Área de um quadrilátero qualquer

Área de um quadrilátero qualquer

Teorema (Bretschneider – von Staudt, 1842): Sejame as medidas dos lados de um

Área de um quadrilátero qualquer quadrilátero e e dois ângulos não adjacentes. A área desse quadrilátero é

√( )( )( )( )

onde é o semi-perímetro do quadrilátero. Demonstração:

A área do quadrilátero pode ser calculada como

( ) Pela lei dos cossenos

()
()
()

Somando (1) e (2) membro a membro temos: ( )

Usando a identidade

, temos:

()
()
()
()
() ( )
() ( )
[ () ( )][ ( ) ( )]
[() ( )][( ) ( )]
()( )( )( )
()( )( )( )
Fazendotemos:
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
() ( ) ( )( )( )( )

Agora [( ) ( ) ][( ) ( ) ] Substituindo esta identidade em (3) obtemos

( )( )( )( )
√( )( )( )( )

Note que esta fórmula também vale para os ângulos e , pois

Em particular, num quadrilátero cíclico (quadrilátero inscrito numa circunferência) temos que

̂

donde segue a fórmula de Brahmagupta

√( )( )( )( ) Teorema: A área de um quadrilátero de diagonais e é onde é o ângulo entre as diagonais. Demonstração:

A demonstração se baseia no seguinte fato: triângulos de bases iguais e alturas iguais têm áreas iguais.

convexo,e diagonais que medem
respectivamente ePor B trace o
segmento, por C o segmento
e por A o segmento .
Note que AC = EF = e

Caso 1: Seja ABCD um quadrilátero .

área do triângulo DEF. Como é a medida da base de DEF eé a medida da altura

Os triângulos BCD e BFD têm áreas iguais pela observação anterior. Pelo mesmo motivo as áreas dos triângulos BDA e BDE são iguais. Portanto a área do quadrilátero ABCD é igual a em relação à essa base, temos que a área de ABCD é

com diagonaise medindo respectivamen-
te eProlongue até intersectar no
BD =

Caso 2: Seja ABCD um quadrilátero côncavo ponto E. Marque o ponto F de forma que EF =

Os triângulos ABD e BCD têm áreas respectivamente iguais às dos triângulos AFE e CFE. Logo, ABCD e AFC têm áreas iguais. Como a área de

AFC é , segue o resultado desejado.

Corolário: Se ⃗ ⃗⃗ ⃗ e ⃗ são os lados de um quadrilátero (evidentemente ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗) e ⃗ ⃗ ⃗⃗ e ⃗ ⃗⃗ ⃗ são as diagonais, então a área do quadrilátero é

Teorema (Coolidge, 1939): A área de um quadrilátero de ladose ( não adjacente a

| ⃗ ⃗| e não adjacente a ) é

( )
()( )

Demonstração: Caso 1: Quarilátero convexo

Seja o ângulo entre as diagonais de medidas e . Elas se cruzam no ponto H dividindo-as nas

partes , ,e , onde e

Pela lei dos cossenos:

Multiplicando ambos os membros das primeira e terceira igualdades por e somando membro a membro as igualdades obtemos

()
()( )

Caso 2: Quarilátero côncavo

Procedendo do mesmo modo que no caso anterior temos pela lei dos cossenos:

() ( )
() ( )
[()( ) ( ) ]

Donde tiramos a igualdade Em ambos os casos vale a identidade

()

Dela tiramos ( )

Do teorema anterior:

()
()

Substituindo a relação (4):

( )

Daqui tiramos a primeira fórmula

()
()
()
() ( )
()

Para obter a segunda fórmula fazemos

()( )

Donde segue a segunda fórmula. Em particular, para um quadrilátero cíclico temos a relação

(Teorema de Ptolomeu)

Referências

J. L. Coolidge. “A historically interesting formula for the area of a quadrilateral”. American Mathematical Monthly 46, 345-347, 1939.

http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html https://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula

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