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INVARIANTES TOPOLÓGICOS
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Vice-Reitor no exercício da Reitoria Julio Cezar Durigan Chefe de Gabinete Carlos Antonio Gamero Pró-Reitora de Graduação Sheila Zambello de Pinho Pró-Reitora de Pós-Graduação Marilza Vieira Cunha Rudge Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini Pró-Reitora de Extensão Universitária Maria Amélia Máximo de Araújo Pró-Reitor de Administração Ricardo Samih Georges Abi Rached Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto Universidade Estadual Paulista Prefaciais_Invariantes.indd 2 26/01/2012 15:21:25 PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Considerando a importância da produção de material didático-pedagó- gico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi- lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado sob demanda. Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade aca- dêmica mais esta obra, “Invariantes Topológicos”, de autoria dos Professores: Dra. Alice Kimie Miwa Libardi, Dr. João Peres Vieira e Dr. Thiago de Melo, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, espe- rando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado. Prefaciais_Invariantes.indd 5 26/01/2012 15:21:25 Prefaciais Invariantes.indd 6 26jon2o12 15:21:25
SUMÁRIO introdução 9 1 preliminares 11 2 conexão como invariante topológico 17 3 grupo fundamental 23 4 homologia simplicial 35 4.1. Cálculo de alguns grupos de homologia 49 4.2. O grupo de homologia como invariante topológico 55 5 característica de Euler 63 referências bibliográficas 73 índice remissivo 75 Prefaciais_Invariantes.indd 7 26/01/2012 15:21:25 Prefaciais Invariantes.indd 10 26jon2o12 15:21:25
i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 11 — #1 i i i i i i 1 PRELIMINARES A Topologia considera conjuntos que têm uma estrutura que permite a de- nição de continuidade. Essa estrutura foi originalmente determinada a partir de propriedades de conjuntos abertos de Espaços Euclidianos, que por sua vez originaram da noção de distância entre pontos. Em Geometria Analítica, vê-se que a circunferência no R2 de centro O = (0, 0) e raio r > 0 é o conjunto: C = {(x , y) ∈ R2, d((x , y), (0, 0)) = r}, onde d((x , y), (a, b)) = √ (x − a)2 + (y − b)2. Na realidade, d ∶ R2 × R2 Ð→ R é um exemplo de métrica, cuja denição damos abaixo. Definição 1.1. Sejam M um conjunto não vazio e d ∶ M × M Ð→ R uma função, tal que ∀x , y, z ∈ M, 1. d(x , y) ≥ 0 e d(x , y) = 0⇐⇒ x = y; 2. d(x , y) = d(y, x); 3. d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y, z). d é chamadamétrica e o par (M , d) é chamado de espaço métrico. Há outras formas de se denir uma distância no R2. Uma delas, conhecida como a métrica dos quarteirões, é dada por: d′((x , y), (a, b)) = max{∣ x − a ∣, ∣ y − b ∣}, onde (x , y) e (a, b) pertencem a R2. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 12 — #2 i i i i i i 12 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Em um espaço métrico (M , d) denimos uma bola aberta, de centro a e raio r, por: B(a, r) = {x ∈ M , d(x , a) < r}. Dizemos que um subconjunto A deM é um conjunto aberto se cada ponto de A é centro de uma bola aberta inteiramente contida em A. As bolas aber- tas formam uma base para o espaço métrico, no sentido de que cada conjunto aberto é uma reunião de bolas abertas. As propriedades de conjuntos abertos levam-nos à denição de um espaço topológico. Em geral, em um espaço topológico não há a noção de distância, são os conjuntos abertos que caracterizam o espaço. Definição 1.2. Dado um conjunto X ≠ ∅, uma topologia para X é uma coleção τ = {Aλ ∶ Aλ ⊂ X} satisfazendo: 1. ∅ e X pertencem a τ; 2. A interseção de um número nito de elementos de τ está em τ; 3. A reunião qualquer de elementos de τ está em τ. O par (X , τ) é chamado espaço topológico. Os elementos de τ são chama- dos de subconjuntos abertos de X e o complementar de um aberto de X é dito fechado em X. A denição de espaçométrico foi introduzida porMaurice Frechet em 1906, porém foi com a publicação do livro de Felix Hausdor, em 1912, que houve um grande desenvolvimento da Topologia Geral. Ressalte-se porém que as ideias já eram conhecidas e usadas porHenri Poincaré (1854–1912) desde 1895, conforme constam em seus diversos artigos (Analysis Situs). Definição 1.3. Seja X um espaço topológico com uma topologia τ. Se Y ⊂ X, a coleção τY = {Y ∩U ∣ U ∈ τ} é uma topologia em Y , chamada topologia induzida de X em Y . i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 15 — #5 i i i i i i Preliminares 15 Exemplo 1.11. Sejam S2 = {(x , y, z) ∈ R3 ∶ x2 + y2 + z2 = 1} a esfera unitária e p = (0, 0, 1) ∈ S2 o seu pólo norte. A projeção estereográca π ∶ S2 − {p}→ R2 estabelece um homeomorsmo entre a esfera menos o pólo norte e o plano. Tal homeomorsmo é dado por π(x , y, z) = ( x 1 − z , y 1 − z) cuja inversa φ ∶ R 2 → S2 − {p} é dada por φ(x , y) = ( 2x x2 + y2 + 1 , 2y x2 + y2 + 1 , x2 + y2 − 1 x2 + y2 + 1) . Duas das questões mais importantes em Topologia são de extensão e de classicação. Vamos abordar uma introdução ao problema de classicação, de- nindo a relação de equivalência entre espaços topológicos por: X ≡ Y ⇐⇒ X e Y são homeomorfos. Isto nos dá uma classicação de espaços topológicos através de invariantes topológicos. Um invariante topológico pode ser uma propriedade geométrica do espaço, um número associado a um espaço ou um sistema algébrico como um grupo, um anel ou ummódulo e tem a propriedade de que não se altera por homeomorsmos. Em geral é muito difícil dizer se dois espaços são homeomorfos. A Topo- logia Algébrica enfrenta o problema da seguinte maneira: associa ao espaço X um objeto G(X) satisfazendo a propriedade: “se X é homeomorfo a Y , então G(X) e G(Y) são iguais na sua categoria”. Neste trabalho, apresentaremos os seguintes invariantes topológicos: co- nexão, grupo fundamental, grupo de homologia simplicial e característica de Euler. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 16 — #6 i i i i i i i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 17 — #7 i i i i i i 2 CONEXÃO COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO A conexão pode ser vista como um invariante topológico de duas formas: a partir de suas próprias propriedades ou através de grupos que são associados ao espaço topológico. Esses grupos dão informações sobre a conexidade e o número de componentes conexas (ou conexas por caminhos) desse espaço. Se dois espaços são conexos ou têm o mesmo número de componentes conexas, então esses grupos associados são isomorfos. Para o entendimento deste capítulo o leitor necessitará de conhecimentos básicos em Espaços Métricos (vide [5]). Vamos relembrar aqui o Teorema do Valor Intermediário, que considera- mos um dos mais importantes do Cálculo Diferencial: Teorema 2.1. Se f ∶ [a, b]→ R é uma função contínua e r é um número entre f (a) e f (b), então existe um número real c entre a e b tal que f (c) = r. Na realidade, o que o teorema diz é que a imagem de [a, b] por uma função contínua é um intervalo. Esse teorema não depende só da continuidade de f , mas de uma propriedade de [a, b] que é a conexão. A ideia de conexão generaliza a ideia intuitiva de algo que não pode ser separado, embora nem sempre seja esse o caso. Um exemplo de espaço que pode ser separado é R∗ = R − {0}. Esse espaço se decompõe em duas semi- retas que são conjuntos abertos e fechados em R∗. Definição 2.2. Um espaço topológico X é conexo se os únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são o ∅ e o X; ou equivalentemente, X é conexo se A e B são abertos disjuntos tais que X = A∪B então A = ∅ ou B = ∅. Nesse caso dizemos que X só assume a cisão trivial. Exemplo 2.3. O conjunto Y = [−1, 0) ∪ (0, 1] ⊂ R, com a topologia induzida da topologia usual de R, não é conexo. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 20 — #10 i i i i i i 20 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Teorema 2.9. Os intervalos da reta dividem-se nas seguintes classes de equiva- lência dadas pela relação “≡”. i) (a, b), (a,∞), (−∞, b) e R; ii) [a, b), (a, b], [a,∞) e (−∞, b]; iii) [a, b]. Demonstração. Observemos de início que [a, b) é homeomorfo a [a,∞), pelo homeomorsmo ϕ ∶ [a, b)→ [a,∞) dado por ϕ(x) = tan( π2 ( x−a b−a )) + a. A restrição de ϕ ao intervalo (a, b) nos fornece um homeomorsmo entre (a, b) e (a,∞). Um homeomorsmo entre [a, b) e (a, b] é dado por д(x) = (a + b) − x. Os demais homeomorsmos são imediatos. Suponhamos que h ∶ [c, d) → (a, b) seja um homeomorsmo. Então h∣[c,d)−{c} ∶ (c, d) → (a, b) − {h(c)} é também um homeomorsmo, porém (c, d) é conexo e (a, b) − {h(c)} não o é. Logo, pela Proposição 2.5, (a, b) e [c, d) não são homeomorfos. Usando raciocínio análogo, pode-se provar que (a, b) e [c, d] não são ho- meomorfos e também não o são [a, b) e [c, d]. Vamos terminar esse capítulo com um exemplo que dá uma introdução às técnicas usadas em Topologia Algébrica. Exemplo 2.10. Seja X um um espaço topológico. Consideremos o conjunto H0(X) = { f ∶ X → Z, tal que f é contínua} munido da operação soma usual de funções. Notemos que sendo f e д contí- nuas tem-se que f + д é contínua. Essa operação dá a H0(X) uma estrutura de grupo abeliano. Se X é conexo então as únicas aplicações contínuas de X em Z são as cons- tantes, uma vez que os únicos conexos de Z são os conjuntos unitários e por- tanto H0(X) ≅ Z. Observemos que se X = ∅ então H0(X) = 0, o grupo trivial. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 21 — #11 i i i i i i Conexão como invariante topológico 21 Sejam X e Y espaços topológicos e f ∶ X → Y uma aplicação contínua. Denimos a aplicação f ∗ ∶ H0(Y)→ H0(X) induzida de f por f ∗(ϕ) = ϕ ○ f . Dados ϕ eψ emH0(Y), tem-se que: f ∗(ϕ+ψ) = (ϕ+ψ)○ f = ϕ○ f +ψ○ f = f ∗(ϕ) + f ∗(ψ), o que mostra que f ∗ é um homomorsmo de grupos. A aplicação Id∗ ∶ H0(X) → H0(X) induzida da aplicação identidade Id ∶ X → X é o homomorsmo identidade. Se f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z são funções contínuas entre espaços topológicos, então (д ○ f )∗ = f ∗ ○ д∗. De fato, para todo ϕ ∈ H0(Z), tem-se (д ○ f )∗(ϕ) = ϕ ○ (д ○ f ) = f ∗(ϕ ○ д) = ( f ∗ ○ д∗)(ϕ). Segue que se f ∶ X → Y é um homeomorsmo então f ∗ é um isomorsmo. A recíproca não é verdadeira, como mostra o exemplo abaixo. Sejam X = S1 e Y = R. Ambos são conexos, logo H0(S1) = H0(R) ≅ Z, porém S1 não é homeomorfo a R. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 22 — #12 i i i i i i i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 25 — #15 i i i i i i Grupo fundamental 25 Sejam λ, γ, ϕ ∈ Ω(X , x0) tais que γ ∼ λ e λ ∼ ϕ, por homotopias H0, H1, respectivamente. Denindo-se H ∶ I × I → X (t, s) → ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H0(t, 2s), s ∈ [0, 12] , H1(t, 2s − 1), s ∈ [ 12 , 1] , tem-se, pelo Lema da Colagem (1.8), que H é contínua, pois H0(t, 1) = λ(t) = H1(t, 0) eH0 eH1 são contínuas, ambas denidas em intervalos fechados. Além disso H(t, 0) = H0(t, 0) = γ(t), H(t, 1) = H1(t, 1) = ϕ(t), H(0, s) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H0(0, 2s) = x0, s ∈ [0, 12] , H1(0, 2s − 1) = x0, s ∈ [ 12 , 1] , e H(1, s) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H0(1, 2s) = x0, s ∈ [0, 12] , H1(1, 2s − 1) = x0, s ∈ [ 12 , 1] . Segue que γ ∼ ϕ. Denotamos por π1(X , x0) o conjunto quociente Ω(X , x0)/ ∼. Primeiramente observemos que: para quaisquer α, β, α′, β′ ∈ Ω(X , x0) tais que α ∼ α′ e β ∼ β′, por homotopias H e G, respectivamente, podemos denir F ∶ I × I → X por (t, s) → ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H(2t, s), t ∈ [0, 12] , G(2t − 1, s), t ∈ [ 12 , 1] . Como para t = 1/2, H(1, s) = x0 = G(0, s) e G ,H são funções contínuas, ambas denidas em intervalos fechados, o Lema da Colagem (1.8) nos garante que F é contínua. Além disso, F(t, 0) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H(2t, 0), t ∈ [0, 12] , G(2t − 1, 0), t ∈ [ 12 , 1] , F(t, 1) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H(2t, 1), t ∈ [0, 12] , G(2t − 1, 1), t ∈ [ 12 , 1] , i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 26 — #16 i i i i i i 26 INVARIANTES TOPOLÓGICOS = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ α(2t), t ∈ [0, 12] , β(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] , = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ α′(2t), t ∈ [0, 12] , β′(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] , = (α ∗ β)(t), = (α′ ∗ β′)(t), e também F(0, s) = H(0, s) = x0 = G(1, s) = F(1, s), mostrando assim que α ∗ β ∼ α′ ∗ β′. Segue que temos bem denida a operação ⋅ ∶ π1(X , x0) × π1(X , x0) → π1(X , x0), ([α], [β]) → [α] ⋅ [β] = [α ∗ β]. Teorema 3.4. O par (π1(X , x0), ⋅) é um grupo, chamado grupo fundamental de X com ponto base x0. Demonstração. Para quaisquer [α], [β], [γ] em π1(X , x0), mostremos que ([α] ⋅ [β]) ⋅ [γ] = [α] ⋅ ([β] ⋅ [γ]), isto é, vale a propriedade associativa. De fato, ((α ∗ β) ∗ γ)(t) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ α(4t), t ∈ [0, 14], β(4t − 1), t ∈ [ 14 , 1 2], γ(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1], (α ∗ (β ∗ γ))(t) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ α(2t), t ∈ [0, 12], β(4t − 2), t ∈ [ 12 , 3 4], γ(4t − 3), t ∈ [ 34 , 1]. Ilustramos esses caminhos pelos seguintes diagramas, que podem ser usa- dos para obter as descrições algébricas dos caminhos em questão. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 27 — #17 i i i i i i Grupo fundamental 27 α β γ 0 1 4 1 2 1 (α ∗ β) ∗ γ α β γ 0 3 4 1 2 1 α ∗ (β ∗ γ) Por exemplo, considere (α ∗ β) ∗ γ. Para 1/4 ≤ t ≤ 1/2 utilizamos β e a compomos com a função linear ϕ ∶ [1/4, 1/2]→ [0, 1] denida por ϕ(t) = 4t−1. Para construir uma homotopia entre α∗(β∗γ) e (α∗β)∗γ consideremos a gura a seguir, onde r em são os segmentos determinados pelas retas r ∶ t = s+14 e m ∶ t = s+24 . Figura 3.1: Homotopia entre (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ) t s 1 4 1 2 1 2 3 4α β γ α β γ s r m α β γ 0 1s+1 4 s+2 4 Para um dado valor de s, usamos α no intervalo [0, s+14 ], β no intervalo [ s+14 , s+2 4 ] e γ no intervalo [ s+2 4 , 1]. Denimos então a seguinte homotopia H(t, s) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ α( 4t s+1), t ∈ [0, s+1 4 ] , β(4t − s − 1), t ∈ [ s+14 , s+2 4 ] , γ( 4t−s−22−s ), t ∈ [ s+2 4 , 1] . Temos que H é contínua, H(t, 0) = ((α ∗ β) ∗ γ)(t), H(0, s) = α(0) = x0, H(t, 1) = (α ∗ (β ∗ γ))(t), H(1, s) = γ(0) = x0, o que mostra que (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 30 — #20 i i i i i i 30 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Sejam [α], [β] ∈ π1(X; x0). Devemos mostrar que γ#([α] ⋅ [β]) = γ#([α]) ⋅ γ#([β]). Observemos que, se γ ∈ Ω(X; x0, x1), então γ ∗ γ−1 ∼ cx0 , onde cx0 ∶ I → X é dado por cx0(t) = x0,∀t ∈ I. Denamos H ∶ I × I → X por H(t, s) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 1−s2 ], γ−1(s), t ∈ [ 1−s2 , 1+s 2 ], γ−1(2t − 1), t ∈ [ 1+s2 , 1]. Então, H é uma homotopia entre γ ∗ γ−1 e cx0 , pois desde que, para t = 1−s2 , γ(2t) = γ(1 − s) = γ−1(s) e, para t = 1+s2 , γ −1(s) = γ−1(2t − 1). Além disso, H(t, 0) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 12], γ−1(0), t = 12 , γ−1(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1], H(t, 1) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(2t), t = 0, γ−1(1), t ∈ [0, 1], γ−1(2t − 1), t = 1, = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 12], γ−1(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1], = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(0) = x0, t = 0, γ−1(s) = x0, t ∈ [0, 1], γ−1(1) = x0, t = 1, = γ ∗ γ−1(t), ∀t ∈ I, = cx0(t), ∀t ∈ I, e H(0, s) = γ(0) = x0 e H(1, s) = γ−1(1) = x0. Assim, γ ∗ γ−1 ∼ cx0 ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ α ∗ cx0 ∼ α ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∼ α ∗ β ⇒ α ∗ β ∼ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ⇒ γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ ∼ γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ. Então, γ#([α] ⋅ [β]) = γ#([α ∗ β]) = [γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ] = = [γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ] = [γ−1 ∗ α ∗ γ][γ−1 ∗ β ∗ γ] = = γ#([α]) ⋅ γ#([β]). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 31 — #21 i i i i i i Grupo fundamental 31 Finalmente, mostremos que γ# é bijetor. Injetividade: seja [α] ∈ π1(X; x0) tal que γ#([α]) = ex1 = [cx1]. Então: [γ−1 ∗ α ∗ γ] = [cx1]⇒ γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ cx1 ⇒ γ ∗ γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ cx0 ∗ α ∗ cx0 ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ α ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ α ∼ γ ∗ γ−1 ⇒ α ∼ cx0 ⇒ [α] = ex0 , desde que γ ∗ cx1 ∼ γ, pois K ∶ I × I → X dada por K(t, s) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ( 2t s+1), t ∈ [0, s+1 2 ], x1, t ∈ [ s+12 , 1], é uma homotopia entre γ ∗ cx1 e γ, uma vez que K é contínua pelo Lema da Colagem (1.8), K(t, 0) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 12], x1, t ∈ [ 12 , 1], K(t, 1) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ(t), t ∈ [0, 1], x1, t = 1, = γ ∗ cx1(t), ∀t ∈ I; = γ(t), ∀t ∈ I; e K(0, s) = γ(0) = x0 e K(1, s) = x1. Portanto γ# é injetor. Sobrejetividade: dado [β] ∈ π1(X; x1), tome [γ ∗ β ∗ γ−1] ∈ π1(X; x0). Então γ#([γ ∗ β ∗ γ−1]) = [γ−1 ∗ γ ∗ β ∗ γ−1 ∗ γ] = [cx1 ∗ β ∗ cx1] = [β]. Assim, γ# é sobrejetor. Portanto γ# é um isomorsmo e π1(X; x0) e π1(X; x1) são isomorfos. Por este teorema, podemos ver que o grupo fundamental de um espaço to- pológico independe do ponto base considerado, se o espaço for conexo por ca- minhos. Neste caso, denotaremos π1(X; x0) simplesmente por π1(X). Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Observemos que f ○ α é um laço em f (x0), pois f ○ α ∶ [0, 1] → Y t → ( f ○ α)(t) é contínua e ( f ○ α)(0) = f (x0) = ( f ○ α)(1). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 32 — #22 i i i i i i 32 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Sejam α e α′ dois laços em x0 tais que α ∼ α′, por uma homotopia G. Denimos H ∶ I × I → Y por H(t, s) = ( f ○G)(t, s) e observamos que H é contínua, pois f e G o são. Além disso, H(t, 0) = f ○G(t, 0) = ( f ○ α)(t), H(0, s) = f ○G(0, s) = f (x0), H(t, 1) = f ○G(t, 1) = ( f ○ α′)(t), H(1, s) = f ○G(1, s) = f (x0). Portanto f ○ α ∼ f ○ α′ e podemos dar a seguinte denição. Definição 3.6. Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Denimos f#, a induzida de f , por f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , f (x0)) [α]→ [ f ○ α]. Proposição 3.7. Sejam f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z aplicações contínuas, onde X ,Y e Z são espaços topológicos com x0 ∈ X, y0 = f (x0) ∈ Y e z0 = д(y0) ∈ Z. Então: 1. f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , y0) é um homomorsmo. 2. (д ○ f )# = д# ○ f#. 3. Id# é o homomorsmo identidade do π1(X , x0), onde Id ∶ X → X é a aplicação identidade. Demonstração. 1. Primeiramente observamos que para quaisquer laços α e β, temos f ○(α∗β) = ( f ○ α) ∗ ( f ○ β). De fato, para todo t ∈ I temos ( f ○ (α ∗ β))(t) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ f (α(2t)), t ∈ [0, 12], f (β(2t − 1)), t ∈ [ 12 , 1], = (( f ○ α) ∗ ( f ○ β))(t). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 35 — #25 i i i i i i 4 HOMOLOGIA SIMPLICIAL O objetivo deste capítulo é associar um grupo a um dado espaço topoló- gico, chamado grupo de homologia simplicial, e usar sua estrutura para obter propriedades topológicas e geométricas do espaço. Há outros tipos de grupos de homologia que poderiam ser tratados como invariantes topológicos. Optamos pela homologia simplicial pela sua aborda- gem geométrica que a torna mais acessível aos alunos de graduação. Para maiores detalhes, sugerimos a leitura dos livros [1, 7]. Definição 4.1. Um conjunto A = {a0, a1, . . . , ak} ⊂ Rn é geometricamente independente se, e somente se, nenhum hiperplano de dimensão (k − 1) con- tém A. Assim, A é geometricamente independente se todos os pontos são distin- tos, nenhum 3 deles estão em uma reta, nenhum 4 deles estão em um plano e nenhum p deles estão em um (p − 2)-hiperplano. Definição 4.2. Seja A = {a0, a1, . . . , ak} um conjunto geometricamente inde- pendente. O simplexo geométrico k-dimensional ou k-simplexo gerado por A, denotado por σ k , é o conjunto dos pontos x ∈ Rn para os quais existemnúmeros reais não negativos λ0, . . . , λk tais que x = ∑ki=0 λiai e∑ki=0 λi = 1. Os números λ0, . . . , λk são chamados coordenadas baricêntricas e os pon- tos a0, . . . , ak são chamados vértices de σ k . O k-simplexo geométrico aberto gerado por A é o conjunto de todos x ∈ σ k tais que as coordenadas baricêntricas são positivas. Um 0-simplexo é um ponto; um 1-simplexo é um segmento fechado e um 1-simplexo aberto é um segmento sem os extremos; um 2-simplexo é um tri- ângulo (interior e fronteira) e um 2-simplexo aberto é o interior do triângulo; i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 36 — #26 i i i i i i 36 INVARIANTES TOPOLÓGICOS um 3-simplexo é um tetraedro (interior e fronteira) e um 3-simplexo aberto é o interior do tetraedro. Definição 4.3. Um simplexo σ k é uma face de um simplexo σn, k ≤ n, se cada vértice de σ k é um vértice de σn. As faces de σn distintas de σn são chamadas faces próprias. Se σn é o simplexo de vértices a0, . . . , an, escrevemos σn = ⟨a0 . . . an⟩. Com essa notação, as faces do 2-simplexo ⟨a0a1a2⟩ são: ⟨a0a1a2⟩, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩ e ⟨a2⟩. Definição 4.4. Dois simplexos σm e σn são propriamente ligados se σm ∩ σn é vazia ou se σm ∩ σn é uma face de σm e de σn. (a) propriamente ligados (b) não propriamente ligados Definição 4.5. Um complexo simplicial é uma família nita K de simplexos que são propriamente ligados e cada face de um elemento de K é também um elemento de K. A dimensão de K é o maior inteiro positivo r tal que K tem um r-simplexo. A reunião de todos os elementos de K com a topologia induzida de Rr , denotada por ∣K∣, é chamada o poliedro associado a K. Exemplo 4.6. O complexo simplicial K abaixo, onde não estamos conside- rando o 3-simplexo ⟨a0a1a2a3⟩ e o 2-simplexo ⟨a1a5a6⟩, é constituído por qua- tro 2-simplexos, dez 1-simplexos e sete 0-simplexos e tem dimensão 2. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 37 — #27 i i i i i i Homologia simplicial 37 a0 a1 a3 a4a5 a6 a2 Definição 4.7. Seja X um espaço topológico. Se existe um complexo simplicial K cujo poliedro associado é homeomorfo a X, dizemos que X é triangulável e K é uma triangulação de X. Exemplo 4.8. Consideremos a esfera S2. O complexo simplicial K = {⟨a0a1a2⟩, ⟨a0a1a3⟩, ⟨a0a2a3⟩, ⟨a1a2a3⟩, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a0a3⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a1a3⟩, ⟨a2a3⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩, ⟨a3⟩} tem poliedro associado homeomorfo a esfera S2. a1 a2 a3 a0 Definição 4.9. O fecho de um k-simplexo σ k , denotado por σ k , é o complexo simplicial constituído de σ k e todas as suas faces. Exemplo 4.10. Seja σ2 = ⟨a0a1a2⟩. Então o fecho de σ2 é dado por σ2 = {σ2, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩} . Definição 4.11. Se K é um complexo simplicial de dimensão n e r ≤ n, então o r-esqueleto deK é o complexo simplicialK(r) constituído de todos os simplexos de K de dimensão menor ou igual que r. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 40 — #30 i i i i i i 40 INVARIANTES TOPOLÓGICOS visto que são os únicos que são faces de σ p e têm σ p−2 como face. Analisemos os quatro casos determinados pelas orientações de σ p−11 e σ p−1 2 . Podemos ter: +σ p−111 = +⟨av0 . . . vp−2⟩ ou +σ p−1 12 = −⟨av0 . . . vp−2⟩, +σ p−121 = +⟨bv0 . . . vp−2⟩ ou +σ p−1 22 = −⟨bv0 . . . vp−2⟩. Temos então os seguintes números de incidência: [σ p , σ p−111 ] = −1, [σ p , σ p−112 ] = +1, [σ p , σ p−121 ] = −1, [σ p , σ p−122 ] = +1, [σ p−111 , σ p−2] = +1, [σ p−112 , σ p−2] = −1, [σ p−121 , σ p−2] = +1, [σ p−122 , σ p−2] = −1. Portanto [σ p , σ p−111 ] ⋅ [σ p−1 11 , σ p−2] = (−1) ⋅ (+1) = −1, [σ p , σ p−112 ] ⋅ [σ p−1 12 , σ p−2] = (+1) ⋅ (−1) = −1, [σ p , σ p−121 ] ⋅ [σ p−1 21 , σ p−2] = (+1) ⋅ (+1) = +1, [σ p , σ p−122 ] ⋅ [σ p−1 22 , σ p−2] = (−1) ⋅ (−1) = +1, donde segue que ∑ σ p−1∈K [σ p , σ p−1] ⋅ [σ p−1, σ p−2] = 2 ∑ i , j=1 [σ p , σ p−1i j ] ⋅ [σ p−1 i j , σ p−2] = 0, o que conclui a demonstração. Definição 4.18. SejamK um complexo simplicial orientado e {σ pi } αp i=0 a família dos p-simplexos de K, onde αp denota o número de p-simplexos. Uma cadeia p-dimensional (ou uma p-cadeia) é uma função cp ∶ {σ pi } αp i=0 → Z tal que cp(−σ pi ) = −cp(+σ p i ). Uma 0-cadeia é uma função c0 ∶ {0-simplexos}→ Z. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 41 — #31 i i i i i i Homologia simplicial 41 O conjunto Cp(K) de todas as p-cadeias com a operação adição de funções é um grupo abeliano, chamado grupo das p-cadeias. Uma p-cadeia é elementar quando existe um p-simplexo σ p ∈ K tal que cp(τp) = 0, para todo p-simplexo τp ∈ K, distinto de σ p. Neste caso denotamos cp por дσ p, onde д = cp(+σ p). Com essa notação, toda p-cadeia dp pode ser escrita como uma soma formal nita de p-cadeias elementares dp = αp ∑ i=0 дiσ p i , дi = c i p(+σ p i ). Definição 4.19. Se дσ p é uma p-cadeia elementar com p ≥ 1, o bordo de дσ p, denotado por ∂(дσ p), é denido por: ∂(дσ p) = αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ]дσ p−1 i . O operador bordo ∂ ∶ Cp(K)→ Cp−1(K), ∂(cp) = αp ∑ i=0 ∂(дiσ pi ), onde cp = αp ∑ i=0 дiσ p i , é obtido estendendo por linearidade a denição anterior. O operador bordo de C0(K) é o homomorsmo identicamente nulo. Teorema 4.20. Se K é um complexo orientado e p ≥ 2 então ⋯ // Cp(K) ∂ // Cp−1(K) ∂ // Cp−2(K) // ⋯ é uma sequência semi-exata, isto é, ∂2 = 0. Demonstração. Seja cp ∈ Cp(K) qualquer. Então cp = αp ∑ i=0 дiσ p i , onde дiσ p i são p-cadeias elementares. Como ∂ é um homomorsmo, basta provarmos para p-cadeias do tipo дσ p. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 42 — #32 i i i i i i 42 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Temos que ∂2 (дσ p) = ∂ ( αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ]дσ p−1 i ) = αp−1 ∑ i=0 ∂ ([σ p , σ p−1i ]дσ p−1 i ) = αp−1 ∑ i=0 ⎛ ⎝ αp−2 ∑ j=0 [σ p , σ p−1i ][σ p−1 i , σ p−2 j ]дσ p−2 j ⎞ ⎠ = αp−2 ∑ j=0 ( αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ][σ p−1 i , σ p−2 j ]) дσ p−2 j . Pelo Teorema 4.17, observamos que αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ][σ p−1 i , σ p−2 j ] = 0, de onde segue o resultado. Definição 4.21. Sejam K um complexo simplicial orientado e p ≥ 0. Um p- ciclo de K, é uma p-cadeia zp tal que ∂(zp) = 0. Dizemos que bp é um p-bordo se existir uma (p + 1)-cadeia cp+1 tal que ∂(cp+1) = bp. Denotemos por Zp(K) o conjunto de todos os p-ciclos de K. Observe- mos que Zp(K) é o núcleo do homomorsmo bordo ∂ ∶ Cp(K) → Cp−1(K) e C0(K) = Z0(K), pois ∂(C0(K)) = 0. O conjunto dos p-bordos, denotado por Bp(K), é constituído pela imagem de ∂ ∶ Cp+1(K) → Cp(K). Se K tem dimensão n, não há cadeias de dimensão maior que n. Logo Cp(K) = 0, para p > n, e portanto Bn(K) = 0. Se K é um complexo orientado de dimensão n, então Bp(K) ⊂ Zp(K), 0 ≤ p ≤ n. De fato, se bp ∈ Bp(K), existe cp+1 ∈ Cp+1(K) tal que ∂(cp+1) = bp. Então ∂(bp) = ∂2(cp+1) = 0 e portanto bp ∈ Zp(K). Definição 4.22. Sejamwp e zp em Zp(K). Dizemos quewp e zp são homólogos se wp − zp ∈ Bp(K). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 45 — #35 i i i i i i Homologia simplicial 45 Observemos que B2(K) ≅ 0, pois não existem 3-cadeias em K. Estamos agora em condições de determinar os grupos de homologia do complexo simplicial orientado K. Seja c0 = д0⟨a0⟩ + д1⟨a1⟩ + д2⟨a2⟩ uma 0-cadeia qualquer. Temos que c0 = ∂(д1⟨a0a1⟩ + д2⟨a0a2⟩) + (д0 + д1 + д2)⟨a0⟩, ou seja, c0 − (д0 + д1 + д2)⟨a0⟩ = ∂(д1⟨a0a1⟩+ д2⟨a0a2⟩). Portanto todo 0-ciclo c0 é homólogo a um múltiplo de ⟨a0⟩. Segue que H0(K) ≅ Z. Dos cálculos acima, temos que Z1(K) ≅ B1(K) e portanto H1(K) ≅ 0. Segue também que H2(K) ≅ 0, pois Z2(K) ≅ 0. Definição 4.24. Dizemos que um espaço topológico de Hausdor é uma n- variedade se, para cada ponto, existe um aberto que o contém e que é homeo- morfo a uma bola aberta do Rn. Definição 4.25. Por um Toro entendemos o espaço quociente T2 = I × I∼ onde I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação denida por (x , 0) ∼ (x , 1) e (0, y) ∼ (1, y). Definição 4.26. Por uma Garrafa de Klein entendemos o espaço quociente KB = I × I∼ onde I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação denida por (x , 0) ∼ (x , 1) e (0, y) ∼ (1, 1 − y). Definição 4.27. Por um Plano Projetivo entendemos o espaço quociente P2 = S2 x ∼ (−x) , onde S 2 é a esfera unitária do R3. Uma superfície é uma 2-variedade compacta e conexa. As superfícies mais conhecidas são a esfera S2, o toro T2, a garrafa de Klein KB, o plano projetivo real P2, além daquelas obtidas dessas por somas conexas. De fato, essas são todas as superfícies (ver Teorema 5.14 do capítulo 5). Definição 4.28. Uma n-pseudovariedade é um complexo K com as seguintes propriedades: i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 46 — #36 i i i i i i 46 INVARIANTES TOPOLÓGICOS 1. Cada simplexo de K é uma face de algum n-simplexo de K. 2. Cada (n − 1)-simplexo é face de exatamente dois n-simplexos de K. 3. Dado um par σn1 e σ n 2 de n-simplexos de K, existe uma sequência de n- simplexos começando em σn1 e terminando em σ n 2 tal que quaisquer dois termos consecutivos dessa sequência tem uma (n − 1)-face comum. Para n = 2, essa denição é equivalente à denição de uma triangulação de uma superfície (lembrando que no nosso contexto, as superfícies são variedades sem bordo). Exemplo 4.29. A triangulação do toro dada abaixo é um exemplo de uma 2-pseudovariedade. a1 a7 a8 a1 a0 a3 a4 a0 a2 a5 a6 a2 a0 a3 a4 a0 Definição 4.30. Por uma faixa de Möebius entendemos o espaço quociente FM = I × I(0, y) ∼ (1, 1 − y) , onde I denota o intervalo fechado [0, 1]. Exemplo 4.31. A faixa de Möebius d e f a a b c d não é uma 2-pseudovariedade, pois existem 1-simplexos, por exemplo ⟨e f ⟩, que são faces de apenas um 2-simplexo, no caso ⟨b f e⟩. Portanto não satisfaz a con- dição (2) da Denição 4.28. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 47 — #37 i i i i i i Homologia simplicial 47 Definição 4.32. Seja K uma n-pseudovariedade. Para cada (n − 1)-simplexo σn−1 de K, consideremos σn1 e σ n 2 os dois n-simplexos dos quais σ n−1 é face. Uma orientação para K com a propriedade [σn1 , σn−1] = −[σn2 , σn−1] para cada (n − 1)-simplexo σn−1 de K é chamada uma orientação coerente de K. Uma n-pseudovariedade é orientável se a ela pode ser associada uma orientação coerente. Caso contrário, ela é não orientável. Exemplo 4.33. Seja T o toro com orientação induzida por a < b < c < d < e < f < д < h < i. a b c a e i h e d f д d a b c a Em todas as 1-faces temos coerência na orientação. Como exemplo consi- dere a 1-face ⟨h f ⟩ e observe que [⟨ih f ⟩, ⟨h f ⟩] = 1 e [⟨ f hд⟩, ⟨h f ⟩] = −1. Por- tanto o toro é orientável. Exemplo 4.34. Se à faixa de Möebius acrescentarmos do lado direito os dois 2-simplexos ⟨ade⟩ e ⟨abe⟩ e orientarmos conforme a gura abaixo d e f a b a b c d e i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 50 — #40 i i i i i i 50 INVARIANTES TOPOLÓGICOS = (д0 − д5)⟨ad⟩ + д0⟨de⟩ − (д0 + д1)⟨ae⟩ + д1⟨ab⟩ + (д1 + д2)⟨be⟩ + д2⟨e f ⟩ − (д2 + д3)⟨b f ⟩ + д3⟨bc⟩ + (д3 + д4)⟨c f ⟩ + (д4 + д5)⟨ac⟩ − д4⟨a f ⟩ + д5⟨cd⟩. Assim ∂(w) = 0 se, e somente se, д0 = д1 = д2 = д3 = д4 = д5 = 0. Portanto w = 0 e então Z2(FM) = 0. Logo H2(FM) = 0. Além disso, considere as seguintes 1-cadeias: z = ⟨ab⟩ + ⟨bc⟩ + ⟨cd⟩ − ⟨ad⟩, z′ = ⟨ad⟩ + ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ − ⟨a f ⟩. Temos que ∂(z) = ⟨b⟩ − ⟨a⟩ + ⟨c⟩ − ⟨b⟩ + ⟨d⟩ − ⟨c⟩ − (⟨d⟩ − ⟨a⟩) = 0 e analogamente ∂(z′) = 0. Portanto z e z′ são 1-ciclos. Observe ainda que z−z′ = ∂(⟨abe⟩+⟨bc f ⟩+⟨acd⟩−⟨ac f ⟩−⟨be f ⟩−⟨ade⟩) e z é homólogo a z′. Pode-se provar de maneira análoga, que qualquer 1-ciclo é homólogo a z. Então H1(FM) = {[дz] ∶ д ∈ Z} ≅ Z. Armamos também que quaisquer duas 0-cadeias são homólogas a ⟨a⟩. Por exemplo, ⟨a⟩ − ⟨e⟩ = ∂(−⟨ae⟩), donde ⟨e⟩ é homólogo a ⟨a⟩. Portanto H0(FM) = {[д⟨a⟩] ∶ д ∈ Z} ≅ Z. Exemplo 4.38. Consideremos a esfera unitária S2 de R3 com a triangulação K da gura abaixo e com a orientação induzida dada por a < b < c < d. c a b d CalculemosH2(K). Observemos primeiramente que B2(K) = 0, desde que K não possui 3-simplexos. Encontremos agora Z2(K). Para isso tomemos uma 2-cadeia c2 = д0⟨abc⟩ + д1⟨abd⟩ + д2⟨acd⟩ + д3⟨bcd⟩ i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 51 — #41 i i i i i i Homologia simplicial 51 tal que ∂(c2) = 0. Então ∂(c2) = д0(⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ + ⟨bc⟩) + д1(⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩)+ + д2(⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) + д3(⟨bc⟩ − ⟨bd⟩ + ⟨cd⟩) = 0, ou equivalentemente, (д0 + д1)⟨ab⟩ + (д2 − д0)⟨ac⟩ + (−д1 − д2)⟨ad⟩ + (д0 + д3)⟨bc⟩ + (д1 − д3)⟨bd⟩ + (д2 + д3)⟨cd⟩ = 0. Assim д0 = −д1 = д2 = −д3 implica que c2 = д0⟨abc⟩−д0⟨abd⟩+д0⟨acd⟩−д0⟨bcd⟩ = д0(⟨abc⟩−⟨abd⟩+⟨acd⟩−⟨bcd⟩) e portanto Z2(K) ≅ Z. Concluímos assim que H2(K) ≅ Z. Calculemos agora H1(K). Para isto, tomemos uma 1-cadeia c1 = д0⟨ab⟩ + д1⟨ac⟩ + д2⟨ad⟩ + д3⟨bc⟩ + д4⟨bd⟩ + д5⟨cd⟩ tal que ∂(c1) = 0. Então д0(⟨b⟩ − ⟨a⟩) + д1(⟨c⟩ − ⟨a⟩) + д2(⟨d⟩ − ⟨a⟩) + д3(⟨c⟩ − ⟨b⟩) + д4(⟨d⟩ − ⟨b⟩) + д5(⟨d⟩ − ⟨c⟩) = 0, ou equivalentemente, (−д0− д1− д2)⟨a⟩+(д0− д3− д4)⟨b⟩+(д1+ д3− д5)⟨c⟩+(д2+ д4+ д5)⟨d⟩ = 0. Assim д0 = д3 + д4, д1 = −д3 + д5 e д2 = −д4 − д5. Portanto, c1 = (д3+ д4)⟨ab⟩+(−д3+ д5)⟨ac⟩+(−д4− д5)⟨ad⟩+ д3⟨bc⟩+ д4⟨bd⟩+ д5⟨cd⟩, ou equivalentemente, i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 52 — #42 i i i i i i 52 INVARIANTES TOPOLÓGICOS c1 = д3(⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ +⟨bc⟩) +д4(⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩) + д5(⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) = д3∂(⟨abc⟩) + д4∂(⟨abd⟩) + д5∂(⟨acd⟩) = ∂(д3⟨abc⟩ + д4⟨abd⟩ + д5⟨acd⟩). Portanto todo 1-ciclo é um bordo. Logo H1(K) = 0. Calculemos H0(K). Por denição, ∂(c0) = 0, para toda 0-cadeia c0. Desta forma c0 = α0⟨a⟩+ α1⟨b⟩+ α2⟨c⟩+ α3⟨d⟩ é um ciclo e portanto Z0(K) é gerado por {⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩} de modo que é isomorfo a Z⊕Z⊕Z⊕Z. Calculemos B0(K). Para isto tomemos c1 = д0⟨ab⟩ + д1⟨ac⟩ + д2⟨ad⟩ + д3⟨bc⟩ + д4⟨bd⟩ + д5⟨cd⟩ tal que ∂(c1) = c0, para alguma 0-cadeia c0. Desde que ∂(c1) = (−д0−д1−д2)⟨a⟩+(д0−д3−д4)⟨b⟩+(д1+д3−д5)⟨c⟩+(д2+д4+д5)⟨d⟩, procuramos дi , i = 1, . . . , 5, tais que −д0 − д1 − д2 = α0, д0 − д3 − д4 = α1, д1 + д3 − д5 = α2, д2 + д4 + д5 = α3. Por escalonamento, obtemos que o sistema só terá solução se α0 + α1 + α2 + α3 = 0 e neste caso ∂(c1) = (−α1 − α2 − α3)⟨a⟩ + α1⟨b⟩ + α2⟨c⟩ + α3⟨d⟩. Assim B0(K) ≅ Z⊕Z⊕Z e é gerado por {−⟨a⟩ + ⟨b⟩,−⟨a⟩ + ⟨c⟩,−⟨a⟩ + ⟨d⟩}. Mas Z0(K) é gerado por {⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩}, ou ainda, por {⟨a⟩,−⟨a⟩ + ⟨b⟩,−⟨a⟩ + ⟨c⟩,−⟨a⟩ + ⟨d⟩} . De fato, α0⟨a⟩ + α1⟨b⟩ + α2⟨c⟩ + α3⟨d⟩ = = γ0⟨a⟩ + γ1(−⟨a⟩ + ⟨b⟩) + γ2(−⟨a⟩ + ⟨c⟩) + γ3(−⟨a⟩ + ⟨d⟩) se, e somente se, γ0 − γ1 − γ2 − γ3 = α0, γ1 = α1, γ2 = α2 e γ3 = α3. Portanto γ0 = α0 + α1 + α2 + α3, γ1 = α1, γ2 = α2 e γ3 = α3. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 55 — #45 i i i i i i Homologia simplicial 55 ou equivalentemente, дi = 0, i = 1, . . . , 10. Portanto w = 0 e Z2(P2) = 0 e daí H2(P2) = 0. Considere z = ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ + ⟨ f d⟩. Pode-se vericar que qualquer 1-ciclo é homólogo a um múltiplo de z. Assim temos duas classes de 1-cadeias que são 1-ciclos: a primeira classe tem como representante z ou ummúltiplo ímpar de z. Por exemplo: w = ⟨bc⟩ + ⟨ce⟩ + ⟨eb⟩ é homólogo a (2д − 1)z, pois w−(2д−1)z = ∂((д−1)⟨ad f ⟩+д⟨cd f ⟩+д⟨bc f ⟩+(1−д)⟨abc⟩+(1−д)⟨ace⟩ + (1 − д)⟨ae f ⟩ − д⟨be f ⟩ + (1 − д)⟨bde⟩ + (д − 1)⟨abd⟩ − д⟨cde⟩). A outra classe é dada pelos 1-ciclos que são homólogos a um múltiplo par de z. Quando isso acontece, estes são bordos, isto é, representam o elemento neutro do quociente H1(P2). De fato, 2дz = ∂(−д⟨ad f ⟩− д⟨cd f ⟩+ д⟨ae f ⟩+ д⟨be f ⟩+ д⟨bde⟩+ д⟨cde⟩− д⟨abd⟩ − д⟨bc f ⟩ + д⟨ace⟩ + д⟨abc⟩) = ∂(w). Assim (2д + 1)z − z = 2дz = ∂(w), ou seja, (2д + 1)z é homólogo a z e portanto H1(P2) ≅ Z2. Como exercício prove que H0(P2) ≅ Z. 4.2. O GRUPO DE HOMOLOGIA COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO Já denimos grupos de homologia simplicial de um dado complexo K, de- notado por H∗(K ,Z) ou simplesmente, H∗(K). Dada uma superfície S, é pos- sível dar uma triangulação para S e obter os grupos de homologia do complexo K a partir da triangulação de S. Calculamos os grupos de homologia de al- gumas superfícies. Agora vamos ver os grupos de homologia como invariante topológico. Dados dois complexos K e L e uma função contínua f ∶ K → L, associare- mos os respectivos i-ésimos grupos de homologia simplicial Hi(K) e Hi(L) e o homomorsmo induzido f∗ ∶ Hi(K)→ Hi(L). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 56 — #46 i i i i i i 56 INVARIANTES TOPOLÓGICOS O objetivo desse capítulo é provar que se f é um homeomorsmo então f∗ é um isomorsmo. Dessa forma, conclui-se que se f∗ não é um isomorsmo então f não é um homeomorsmo. Definição 4.40. Sejam K e L complexos e {ϕp} ∞ p=0 uma sequência de homo- morsmos ϕp ∶ Cp(K)→ Cp(L), p ≥ 1 tal que o diagrama Cp(K) ∂ ϕp // Cp(L) ∂ Cp−1(K) ϕp−1 // Cp−1(L) comuta, isto é, ∂ϕp = ϕp−1∂. A sequência {ϕp} ∞ p=0 é chamada uma aplicação de cadeias. Observação. Se p é maior que as dimensões de K e L, então ϕp é o homomor- smo nulo. Teorema 4.41. Uma aplicação de cadeias {ϕp} ∞ p=0 de um complexo K em um complexo L induz homomorsmos (ϕp)∗ ∶ Hp(K)→ Hp(L), para cada p ≥ 0. Demonstração. Provemos primeiramente que ϕp(Bp(K)) ⊂ Bp(L). Para isso, tomamos bp = ∂(cp+1) ∈ Bp(K), qualquer. Então ϕp(bp) = ϕp(∂(cp+1)) = ∂ϕp+1(cp+1). Logo ϕp(bp) é o bordo de uma (p + 1)-cadeia de Cp+1(L). Além disso, se p = 0, então a sequência semi-exata é da forma ⋯ // C1(K) ∂ // C0(K) ∂ // C−1(K) = 0. Logo, por denição, qualquer z ∈ Z0(K) é tal que ∂z = 0. Assim Z0(K) = C0(K) e Z0(L) = C0(L), logo ϕ0(Z0(K)) ⊂ Z0(L). Se p ≥ 1, seja zp ∈ Zp(K) e como ∂ϕp(zp) = ϕp+1∂(zp) = ϕp+1(0) = 0, segue que ϕp(zp) ∈ Zp(L). Dessa forma, concluímos que ϕp(Zp(K)) ⊂ Zp(L), ∀p ≥ 0. Denimos assim (ϕp)∗ ∶ Hp(K) → Hp(L) por (ϕp)∗(zp + Bp(K)) = ϕp(zp) + Bp(L). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 57 — #47 i i i i i i Homologia simplicial 57 Definição 4.42. Uma aplicação simplicial de um complexoK emum complexo L é uma função ϕ, do conjunto dos vértices de K para o conjunto dos vértices de L, satisfazendo a seguinte condição: se σ p = ⟨v0 . . . vp⟩ é um p-simplexo de K, então os vértices ϕ(vi), 0 ≤ i ≤ p, são os vértices de um simplexo L (observe que os vértices ϕ(vi) não precisam ser distintos). Se os vértices ϕ(vi), 0 ≤ i ≤ p, forem todos distintos, então o p-simplexo ⟨ϕ(v0) . . . ϕ(vp)⟩ = ϕ(σ p) é chamado a imagem de σ p. Se ϕ(vi) = ϕ(v j), para algum i ≠ j, dizemos que ϕ colapsa σ p. Definição 4.43. Sejam ϕ uma aplicação simplicial de K em L e p ≥ 0. Se дσ p é uma p-cadeia elementar, denimos ϕp(дσ p) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 0, se ϕ colapsa σ p, дϕ(σ p), se ϕ não colapsa σ p. A função ϕp estende-se por linearidade a umhomomorsmo ϕp ∶ Cp(K)→ Cp(L) denido por ϕp(∑ дiσ pi ) = ∑ ϕp(дiσ p i ). Exemplo 4.44. Sejam K o 2-esqueleto de um 3-simplexo ⟨abcd⟩ e L o fecho de um 2-simplexo ⟨e f h⟩ com orientações a < b < c < d e e < f < h, res- pectivamente. c a b d h e f Seja ϕ ∶ K → L denida por ϕ(a) = ϕ(d) = e, ϕ(b) = f e ϕ(c) = h. As aplicações de cadeias ϕp são dadas por i) ϕ0(д0⟨a⟩ + д1⟨b⟩ + д2⟨c⟩ + д3⟨d⟩) = (д0 + д3)⟨e⟩ + д1⟨ f ⟩ + д2⟨h⟩. ii) ϕ1(д0⟨ab⟩+д1⟨ac⟩+д2⟨ad⟩+д3⟨bc⟩+д4⟨bd⟩+д5⟨cd⟩) = д0⟨e f ⟩+д1⟨eh⟩+ д3⟨ f h⟩ + д4⟨ f e⟩ + д5⟨he⟩ = (д0 − д4)⟨e f ⟩ + (д1 − д5)⟨eh⟩ + д3⟨ f h⟩. iii) ϕ2(д0⟨abc⟩ + д1⟨abd⟩ + д2⟨bcd⟩ + д3⟨acd⟩) = д0⟨e f h⟩ + д2⟨ f he⟩ = (д0 + д2)⟨e f h⟩. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 60 — #50 i i i i i i 60 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Lema 4.49. Seja id ∶ ∣K∣→ ∣K∣ a função identidade de ∣K∣. Então [(id∣K∣)p]∗ = idHp(K). Demonstração. Tomemoswp+Bp(K) um elemento qualquer deHp(K). Então [(id∣K∣)p]∗(wp + Bp(K)) = (id∣K∣)p(wp) + Bp(K) = = wp + Bp(K) = idHp(K)(wp + Bp(K)). O teorema abaixo nos permite observar que o grupo de homologia simpli- cial é um invariante topológico. Teorema 4.50. Se ∣K∣ e ∣L∣ são homeomorfos, então Hp(K) e Hp(L) são iso- morfos, para cada p. Demonstração. Sejam f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ um homeomorsmo e f −1 ∶ ∣L∣ → ∣K∣ seu inverso. Assim f e f −1 são contínuas, f ○ f −1 = id∣L∣ e f −1○ f = id∣K∣. Observemos que ((id∣L∣)p)∗ = idHp(L) pois ((id∣L∣)p)∗(wp + Bp(L)) = (id∣L∣)p(wp) + Bp(L) = wp + Bp(L). De modo análogo ((id∣K∣)p)∗ = idHp(K). Pelo Lema 4.48, temos ( fp) ∗ (( f −1)p)∗ = (( f ○ f −1)p)∗ = ((id∣L∣)p)∗ = idHp(L), (( f −1)p)∗( fp) ∗ = (( f −1 ○ f )p)∗ = ((id∣K∣)p)∗ = idHp(K). Portanto, ( fp)∗ ∶ Hp(K)→ Hp(L) é um isomorsmo. Teorema 4.51 (Teorema da Invariância da Dimensão). Sejamm, n inteiros po- sitivos. Se m ≠ n, então: a) Sm e Sn não são homeomorfos. b) Rm e Rn não são homeomorfos. Demonstração. (a) Suponha que Sm e Sn são homeomorfos. Então existe um homeomorsmo f ∶ Sm → Sn, cuja induzida ( fp)∗ ∶ Hp(Sm) → Hp(Sn) é i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 61 — #51 i i i i i i Homologia simplicial 61 um isomorsmo, para todo p. Suponha que m > n. Pela Proposição 4.36, Hm(Sm) ≅ Z. Por outro lado Hm(Sn) ≅ 0 pois m > n. O caso m < n é análogo. (b) Seja m ≠ n e suponha que Rm e Rn são homeomorfos. Então a com- pacticação por um ponto (vide [8, p. 183]) de Rm e Rn respectivamente são homeomorfos. Logo Sm e Sn são homeomorfos, com m ≠ n, o que é um ab- surdo pelo item (a). Definição 4.52. Seja f ∶ Sn → Sn, n ≥ 1, uma aplicação contínua. Considere- mos uma triangulação orientável K de Sn e ϕ ∶ Hn(Sn) → Z um isomorsmo. Seja [Sn] a classe deHn(Sn) tal que ϕ([Sn]) = 1. Essa classe é chamada de classe fundamental de Sn. O inteiro p tal que f∗([Sn]) = p[Sn] é chamado o grau de f , denotado por deg( f ). O próximo teorema usa técnicas avançadas na demonstração que não serão vistas neste texto. O leitor interessado poderá consultar [4, II.8.4]. Teorema 4.53 (Teorema de Classificação de Hopf). Duas aplicações f e д de Sn em Sn são homotópicas se, e somente se, têm o mesmo grau. Proposição 4.54. Se f , д ∶ Sn → Sn são funções contínuas e h ∶ Sn → Sn é um homeomorsmo então: a) deg( f ○ д) = deg( f )deg(д). b) deg(h) = ±1. Demonstração. (a) Sejam K uma triangulação orientável de Sn e ϕ ∶ Hn(Sn)→ Z um isomorsmo. Sejam ( fn)∗ ∶ Hn(Sn) → Hn(Sn) e (дn)∗ ∶ Hn(Sn) → Hn(Sn) os homomorsmos induzidos de f e д, respectivamente. Então existem p, q inteiros tais que ( fn)∗([Sn]) = p[Sn] e (дn)∗([Sn]) = q[Sn] onde p = deg( f ) e q = deg(д). Assim, (( f ○ д)n)∗([Sn]) = ( fn)∗ ○ (дn)∗([Sn]) = ( fn)∗((дn)∗([Sn])) = ( fn)∗(q[Sn]) = q( fn)∗([Sn]) = qp[Sn]. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 62 — #52 i i i i i i 62 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Portanto deg( f ○ д) = pq = deg( f )deg(д). (b)Como h ∶ Sn → Sn é umhomeomorsmo, então h○h−1 = idSn . Portanto deg(h)deg(h−1) = deg(h ○ h−1) = deg(idSn) = 1. Observando que o grau de h é um número inteiro, segue o resultado. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 65 — #55 i i i i i i Característica de Euler 65 A característica de Euler não depende da triangulação. Depende apenas da superfície. Este resultado pode ser provado usando a teoria de homologia. Por enquanto, vamos dar alguns exemplos ilustrando o fato. a a a a b b (a) Esfera (b) Toro (c) Plano projetivo Exemplo 5.7. Tomemos a esfera S2 com triangulação K (gura (a)). Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas hori- zontais. Então temos que v = 2 +mn. Há 3 tipos de arestas: horizontais, verticais e oblíquas. Temos (n + 1)m horizontais,mn verticais e (n−1)m oblíquas, totalizando ((n+1)+(n−1))m+ mn = 3mn. Em cada “fatia” há 2 + 2(n − 1) faces. Como existem m “fatias”, segue que f = (2 + 2(n − 1))m = 2mn e portanto χ(S2) = 2. Exemplo 5.8. Consideremos o toro T2 com triangulação K (gura (b)). Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas hori- zontais. Então temos que v = mn, e = 3mn e f = 2mn. Logo, χ(T2) = 0. Exemplo 5.9. Seja P2 o plano projetivo com triangulação K (gura (c)). Suponhamos que a triangulação tenha m círculos concêntricos no interior de P2 e n diâmetros, de modo que v = 2mn − n + 1, e = 3n(2m − 1) e f = 2n(2m − 1). Assim, χ(P2) = 2mn − n + 1 − 3n(2m − 1) + 2n(2m − 1) = 2mn − n + 1 + n − 2mn = 1. A partir das superfícies conhecidas, vamos efetuar uma operação, chamada soma conexa, para obter novas superfícies. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 66 — #56 i i i i i i 66 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Intuitivamente, a soma conexa de duas superfícies S1 e S2 é a superfície S1#S2 obtida retirando-se o interior de dois discos, um em cada superfície, e identicando-os pelos bordos. Formalmente temos: Definição 5.10. Sejam S1 e S2 duas superfícies, compactas e sem bordo. Es- colhemos D1 ⊂ S1 e D2 ⊂ S2, subconjuntos homeomorfos ao disco D2 e sejam h1 ∶ D1 → D2 e h2 ∶ D2 → D2, os respectivos homeomorsmos. Denimos a soma conexa de S1 e S2, e denotamos por S1#S2, sendo o conjunto (S1 − intD1) ∪ (S2 − intD2) ∼ , onde a relação x ∼ y é dada por: a) se x , y estão no complementar de ∂D1 ∪ ∂D2 então x ∼ y⇔ x = y; b) caso contrário, x ∼ y⇔ h1(x) = h2(y). É possível mostrar que a soma conexa não depende da escolha dos subcon- juntos D1 e D2 e que a soma conexa é uma superfície. Lembramos que consideramos em S1#S2 a topologia quociente. Exemplo 5.11. Denotando S1 = S2 = T2 então S1#S2 = T2#T2 é dada pela gura (c) abaixo: i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 67 — #57 i i i i i i Característica de Euler 67 Exemplo 5.12. P2#P2 = KB. Lembramos que P2 pode ser obtido de um disco D2 comos lados identicados, comona Figura 5.1(a). RetiramosD1 ⊂ D2 eD2 ⊂ D2, subconjuntos homeomorfos ao disco D2, como na Figura 5.1(b), para obter a Figura 5.1(c). Identicando-se os lados sem seta da Figura 5.1(c) obtemos a Figura 5.1(d). Tomando a diagonal como na Figura 5.1(e) e separando as guras ao longo dessa diagonal obtemos a Figura 5.1(f). Dispondo a Figura 5.1(f) como na Figura 5.1(g) e identicando os lados com uma seta da Figura 5.1(g) obtemos a Figura 5.1(h) que pode ser representada como a Figura 5.1(i) que descreve a garrafa de Klein KB. Figura 5.1: Garrafa de Klein como soma conexa de dois planos projetivos (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) Proposição 5.13. Sejam S1 e S2 duas superfícies fechadas (compactas e sem bordo). Então χ(S1#S2) = χ(S1) + χ(S2) − 2. Demonstração. Tomemos K1 e K2 triangulações de S1 e S2, respectivamente. Sejam χ(S1) = v1 − e1 + f1 e χ(S2) = v2 − e2 + f2. K′1 = K1 − ⟨a0a1a2⟩ é uma triangulação de S1−intD2 eK′2 = K2−⟨b0b1b2⟩ é uma triangulação de S2−intD2. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 70 — #60 i i i i i i 70 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Teorema 5.18 (de Euler–Poincaré). Seja K um complexo orientado de dimen- são n e para p = 0, . . . , n seja αp o número de p-simplexos de K. Então: n ∑ p=0 (−1)pαp = n ∑ p=0 (−1)pRp(K). Demonstração. Para simplicar a notação usaremos Bp = Bp(K), Cp = Cp(K) e Zp = Zp(K), que sãoQ-espaços vetoriais. ∗ Seja {d ip} um conjunto maximal de p-cadeias tais que nenhuma combi- nação própria dos d ip’s é um ciclo. Seja Dp o subespaço de Cp gerado por esses vetores. Então Dp ∩ Zp = {0}. Além disso Dp + Zp = Cp, logo Cp = Dp ⊕ Zp. Assim vale a seguinte relação: αp = dimCp = dimDp + dim Zp, logo dim Zp = αp − dimDp, p = 1, . . . , n. Para p = 0, . . . , n − 1, seja bip = ∂(d ip+1). Armamos que {bip} é uma base para Bp. Seja v ∈ Bp, ou seja, existe uma (p + 1)-cadeia cp+1 tal que ∂(cp+1) = v. Mas cp+1 ∈ Cp+1 e então notamos que cp+1 = zp+1 + dp+1. Assim v = ∂(cp+1) = ∂(zp+1) + ∂(dp+1) = ∂(dp+1). Portanto, {bip} gera Bp. Mostremos agora que {bip} é linearmente independente. Suponhamos ∑i αibip = 0. Como bip = ∂(d ip+1) então ∑i αi∂(d ip+1) = 0, o que implica ∂(∑i αid ip+1) = 0. Logo∑i αid ip+1 é um ciclo. Por (∗), ∑i αid ip+1 é uma combinação linear trivial, logo os αi ’s são nulos. Seja {z ip}, i = 1, . . . , Rp um conjunto maximal de p-ciclos linearmente independentes mod Bp. Estes ciclos geram um subespaço Gp de Zp e Zp = Gp ⊕ Bp , p = 0, . . . , n − 1. Observemos que Bp ⊂ Zp. Os ciclos que não são bordos pertencem a Gp, poisGp é gerado por {z ip}, que são p-ciclos linearmente independentesmod Bp. Umelemento v ∈ Gp é da forma v = ∑i дiz ip. Logo se v ∈ Bp, então дi = 0 e v = 0. Portanto segue o resultado. Assim, dim Zp = dimGp + dimBp = Rp + dimBp. Então Rp = dim Zp − dimBp = αp − dimDp − dimBp, 1 ≤ p ≤ n + 1. Observe que Bp é gerado pelos bordos das cadeias elementares ∂(1σ p+1i ) = ∑ ηi j(p)σ pj onde (ηi j(p)) = η(p) é a p-ésima matriz de incidência, isto é, ηi j(p) = [σ p+1i , σ p j ]. Então dimBp = posto η(p). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 71 — #61 i i i i i i Característica de Euler 71 Como o número de d ip+1 é omesmo que o de b i p, então dimDp+1 = dimBp = posto η(p), p = 0, . . . , n − 1. Então Rp = αp − dimDp − dimBp = αp − posto η(p − 1) − posto η(p), 1 ≤ p ≤ n − 1. Observe que R0 = dim Z0 − dimB0 = α0 − posto η(0) e Rn = dim Zn = αn − dimDn = αn − posto η(n − 1). Assim, n ∑ p=0 (−1)pRp(K) = R0(K) − R1(K) +⋯ + (−1)n−1Rn−1(K) + (−1)nRn(K) = α0−posto η(0)−(α1−posto η(0)−posto η(1))+(α2−posto η(1)−posto η(2)) −⋯+(−1)n−1(αn−1−posto η(n−2)−posto η(n−1))+(−1)n(αn−posto η(n−1)) = α0 − α1 +⋯ + (−1)n−1αn−1 + (−1)nαn = n ∑ p=0 (−1)pαp , o que naliza a prova do teorema. Definição 5.19. Se K é um complexo de dimensão n, o número χ(K) = n ∑ p=0 (−1)pRp(K) é chamado a característica de Euler de K. Usando os grupos de homologia com coecientes emZ de algumas superfí- cies, apresentadas no capítulo anterior, e oTeoremadosCoecientesUniversais, que assumiremos conhecido (veja [3, p. 195]), vamos calcular as características de Euler usando o número de Betti. 1. A esfera S2 tem característica de Euler χ(S2) = 2, pois seus grupos de homo- logia são H0(S2,Q) = Q, H1(S2,Q) = 0, H2(S2,Q) = Q. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 72 — #62 i i i i i i 72 INVARIANTES TOPOLÓGICOS 2. O toro T2 tem característica de Euler χ(T2) = 0, já que seus grupos de homologia são H0(T2,Q) = Q, H1(T2,Q) = Q⊕Q, H2(T2,Q) = Q. 3. Por m, para o plano projetivo P2 temos χ(P2) = 1, pois H0(P2,Q) = Q, H1(P2,Q) = 0, H2(P2,Q) = 0. Observação. No caso de uma superfície S, usando a denição acima, temos χ(S) = ∑2p=0(−1)pRp. Pelo Teorema de Euler–Poincaré (Teorema 5.18), temos que χ(S) = ∑2p=0(−1)pαp, onde αp é o número de p-simplexos, ou seja, α0 é o número de vértices, α1 é o número de arestas e α2 é o número de triângulos. Substituindo, temos que χ(S) = (−1)0α0 + (−1)1α1 + (−1)2α2 = v − e + f . Lembrando que se S1 e S2 são homeomorfas, então os grupos de homolo- gias Hi(S1) e Hi(S2) são isomorfos, para i = 0, 1, 2, segue que χ(S1) = χ(S2), demonstrando então que a característica de Euler é um invariante topológico. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 75 — #65 i i i i i i ÍNDICE REMISSIVO A aplicação de cadeias, 50 simplicial, 51 B baricentro, 52 bola aberta, 6 bordo, 36 ∂, 35 C cadeia(s), 34 aplicação de, 50 elementar(es), 35 caminho, 7 característica de Euler, 57, 62, 65 ciclo(s), 36 homólogos, 36, 44 circunferência, 5, 8 cisão, 11 classe fundamental, 55 complexo simplicial, 30 esqueleto, 31 orientado, 32 conexão, 11 conjunto aberto, 6 denso, 7 fechado, 6 fecho de um, 7, 13 geom. independente, 29 continuidade, 7 E esfera, 9, 31, 44, 58 espaço conexo, 11 por caminhos, 7, 23 métrico, 5 topológico, 6 esqueleto, 31 F face, 30 faixa de Möebius, 40, 41, 43 fecho, 7, 13 de um simplexo, 31 função contínua, 7 G garrafa de Klein, 39, 58 grau, 55 grupo de cadeias, 35 de homologia, 37, 49 i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 76 — #66 i i i i i i 76 INVARIANTES TOPOLÓGICOS simplicial, 49 fundamental, 17, 20 H homeomorsmo, 7 homologia grupo de, 37, 49 simplicial, 29, 49 homomorsmo induzido, 26, 49 homotopia, 18, 53 L laço(s), 17 homotópicos, 18 Lema da Colagem, 7 M métrica, 5 do máximo, 5 N número de Betti, 63 de incidência, 33, 47 O operador bordo ∂, 35 orientação, 32 P plano projetivo, 39, 42, 47, 58 projeção estereográca, 9 pseudovariedade, 39 orientável, 41 S simplexo, 29 soma conexa, 60 subdivisão baricêntrica, 52 superfície, 40 fechada, 61 soma conexa, 60 T Teorema da Invar. da Dimensão, 54 de classicação de Hopf, 55 de superfícies fechadas, 62 de Euler–Poincaré, 64 do Valor Intermediário, 11 topologia induzida, 6, 11 quociente, 60 toro, 39, 41, 58 triangulação, 31 V variedade, 39