Teorema do Confronto (Sanduíche), Notas de estudo de Matemática

Baixe Teorema do Confronto (Sanduíche) e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exerćıcios Resolvidos: Teorema do Confronto (Sandúıche) Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 06/03/2016 Como é o teorema? Se f(x) ≥ g(x) ≥ q(x) e lim x→a f(x) = lim x→a q(x) = L (com L ∈ R), então pode se afirmar que: lim x→a g(x) = L Exemplo 1: Mostre que lim x→0 ( x2sen ( 1 x )) é igual a zero. Solução: Partimos da seguinte desigualdade 1 ≥ sen ( 1 x ) ≥ −1 Multiplicando todos os termos por x2 x2 ≥ x2sen ( 1 x ) ≥ −x2 Como lim x→0 ( x2 ) = 0 e lim x→0 (−x2) = 0, então pelo teorema do confronto. lim x→0 ( x2sen ( 1 x )) = 0 Exemplo 2: Se 4x− 9 ≥ f(x) ≥ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim x→4 f(x). Solução: Como lim x→4 (x2 − 4x + 7) = lim x→4 (4x− 9) = 7 então pelo T.C. conclui-se que: lim x→4 f(x) = 7 1 Caderno de Exerćıcios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 3: Dado ∣∣∣∣g(x)− 2∣∣∣∣ ≤ 3(x− 1)2 para todo x, encontre limx→1 g(x). Solução: Pela definição de modulo tem-se que: −3(x− 1)2 ≤ g(x)− 2 ≤ 3(x− 1)2 2− 3(x− 1)2 ≤ g(x) ≤ 3(x− 1)2 + 2 Como lim x→1 ( 2− 3(x− 1)2 ) = lim x→1 ( 3(x− 1)2 + 2 ) = 2 então pelo T.C. se conclui que: lim x→1 g(x) = 2 Exemplo 4: Prove que lim x→0 ∣∣∣∣x · sen( 1x ) ∣∣∣∣ = 0 Solução: −1 ≤ sen ( 1 x ) ≤ 1 −x ≤ x · sen ( 1 x ) ≤ x como lim x→0 (−x) = lim x→0 (x) = 0 então pelo T.C.: lim x→0 ∣∣∣∣xsen( 1x ) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ limx→0 ( x · sen ( 1 x )) ∣∣∣∣ = |0| = 0 Exemplo 5: Determine o valor de lim x→∞ ( 2− cos(x) x + 3 ) Solução: Observe a seguinte desigualdade: −1 ≤ cos(x) ≤ 1 1 ≥ −cos(x) ≥ −1 2