Exercícios Resolvidos de Derivação por Limite, Notas de estudo de Matemática

Baixe Exercícios Resolvidos de Derivação por Limite e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Caderno de Exerćıcios Diego Alves Oliveira Exerćıcios Resolvidos: Derivação por Limite Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Utilizamos duas fórmulas f ′(x) = lim h→0 ( f(x + h)− f(x) h ) (1) f ′(a) = lim x→a ( f(x)− f(a) x− a ) (2) Onde (1) fornece a derivada da função e (2) o valor da derivada no ponto a. Exemplo 1: Calcule a derivada de f(x) = 1 2 x− 3 5 . Solução: O que desejamos é determinar uma função f ′(x), portanto utilizaremos a fórmula 1. f ′(x) = lim h→0  (1/2)(x + h)− (3/5)− ( 1 2 x− 3 5 ) h  = 1 2 h h = 1 2 Logo f ′(x) = 1 2 Exemplo 2: Calcule a derivada de f(x) = 5x2 − 3x + 7. Solução: O que desejamos é determinar uma função f ′(x), portanto utilizaremos a fórmula 1. f ′(x) = lim h→0 ( 5(x + h)2 − 3(x + h) + 7− (5x2 − 3x + 7) h ) f ′(x) = lim h→0 (10x + 5h− 3) = 10x− 3 1 Caderno de Exerćıcios Diego Alves Oliveira Exemplo 3: Calcule a derivada de f(x) = cos(3x). Solução: f ′(x) = lim h→0 ( cos(3(x + h))− cos(3x) h ) f ′(x) = lim h→0 ( cos(3x + 3h)− cos(3x) h ) Como cos(A+B) = cos(A)cos(B) − sen(A)sen(B). f ′(x) = lim h→0 ( cos(3x)cos(3h)− sen(3x)sen(3h)− cos(3x) h ) f ′(x) = lim h→0 ( cos(3x)(cos(3h)− 1)− sen(3x)sen(3h) h ) f ′(x) = lim h→0 ( cos(3x)(cos(3h)− 1) h − lim h→0 sen(3x)sen(3h) h ) f ′(x) = lim h→0 ( cos(3h− 1) 3h · 3cos(3x) ) − lim h→0 ( sen(3h) 3h · 3sen(3x) ) f ′(x) = 0 · 3cos(3x)− 1 · 3sen(3x) f ′(x) = −3sen(3x) Exemplo 4: Calcule a derivada de f ′(2) sendo f(x) = x2–3x + 4. Solução: Diferente dos outros exerćıcios até agora o que desejamos aqui é apenas o valor de f ′(2). Assim usaremos a fórmula (2). f ′(2) = lim h→2 ( (x2 − 3x + 4)− (22 − 3(2) + 4) x− 2 ) f ′(2) = lim h→2 ( x2 − 3x + 2 x− 3 ) = lim h→2 ( (x− 2)(x− 1) x− 2 ) f ′(2) = lim h→2 ( (x− 2)(x− 1) x− 2 ) = lim h→2 (x− 1) 2