Cálculo A - 5ª Edição

Cálculo A - 5ª Edição

(Parte 1 de 3)

MAKRON Books

CAPÍTULO 1EDITORA

Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.

Neste 12 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3,}.
Os números —1, —2, —3,são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos

números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por

Z={0,±1,±2,±3,...}.

Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos:

Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.

n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414, n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln, formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'.

Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por

1? = Qu Q'

A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:

1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.

1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a.

1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então a + (b + c) = (a + b) + c e a (b c) = (a•b) • c.

1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então a• (b + c) = ab + ac.

1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a e a • 1= a, para qualquer a E R.

1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a, tal que a + (—a) = O.

1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por

1/a, tal que a • 1 —a = 1.

Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.

1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida por a — b = a + (—b).

1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por —a = a b•

1.2 DESIGUALDADES

Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.

1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que:

(i)se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a é positivo;

(i)a soma de dois números positivos é positiva; (i) o produto de dois números positivos é. positivo.

1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo.

1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos: (i)a < b <=> b — a é positivo; (i)a > b .:;=> a — b é positivo.

1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: (i)a 5_ b <=> a < b ou a =-- b;

Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI-

GUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto abea b são desigualdades não estritas.

1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N. (i)Sea>b eb>c, então a > c. (i)Se a>bec> O, então ac > bc. (i)Se a>be c< O, então ac < bc. (iv)Se a > b, então a+c>b+c para todo real c. (v)Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d. (vi)Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd.

As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo:

Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c).

(def) Se a > b (a — b) > O.

(def) Se b > c (b — c) > O.

Usando 1.2.1 (i), temos (a — b) + (b — c) > O

(def) ou a—c>0a>c.

Prova da Propriedade i). (Se a > b e c > O, então ac > bc).

(def.) Se a > b (a — b) > O.

Usando 1.2.1 (i) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela definição, ac > bc.

1.3 VALOR ABSOLUTO

1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como lal = a, se a O lal = — a, se a < O.

1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então lal =.

1.3.3 Propriedades.

(i)lxl < a <=> —a < x < a, onde a > O. (i)>a<=>x>aoux<—a, onde a > O.

(i) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl.

(iv)Se a,bEReb O, entãoablal Ibl •

(v) (Desigualdade triangular)

Se a, b e IR, então la + bllal + (vi)Se a, b E R, então la — bl 5 lal + Ibl. (vii)Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl.

la 1 ).lb 1a b

Vamos provar algumas das propriedades citadas.

Prova da Propriedade i). (Ix1 < a <=> — a < x < a, onde a > 0).

Provaremos por partes:

Parte 1: — a < x < a, com a > O Ixl < a.

Se x _ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a.

Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 i) concluímos que — x < a.

Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a.

Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a.

Se x . 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0, segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a<x<a.

Se x < O, lxl = — x. Como por hipótese Ixl < a, temos que —x < a. Como x < 0, segue que — x > 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a.

Prova da Propriedade i). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl). Usando 1.3.2, vem labl = I(ab)2 = 'Va2 • b2 = .Va2 • 'NFTo lal • Ibl.

Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então Usando 1.3.2, vem

— b O.*NW 1 a 1 b2 I b 1a b

Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1).

Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em qualquer caso vale,

Multiplicando (1) por 2, temos 2ab 2 lal IbI. (2)

Da igualdade (a + b)2 a2 + 2ab + b2 e de (2) vem que (a + b)2 a2 + 2 lal Ibl +b2 (a + b)2 la12 + 2 lal Ibl + Ib12

Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos la + bl 5_ lal + Ibl.

Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1).

Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v). Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl lal + Ibl.

Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl la — b1).

Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem lal = Ic + bl Icl + 1bl lal — Ibl Icl lal — Ibl la — bl .

1.4 INTERVALOS

Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:

1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a < x < b} denota-se (a, b) ou ]a, b[.

1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b].

1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a < x b} denotase (a, b] ou ]a, b].

1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x < b} denotase [a, b) ou [a, b[.

1.4.5 Intervalos Infinitos.

(i){x I x > a} denota-se (a, + o) ou ] a, + o[; (i){x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + o [;

(i){x 1 x < b} denota-se (-0, b) ou ]— ao, b{; (iv){x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b].

Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos que seguem:

ex. 1.4.1 — (2, 3) ex. 1.4.2 — [O, 3] ex. 1.4.3 — (1, 4] ex. 1.4.4 — [O, 4)

1.5 EXEMPLOS

1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.

3+7x < 8x+9 3+7x-3 < 8x+9-3 7x < 8x + 6

7x-8x < 8x + 6 — 8x —x < 6 x >

(propriedade 1.2.5 iv)

(propriedade 1.2.5 iv)

(propriedade 1.2.5 i)

Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 0) é a solução, e graficamente

7 < 5x+35.9 7-3 < 5x+3-39-3 4 < 5x<_6

(propriedade 1.2.5 iv)

(propriedade 1.2.5 i)

Portanto, {x 1 4/5 < x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução, e graficamente

Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos. então, considerar dois casos:

Caso].Então, x + 7 > O ou x>-7 (propriedade 1.2.5 iv) x < 5 (x + 7) (propriedade 1.2.5 x < 5x + 35 x — 5x < 5x + 35 — 5x (propriedade 1.2.5 iv)

— 4 x < 35 x > — 35/4 (propriedade 1.2.5 i)

Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 0) é a solução do 4:354? 1.

Caso 2.Então,x+7 < O ou x< —7. 5(x + 7) x > 5x + 35 x < —35/4

Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 0, —35/4) é a solução do caso 2.

A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 0, —35/4) ou seja (— o, —35/4) u (-7, + co) ou ainda x e [-35/4, —7].

Graficamente,

(iv) (x + 5) (x — 3) > O. A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:

Caso 1. (x + 5) > O e (x — 3) > O ou x > —5 e x>3 ou x >

Caso 2. x + 5 < Oex-3<0 x < —5 e x < 3 ou x < —5.

A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3].

Geometricamente,

2. Resolva as equações:

(i) I5x — 31 = 7.

Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2 ou x = — 4/5.

Portanto, as duas soluções da equação dada são: x = 2 e x = - 4/5.

(i)I7x - 1 = I2x + 51. Esta equação será satisfeita se:

Caso 1. 7x-1 = 2x + 5 7x-2x = 5 +1 5x = 6 x = 6/5.

Caso 2. 7x -1 = -(2x +5) 7x -1 -2x-5 7x +2x = -5 +1

9x -4 x = - 4/9.

Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9.

(i)1 9x + 71 = -7.

Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo.

3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: (i) 17x-21<4.

Aplicando a propriedade 1.3.3 (i), -4 < 7x-2<4

-4+2 < 7x-2+2<4+2

-2 < 7x < 6

Portanto, x E (-2/7, 6/7).

7 - 2x

4 + x s 2, x o - 4.

Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv),

17 - 2x1

(i)3 - 2xs 4, x-2. 2 + x

13 - 2x1 s 4 12 + xl

-12x2- 76x -55sO

12x2+76x+5 O 12(x + 5/6) (x + 1/2) . O

Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a união de (— 0—1/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-1/2, —5/6).

4. Mostre que, se a,bERea<b, então

(i)(x — a) (x — b) > O x [a, b].

(i)(x — a) (x — b) O x (a, b). (i)(x — a) (x — b) <O x E (a, b).

(iv)(x — a) (x — b) < O x E [a, b].

Prova de (i). ((x — a) (x — b) > O x [a, b]). Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos:

Caso 1.x — a > O e x — b > O ou x > a e x > b.

A solução deste caso será x > b ou (b, + 0).

Caso 2.x—a < O e x—b<0 ou x < a e x < b.

A solução deste caso será x < a ou (— 0a). Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 0) ou seja x g [a. b]

Números reais 15 De maneira análoga pode-se provar as demais relações.

1.6 EXERCÍCIOS

1. Determinar todos os intervalos de números que representação gráfica.

a) 3 —x < 5 + 3x b)

satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a

g)1— x — 2x2 Oh)x + 1 x 2 — x 3 + x i)x3+1>x2+x(x2— 1) (x +4) 5_ O k)2 x + 21)x4 > x2< 1x — 2 — x — 2 x4<4n)1/2 x —rn) x — 3> 1 4 + x

s)8x3 — 4x2 — 2x + 1 < Ot)12x3 — 20x2 _ — 11x + 2.

2. Resolver as equações em R. a) 15x — 3 I = 12 c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I b) I —4+12x1=7 d)x + 2 x — 2 =5

16Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

3x + 8e)— 4f)13x+2I=5—x2x — 3 g)I9x1-1 = xh)2x-7=Ix1+1.

3. Resolver as inequações em R. a)I x + 121<7b)13x-41.<2 c) 15-6x1 9 d) 12x-51>3 e) 16+2x1<14—xl f) lx+415.12x-61

• g)13x1>15-2x1h)7 — 2x< 5 + 3x— 2

i)lx-1+1x+21>4j)_1<lx+21<4

k)2 +x

3 —x> 41)5 2x— 1

x — 2

1 m) lx1+1<x n). 31x-1+1xl<1 o) 12x2 +3x+3I 3 p) lx-1+1x-31<14x1

lx+ 111x — 31 — 5r)x— 1/2x + 1/2<1

s)3 — 2x 1 +x

4. Demonstrar: a)Se a Oeb O, então a2 = b2 se e somente se a = b.

1b)Se x < y, então x < —2 (x+ y)< y.

c)1 xl > a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O.

d)Se O < a < b, então "■,/, < a± 12 2

CAPÍTULO 2EDITORA

DAMAKRON Books

Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da matemática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R. As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real.

2.1 DEFINIÇÃO

Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f.

Escrevemos: f:. A —> B x —> f (x) f A —> B x — > y = f (x).

Funções 19 2.2 EXEMPLOS

Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. (i)f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.

(i)g: A --> B x --> x + 1 é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama.

2.3 CONTRA-EXEMPLOS

Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.

(i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.

(i) g: A — B x --> x - 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B. Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama.

2.4 DEFINIÇÃO

Seja f: A —> B.

i)Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da funçãof no ponto x ou imagem de x por f.

i)O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).

2.5 EXEMPLO

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A —> B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.

Então: — a regra que defmef é y = 2x;

—a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.;

—o domínio de f, D(f) = A;

—a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.

2.6 EXEMPLO

Seja f. R —> R x —> x2.

Então, D(f) = R, Im(f) = [0, + 0).

Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida.

2.7 EXEMPLOS

Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo:

(i) f (x) = 1/x. Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }.

Im(f) = 1? {0}.

(i) f (x) = Para x < O, f (x) não está definida. Então, D(f) = [o, + 0) e Im(f) = [O, + 0).

(i)f (x) = — 1. f (x) não está definida para x < 1. D(f) = [1, 0) e Im(f) = (— 0, O].

(iv)f (x) = lxl. D(f) = R e Im(f) = [O, + 0).

2.8 GRÁFICOS

2.8.1 Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,f (x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.

Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. No Capítulo 5, desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos.

2.8.2 Exemplos

(i) O gráfico da função f (x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) E R2 tais que y = x2. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares (x, x2) do plano xy. A Figura 2.1 nos mostra o gráfico desta função, onde salientamos alguns pontos, de acordo com a tabela.

Figura 2-1

(i)Consideremos a função f (x) = x. Os pontos de seu gráfico são os pares (x, x) e E2. A Figura 2.2 mostra este gráfico.

(Parte 1 de 3)

Comentários