O problema do burro

O problema do burro

O problema do burro

comprimentoQual o valor de para que o burro possa pastar uma fração (

Um burro é amarrado na cerca de um terreno circular de raio por uma corda de ) da área do terreno?

Solução

Sejaa circunferência do terreno e a circunferência correspondente ao burro.
As equações dee são
( )( )
onde
A região que o burro pode pastar é a região de cor verde. Sua área éA área
em amarelo-escuro é ( )Vamos calcular a área da região em amarelo-escuro.

Fazendo a mudança de variáveis

() ( )
() ( ) ( )

Temos: Pontos de intersecção:

x y

Fazendo 0 , temos que a região em amarelo-escuro é

*( , )| 00 +

Sua área é dada por

|

é o jacobiano da transformação { .

Agora

||||
∫∫

Então

∫∫

Pela simetria de

∫,( ) -
00 ( ) 0
,( ) - 0 0 0
,( ) - 0 √ 0 0
,( ) -
Lembrando que ( )obtemos
( ), ( ) -

Dividindo ambos os membros por obtemos

]

Fazendo encontramos

()
Resolvendo esta equação por métodos numéricos encontramosLogo o
comprimento da corda é

Pelo método de Newton-Raphson temos

com

( ) ()
( )

Por exemplo, para e 0 o método de Newton-Raphson fornece (veja a

tabela abaixo), e , , ou seja, para que o burro possa pastar
metade do terreno a corda deve ser aproximadamente ,maior do que o raio do

terreno.

Iteração (n)Erro relativo (%)

Para resolver este problema aparentemente simples usamos ferramentas matemáticas avançadas como

Geometria analítica (para escrever as equações das circunferências);

Mudança de sistema de coordenadas (neste caso foram usadas as coordenadas polares);

Cálculo de integrais duplas (para calcular a área da região);

Mudança de variáveis em integrais duplas (para operar em coordenadas polares);

Resolução de equações por métodos numéricos (recomenda-se usar softwares como o Excel ou o Geogebra 5 para esse cálculo).

Referências http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/burro/burro.htm Acessado em 12/06/2015

RUGGIERO, Márcia A. e LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1997.

STEWART, James. Cálculo. 6ª edição. São Paulo: Editora Cengage Thomson Learning, 2009. Vol. 2

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