman, respectivamente a ellos, se obtendrán tres números que forman una progresión geométrica. Hallar estos tres números. 355. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es igual a 26 y que si se suman respectivamente a ellos los números 1, 6 y 3 se obtienen tres números que están en progresión aritmética. 356. Tres números forman una progresión geométrica. Si se dismi- nuye el tercero en 64, entonces los tres números que quedan están en progresión aritmética. Si a continuación se disminuye en 8 el segundo término de esta progresión aritmética se vuelve a obtener una progre- sión geométrica. Determinar los tres números iniciales. 357. ¿Existen tres números q.ue forman al mismo tiempo una pro- gresión geométrica y una aritmética? 40 www.hverdugo.cl Capítulo,6 COMBINATORlA y TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON 358. El número de permutaciones de n letras es al número de permutaciones de n + 2 letras como 0,1 es a 3. Hallar n. 359. El número de combinaciones de n elementos tomados de tres en tres es cinco veces menor que el número de combinaciones de n + 2 elementos tomados de cuatro en cuatro. Hallar n. 1 360. Hallar el término central del desarrollo del binomio ( : -X2) 16 • 361. Determinar el lugar que ocupa el término en a 7 del desarrollo ( 3 3/'- 2 r: )12del binomio "4-'; a2 +31- a 362. Hallar el lugar que ocupa el término del desarrollo del binomio (V -Vi) +V ,;.0. )21, que contiene a y b elevados a la misma potencia. 41 363. Simplificar la expresión ( ~ a+~1 - a- ~)10y determinar el a3_a3+1 a_a2 término del desarrollo que no contiene a. 364. El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determi- nar estos exponentes sabiendo que la suma de los coeficientes de ambos binomios es 144. 365. Hallar el término decimotercero del desarrollo de (9x- ;3Jm, sabiendo que el coeficiente del tercer término del desarrollo es 105. 366. En el desarrollo de (x2 + ; r los coeficientes de los términos cuarto y decimotercero son iguales. Hallar el término que no contiene x . 367. Hallar el término central del desarrollo de (a -;Ya- 'V-~;r: sabiendo que el coeficiente del quinto término es al coeficiente del tercero como 14 es a 3. PROBLEMAS 388. Determinar para que valor de x, el cuarto término del desarrollo del binomio 1 - . [ . _ -210g (6- V8x) 6/ 510g(X-1l]7n (y5) +); 25)og 5 es igual a 16,8, sabiendo que los 194 del coeficiente del tercer término y los coeficientes de los términos cuarto y quinto del desarrollo forman una progresión geométrica. . 389. Determinar para que X, la diferencia entre nueve Veces el tercer término y el quinto término del desarrollo del binomio ( l/2x-1 3 - 1)111V2 +V4.2 es igual a 240, sabiendo que la diferencia entre el logaritmo del triple del coeficiente del cuarto término y el logaritmo del coeficiente del segundo término del desarrollo es igual a 1. 44 www.hverdugo.cl Capítulo 7 PROBLEMAS ALGEBRAICOS Y ARITMETICOS* 390. Hallar el peso de una mumcion de artillería, sabiendo que la carga pesa 0,8 kg, el proyectil pesa2_del peso total de la munición y la . ldl ldl .. ?vaina pesa - e tota e a mUl11ClOn. 4 391. En una cierta fábrica las mujeres representan el 35 por 100 del total de trabajadores, siendo el resto hombres. El número de hombres excede en 252 al de mujeres. Determinar el total de trabajadores. 392. Un conjunto de mercancías fue vendido en 1.386 rublos con un beneficio del 10 por 100. Determinar el precio de coste de las mercan- cías. 393. Una fábrica vendió mercancías en 3.348 rublos con una pérdida del4 por 100. ¿Cuál era el precio de coste de las mercancías? 394. Si se obtienen 34,2 kg de cobre de 225 kg de mineral, ¿cuál es el tanto por ciento de cobre que contiene el mineral? 395. Antes de una reducción de precio, un paquete de cigarrillos costaba 29 kopeks. Después de la reducción, cuesta 26 kopeks. ¿Cuál ha sido la reducción en tanto por ciento? 396. Un kilo de un artículo costaba 6 rublos y 40 kopeks* *. Ahora se ha reducido a 5 rublos y 70 kop. ¿Cuál ha sido la reducción en tanto por ciento? 397. Las pasas obtenidas al secar una cierta cantidad de uvas pesan el 32 por 100 del peso total de las uvas. ¿Qué cantidad de uvas tenemos que tomar para obtener 2 kg de pasas? 398. Un grupo de turistas tiene que hacer una colecta para pagar una excursión. Si cada uno paga 75 kopeks habrá un déficit de 4,4 rublos; si cada uno paga 80 kopeks habrá un exceso de 4,4 rublos. ¿Cuántas personas toman parte en la excursión? '" No dividirnos los problemas en algebraicos y aritméticos, ya que los problemas que se pueden resolver por aritmética siempre se pueden resolver por álgebra y viceversa; los pro- blemas que se resuelven con ayuda de ecuaciones pueden tener, con frecuencia, una solución aritmética más sencilla. En "Respuestas y Soluciones" damos unas veces la solución aritmética y otras, la solución algebraica, pero esto no quiere decir en modo alguno que ése deba ser el método de solución que tiene que seguir forzosamente el estudiante. ** (N del T.) Un rublo tiene 100 Kopecks. 45 / PROBLEMAS 399. Un cierto número de personas tiene que pagar a partes iguales un total de 72 rublos. Si hubiera tres personas menos, entonces cada una tendría que contribuir con 4 rublos más. ¿Cuántas personas son? 400. Sesenta ejemplares del primer volumen de un libro y 75 ejem- plares del segundo volumen cuestan un total de 405 rublos. Sin embar- go, un descuento del 15 por 100 en el primer volumen y del 10 por 100 en el segundo reduciría el precio total a 355 rublos y 50 kopeks. Deter- minar el precio de cada volumen. 401. Una tienda de antigüedades compró dos artículos en 225 rublos y después los vendió y obtuvo un beneficio del 40 por 100. ¿Cuánto pagó por cada artículo si el primero dejó un beneficio del 25 por 100 y el segundo un beneficio del 50 por lOO? 402. El agua de mar contiene el 5 por 100 (en peso) de sal. ¿Cuántos kilos de agua dulce se han de añadir a 40 kg de agua de mar para que sólo tenga un 2 por 100 de sal? 403. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 3 v' 5 metros. Determinar los catetos sabiendo que cuando se aumente uno en un 133 + por 100 y el otro en un 16 ~ por 100 la suma de sus longitudes vale 14 metros. 404. Dos sacos con tienen 140 kg de harina. Si sacamos el 12,5 por 100 de la harina del primer saco y la echamos en el segundo ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuántos kilos de harina tiene cada saco? 405. Dos fábricas, A y B, se comprometen a servir un pedido en 12 días. Después de dos días, la fábrica A cierra para efectuar unas reparaciones, mientras que la fábrica B sigue funcionando normalmente. Sabiendo que B tiene un rendimiento del 66 ~ por 100 del de A, determinar en cuántos días se servirá el pedido. 406. En una prueba matemática, el 12 por 100 de los estudiantes de una clase no resolvió un problema, el32 por 100 lo resolvió con algunos errores y los 14 estudiantes restantes obtuvieron la solución correcta. ¿Cuántos estudiantes había en la clase? 407. Se corta un trozo de un raíl que constituye el 72 por 100 de la longitud total del rail. El trozo que queda pesa 45,2 kg. Determinar el peso del trozo cortado. 408. Un lingote de aleación de plata-cobre pesa 2 kg. El peso de la 2plata representa el 1117 por 100 del peso del cobre. ¿Cuánta plata hay en el lingote? 4~ www.hverdugo.cl PROBLEMAS ALGEBRAICOS Y ARITMETICOS 428. La distancia entre A y B por ferrocarril es 66 km y por agua 80,5 km. Un tren sale de A cuatro horas después de la salida de un barco y llega a B 15 minutos antes que el barco. Determinar las velocidades medias del tren y del barco sabiendo que el primero va a 30 km/h más deprisa que el segundo. 429. Una sastrería tiene un encargo de 810 trajes y otra de 900 trajes en el mismo período de tiempo. La primera ha completado el pedido 3 días antes del plazo previsto y la segunda 6 días antes. ¿Cuántos trajes produce al día cada sastrería, sabiendo que la segunda hace por día 4 trajes más que la primera? 430. Dos barcos se encuentran, uno va hacia el Sur y el otro hacia el Oeste. Dos horas después del encuentro están separados 60 km. Hallar la velocidad de cada barco, sabiendo que la de uno de ellos es 6 km/h mayor que la del otro. 431. Un perro situado en el punto A sale en persecución de un zorro que está a una distancia de 30 metros. Cada tranco del perro es de 2 m, mientras que el del zorro es de 1 m. Si el perro da dos trancos en lo que el zorro da tres, ¿a qué distancia de A capturará el perro al zorro? 432. Suponiendo que las manecillas de un reloj se mueven sin saltos, ¿cuánto tardará la aguja de minutos en alcanzar a la horaria si el punto de partida fue las 4 en punto? 4,33. Un tren sale de la estación A en dirección a e vía B. La velocidad del tren entre A y B fue la requerida, pero bajó en un 25 por 100 entre B y C. En el viaje de regreso, la velocidad fue la correcta entre e y B, pero entre B y A bajó en un 25 por lOO. ¿Cuánto tardará el tren en recorrer la distancia de A a e, sabiendo que se perdió el mismo tiempo en el tramo A-B que en el tramo B-e y que en el tramo A-e el tren perdió 152 de hora menos que en el viaje de regreso (de e a A)? 434. Un ciclista tiene que hacer un viaje de 30 km. Sale 3 minutos tarde, pero viaja a 1 km/h más deprisa y llega a tiempo. Determinar la velocidad del ciclista. 435. Un tren rápido obligado a detenerse 16 minutos en un disco rojo y para recuperar este tiempo, viajó en un tramo de 80 km a 10 km/h más rápido que 10 normal. ¿Cuál es la velocidad normal del tren? 436. Un tren tiene que recorrer 840 km en un tiempo determinado. En el punto medio tuvo que detenerse durante media hora' yen el resto del recorrido aumentó su velocidad en 2 km/h. ¿Cuánto tiempo empleó el tren en el viaje? 437. Dos trenes salen uno hacia el otro de dos puntos separados 650 km. Si salen al mismo tiempo, se encontrarán al cabo de 1'0 horas, 49 PROBLEMAS pero si uno de ellos sale 4 horas y 20 minutos antes que el otro, se encontrarán 8 horas después de la salida del segundo. Determinar la velocidad media de cada tren. 438. Dos trenes salen al mismo tiempo de las estaciones A y B separadas 600 km y viajan uno al encuentro del otro. El primer tren llega a B tres horas antes de que el segundo llegue a A. El primer tren recorre 250 km en el mismo tiempo en que el segundo recorre 200 km. Hallar la velocidad de cada tren. 439. Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en una hora y se da cuenta que a esa velocidad llegará una hora tarde. Entonces recorre el resto de la distancia a la velocidad de 5 km/h y llega 30 minutos antes de que salga el tren. Determinar la distancia que tenía que recorrer. 440 .. La distancia entre A y B por autopista es 19 km. Un ciclista sale de A en dirección a B a velocidad constante. Un coche sale de A 15 minutos después en la misma dirección. Al cabo de 10 minutos alcanza al ciclista y continúa hasta B, donde da la vuelta y al cabo de 50 minutos después de haber abandonado A encuentra por segunda vez al ciclista. Determinar las velocidades del ciclista y del coche. 441. Un tren correo sale de la estación A a las cinco de la madrugada en dirección de la estación B a 1.080 km de distancia. A las 8 de la mañana sale de B un tren rápido en dirección a A 'y viaja 15 km/h más deprisa que el tren correo. ¿Cuándo se encontrarán, sabiendo que el punto de encuentro es el puma medio entre A y B? 442. A dista 78 km de B. Un ciclista sale de A en dirección de B. Una hora después, otro ciclista sale de B en dirección de A y va 4 km/h más rápido que el primero: Se encuentran a 36 km de Z. ¿Cuánto hace que ha salido cada uno y cuáles son sus velocidades? 443. Dos caminantes parten, uno en dirección del otro, al mismo tiempo y se encuentran al cabo de 3 horas y 20 minutos. ¿Cuánto tardaría cada uno de ellos en recorrer la distancia completa, sabiendo que el primero llega al punto de partida del segundo 5 horas después que el segundo llega al punto de partida del primero? 444. Dos andarines salen uno al encuentro del otro, el primero de A y el 'segundo de B. El primero sale de A seis horas después que el segundo sale de B y cuando se encuentren resulta que ha recorrido 12 km menos queel segundo. Después de encontrarse continúan andando a la misma velocidad que antes y el primero de ellos llega a B ocho horas más tarde, mientras que el segundo tarda en llegar a A nueve horas. Determinar la distancia entre A y B y la velocidad de ambos. 445. Un dirigible y un avión vuelan uno al encuentro del otro, habiendo abandonado 'sus bases al mismo tiempo. Cuando se encuen- 50 www.hverdugo.cl PROBLEMAS ALGEBRAICOS Y ARITMETICOS tran, el dirigible ha recorrido 100 km menos que el avión y llega al punto de partida del avión tres horas más tarde del encuentro. El avión llega al aeropuerto del dirigible 1 hora y 20 minutos después del encuentro. Hallar las velocidades del avión y del dirigible y la distancia entre los aeropuertos. 446. Dos caminantes salen de A y B, respectivamente, al mismo tiempo, uno al encuentro del otro. Cuando se encuentran, el primero ha recorrido a km más que el segundo. Si continúan sus caminos a la misma velocidad que antes, el primero llegará a B m horas después del encuentro yl el segundo llegará a A n horas después del encuen- tro. Hallar la velocidad de cada uno de ellos. 447. Dos cuerpos se mueven a lo largo de una circunferencia. El primero recorre la circunferencia completa 5 segundos más deprisa que el segundo. Si giran en el mismo sentido coincidirán cada 100 segundos. ¿Qué porción de circunferencia (en grados) recorre cada cuerpo en un segundo? 448. Dos cuerpos que recorren una circunferencia en el mismo sentido coinciden cada 56 minutos. Si se mueven con la misma veloci- dad pero en sentidos opuestos coincidirán cada 8 minutos. Además, cuando se mueven en sentidos opuestos, la distancia (medida sobre la circunferencia) entre los cuerpos que se están aproximando disminuye de 40 metros a 26 metros en 24 segundos. ¿Cuál es la velocidad de cada cuerpo en metros. por minuto y qué longitud tiene la circunferencia? 449. Dos puntos se desplazan uniformemente moviéndose en el mismo sentido a lo largo de una circunferencia de longitud e y coinci- den cada t segundos. Hallar la velocidad de cada punto, sabiendo que uno de ellos recorre el círculo completo n segundos más deprisa que el 'otro. 450. La distancia entre dos ciudades a Jo largo de un río es 80 km. Un barco tarda en hacer un viaje de ida y vuelta entre las ciudades 8 ho- ras y 20 minutos. Hallar la velocidad del barco en agua en reposo, sabiendo que la velocidad del agua es 4 km/h. 451. Una motora recorre 28 km aguas abajo y regresa inmediatamen- te. Tarda 7 horas entre ida y vuelta. Hallar la velocidad de la motora respecto del agua si la velocidad de ésta es 3 km/h. 452. Una persona va remando desde la ciudad A a la ciudad B y vuelve en 10 horas. Las ciudades distan 20 km una de otra. Hallar la velocidad de la corriente del agua, sabiendo que rema 2 km aguas arriba en el mismo tiempo .que rema 3 km aguas abajo. 453. Un barco recorre la distancia entre A y B en dos días. En el viaje de regreso tarda 3 días. Determinar el tiempo que tardará una balsa que flota en el río en llegar de A a B. 5l 467. Una obra de construcción requiere el vaciado de 8.000 m3 de tierra en un tiempo especificado. La operación se completará 8 días antes de tiempo debido a que el equipo de excavación sobrepasó su plan de trabajo en 50 m ' diarios. Determinar el límite de tiempo original y lo que se hizo de más diariamente en tanto por ciento. 468. Una linea de ferrocarril fue reparada por dos equipos de obre- ros, Cada equipo reparó 10 km a pesar de que el segundo trabajó un día menos que el primero. ¿Cuántos kilómetros reparó cada equipo por día si ambos juntos reparaban 4,5 km diariamente? 469. Dos obreros juntos hicieron un trabajo en 12 horas. Si al principio hubiera hecho el primer obrero la mitad del trabajo y después el segundo hubiera completado la otra mitad, se habrían necesitado 25 horas. ¿Cuánto tardaría cada obrero en hacer individualmente el tra- bajo completo? 470. Dos tractores de características distintas, trabajando juntos, aran una finca en t días. Si empieza uno de ellos solo y ara la mitad de la finca, y a continuación, el otro ara la otra mitad de la finca, se completa la operación en k días. ¿Cuántos días tardará cada tractor en' arar individualmente la finca entera? 471. Tres dragas distintas están dragando el canal de entrada a un puerto. La primera draga, trabajando sola, tardaría 10 días más, la segunda, trabajando sola, necesitaría 20 días más, y la tercera, trabajan- do sola, necesitaría seis veces más de tiempo que las tres trabajando simultáneamente. ¿Cuánto tardaría cada draga en hacer el trabajo individualmen te? 4,72. Dos trabajadores, uno de los cuales empieza a trabajar 1 ~ días después que el otro, pueden completar un trabajo en 7 días. Si cada uno de ellos hiciera el trabajo individualmente, el primero habría necesitado 3 días más que el segundo que empezó después. ¿Cuántos días tardará cada obrero en realizar el trabajo individualmente? 473. Dos tractores distintos, trabajan juntos, aran una finca en 8 ho- ras. Si hubiera empezado un tractor 'arando la mitad de la finca y hubieran continuado los dos juntos arando la mitad restante, se hubiera hecho el trabajo completo en 10 días. ¿Cuántos días tardaría cada tractor en arar la finca entera individualmente? 474. Un cierto número de hombres tiene que cavar un hoyo y podían terminar el trabajo en 6 horas si empezaran todos a la vez, pero empiezan uno después de otro, siendo iguales los intervalos entre los tiempos de comienzo -.Después que el último ha comenzado a trabajar transcurre un intervalo de la misma duración hasta que el trabajo se termina, teniendo en cuenta que cada uno de ellos no deja de trabajar , PROBLEMAS www.hverdugo.cl 55 PROBLEMAS ALGEBRAICOS y ARITMETICOS hasta que se ha terminado el trabajo. ¿Cuánto tiempo trabajaron, sabk ..ndo que el primero en empezar trabajó 5 veces más que el último en empezar? 475. Tres obreros juntos pueden realizar una obra en t horas. El primero de ellos, trabajando solo, puede hacer el trabajo dos veces más deprisa que el tercero y una hora más rápido que el segundo. ¿Cuánto tardaría cada uno por separado en hacer la obra completa? 4.76. Dos grifos llenan de agua un depósito. Al principio se abre el primer grifo durante un tercio del tiempo que hubiera necesitado el segundo grifo solo para llenar el depósito. Después se abre el segundo durante un tercio del tiempo que necesitaría el primer grifo solo para llenar el depósito. En estas condiciones se han llenado 13/18 del depósi- to. Calcular el tiempo que necesitan cada uno de los grifos por separado para llenar el depósito sabiendo que los dos juntos tardan 3 horas y 36 minutos? 477. En la construcción de una planta de potencia' eléctrica un equipo de albañiles tiene que colocar 120.000 ladrillos en un tiempo determinado. El equipo completó el trabajo 4 días antes de lo previsto. Determinar el número previsto de ladrillos a colocar diariamente y el número real de ladrillos colocados, sabiendo que en tres días el equipo colocó 5.000 ladrillos más que los previstos a colocar en 4 días. 478. Tres vasijas con tienen agua. Si se vierte 1/~ del con tenido de la primera en la segunda y después 1/1, del agua que hay ahora en la segunda, en la tercera y, por último, 1/10 del agua que hay ahora en la tercera se vierte en la primera, entonces cada vasija contendrá 9 litros. ¿Qué cantidad de agua había inicialmente en cada vasija? 479. Se llena un tanque con alcohol puro. Se extrae una cierta 'Cantidad de alcohol y se sustituye por agua; a continuación se extrae la misma cantidad de mezcla alcohol-agua, con lo que quedan 49 litros de alcohol puro en el tanque. Este tiene una capacidad de 64 litros. ¿Qué cantidad de alcohol se extrajo la primera vez y la segunda? (Se supone que el volumen de la mezcla es igual a la suma de los volúmenes de agua y alcohol; en realidad es algo menor.) 480. Se llena con alcohol una vasija de 20 litros. Parte del alcohol se vierte en otra vasija de igual capacidad, que se llena a continuación con agua. La mezca así" obtenida se vierte en la primera vasija hasta lle- narla. A continuación se vierten 6 ~ litros de la primera vasija en la se- 3 gunda. Ahora ambas' vasijas contienen la misma cantidad de alcohol. ¿Qué cantidad de alcohol se pasó en primer lugar de la primera vasija a la segunda? PROBLEMAS 481. Se llena una vasija de 8 litros con aire que contiene el 16 por 100 de oxígeno. Se deja escapar parte de él y se sustituye por una cantidad igual de nitrógeno; a continuación se deja escapar la misma cantidad que antes de la mezcla actual y se vuelve a sustituir por nitró- geno. Ahora queda en la mezcla un 9 por 100 de oxígeno. Determinar la cantidad de mezcla de gases que se dejó escapar cada vez de la vasija. 482. Dos granjeras llevan al mercado entre las dos 100 huevos. Habiendo vendido cada una a precios distintos, ambas obtienen la misma cantidad de dinero. Si la primera hubiera vendido tantos huevos como la segunda habría recibido 72 rublos; si la segunda hubiera vendido tantos huevos como la primera habría recibido 32 rublos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado cada una? 483. Dos granjeros reúnen un total de a litros de leche y al venderlos consiguen igual cantidad de dinero cada uno, aunque venden a precios distintos. Si el primero vendiera la misma cantidad de leche que el segundo recibiría m rublos y si el segundo vendiera igual cantidad de leche que el primero recibiría n rublos (m > n). ¿Cuántos litros de leche tenía cada uno? 484,. Dos motores de combustión interna de la misma potencia se sometieron a un ensayo de rendimiento y se encontró que uno de ellos consumía 600 gramos de combustible mientras que el otro, que había funcionado 2 horas menos, consumió 384 gramos. Si el primer motor consumiera la misma cantidad de combustible por hora que el segundo y el segundo la misma que el primero, entonces ambos motores consu- mirían la misma cantidad de combustible durante el mismo período de funcionamiento que antes. ¿Cuánto combustible consume cada motor por hora? 485. Hay. dos grados de aleación oro-plata. En uno de ellos los metales están en relación 2: 3 y en el otro en la relación 3: 7. ¿Qué cantidad de cada aleación se debe tomar para obtener 8 kg de una nueva aleación en la que la relación oro-plata sea 5: 11 ? 486. Un barril contiene una mezcla de alcohol yagua en una proporción de 2 a 3, otro barril, en una proporción de 3 a 7. ¿Cuántos cazos tenemos que sacar de cada barril para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-agua sea de 3 aS? ,487. Una cierta aleación consta de dos metales que están en la relación 1 a 2, otra aleación contiene los mismos metales en una relación 2 a ~. ¿Qué cantidad de cada aleación hay que tomar para producir una tercera aleación que contenga los metales en la relación 17 a ~7~ . . 488. Dos ruedas están girando accionadas por una correa sin fin, la más pequeña da 400 revoluciones por minuto más que la grande. Esta 56 www.hverdugo.cl 59 PROBLEMAS ALGEBRAICOS Y ARITMETICOS de él la misma distancia. El área de la pista es igual a la del terreno. Hallar el ancho de la pista . .499. Un auditorium tiene a sillas dispuestas en filas, siendo el mismo el número de sillas en cada fila. Si se añaden b sillas a cada fila y se reduce en e el número de filas, el número total de localidades aumenta- rá un décimo del número original. ¿Cuántas sillas hay en cada fila? 500. Dos móviles separados d metros se mueven uno hacia el otro y se encuentran en a segundos. Si se mueven a las mismas velocidades que antes, pero en el mismo sentido, se encontrarán despues de b segundos. Determinar la velocidad de cada móvil. 501. Un motorista y un ciclista parten simultáneamente uno hacia el. otro de los puntos A y B separados d kilómetros. Al cabo de dos horas se cruzan y continúan sus caminos respectivos. El motorista llega a B t horas antes de que el ciclista llegue a A. Hallar la velocidad de los dos vehículos. 502. Un caminante sale del punto A en dirección de B; a horas después, un ciclista sale de B al encuentro del caminante y le encuentra b horas después. ¿Cuánto tardarán el caminante y el ciclista en recorrer la distancia completa entre A y B ,sabiendo que el ciclista necesita e horas menos que el caminante? 503. El tren A, de velocidad v km/h, sale después que el tren B de velocidad V1 km/h. La diferencia entre los instantes de salida (retraso del tren A) se calcula de manera que ambos .trenes lleguen al mismo tiempo al punto de destino. El tren B recorre 2/3 de la distancia y entonces tiene que reducir su velocidad a la mitad. Como consecuencia, el tren A alcanza al tren B a a km del destino. Determinar la distancia a la estación de destino. 504. Un hombre coloca dinero en una caja de ahorros y un año después recibe un interés de 15 rublos. Añade otros 85 rublos y deposita el dinero durante otro año. Transcurrido este nuevo año la suma del capital más intereses es 420 rublos. ¿Qué suma de dinero depositó inicialmente y qué interés pagaba la caja-de ahorros? 505. La producción de la máquina-herramienta A es el m por 100 de la suma de las producciones de las máquinas B y C, y la producción de B es el n por 100 de la suma de las producciones de A y C. ¿Cuál es el tanto por ciento del total producido por A y B que produce C? 506. El aumento en la producción de una fábrica comparada con la del año anterior es del p por 100 durante el primer año y del q por 100 durante el segundo. ¿Cuál será este porcentaje de aumento en el tercer año para que el aumento medio anual de la producción durante tres años sea igual al r por lOO? PROBLEMAS 507. El a por 100 de una cierta cantidad de mercancías se vende con un beneficio del p por 100 y el b por 100 del resto de las mercancías se vende con un beneficio del q por 100. ¿Con qué beneficio se han de vender las mercancías restantes si el beneficio total ha de ser del r por lOO? 508. De dos lingotes de aleaciones con contenido en cobre distinto se cortan piezas iguales (en peso); los lingotes pesaban m kg y n kg. Se funde cada pieza cortada con el resto del otro lingote y, de esta manera, el contenido en cobre de las dos nuevas aleaciones es el mismo. Hallar el peso de cada una de las piezas cortadas. 509. Se coloca en n montones una cierta cantidad de dinero. Del primer montón se quita una n-ésima parte del dinero que tenía y se pone en el segundo. A continuación se quita de este segundo montón aumentado, una n-ésima parte que se coloca en el tercero. La misma operación se realiza con el tercero y el cuarto y así sucesivamente. Por último, se quita una n-ésima parte del n-ésimo montón y se coloca en el primero. Una vez concluidas las operaciones cada montón tiene A rublos. ¿Cuánto dinero había inicialmente en cada inontón? (Se puede reducir al caso n = 5.) . 60 www.hverdugo.cl ~--------- 61 Parte Segunda 'GEOMETRIA y TRIGONOMETRIA Capítulo8GEOMETRIA PLANA 510. El perímetro de un triángulo rectángulo vale 132 y la suma de los cuadrados de los lados 6.050. Hallar los lados. 511. En un paralelogramo se dan: el ángulo agudo exy las distancias m y p entre el punto de intersección de las diagonales y los lados desiguales. Determinar las diagonales y el área del paralelogramo. 512. La base de un triángulo isósceles es igual a 30 cm y la altura a 20 cm. Determinar la altura sobre uno de los lados. 513. La base de un triángulo mide 60 cm, la altura 12 cm y la mediana sobre la base 13 cm. Determinar los lados. 514. Sobre los lados de un triángulo rectángulo isósceles de cateto b se construyen, hacia el exterior, tres cuadrados. Se unen los centros de estos tres cuadrados con líneas rectas. Hallar el área del triángulo así obtenido. 515. Los lados de un cuadrado están divididos en la relación m a n, y adyacentes a cada vértice, quedan un segmento grande y uno pequeño. Los puntos sucesivos de división se unen mediante líneas rectas. Hallar el área del cuadrilátero obtenido, sabiendo que el lado del cuadrado . dado es igual a a. 516. En un cuadrado se inscribe otro cuyos vértices caen en los lados del primero y los lados forman 30 grados con los del primero. ¿A qué fracción del área del cuadrado dado es igual el área del cuadrado inscrito? 517. En un cuadrado de lado a se inscribe otro cuyos vértices están sobre los lados del primero. Determinar los segmentos en. que los vértices del segundo cuadrado dividen a los lados del primero, sabiendo que el área de segundo vale ~~ del área del primero. 518. En un rectángulo de lados 3 m y 4 m está inscrito otro rectángulo cuyos lados están en la relación l": 3. Hallar los lados de este rectángulo. 519. En un triángulo equilátero ABC de lado a está inscrito otro triángulo equilátero LMN, cuyos vértices dividen cada lado del triángulo ABC en la relación 1 : 2. Hallar el área del triángulo LMN. PROBLEMAS otro cateto mide 30 cm y la cuerda que une el vértice del ángulo recto con el punto de intersección de la hipotenusa y el semicírculo mide 24 cm. 546. En un triángulo rectángulo se inscribe un semicírculo de mane- ra que su diámetro caiga sobre la hipotenusa y su centro divida a: ésta en dos segmentos de dimensiones 15 cm y 20 cm. Determinar la longitud del arco de la semicircunferencia comprendida entre los puntos en que los catetos tocan al semicírculo. 547. En un triángulo isósceles de base 4 cm y altura 6 cm se construye un semicírculo con uno de los lados como diámetro. Los puntos en que la semicircunferencia corta a la base y al otro lado se unen mediante una recta. Determinar el área del cuadrilátero así obteni- do, que está inscrito en el semicírculo. 548. Dado un triángulo isósceles de base 2a y altura h, se inscribe en él un círculo y se traza una tangente al círculo paralela a la base del triángulo. Hallar el radio del círculo y la longitud del segmento de tangente comprendido entre los dos lados del triángulo. 54·9. Desde un punto exterior a un círculo se trazan dos secantes cuyas porciones externas miden 2 m. Determinar el área del cuadriláte- ro cuyos vértices son los puntos de intersección de las secantes y el círculo, sabiendo que las longitudes de sus dos lados opuestos son 6 m y 2,4m. 550. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Tomando como centros sus vértices se trazan tres círculos mutuamente tangentes: el círculo cuyo centro es el vértice del ángulo menor del triángulo es tan- gente internamente a los otros dos, mientras que éstos son entre sí tan- gentes exteriormente. Hallar los radios de los círculos. 551. Una tangente exterior a dos círculos de radios 5 cm y 2 cm es. 1,5 veces mayor que su tangente interior. Determinar la distancia entre los centros de los círculos. _. 552. La distancia entre los centros de dos círculos cuyos radios son iguales a 17 cm y 10 cm es 21 cm. Determinar las distancias entre los centros y el punto en que la línea que une los centros corta a una tangente común a los círculos. 553. Se trazan la tangente interior y las dos tangentes exteriores a dos círculos, tangentes exteriores, de radios R y r. Determinar la longitud del segmento de la tangente interior contenido entre las tangentes exteriores. 554. Se trazan las tangentes exteriores comunes a dos círculos, tangentes exteriormente, de radios R y r. Hallar el área del trapecio 64 www.hverdugo.cl limitado por las tangentes y las cuerdas que unen los puntos de tangencia. 555. Dos círculos de radios R y r son tangentes exteriormente. Se traza una tangente exterior común a ambos con 10 que se obtiene un triángulo curvilíneo. Hallar el radio del círculo inscrito en este trián- gulo. 556. Se trazan por un punto de un círculo dos cuerdas (iguales a a y b). El área del triángulo formado al unir sus extremos es S. Determinar el radio del círculo. 557. En un triángulo de radio R se trazan tres cuerdas paralelas, a un lado del centro, cuyas longitudes respectivas son iguales a los lados del exágono regular, cuadrilátero regular y triángulo regular inscritos en el círculo. Determinar la relación entre el área de la porción de círculo comprendida entre las cuerdas segunda y tercera y la contenida entre las cuerdas primera y segunda. 558. Determinar el área de un círculo inscrito en un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura sobre la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos de longitudes 25,6 cm y 14,4 cm. 559. S'e inscribe un círculo en un rombo de lado a y ángulo agudo 60°, .Determinar el área de un rectángulo cuyos vértices caen en los puntos de tangencia del círculo y los lados del rombo. 560. A un círculo de radio R se trazan cuatro tangentes que forman un rombo, cuya diagonal mayor es igual a 4 R. Determinar el área de cada una de las figuras limitada por dos tangentes trazadas desde un punto común y el arco menor del círculo contenido entre los puntos de tangencia. 561. El área de un trapecio isósceles circunscrito a un círculo es igual a S. Determinar la longitud del lado del trapecio, sabiendo que el ángulo de la base es igual a : . 562" Se circunscribe un trapecio isósceles de área 20 cm? a un círculo de radio 2 cm. Hallar los lados del trapecio. 563. Se circunscribe un trapecio a un círculo y sus lados no paralelos forman ángulos agudos ,O/. y (3 con el mayor de los lados paralelos. Determinar el radio del círculo, sabiendo que el área del trapecio es igual a Q, 564. A un círculo de radio r se circunscribe un trapecio rectángulo cuyo lado menor mide 3r/2. Hallar el área del trapecio. 565. El centro de un círculo inscrito en un trapecio rectángulo dista 2 cm y 4 cm de los extremos del mayor de los lados no paralelos. Hallar el área del trapecio. GEOMETRIA PLANA 65 PROBLEMAS 566. Se inscribe un círculo en un triángulo equilátero de lado a. A continuación se inscriben tres triángulos más en el mismo triángulo de manera que sean tangentes al primero y a los lados del triángulo, a continuación otros tres círculos tangentes a los tres anteriores y a los lados de) triángulo y así sucesivamente. Hallar el área total de todos los círculos inscritos (es decir, el límite de la suma de las áreas de los círculos inscritos). 567. Se inscribe un triángulo ABe en un círculo; por el vértice A se traza una tangente que corta a la prolongación del lado Be en el pun- to D. Por los vértices B y e se trazan perpendiculares a la tangente, midiendo 6 cm la menor de estas perpendiculares. Determinar el área del trapecio formado por las perpendiculares, el lado Be y el segmento de la tangente, sabiendo que Be = 5 cm, AD :::5";6 cm.. , 568. En un triángulo equilátero de lado a se inscriben tres círculos iguales tangentes uno a otro. Cada uno de los círculos está en contacto con dos lados del triángulo dado. Determinar los radios de los círculos. 569. En el interior de un triángulo equilátero de lado a hay tres círculos iguales a los lados del triángulo y mutuamente tangentes entre sí. Hallar el área del triángulo curvilíneo formado por los arcos de los círculos mutuamente tangentes (siendo sus vértices los puntos de tan- gencia). 570 -, En el interior de un cuadrado de lado a hay cuatro círculos iguales, cada uno de los cuales toca a dos lados adyacentes del cuadrado y a dos círculos (de los tres restantes). Hallar el área del cuadrángulo curvilíneo formado por los arcos de los círculos tangentes (sus vértices son los puntos de tangencia de los círculos). 571. Hallar el área de un segmento circular, sabiendo que su períme- tro es igual a p y el arco mide 120° . 572. Un círculo de radio 4 cm está inscrito en un triángulo. Uno de sus lados está dividido por el punto de tangencia en dos partes que miden 6 y 8 cm. Hallar las longitudes de los otros dos lados. 573. En un triángulo isósceles se traza una perpendicular desde el vértice de un ángulo de la base alIado opuesto, divide a este último en la relación m :n . Hallar los ángulos del triángulo: 574. Una cuerda perpendicular al diámetro le divide en la relación m : n. Determinar cada uno de los arcos (su medida) en que el círculo queda dividido por la cuerda y el diámetro. 575. Determinar el ángulo de un paralelogramo dadas sus alturas h1 y h2 y el perímetro 2p. 66 www.hverdugo.cl Capítulo 9 POLIEDROS 597. Los lados de la base de un paralelepípedo rectangular son a y b. La diagonal del paralelepípedo está inclinada un ángulo a respecto del. plano de la base. Determinar el área lateral del paralelepípedo. 598. En un prisma exagonal regular la diagonal mayor de longitud d forma un ángulo a con la arista lateral del prisma. Determinar el volumen del prisma. 599. En una pirámide cuadrangular regular la arista lateral de longi- tud m está inclinada un ángulo a respecto del plano de la base. Hallar el volumen de la pirámide. 600. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es igual a V El ángulo que forma la arista lateral con el plano de la base es a. Hallar la arista lateral. . 601. El área lateral de una pirámide regular cuadrangular es igual a S cm? ) su altura H cm. Hallar el lado de la base. 602. Hallar el volumen y el área lateral de una pirámide exagonal regular dada la arista lateral 1 y el diáme.tro d de!"círculo inscrito en la base de la pirámide. 603. Hallar la altura de un tetraedro regular de volumen V. 604. En un paralelepípedo recto los lados de la base son iguales a a y b y el ángulo agudo de la base a. La diagonal mayor de la base es igual a la diagonal menor del paralelepípedo. Hallar el volumen del paralelepí- pedo. 605. Las diagonales de un paralelepípedo recto son iguales a 9 cm y VTI cm. El perímetro de s~ base es igual a 18 cm. La arista lateral mide 4 cm. Determinar el área total y el volumen del paralelepípedo. 606. La arista lateral de una pirámide triangular regular es igual a 1 y su altura vale h. Determinar el ángulo diedro en la base. 607. Determinar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, dado el ángulo a que forman su arista lateral y el plano de la base, y el área S de su sección diagoncl. Hallar también el ángulo que forman la cara lateral y el plano que contiene la base. 608. La base de una pirámide regular es un polígono, la suma de cuyos ángulos interiores es igual a 5400• Determinar el volumen de la 69 PROBLEMAS pirámide, sabiendo que su arista lateral, de longitud 1, está inclinada un ángulo ei respecto del plano de la base. 609. Determinar los ángulos que forman la base y la arista lateral y la base y la cara lateral en una pirámide pentagonal regular cuyas caras laterales son triángulos equiláteros. 610. Dado el volumen V de una pirámide n-agonal regular en la que el lado de base vale a, determinar el ángulo que forman la arista lateral de la pirámide con el plano de la base. 611. La base de una pirámide cuadrangular es un rectángulo de' diagonal igual a b y ángulo que forman las diagonales igual a 0:. Cada arista lateral forma un ángulo {3 con la base. Hallar el volumen de la pirámide. 612. La base de una pirámide es un triángulo isósceles cuyos lados iguales forman un ángulo o: y miden a. Todas las aristas laterales están inclinadas un ángulo {3 respecto de la base. Determinar el volumen de la pirámide. 613. La base de un paralelepípedo rectangular es un rectángulo inscrito en un círculo de radio R; el lado menor de este rectángulo subtiende un arco circular igual a (2 o)". Hallar el volumen del paralele- pípedo dada su área lateral S. 614. La base de un prisma recto es un triángulo isósceles, cuya base mide a y el ángulo en ésta vale 0:. Determinar el volumen del prisma, sabiendo que su área lateral es igual a la suma de las áreas de sus bases .. 615. La altura de la cara de una, pirámide exagonal regular es igual a m. El ángulo diedro en la base es 0:. Hallar el área total de la pirámide. 616. PQr la hipotenusa de un triángulo isósceles rectangular se traza un plano P que forma un ángulo o: con el .plano del triángulo. Determi- nar el perímetro y el área de la figura obtenida al proyectar el triángulo sobre el plano P La hipotenusa del triángulo mide c. 617. En una pirámide n-agonal regular, el área de la base es igual a Q , y la altura forma un ángulo '{J con cada una de las caras laterales. Determinar el área lateral y el área total de la pirámide. 618. El lado de la base de una pirámide triangular regular vale a, la cara lateral está inclinada respecto del plano de la base un ángulo '{J. Hallar el volumen y el área total de la pirámide. 619. El área total de una pirámide triangular regular es igual a S. Hallar el lado de su base, sabiendo que el ángulo que forman la cara lateral y la base de la pirámide es 0:. 620. La base de una pirámide es un rombo de ángulo agudo 0:. Las caras laterales están inclinadas respecto del plano de la base un ángulo {3. 70 I ' www.hverdugo.cl ~------- --_- 71 POLIEDROS Determinar el volumen y el área total de la pirámide, sabiendo que el radio del círculo inscrito en el rombo es igual a r. 621. Determinar el ángulo de inclinación de la cara lateral de una pirámide pentagonal regular respecto del plano de la base, sabiendo que el área de la base de la pirámide es S y el área lateral es igual a a. 622. La base de un paralelepípedo recto es un rombo. Un plano que pasa por un lado de la base inferior y el lado opuesto de la base superior forma un ángulo {3 con el plano que contiene la base. El área de la sección así obtenida es igual a Q. Determinar el área 'lateral del paralele- pípedo. 623. La base de una pirámide es un triángulo isósceles de ángulo en la base ~. Cada uno de los ángulos diedros en la base es igual a .p. La distancia entre el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide y el punto medio de la altura de la cara lateral es igual a d. Determinar el área total de la pirámide. 624,. La base de una pirámide es un polígono circunscrito a un círculo de radio r; el perímetro del polígono es 2p y las caras laterales de la pirámide están inclinadas un ángulo ip respecto de la base. Hallar el volumen de la pirámide. 625. Las aristas laterales de un tronco de pirámide triangular regular están inclinadas respecto de la base un ángulo o. El lado de la base inferior mide a y el de la superior b (a > b). Hallar el volumen del tronco. 626. Las bases de un tronco de pirámide regular son cuadrados de lados a y b (a> b). Las aristas laterales están inclinadas un ángulo ~ respecto de la base. Determinar el volumen del tronco y los ángulos diedros en los lados de las bases. 627. La base de una pirámide es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide e y un ángulo agudo es igual a o. Todas las aristas están inclinadas respecto de la base un ángulo {J. Hallar el volumen de la pirámide y los ángulos de las caras en su vértice .. 628. La base de un prisma oblicuo es un triángulo rectángulo ABe cuya suma de los catetos es igual a m y el ángulo en el vértice A es o, La cara lateral del prima que pasa por el lado Ae está inclinada un ángulo {3 respecto de la base. Se traza un plano que pase por la hipotenusa AB y el vértice el' del ángulo triedro opuesto. Determinar el volumen de la pirámide triangular obtenida, sabiendo que sus aristas son iguales. 629. La base de una pirámide es un triángulo isósceles de ángulo de la base a. Todas las aristas laterales están inclinadas un ángulo sp = 90° - ~ respecto del plano que contiene la base. El área de la sección que pasa por la altura de la pirámide y el vértice de la base (triángulo isósceles) es igual a Q. Determinar el volumen de la pirámide. PROBLEMAS nar: el volumen de la pirámide y el ángulo que forman las dos caras superiores. 648. En una pirámide triangular, regular de lado de la base a, los ángulos entre las aristas en su vértice son iguales uno a otro, siendo cada uno igual a O:' (O:' ~ 90°). Determinar los ángulos que-fer-man--ias- caras laterales de la pirámide y el área de una sección trazada por uno de los lados de la base y perpendicular a la arista lateral opuesta. 649. Determinar el volumen de un octaedro regular con arista a y también los ángulos diedros en sus aristas. 650. El ángulo diedro en una arista lateral de una pirámide exagonal regular es igual a sp, Determinar el ángulo de la cara en el vértice de la pirámide. 651. La base de una pirámide es un exágono regular ABCDEF. La arista lat.eral MA es perpendicular a la base y la arista opuesta MD está inclinada un ángulo O:' respecto de la base. Determinar el ángulo de inclinación de las caras laterales respecto de la base. 652. La base de una pirámide es un triángulo isósceles ABC en el que AB = A C. La altura de la pirámide SO pasa por el punto medio de la altura AD de la base. Por el lado BC se traza un plano perpendicular a la arista lateral AS y forma un ángulo O:' con la base. Determinar el volumen de la pirámide cortada de la primera y que tenga el vértice común S, sabiendo que el volumen de la otra parte es V 653. El lacio de la base de una pirámide trian guiar regular vale a. Una sección que biseca un ángulo formado por las caras laterales representa un triángulo rectángulo. Determinar el volumen de la pirámide y el ángulo que forma su cara lateral con el plano que contiene la base. 654. Por un lado de la base de una pirámide triangular regular se traza un plano perpendicular a la arista lateral opuesta. Determinar el área total de la pirámide, sabiendo que el plano divide a la arista lateral en la relación m : n y el lado de la base mide q. 655. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a d y forma ángulos iguales O:' con dos caras laterales adyacentes. Determinar el volumen del paralelepípedo y el ángulo que forman la base y el plano que pasa por los extremos de las tres aristas que salen de un vértice. 656. En un paralelepípedo rectangular el punto de intersección de las diagonales de la base inferior se une con el punto medio de una de las aristas laterales mediante una recta de longitud m. Esta línea forma un ángulo CI:' con la base y un ángulo ~ = 20:' con una de las caras laterales. Tomando la otra cara lateral adyacente como base del parale- lepípedo, hallar su área lateral y su volumen. (Demostrar que CI:' < 30°). 74 www.hverdugo.cl POLIEDROS 657. La base de un prisma recto es un trapecio inscrito en un semicírculo de radio R de manera que su base mayor coincida con el diámetro, y el. menor subtiende un arco igual a 2ex. Determinar el volumen del prisma, sabiendo que la diagonal de una cara que pasa por uno de los lados no paralelos de la base está inclinada respecto a ésta un ángulo ex. 658. La diagonal de un paralelepípedo rectangular, igual a d, forma un ángulo {3 = 90° - o; con la cara lateral. El' plano que pasa por esta diagonal y la arista que la corta forma un ángulo o; con la misma cara lateral (demostrar que o; > 45°). Determinar el volumen del paralelepí-, pedo. 659. En un prisma triangular regular se unen dos vértices de la base superior con los puntos medios de los lados opuestos de la base inferior mediante líneas rectas. El ángulo que forman estas líneas entre sí es o; mirando hacia la base. El lado de la base es b. Determinar el volumen del prisma. 660. En un prisma triangular regular el ángulo que forman una diagonal de una cara lateral y otra cara lateral es igual a 0;. Determinar el área lateral del prisma, sabiendo que la arista de la base mide a. 661. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo ABC en el que <C=90°, <A =0; y el cateto AC=b. La diagonal de la cara lateral del prisma que pasa por la hipotenusa AB forma un ángulo {3 con la cara lateral que pasa por el cateto A e Hallar el volumen del prisma. 662. El área total de una pirámide cuadrangular regular es igual a S y el ángulo entre las caras en el vértice igual a 0;. Hallar la .altura de la pirámide. 663. En una pirámide n-agonal regular el ángulo entre las caras en el vértice es igual a 0;, y el lado de la base mide a. Hallar el volumen de la pirámide. 664. En un prisma cuadrangular regular se traza un plano por una diagonal de la base inferior y uno de los vértices de la base superior, que separa una pirámide de área total S. Hallar el área total del prisma, sabiendo que el ángulo en el vértice del triángulo obtenido en la sección es igual a 0;. 665. Las aristas laterales de una pirámide triangular tienen la misma longitud l. De los tres ángulos que forman las caras en los vértices de la pirámide dos son iguales a o; y el tercero a {3. Hallar el volumen de la pirámide. 666. La base de una pirámide es un triángulo rectángulo que es proyección de la cara lateral que pasa por un cateto. El ángulo opuesto a este cateto en la base de la pirámide es igual a ex,y el que está en la 75 PRO)3LEMAS cara lateral es igual a {3.El área de esta cara lateral sobrepasa la de la base en S. Determinar la diferencia entre las áreas de las otras dos caras y los ángulos formados por las caras laterales con la base. 667. En una pirámide triangular dos caras laterales son triángulos rectángulos (de ángulo recto en el vértice) isósceles, cuyas hipotenusas miden b y forman entre sí un ángulo o. Determinar el volumen de la pirámide. . 668. En una pirámide de base rectangular cada una de las aristas laterales es igual a 1; uno de los ángulos entre las caras en el vértice es ~ y el otro {3.Determinar el área de la sección que pasa por las bisectrices de los ángulos {3. 669. En un paralelepípedo las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice son, respectivamente, a, b y e; las aristas a y b son perpendiculares entre sí y la arista e forma un ángulo ~ con cada una de ellas. Determinar el volumen del paralelepípedo, su área lateral y el ángulo que forma la arista e con el plano de la base. (¿Para qué valores de a tiene solución el problema? ) 670. Todas las caras de un paralelepípedo son rombos de lados a y ángulos agudos a. Determinar el volumen del paralelepípedo. 671. La base de un paralelepípedo es un rombo oblicuo ABCD de lado a y ángulo agudo o. La arista AA 1 es igual a b y forma un ángulo 'P con las aristas AB y AD. Determinar el volumen del paralelepípedo. 672. En un paralelepípedo rectangular se traza un plano por una diagonal de la base y una diagonal de la cara lateral mayor, partiendo am bas de un mismo vértice. El ángulo que forman estas diagonales es {3. Determinar el área lateral del paralelepípedo, el área de la sección que intercepta el paralelepípedo en el plano trazado y el ángulo de inclina- ción de éste respecto de la base, sabiendo que el radio del círculo circunscrito a la base del paralelepípedo es igual a R y que el ángulo menor que forman las diagonales de la base entre sí vale 2a. 673. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo ABe El radio del círculo circunscrito a él es R y el cateto A C subtiende un arco 2{3. Se traza por una diagonal de la cara lateral que contiene al otro cateto BC un plano perpendicular a esta cara e inclinado un ángulo {3 respecto de la base. Determinar el área lateral del prisma y el volumen de la pirámide cuadrangular obtenida. 674. La base de una pirámide es un trapecio, cuyos lados no parale- los y la base menor tienen la misma longitud. La base mayor mide a y el ángulo obtuso a. Todas las aristas laterales de la pirámide están inclina- das un ángulo {3 respecto de la base. Determinar el volumen de la pirámide. 76 www.hverdugo.cl \ - --- ~- . POLIEDROS 691. La altura de un tr~<le pirámide cuandrangular regular es H, la arista lateral y la diagonal de fu\pirámide están inclinadas respecto de la base los ángulos ex y {3, respectivamente. Hallar el área lateral del tronco de pirámide. \ 692. Los lados de las bases de un tronco de pirámide cuadrangular regular miden, respectivamente, ay a v-f; la cara lateral está inclinada respecto de la base un ángulo 'Y. Determinar el volumen y el área total del tronco de pirámide. 693. Un cubo está inscrito en una pirámide cuadrangular regular de manera que cuatro vértices se hallan sobre las aristas laterales y los cuatro restantes en el plano de su base. Determinar la arista del cubo, sabiendo que la altura de la pirámide es H y la arista lateral l. 694. Un cubo está inscrito en una pirámide cuadrangular regular de manera que sus vértices están sobre las alturas de las caras laterales de la pirámide. Hallar la relación entre el volumen de la pirámide y el volumen del cubo, sabiendo que el ángulo que forman la altura de la pirámide y una cara lateral es igual a a. . 695. La base de una pirámide es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden, respectivamente, 6 y 8. El vértice de la pirámide dista 24 de la base y se proyecta sobre su plano en un punto interior a ella. Hallar la arista del cubo cuyos cuatro vértices estén en el plano de la base de la pirámide dada y. las aristas que unen estos vértices sean paralelas a los catetos correspondientes del triángulo de la base de la pirámide. Los otros cuatro vértices del cubo caen en las caras laterales de la pirámide dada. . 696. El ángulo diedro en la base de una pirámide cuadrangular regular vale ex. Por su arista se traza un plano de corte que forme un ángulo {3 con la base. El lado de la base es igual a a. Determinar el área de la figura interceptada por el plano. 697. En una pirámide cuadrangular regular, el lado de la base mide a y el ángulo diedro en la base vale ex.Por dos lados opuestos de la base de la pirámide se trazan dos planos perpendiculares entre sí. Determinar la longitud de la línea de intersección de los planos contenida dentro de la pirámide; sabiendo que corta al eje de la misma. 698. En una pirámide cuadrangular regular, se traza un plano por un vértice' de la base que sea perpendicular a la arista lateral opuesta. Determinar el área de la figura interceptada por el plano en la pirámide, sabiendo que el lado de la base de la pirámide mide a y que la arista' lateral está inclinada respecto del plano que contiene la base un ángulo 1{) (1{) > 45°; demostrarlo). 1\ 79 PROBLEMAS 699; Se necesita cortar un prisma cuadrangular regular por medio de un plano para obtener una sección que dé un rombo de ángulo agudo o. Hallar el ángulo de inclinación del plano de corte respecto de la base. 700. La base de un paralelepípedo recto es un rombo de ángulo agudo o, ¿Con qué ángulo respecto de la base se debe trazar un plano de corte para obtener una sección cuadrada con sus vértices situados sobre las aristas laterales del paralelepípedo? 701. Un paralelepípedo recto, cuya base es un rombo de lado a y ángulo agudo ~, se corta mediante un plano que pasa por el vértice del ángulo ~ obteniéndose un rombo de ángulo agudo ~. Determinar el área de esta sección. 702. La arista de un tetraedro es igual a b. Por el punto medio de una de las aristas se traza un plano paralelo a dos aristas que no se cortan. Determinar el área de la sección así obtenida. 703. La base de una pirámide es un triángulo rectángulo de cateto a. Una de las aristas laterales de la pirámide es perpendicular a la base, mientras que las otras dos están inclinadas respecto de ella el mismo ángulo ~. Un plano perpendicular a la base corta la pirámide según un cuadrado. Determinar el área de este cuadrado. 704. En un tronco de pirámide cuadrangular regular los lados de las bases superior e inferior miden, respectivamente a y 3a y las caras laterales están inclinadas respecto del plano. que con tiene la base infe- rior un ángulo o. A través de un lado de la base superior se traza un plano paralelo a la cara lateral opuesta. Determinar el volumen del prisma cuadrangular obtenido en el tronco de pirámide dado y el área lateral de la parte restante de dicho tronco de pirámide. . 705. Por un punto tomado sobre la arista lateral de un prisma regular de lado de la base a se trazan dos planos. Uno de ellos pasa por un lado de la base inferior del prisma y forma un ángulo ~ con la base, el otro pasa por el lado paralelo de la base superior y forma con ella un ángulo ~. Determinar el volumen del prisma y la suma de las áreas de las secciones así obtenidas. 706. En un prisma cuadrangular regular se traza un plano por los puntos medios de los lados adyacentes de la base que forma un ángulo ~ respecto de ella y que corta a tres aristas laterales. Determinar el área de la figura as í obtenida y su ángulo agudo, sabiendo que el lado de la base del prisma es igual a b. 707 .. La base de un prisma recto es un trapecio isósceles (de ángulo agudo o) circunscrito a un círculo de radio r. A través de uno de los lados no paralelos de la base y del vértice opuesto al ángulo agudo de la 80 www.hverdugo.cl base superior, se traza un plano que forma un ángulo ex con la base. Determinar el' área lateral del pri~a y el área de la figura de corte así obtenida. \ \ 708. La base de un prisma recto ABCA 1B l C l es un triángulo isósceles ABC con ángulo ex en la base Be El área lateral del prisma es igual a s. Hallar el área de la sección obtenida mediante un plano que pasa por una diagonal de la cara BCCIB l paralelo a la altura AD de la base del prisma y que forma un ángulo 1} con la base. 709. La base de un prisma recto ABCA l BICI es un triángulo rectángulo ABC con ángulo 1} en el vértice B (1} < 45°). La diferencia entre las áreas de sus caras laterales que pasan por los catetos BC yAC es igual a S. Hallar el área de la sección obtenida mediante un plano que forma un ángulo <p con la base y pasa por los tres puntos siguientes: el vértice B l del ángulo 1} de la base superior, el punto medio de la arista lateral AA l Y el punto D situado sobre la base y simétrico del vértice B respecto del cateto AC. 710. Las diagonales que no se cortan de dos caras laterales adyacen- tes de un paralelepípedo rectangular están inclinadas respecto de su base los ángulos ex y I}. Hallar el ángulo que forman estas diagonales, 711. Dados tres ángulos planos del triedro SABC: L BSC = ex; LeSA = I}; <ASB = 'Y. Hallar los ángulos diedros de este triedro. 712. Uno de los ángulos diedros de un triedro vale A; los ángulos planos adyacentes al ángulo diedro dado son iguales a ex y I}. Hallar el tercer ángulo plano. 713. Dados en un triedro los tres ángulos planos de valores 45°, 60° y 45°, determ.inar el ángulo diedro contenido entre las dos caras con ángulos planos de 45°. 714. Sobre la arista de un ángulo diedro se da un segmento AB. En una de las caras se da un punto M en el que una recta trazada desde A y formando un ángulo ex con AB corta a una línea trazada desde B perpendicular a AB. Determinar el ángulo diedro, sabiendo que la recta AN está inclinada respecto de la segunda cara del ángulo diedro un ángulo I}. 715. Se dan dos rectas que se cruzan en el espacio. que forman un ángulo sp entre si y tienen una perpendicular común PQ = h que intercepta a ambas. Sobre estas rectas se dan dos puntos A y B desde los que el segmento PQ se ve bajo los ángulos ex y I}, respectivamente. Determinar la longitud del segmen to AB. 716. Sobre dos líneas que se cruzan en el espacio bajo ángulo recto, y cuya distancia perpendicular entre ellas es PQ = h, se dan dos puntos A y B desde los que se ve el segmento PQ bajo los ángulos ex y {3, POLIEDROS 81 730. Un cuadrado de lado a está inscrito en la base de un cono. Un plano trazado por el vértice del cono y un lado del cuadrado corta a la superficie del cono a lo largo de un triángulo cuyo ángulo en el vértice es o. Determinar el volumen y el área del cono. 731. La generatriz 1 de un tronco de cono forma un ángulo ~ con la base inferior y es perpendicular a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Hallar el área lateral del tronco de cono. 732. Se da un cono de volumen. V, cuya generatriz está inclinada un ángulo a respecto de la base. ¿A qué altura se debe trazar un plano perpendicular al eje del cono para que divida la superficie lateral del cono en dos partes de áreas iguales? Lo mismo con el área total. 733. Determinar el volumen y el área de un sector esférico obtenido en una esfera de radio R y que tiene un ángulo ~ en la sección axial. 734. El área de un segmento esférico de radio R es S. Hallar su altura. 735. El área de un triángulo ABC es igual a S, el lado AC = b y < CAB =~. Hallar el volumen del sólido formado al girar el triángulo ABC respecto del lado AB. 736. Se da en un triángulo ABC: el lado a, el ángulo B y el ángulo e Determinar el volumen del sólido que se obtiene al girar el triángulo respecto del lado dado. 737. Un rombo de diagonal mayor d y ángulo agudo 'Y gira respecto de un eje que pasa por su vértice y es perpendicular a su diagonal mayor. Determinar el volumen del sólido así obtenido. 738. En un triángulo se dan: lados b yc y el ángulo ~ que forman. El triángulo gira respecto de un eje que pasa por el vértice del ángulo ~ y está inclinado respecto los lados b y e el mismo ángulo. Determinar el volumen del sólido así generado. 739. En un trapecio isósceles una diagonal es perpendicular a uno de los lados no paralelos. El lado es igual a b y forma un ángulo o con la base mayor. Determinar el área del sólido generado al girar el trapecio respecto de la base mayor. 740. Se trazan dos planos por el vértice de un cono. Uno de ellos está inclinado un ángulo o respecto de la base del cono, y la corta a lo largo de una cuerda de longitud a, el otro está inclinado un ángulo {3 respecto de la base y la corta a 10 largo de una cuerda de longitud b. Determinar el volumen del cono. 741. Una esfera está inscrita en un cono. Hallar el volumen de la esfera, sabiendo que la generatriz del cono mide 1 y está inclinada un ángulo ~ respecto de la base. PROBLEMAS 84 www.hverdugo.cl 85 SOLIDOS DE REVOLUCION 742. Una recta, tangente a la-superfice lateral de un cono, forma un ángulo e con la generatriz que pasa por el punto de tangencia. ¿Qué ángulo 1.{) formará esta línea con el plano de la base P del cono, sabiendo que la generatriz está inclinada respecto del plano P un ángulo' OI? 743. Un triángulo obtusángulo de ángulos agudos 01 y (3 y altura menor h gira respecto del lado opuesto al ángulo (3. Hallar la superficie del sólido así engendrado. 744. En un cono (cuya sección axial representa un triángulo equilá- tero) colocado con su base arriba y lleno de agua se coloca una pelota de radio r que queda tangente al nivel del agua. Determinar la altura del nivel de agua en el cono después de quitar la pelota. 74,5. En un cono, cuyo radio del círculo de la base es R y cuya generatriz está inclinada un ángulo i respecto de la base, se inscribe un prisma triangular recto, de manera que su base inferior cae sobre la base del cono y los vértices de "la base superior están sobre la superficie lateral del cono. Determinar el área lateral del prisma, sabiendo que su base es un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudo es 01, y su altura es igual al radio del círculo, a lo largo del cual el plano que pasa por la base superior del prisma corta al cono. 746. En una pirámide triangular, cuya base es un triángulo regular con lado a, se inscribe un cilindro de manera que su base inferior se haya sobre la base de la pirámide tocando su base superior todas las caras laterales. Hallar .los volúmenes del cilindro y de la pirámide cortada por el plano que pasa por la base superior del cilindro, sabiendo que la altura del cilindro es igual a % ,una de la~ aristas laterales está pirámide es perpendicular a la base, y una de sus caras laterales está inclinada respecto de la base un ángulo 01 (definir los valores de 01 para los que el problema tiene solución). 747. Se inscribe un prisma triangular recto en una esfera de radio R. La base del prisma es un triángulo rectángulo de ángulo 01 y su cara lateral mayor es un cuadrado. Hallar el volumen del prisma. 748. La base de una pirámide es un rectángulo cuyas diagonales forman un ángulo agudo 01 y sus aristas forman un ángulo 1.{) con la base. Determinar el volumen de la pirámide, sabiendo que el radio de la esfera circunscrita es igual a R. 749. El radio del círculo de la base de un cono mide R y el ángulo en el vértice de su sección axial es 01. Hallar el volumen de una pirámide triangular regular circunscrita en el cono. PROBLEMAS 750. Se inscribe una esfera de radio r en un tronco de cono. La generatriz del cono está inclinada respecto de 'la base un ángulo a. Hallar el área lateral del tronco de cono. 751. Un tronco de cono está circunscrito a una esfera y sus genera- trices están inclinadas un ángulo a respecto de la base. Determinar el área total del tronco de cono, sabiendo que el radio de la esfera es r. 752. Una esfera de radio r está inscrita en un tronco de cono cuya generatriz está inclinada un ángulo a respecto del plano de la base. Hallar el volumen del tronco de cono. 753. Desde un punto situado sobre la superficie de una esfera de radio R se trazan tres cuerdas iguales que forman entre sí un círculo a. Determinar sus longi tudes. 754. Un tronco de cono está inscrito en una esfera de radio R. Las bases del tronco de cono cortan en la esfera dos segmentos con arcos en la sección recta iguales a a y {3, respectivamente. Hallar el área lateral del tronco de cono. 755. Las caras laterales de una pirámide cuadrangular regular están inclinadas respecto de la base un ángulo a. La altura de las caras de la pirámide es m. Hallar el área total del cono inscrito en la pirámide y el ángulo de inclinación de la arista lateral de la base. 756. Un cono está circunscrito a una pirámide exagonal regular. Hallar su volumen, sabiendo que la arista lateral de la pirámide es igual a 1 y el ángulo que forman dos aristas laterales contiguas es a. 757. Un cono está inscrito en una pirámide triangular regular. Hallar su volumen, sabiendo que la arista lateral de la pirámide es igual a 1 y el ángulo que forman dos aristas laterales adyacentes es a. . 758. Un cono está inscrito en una esfera y su volumen es igual a un cuarto de la esfera. Hallar el volumen de la esfera, sabiendo que la altura del cono es 11. 759. Una esfera está inscrita en un prisma triangular regular. Hallar la relación entre el área de la esfera y el área total del prisma. 760. Una esfera de radio R está inscrita en una pirámide cuya base es un rombo de ángulo agudo a. Las. caras laterales de la pirámide están inclinadas respecto de la base un ángulo. Hallar el volumen de la pkámide. . 761. Una hemiesfera está inscrita en una pirámide cuadrangular regular, de manera que su base es _paralela a la base de la 'pirámide y la superficie esférica está en contacto con ella. Determinar el área total de la pirámide, sabiendo que sus caras laterales están inclinadas un ángulo a respecto de la base y el radio de la esfera es r. 86 www.hverdugo.cl Capítulo 11 TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS Demostrar las identidades siguientes: 781. sec ( : -1-a ) see ( : - a) = 2 see 2a sin ~ 2eos(a+B)= silla sin (2a+~)782. "io a a a783. 2 (ese 2a+ cot 2a)= eot 2- tan 2 784 cosa+sina t (45°+). 785 cosa+sina ta: 2 L 2• cosa-sin a = an a , . cos a-sio a = an ex -, sec ex. 786 . 2 ( 1& ) . 2 ( 1& ) sin 2a· sin S+a -Slll S-a = 112 787. 2cos2a-1 =1 2 tan ( : - a) . sin2 ( ~ + a ) 788 t' 2 (~_ ) _ 'l-sin2cx.· an 4 a -1 +sio 2cx. 789. cos 2a 1. 22cot2"'"'cx.----:t-an--:2'a-= '4 SIn a sin a+cos (2~-a) .ot (1& Ro)790 -eo --p· cos a - sin (2~- a) .- 4 1+ sin 2a = 1+ tan a = tan (.!:. _1_ a ) 791. cos2a 1- tan a 4 I sin z-j-cos (2y-x) 1+sin 2y 792. cos x-sin(2y-x) = cos 2y 793. tan" a- tan" ~= sin (a+~) sin (a-~) sec" a sec" ~ tan ( : - ~ ).(1+sina) 79.4. . = cot asin a t (1t+ra) 1-sina 1795. an '4 .2 . cos a = 796. I 12 (sin 2a+2 cos- a-1)~-_;_--:--'----;;----;---:--~= ese a cos a-sin a-cos 3a+sin 3a 89 PROBLEMAS sin a -sin 3a+sin 5a 3-------;:-____:_-~= tan a cos a - cos 3a+cos lía in ] b)+'· ( )+ . (b ) I a-b, a-e b-cSIn a - SIn a - e SIn - e = ');cos -2- SIn -2- cos -2- 2 (sin" x + cosa x) - 3 (sin" x + cos- x) + 1 = O 797. 798. 799. 800. sin a + sin ( a + 2311:) + sin ( a + ~11:) = O 801. sin" (450 +a) - sin" (300 -a) - sin 150 cos (150 + 2a) = sin 2a 802. Dem os trar que 1:- 2 cos2 cP __ tan tep- co (p sin cp COS (p 803. Demostrar que t 2. a 2sina-sin2a an 2" = 2 sin a+sin 2a 804. Demostrar la identidad cos" ep-+ cos" (a + cp) - 2 ces a cos epcos (a +- rp) = sin" a 805. Simplificar la expresión sin2a +sin2 ~ + 2 sin asin ~cos (a+~) 806. Demostrar que sin" a + sin" ~+ sin" y - 2 cos a cos ~ ces y = 2, si a+ ~+y,=n, 807. Demostrar que . cot A cot B + cot A cot C + cot B cot C = 1, si A+B+C,," rt. 808. Demostrar que 11: . 2:rt 1cos-cos-=-5 5 !¡ 809. Demostrar que n 3n 1 cos 5"+ cos 5 =2" Reducir a unaforma conveniente para tomar logaritmos: a V-810. 1+ cosa+ cosT; 811. 1- 2cosa -l-cos 2a 812. ,1- sí n" (a +~) - sin" (a-~) 1+sina-cosa81.3. 1+ sin a + cos a + tan a; 814. .. a sm2 90 www.hverdugo.cl TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS 815. 1- tan a +seca; 816. cosa + sin 2a - cos3a. 817. tan(a+ ~ )+tan(a- ~) 818. 820. 2sin~-sin2~. 819 V2-coso.-sina 2sin~+sjn2~' • sin cc-vcoso; cot a + cot 2a + ese 2a; 821. cos 2a + sin 2a tan a 822. 2 sin" a+V3 sin 2a. _ 1; 823. 1+:an -I2~tan a.co a. - an a. 824. 2 + tan 2a + cot 2a 825. tanx-1+sinx(1-tanx)+i [-ti 2- . an x 826 1+cosa. -+ cos20. +COS 30. . 827 1 1. 2 2' . 2 A 4• cos 0.-1-2 cos20.-1 ' • -"4sm a-sm p-eos a sin (x+ y+z)828. tan x + tan y + tan z- ---'---'-''--'-~cos x cos y cos z 829. sina +sin ~ + sin l' si a + P +1' = 1800 91 PROBLEMAS 84 sin (60' + x) + sin (60°- x) tan z , cot x 8 . 2 = (1+ tan2 X)2 T (1+cot2 x)2 885. 886. 2 ( • X) sin (x - 30°)+cos (60°- x)sec X - COSx _L Sin x tan - = _.o__ _ __!._-"--_:";___~ I 2 c~x . (:rt I ) . (;rr, )SIn T-- x --sm 4- x = x x tan "2+cot"2 2 -V2 887 2V-2 . (41":°+ )=1+cos2x• SlIl 0 x 1+sinx 888. 889. 890. 891. 1 2 (sin 2x-cos2xtanx) 4 . 4- ',¡- -=COS'X-Sln X V 3 sec2. z sin 3x = 4. sin x cos 2x sec x +1= sin (rt - .1:) - CO S x tan ltt x tan2x tan x 2' (4t::0+ ) . (45° ) Otan 2,x _ tan x - Slll ;) x SIn - x = ° 4cos2x892. tan (x - 45°) tan x tan (x + 45 ) = -----x x tan2"-cot 2" 893. tan (x +45°)t tan (x _45°) tan (x _ 45°) tan (x +45°) tan x 894. tan (x +a) + tan (x- a) = 2 cot x 895. 896. 897. sin! x + sín! (x + ~)= ! 897a. sin- x + sin+ ( x + ~ ) + sin! (x - : ) =i Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes: 94 898. 899. 901. 902. 903. x+y 'x-y 1 1cos -2- COS-2-="2; COSXcosy=-¡- x + y = a; sil? x sin y = m;' 900. x + y = a; tan x + tan y = m ltx+ y= 4; tan z -l- tan y= 1 2sin x+cos y = 1; 16sin2 X+COS2 y = 4 ., 1 t 1SIn X sm y =.4 -V2 ; tan x an y = "3 . 2 . I 1sin x = Slll y; COSX = "2 cos y904. www.hverdugo.cl Capítulo 13 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 905. Calcular 113 1 1. 2aresin ( -T) + arccot (-1) + areeos V2+Z areeos (:-1) 906. Demostrar que . 1I1-.x2tan (arccos x) = ....!- __ .x 907. Demostrar que tan (aresin x) = -V .x 1-.x2 Calcular: 908. sin [ -} arcco t ( - !)J; 909. sin [~ arcsín ( - 2 y~)] 910. eot [ ~ arccos ( - ~ ) J; 911. tan (5 are tan ~3 -1 aresin ~3) 912. sin ( 3 arctan V3 + 2 areeos ; ) 913. cos [3arcsin ~3+ arceas ( - ~ ) ] Demostrar las identidades siguientes: 112: n914. aretan (3 + 2 VZ) -aretanT=T ../2 116+1 rt915. areeos V 3-areeos 2113 =6 916 . 4 + . 5 + . 16 rt. arcsm 5"' arcsm 13 arcsm 65 =2' 917. arccos ; + arccos ( - ~ ) = arccos ( - ~) 1· 1 322 arctan 5' +aretan"4 = are tan 43918. 1 1 1 1 rt919. arctan 3+ are tan 5" +arctanT+aretan 8" = T 95 PROBLEMAS Resolver las ecuaciones siguientes: 920. 4 aretan (X2 -3x- 3) -:n; =0 921. 6 arcsin (X2 - 6x + 8.5) =:n; :re 922. arctan (x + 2) - aretan (x + 1) = T 925. 926. 1 :re 2 are tan 2" - are tan x = 7; . 2 . V-1- . 1arcsin 3 -Vx - arcsm - x = arcsm 3" la a-bare tan - - are tan --- = are tan x b a+b arcsín 3x = arccos 4x; 927. 2 arcsin x = arcsín 1~; 923. 924. 928. Resolver el sistema de ecuaciones x+y=aretan 1~a2' tanxtany=a2 (JaJ<1) 96 www.hverdugo.cl