Binômio de Newton e Teorema Multinomial

Binômio de Newton e Teorema Multinomial

Binômio de Newton e Teorema Multinomial Teorema (binômio de Newton): Seja um número inteiro positivo. Então

( )(
)∑(
)

Vamos demonstrar este teorema de duas formas: usando a análise combinatória e usando o princípio da indução.

Demonstração 1: Vamos achar o termo geral da expansão de ( ) .

( ) ( )( )( ) ( )⏟
Ao efetuarmos as multiplicações encontramos parcelas do tipo
com fatores, isto é, fatores () iguais a e fatores iguais a , com os

’s e os ’s ordenados de várias maneiras. Logo, as parcelas da expansão são do tipo .

( ) ( )( )( ) ( )()
Mas comoe :
( )
Resta saber agora quantas parcelasaparecem na expansão, o que é fácil, pois as

Por exemplo, na expansão de ( ) , temos: ordenações dos ’s e dos ’s são do tipo permutação. Usamos assim a fórmula para o cálculo do número de permutações com elementos repetidos. Neste caso, o número é

Assim, agrupando os termos repetidos teremos o termo geral

)

( Somando todos estes termos, encontramos a fórmula

Vamos provar por indução sobreSe , então
( )(

Demonstração 2: ) (

)
Logo, a fórmula é válida paraSuponhamos que a fórmula é válida para algum .
Vamos verificar se é para
( )( )( ) ( )∑(
)
)
)
)
)

Observe que

)
)

e que

)
)(
)(
)
)
( )∑(
)
)
)(
)+
)+

Agora

( ) ()
()
()
()
( )

Logo

( )∑(
)
)∑(
) ( )
)
( )∑(
) ( )

Dessa forma, pelo princípio da indução, o teorema está provado. Observação:

Parae temos a fórmula
( )
( )

Pode-se provar que, se é um número real qualquer, então

para todos os valores de tais que | |

Em particular, temos a aproximação

Para | | pequeno. Por exemplo,

Teorema (expansão multinomial): Seja um número inteiro positivo. Então

de

onde é inteiro, , e estamos somando sobre todas as possibilidades

Vamos também demonstrar este teorema de duas formas: usando a análise combinatória e usando o princípio da indução.

Demonstração 1: Do mesmo modo que na expansão binomial, o termo geral é

ondeé inteiro, , e . Os ’s podem aparecer

em ordens diferentes, ocasionando produtos repetidos. As ordenações são do tipo permutação. Usando a fórmula para o cálculo do número de permutações com elementos repetidos, temos:

Logo, o termo geral é

() ∑

Portanto

Vamos provar por indução sobrePara :
Logo, a fórmula é válida para
Supondo ser verdade para vamos provar para
(( ))

Demonstração 2:

()
Fazendoe temos que e

Portanto

() ∑
()

Assim

Portanto, pelo princípio da indução, a fórmula é válida

∑ Observação: A fórmula acima pode ser escrita de maneira mais abreviada:

ou ainda denotando por (), ( ), | |
, | |,

, podemos escrever de maneira mais compacta como

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