Docsity
Docsity

Prepare-se para as provas
Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity


Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium


Guias e Dicas
Guias e Dicas

Invariantes Topológicos, Notas de estudo de Matemática

topologia geral

Tipologia: Notas de estudo

2015

Compartilhado em 10/12/2015

gustavo-santos-lopes-de-souza-8
gustavo-santos-lopes-de-souza-8 🇧🇷

5

(4)

11 documentos

1 / 76

Documentos relacionados


Pré-visualização parcial do texto

Baixe Invariantes Topológicos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! INVARIANTES TOPOLÓGICOS Prefaciais Invariantes.indd 1 26/0/2012 15:21:24 Vice-Reitor no exercício da Reitoria Julio Cezar Durigan Chefe de Gabinete Carlos Antonio Gamero Pró-Reitora de Graduação Sheila Zambello de Pinho Pró-Reitora de Pós-Graduação Marilza Vieira Cunha Rudge Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini Pró-Reitora de Extensão Universitária Maria Amélia Máximo de Araújo Pró-Reitor de Administração Ricardo Samih Georges Abi Rached Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto Universidade Estadual Paulista Prefaciais_Invariantes.indd 2 26/01/2012 15:21:25 PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Considerando a importância da produção de material didático-pedagó- gico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi- lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado sob demanda. Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade aca- dêmica mais esta obra, “Invariantes Topológicos”, de autoria dos Professores: Dra. Alice Kimie Miwa Libardi, Dr. João Peres Vieira e Dr. Thiago de Melo, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, espe- rando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado. Prefaciais_Invariantes.indd 5 26/01/2012 15:21:25 Prefaciais Invariantes.indd 6 26jon2o12 15:21:25 SUMÁRIO introdução 9 1 preliminares 11 2 conexão como invariante topológico 17 3 grupo fundamental 23 4 homologia simplicial 35 4.1. Cálculo de alguns grupos de homologia 49 4.2. O grupo de homologia como invariante topológico 55 5 característica de Euler 63 referências bibliográficas 73 índice remissivo 75 Prefaciais_Invariantes.indd 7 26/01/2012 15:21:25 Prefaciais Invariantes.indd 10 26jon2o12 15:21:25 i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 11 — #1 i i i i i i 1 PRELIMINARES A Topologia considera conjuntos que têm uma estrutura que permite a de- nição de continuidade. Essa estrutura foi originalmente determinada a partir de propriedades de conjuntos abertos de Espaços Euclidianos, que por sua vez originaram da noção de distância entre pontos. Em Geometria Analítica, vê-se que a circunferência no R2 de centro O = (0, 0) e raio r > 0 é o conjunto: C = {(x , y) ∈ R2, d((x , y), (0, 0)) = r}, onde d((x , y), (a, b)) = √ (x − a)2 + (y − b)2. Na realidade, d ∶ R2 × R2 Ð→ R é um exemplo de métrica, cuja denição damos abaixo. Definição 1.1. Sejam M um conjunto não vazio e d ∶ M × M Ð→ R uma função, tal que ∀x , y, z ∈ M, 1. d(x , y) ≥ 0 e d(x , y) = 0⇐⇒ x = y; 2. d(x , y) = d(y, x); 3. d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y, z). d é chamadamétrica e o par (M , d) é chamado de espaço métrico. Há outras formas de se denir uma distância no R2. Uma delas, conhecida como a métrica dos quarteirões, é dada por: d′((x , y), (a, b)) = max{∣ x − a ∣, ∣ y − b ∣}, onde (x , y) e (a, b) pertencem a R2. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 12 — #2 i i i i i i 12 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Em um espaço métrico (M , d) denimos uma bola aberta, de centro a e raio r, por: B(a, r) = {x ∈ M , d(x , a) < r}. Dizemos que um subconjunto A deM é um conjunto aberto se cada ponto de A é centro de uma bola aberta inteiramente contida em A. As bolas aber- tas formam uma base para o espaço métrico, no sentido de que cada conjunto aberto é uma reunião de bolas abertas. As propriedades de conjuntos abertos levam-nos à denição de um espaço topológico. Em geral, em um espaço topológico não há a noção de distância, são os conjuntos abertos que caracterizam o espaço. Definição 1.2. Dado um conjunto X ≠ ∅, uma topologia para X é uma coleção τ = {Aλ ∶ Aλ ⊂ X} satisfazendo: 1. ∅ e X pertencem a τ; 2. A interseção de um número nito de elementos de τ está em τ; 3. A reunião qualquer de elementos de τ está em τ. O par (X , τ) é chamado espaço topológico. Os elementos de τ são chama- dos de subconjuntos abertos de X e o complementar de um aberto de X é dito fechado em X. A denição de espaçométrico foi introduzida porMaurice Frechet em 1906, porém foi com a publicação do livro de Felix Hausdorš, em 1912, que houve um grande desenvolvimento da Topologia Geral. Ressalte-se porém que as ideias já eram conhecidas e usadas porHenri Poincaré (1854–1912) desde 1895, conforme constam em seus diversos artigos (Analysis Situs). Definição 1.3. Seja X um espaço topológico com uma topologia τ. Se Y ⊂ X, a coleção τY = {Y ∩U ∣ U ∈ τ} é uma topologia em Y , chamada topologia induzida de X em Y . i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 15 — #5 i i i i i i Preliminares 15 Exemplo 1.11. Sejam S2 = {(x , y, z) ∈ R3 ∶ x2 + y2 + z2 = 1} a esfera unitária e p = (0, 0, 1) ∈ S2 o seu pólo norte. A projeção estereográca π ∶ S2 − {p}→ R2 estabelece um homeomorsmo entre a esfera menos o pólo norte e o plano. Tal homeomorsmo é dado por π(x , y, z) = ( x 1 − z , y 1 − z) cuja inversa φ ∶ R 2 → S2 − {p} é dada por φ(x , y) = ( 2x x2 + y2 + 1 , 2y x2 + y2 + 1 , x2 + y2 − 1 x2 + y2 + 1) . Duas das questões mais importantes em Topologia são de extensão e de classicação. Vamos abordar uma introdução ao problema de classicação, de- nindo a relação de equivalência entre espaços topológicos por: X ≡ Y ⇐⇒ X e Y são homeomorfos. Isto nos dá uma classicação de espaços topológicos através de invariantes topológicos. Um invariante topológico pode ser uma propriedade geométrica do espaço, um número associado a um espaço ou um sistema algébrico como um grupo, um anel ou ummódulo e tem a propriedade de que não se altera por homeomorsmos. Em geral é muito difícil dizer se dois espaços são homeomorfos. A Topo- logia Algébrica enfrenta o problema da seguinte maneira: associa ao espaço X um objeto G(X) satisfazendo a propriedade: “se X é homeomorfo a Y , então G(X) e G(Y) são iguais na sua categoria”. Neste trabalho, apresentaremos os seguintes invariantes topológicos: co- nexão, grupo fundamental, grupo de homologia simplicial e característica de Euler. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 16 — #6 i i i i i i i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 17 — #7 i i i i i i 2 CONEXÃO COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO A conexão pode ser vista como um invariante topológico de duas formas: a partir de suas próprias propriedades ou através de grupos que são associados ao espaço topológico. Esses grupos dão informações sobre a conexidade e o número de componentes conexas (ou conexas por caminhos) desse espaço. Se dois espaços são conexos ou têm o mesmo número de componentes conexas, então esses grupos associados são isomorfos. Para o entendimento deste capítulo o leitor necessitará de conhecimentos básicos em Espaços Métricos (vide [5]). Vamos relembrar aqui o Teorema do Valor Intermediário, que considera- mos um dos mais importantes do Cálculo Diferencial: Teorema 2.1. Se f ∶ [a, b]→ R é uma função contínua e r é um número entre f (a) e f (b), então existe um número real c entre a e b tal que f (c) = r. Na realidade, o que o teorema diz é que a imagem de [a, b] por uma função contínua é um intervalo. Esse teorema não depende só da continuidade de f , mas de uma propriedade de [a, b] que é a conexão. A ideia de conexão generaliza a ideia intuitiva de algo que não pode ser separado, embora nem sempre seja esse o caso. Um exemplo de espaço que pode ser separado é R∗ = R − {0}. Esse espaço se decompõe em duas semi- retas que são conjuntos abertos e fechados em R∗. Definição 2.2. Um espaço topológico X é conexo se os únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são o ∅ e o X; ou equivalentemente, X é conexo se A e B são abertos disjuntos tais que X = A∪B então A = ∅ ou B = ∅. Nesse caso dizemos que X só assume a cisão trivial. Exemplo 2.3. O conjunto Y = [−1, 0) ∪ (0, 1] ⊂ R, com a topologia induzida da topologia usual de R, não é conexo. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 20 — #10 i i i i i i 20 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Teorema 2.9. Os intervalos da reta dividem-se nas seguintes classes de equiva- lência dadas pela relação “≡”. i) (a, b), (a,∞), (−∞, b) e R; ii) [a, b), (a, b], [a,∞) e (−∞, b]; iii) [a, b]. Demonstração. Observemos de início que [a, b) é homeomorfo a [a,∞), pelo homeomorsmo ϕ ∶ [a, b)→ [a,∞) dado por ϕ(x) = tan( π2 ( x−a b−a )) + a. A restrição de ϕ ao intervalo (a, b) nos fornece um homeomorsmo entre (a, b) e (a,∞). Um homeomorsmo entre [a, b) e (a, b] é dado por д(x) = (a + b) − x. Os demais homeomorsmos são imediatos. Suponhamos que h ∶ [c, d) → (a, b) seja um homeomorsmo. Então h∣[c,d)−{c} ∶ (c, d) → (a, b) − {h(c)} é também um homeomorsmo, porém (c, d) é conexo e (a, b) − {h(c)} não o é. Logo, pela Proposição 2.5, (a, b) e [c, d) não são homeomorfos. Usando raciocínio análogo, pode-se provar que (a, b) e [c, d] não são ho- meomorfos e também não o são [a, b) e [c, d]. Vamos terminar esse capítulo com um exemplo que dá uma introdução às técnicas usadas em Topologia Algébrica. Exemplo 2.10. Seja X um um espaço topológico. Consideremos o conjunto H0(X) = { f ∶ X → Z, tal que f é contínua} munido da operação soma usual de funções. Notemos que sendo f e д contí- nuas tem-se que f + д é contínua. Essa operação dá a H0(X) uma estrutura de grupo abeliano. Se X é conexo então as únicas aplicações contínuas de X em Z são as cons- tantes, uma vez que os únicos conexos de Z são os conjuntos unitários e por- tanto H0(X) ≅ Z. Observemos que se X = ∅ então H0(X) = 0, o grupo trivial. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 21 — #11 i i i i i i Conexão como invariante topológico 21 Sejam X e Y espaços topológicos e f ∶ X → Y uma aplicação contínua. Denimos a aplicação f ∗ ∶ H0(Y)→ H0(X) induzida de f por f ∗(ϕ) = ϕ ○ f . Dados ϕ eψ emH0(Y), tem-se que: f ∗(ϕ+ψ) = (ϕ+ψ)○ f = ϕ○ f +ψ○ f = f ∗(ϕ) + f ∗(ψ), o que mostra que f ∗ é um homomorsmo de grupos. A aplicação Id∗ ∶ H0(X) → H0(X) induzida da aplicação identidade Id ∶ X → X é o homomorsmo identidade. Se f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z são funções contínuas entre espaços topológicos, então (д ○ f )∗ = f ∗ ○ д∗. De fato, para todo ϕ ∈ H0(Z), tem-se (д ○ f )∗(ϕ) = ϕ ○ (д ○ f ) = f ∗(ϕ ○ д) = ( f ∗ ○ д∗)(ϕ). Segue que se f ∶ X → Y é um homeomorsmo então f ∗ é um isomorsmo. A recíproca não é verdadeira, como mostra o exemplo abaixo. Sejam X = S1 e Y = R. Ambos são conexos, logo H0(S1) = H0(R) ≅ Z, porém S1 não é homeomorfo a R. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 22 — #12 i i i i i i i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 25 — #15 i i i i i i Grupo fundamental 25 Sejam λ, γ, ϕ ∈ Ω(X , x0) tais que γ ∼ λ e λ ∼ ϕ, por homotopias H0, H1, respectivamente. Denindo-se H ∶ I × I → X (t, s) → ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H0(t, 2s), s ∈ [0, 12] , H1(t, 2s − 1), s ∈ [ 12 , 1] , tem-se, pelo Lema da Colagem (1.8), que H é contínua, pois H0(t, 1) = λ(t) = H1(t, 0) eH0 eH1 são contínuas, ambas denidas em intervalos fechados. Além disso H(t, 0) = H0(t, 0) = γ(t), H(t, 1) = H1(t, 1) = ϕ(t), H(0, s) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H0(0, 2s) = x0, s ∈ [0, 12] , H1(0, 2s − 1) = x0, s ∈ [ 12 , 1] , e H(1, s) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H0(1, 2s) = x0, s ∈ [0, 12] , H1(1, 2s − 1) = x0, s ∈ [ 12 , 1] . Segue que γ ∼ ϕ. Denotamos por π1(X , x0) o conjunto quociente Ω(X , x0)/ ∼. Primeiramente observemos que: para quaisquer α, β, α′, β′ ∈ Ω(X , x0) tais que α ∼ α′ e β ∼ β′, por homotopias H e G, respectivamente, podemos denir F ∶ I × I → X por (t, s) → ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H(2t, s), t ∈ [0, 12] , G(2t − 1, s), t ∈ [ 12 , 1] . Como para t = 1/2, H(1, s) = x0 = G(0, s) e G ,H são funções contínuas, ambas denidas em intervalos fechados, o Lema da Colagem (1.8) nos garante que F é contínua. Além disso, F(t, 0) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H(2t, 0), t ∈ [0, 12] , G(2t − 1, 0), t ∈ [ 12 , 1] , F(t, 1) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ H(2t, 1), t ∈ [0, 12] , G(2t − 1, 1), t ∈ [ 12 , 1] , i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 26 — #16 i i i i i i 26 INVARIANTES TOPOLÓGICOS = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ α(2t), t ∈ [0, 12] , β(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] , = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ α′(2t), t ∈ [0, 12] , β′(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] , = (α ∗ β)(t), = (α′ ∗ β′)(t), e também F(0, s) = H(0, s) = x0 = G(1, s) = F(1, s), mostrando assim que α ∗ β ∼ α′ ∗ β′. Segue que temos bem denida a operação ⋅ ∶ π1(X , x0) × π1(X , x0) → π1(X , x0), ([α], [β]) → [α] ⋅ [β] = [α ∗ β]. Teorema 3.4. O par (π1(X , x0), ⋅) é um grupo, chamado grupo fundamental de X com ponto base x0. Demonstração. Para quaisquer [α], [β], [γ] em π1(X , x0), mostremos que ([α] ⋅ [β]) ⋅ [γ] = [α] ⋅ ([β] ⋅ [γ]), isto é, vale a propriedade associativa. De fato, ((α ∗ β) ∗ γ)(t) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ α(4t), t ∈ [0, 14], β(4t − 1), t ∈ [ 14 , 1 2], γ(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1], (α ∗ (β ∗ γ))(t) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ α(2t), t ∈ [0, 12], β(4t − 2), t ∈ [ 12 , 3 4], γ(4t − 3), t ∈ [ 34 , 1]. Ilustramos esses caminhos pelos seguintes diagramas, que podem ser usa- dos para obter as descrições algébricas dos caminhos em questão. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 27 — #17 i i i i i i Grupo fundamental 27 α β γ 0 1 4 1 2 1 (α ∗ β) ∗ γ α β γ 0 3 4 1 2 1 α ∗ (β ∗ γ) Por exemplo, considere (α ∗ β) ∗ γ. Para 1/4 ≤ t ≤ 1/2 utilizamos β e a compomos com a função linear ϕ ∶ [1/4, 1/2]→ [0, 1] denida por ϕ(t) = 4t−1. Para construir uma homotopia entre α∗(β∗γ) e (α∗β)∗γ consideremos a gura a seguir, onde r em são os segmentos determinados pelas retas r ∶ t = s+14 e m ∶ t = s+24 . Figura 3.1: Homotopia entre (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ) t s 1 4 1 2 1 2 3 4α β γ α β γ s r m α β γ 0 1s+1 4 s+2 4 Para um dado valor de s, usamos α no intervalo [0, s+14 ], β no intervalo [ s+14 , s+2 4 ] e γ no intervalo [ s+2 4 , 1]. Denimos então a seguinte homotopia H(t, s) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ α( 4t s+1), t ∈ [0, s+1 4 ] , β(4t − s − 1), t ∈ [ s+14 , s+2 4 ] , γ( 4t−s−22−s ), t ∈ [ s+2 4 , 1] . Temos que H é contínua, H(t, 0) = ((α ∗ β) ∗ γ)(t), H(0, s) = α(0) = x0, H(t, 1) = (α ∗ (β ∗ γ))(t), H(1, s) = γ(0) = x0, o que mostra que (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 30 — #20 i i i i i i 30 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Sejam [α], [β] ∈ π1(X; x0). Devemos mostrar que γ#([α] ⋅ [β]) = γ#([α]) ⋅ γ#([β]). Observemos que, se γ ∈ Ω(X; x0, x1), então γ ∗ γ−1 ∼ cx0 , onde cx0 ∶ I → X é dado por cx0(t) = x0,∀t ∈ I. Denamos H ∶ I × I → X por H(t, s) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 1−s2 ], γ−1(s), t ∈ [ 1−s2 , 1+s 2 ], γ−1(2t − 1), t ∈ [ 1+s2 , 1]. Então, H é uma homotopia entre γ ∗ γ−1 e cx0 , pois desde que, para t = 1−s2 , γ(2t) = γ(1 − s) = γ−1(s) e, para t = 1+s2 , γ −1(s) = γ−1(2t − 1). Além disso, H(t, 0) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 12], γ−1(0), t = 12 , γ−1(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1], H(t, 1) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(2t), t = 0, γ−1(1), t ∈ [0, 1], γ−1(2t − 1), t = 1, = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 12], γ−1(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1], = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ γ(0) = x0, t = 0, γ−1(s) = x0, t ∈ [0, 1], γ−1(1) = x0, t = 1, = γ ∗ γ−1(t), ∀t ∈ I, = cx0(t), ∀t ∈ I, e H(0, s) = γ(0) = x0 e H(1, s) = γ−1(1) = x0. Assim, γ ∗ γ−1 ∼ cx0 ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ α ∗ cx0 ∼ α ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∼ α ∗ β ⇒ α ∗ β ∼ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ⇒ γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ ∼ γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ. Então, γ#([α] ⋅ [β]) = γ#([α ∗ β]) = [γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ] = = [γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ] = [γ−1 ∗ α ∗ γ][γ−1 ∗ β ∗ γ] = = γ#([α]) ⋅ γ#([β]). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 31 — #21 i i i i i i Grupo fundamental 31 Finalmente, mostremos que γ# é bijetor. Injetividade: seja [α] ∈ π1(X; x0) tal que γ#([α]) = ex1 = [cx1]. Então: [γ−1 ∗ α ∗ γ] = [cx1]⇒ γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ cx1 ⇒ γ ∗ γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ cx0 ∗ α ∗ cx0 ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ α ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ α ∼ γ ∗ γ−1 ⇒ α ∼ cx0 ⇒ [α] = ex0 , desde que γ ∗ cx1 ∼ γ, pois K ∶ I × I → X dada por K(t, s) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ( 2t s+1), t ∈ [0, s+1 2 ], x1, t ∈ [ s+12 , 1], é uma homotopia entre γ ∗ cx1 e γ, uma vez que K é contínua pelo Lema da Colagem (1.8), K(t, 0) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ(2t), t ∈ [0, 12], x1, t ∈ [ 12 , 1], K(t, 1) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ γ(t), t ∈ [0, 1], x1, t = 1, = γ ∗ cx1(t), ∀t ∈ I; = γ(t), ∀t ∈ I; e K(0, s) = γ(0) = x0 e K(1, s) = x1. Portanto γ# é injetor. Sobrejetividade: dado [β] ∈ π1(X; x1), tome [γ ∗ β ∗ γ−1] ∈ π1(X; x0). Então γ#([γ ∗ β ∗ γ−1]) = [γ−1 ∗ γ ∗ β ∗ γ−1 ∗ γ] = [cx1 ∗ β ∗ cx1] = [β]. Assim, γ# é sobrejetor. Portanto γ# é um isomorsmo e π1(X; x0) e π1(X; x1) são isomorfos. Por este teorema, podemos ver que o grupo fundamental de um espaço to- pológico independe do ponto base considerado, se o espaço for conexo por ca- minhos. Neste caso, denotaremos π1(X; x0) simplesmente por π1(X). Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Observemos que f ○ α é um laço em f (x0), pois f ○ α ∶ [0, 1] → Y t → ( f ○ α)(t) é contínua e ( f ○ α)(0) = f (x0) = ( f ○ α)(1). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 32 — #22 i i i i i i 32 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Sejam α e α′ dois laços em x0 tais que α ∼ α′, por uma homotopia G. Denimos H ∶ I × I → Y por H(t, s) = ( f ○G)(t, s) e observamos que H é contínua, pois f e G o são. Além disso, H(t, 0) = f ○G(t, 0) = ( f ○ α)(t), H(0, s) = f ○G(0, s) = f (x0), H(t, 1) = f ○G(t, 1) = ( f ○ α′)(t), H(1, s) = f ○G(1, s) = f (x0). Portanto f ○ α ∼ f ○ α′ e podemos dar a seguinte denição. Definição 3.6. Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Denimos f#, a induzida de f , por f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , f (x0)) [α]→ [ f ○ α]. Proposição 3.7. Sejam f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z aplicações contínuas, onde X ,Y e Z são espaços topológicos com x0 ∈ X, y0 = f (x0) ∈ Y e z0 = д(y0) ∈ Z. Então: 1. f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , y0) é um homomorsmo. 2. (д ○ f )# = д# ○ f#. 3. Id# é o homomorsmo identidade do π1(X , x0), onde Id ∶ X → X é a aplicação identidade. Demonstração. 1. Primeiramente observamos que para quaisquer laços α e β, temos f ○(α∗β) = ( f ○ α) ∗ ( f ○ β). De fato, para todo t ∈ I temos ( f ○ (α ∗ β))(t) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ f (α(2t)), t ∈ [0, 12], f (β(2t − 1)), t ∈ [ 12 , 1], = (( f ○ α) ∗ ( f ○ β))(t). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 35 — #25 i i i i i i 4 HOMOLOGIA SIMPLICIAL O objetivo deste capítulo é associar um grupo a um dado espaço topoló- gico, chamado grupo de homologia simplicial, e usar sua estrutura para obter propriedades topológicas e geométricas do espaço. Há outros tipos de grupos de homologia que poderiam ser tratados como invariantes topológicos. Optamos pela homologia simplicial pela sua aborda- gem geométrica que a torna mais acessível aos alunos de graduação. Para maiores detalhes, sugerimos a leitura dos livros [1, 7]. Definição 4.1. Um conjunto A = {a0, a1, . . . , ak} ⊂ Rn é geometricamente independente se, e somente se, nenhum hiperplano de dimensão (k − 1) con- tém A. Assim, A é geometricamente independente se todos os pontos são distin- tos, nenhum 3 deles estão em uma reta, nenhum 4 deles estão em um plano e nenhum p deles estão em um (p − 2)-hiperplano. Definição 4.2. Seja A = {a0, a1, . . . , ak} um conjunto geometricamente inde- pendente. O simplexo geométrico k-dimensional ou k-simplexo gerado por A, denotado por σ k , é o conjunto dos pontos x ∈ Rn para os quais existemnúmeros reais não negativos λ0, . . . , λk tais que x = ∑ki=0 λiai e∑ki=0 λi = 1. Os números λ0, . . . , λk são chamados coordenadas baricêntricas e os pon- tos a0, . . . , ak são chamados vértices de σ k . O k-simplexo geométrico aberto gerado por A é o conjunto de todos x ∈ σ k tais que as coordenadas baricêntricas são positivas. Um 0-simplexo é um ponto; um 1-simplexo é um segmento fechado e um 1-simplexo aberto é um segmento sem os extremos; um 2-simplexo é um tri- ângulo (interior e fronteira) e um 2-simplexo aberto é o interior do triângulo; i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 36 — #26 i i i i i i 36 INVARIANTES TOPOLÓGICOS um 3-simplexo é um tetraedro (interior e fronteira) e um 3-simplexo aberto é o interior do tetraedro. Definição 4.3. Um simplexo σ k é uma face de um simplexo σn, k ≤ n, se cada vértice de σ k é um vértice de σn. As faces de σn distintas de σn são chamadas faces próprias. Se σn é o simplexo de vértices a0, . . . , an, escrevemos σn = ⟨a0 . . . an⟩. Com essa notação, as faces do 2-simplexo ⟨a0a1a2⟩ são: ⟨a0a1a2⟩, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩ e ⟨a2⟩. Definição 4.4. Dois simplexos σm e σn são propriamente ligados se σm ∩ σn é vazia ou se σm ∩ σn é uma face de σm e de σn. (a) propriamente ligados (b) não propriamente ligados Definição 4.5. Um complexo simplicial é uma família nita K de simplexos que são propriamente ligados e cada face de um elemento de K é também um elemento de K. A dimensão de K é o maior inteiro positivo r tal que K tem um r-simplexo. A reunião de todos os elementos de K com a topologia induzida de Rr , denotada por ∣K∣, é chamada o poliedro associado a K. Exemplo 4.6. O complexo simplicial K abaixo, onde não estamos conside- rando o 3-simplexo ⟨a0a1a2a3⟩ e o 2-simplexo ⟨a1a5a6⟩, é constituído por qua- tro 2-simplexos, dez 1-simplexos e sete 0-simplexos e tem dimensão 2. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 37 — #27 i i i i i i Homologia simplicial 37 a0 a1 a3 a4a5 a6 a2 Definição 4.7. Seja X um espaço topológico. Se existe um complexo simplicial K cujo poliedro associado é homeomorfo a X, dizemos que X é triangulável e K é uma triangulação de X. Exemplo 4.8. Consideremos a esfera S2. O complexo simplicial K = {⟨a0a1a2⟩, ⟨a0a1a3⟩, ⟨a0a2a3⟩, ⟨a1a2a3⟩, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a0a3⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a1a3⟩, ⟨a2a3⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩, ⟨a3⟩} tem poliedro associado homeomorfo a esfera S2. a1 a2 a3 a0 Definição 4.9. O fecho de um k-simplexo σ k , denotado por σ k , é o complexo simplicial constituído de σ k e todas as suas faces. Exemplo 4.10. Seja σ2 = ⟨a0a1a2⟩. Então o fecho de σ2 é dado por σ2 = {σ2, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩} . Definição 4.11. Se K é um complexo simplicial de dimensão n e r ≤ n, então o r-esqueleto deK é o complexo simplicialK(r) constituído de todos os simplexos de K de dimensão menor ou igual que r. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 40 — #30 i i i i i i 40 INVARIANTES TOPOLÓGICOS visto que são os únicos que são faces de σ p e têm σ p−2 como face. Analisemos os quatro casos determinados pelas orientações de σ p−11 e σ p−1 2 . Podemos ter: +σ p−111 = +⟨av0 . . . vp−2⟩ ou +σ p−1 12 = −⟨av0 . . . vp−2⟩, +σ p−121 = +⟨bv0 . . . vp−2⟩ ou +σ p−1 22 = −⟨bv0 . . . vp−2⟩. Temos então os seguintes números de incidência: [σ p , σ p−111 ] = −1, [σ p , σ p−112 ] = +1, [σ p , σ p−121 ] = −1, [σ p , σ p−122 ] = +1, [σ p−111 , σ p−2] = +1, [σ p−112 , σ p−2] = −1, [σ p−121 , σ p−2] = +1, [σ p−122 , σ p−2] = −1. Portanto [σ p , σ p−111 ] ⋅ [σ p−1 11 , σ p−2] = (−1) ⋅ (+1) = −1, [σ p , σ p−112 ] ⋅ [σ p−1 12 , σ p−2] = (+1) ⋅ (−1) = −1, [σ p , σ p−121 ] ⋅ [σ p−1 21 , σ p−2] = (+1) ⋅ (+1) = +1, [σ p , σ p−122 ] ⋅ [σ p−1 22 , σ p−2] = (−1) ⋅ (−1) = +1, donde segue que ∑ σ p−1∈K [σ p , σ p−1] ⋅ [σ p−1, σ p−2] = 2 ∑ i , j=1 [σ p , σ p−1i j ] ⋅ [σ p−1 i j , σ p−2] = 0, o que conclui a demonstração. Definição 4.18. SejamK um complexo simplicial orientado e {σ pi } αp i=0 a família dos p-simplexos de K, onde αp denota o número de p-simplexos. Uma cadeia p-dimensional (ou uma p-cadeia) é uma função cp ∶ {σ pi } αp i=0 → Z tal que cp(−σ pi ) = −cp(+σ p i ). Uma 0-cadeia é uma função c0 ∶ {0-simplexos}→ Z. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 41 — #31 i i i i i i Homologia simplicial 41 O conjunto Cp(K) de todas as p-cadeias com a operação adição de funções é um grupo abeliano, chamado grupo das p-cadeias. Uma p-cadeia é elementar quando existe um p-simplexo σ p ∈ K tal que cp(τp) = 0, para todo p-simplexo τp ∈ K, distinto de σ p. Neste caso denotamos cp por дσ p, onde д = cp(+σ p). Com essa notação, toda p-cadeia dp pode ser escrita como uma soma formal nita de p-cadeias elementares dp = αp ∑ i=0 дiσ p i , дi = c i p(+σ p i ). Definição 4.19. Se дσ p é uma p-cadeia elementar com p ≥ 1, o bordo de дσ p, denotado por ∂(дσ p), é denido por: ∂(дσ p) = αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ]дσ p−1 i . O operador bordo ∂ ∶ Cp(K)→ Cp−1(K), ∂(cp) = αp ∑ i=0 ∂(дiσ pi ), onde cp = αp ∑ i=0 дiσ p i , é obtido estendendo por linearidade a denição anterior. O operador bordo de C0(K) é o homomorsmo identicamente nulo. Teorema 4.20. Se K é um complexo orientado e p ≥ 2 então ⋯ // Cp(K) ∂ // Cp−1(K) ∂ // Cp−2(K) // ⋯ é uma sequência semi-exata, isto é, ∂2 = 0. Demonstração. Seja cp ∈ Cp(K) qualquer. Então cp = αp ∑ i=0 дiσ p i , onde дiσ p i são p-cadeias elementares. Como ∂ é um homomorsmo, basta provarmos para p-cadeias do tipo дσ p. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 42 — #32 i i i i i i 42 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Temos que ∂2 (дσ p) = ∂ ( αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ]дσ p−1 i ) = αp−1 ∑ i=0 ∂ ([σ p , σ p−1i ]дσ p−1 i ) = αp−1 ∑ i=0 ⎛ ⎝ αp−2 ∑ j=0 [σ p , σ p−1i ][σ p−1 i , σ p−2 j ]дσ p−2 j ⎞ ⎠ = αp−2 ∑ j=0 ( αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ][σ p−1 i , σ p−2 j ]) дσ p−2 j . Pelo Teorema 4.17, observamos que αp−1 ∑ i=0 [σ p , σ p−1i ][σ p−1 i , σ p−2 j ] = 0, de onde segue o resultado. Definição 4.21. Sejam K um complexo simplicial orientado e p ≥ 0. Um p- ciclo de K, é uma p-cadeia zp tal que ∂(zp) = 0. Dizemos que bp é um p-bordo se existir uma (p + 1)-cadeia cp+1 tal que ∂(cp+1) = bp. Denotemos por Zp(K) o conjunto de todos os p-ciclos de K. Observe- mos que Zp(K) é o núcleo do homomorsmo bordo ∂ ∶ Cp(K) → Cp−1(K) e C0(K) = Z0(K), pois ∂(C0(K)) = 0. O conjunto dos p-bordos, denotado por Bp(K), é constituído pela imagem de ∂ ∶ Cp+1(K) → Cp(K). Se K tem dimensão n, não há cadeias de dimensão maior que n. Logo Cp(K) = 0, para p > n, e portanto Bn(K) = 0. Se K é um complexo orientado de dimensão n, então Bp(K) ⊂ Zp(K), 0 ≤ p ≤ n. De fato, se bp ∈ Bp(K), existe cp+1 ∈ Cp+1(K) tal que ∂(cp+1) = bp. Então ∂(bp) = ∂2(cp+1) = 0 e portanto bp ∈ Zp(K). Definição 4.22. Sejamwp e zp em Zp(K). Dizemos quewp e zp são homólogos se wp − zp ∈ Bp(K). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 45 — #35 i i i i i i Homologia simplicial 45 Observemos que B2(K) ≅ 0, pois não existem 3-cadeias em K. Estamos agora em condições de determinar os grupos de homologia do complexo simplicial orientado K. Seja c0 = д0⟨a0⟩ + д1⟨a1⟩ + д2⟨a2⟩ uma 0-cadeia qualquer. Temos que c0 = ∂(д1⟨a0a1⟩ + д2⟨a0a2⟩) + (д0 + д1 + д2)⟨a0⟩, ou seja, c0 − (д0 + д1 + д2)⟨a0⟩ = ∂(д1⟨a0a1⟩+ д2⟨a0a2⟩). Portanto todo 0-ciclo c0 é homólogo a um múltiplo de ⟨a0⟩. Segue que H0(K) ≅ Z. Dos cálculos acima, temos que Z1(K) ≅ B1(K) e portanto H1(K) ≅ 0. Segue também que H2(K) ≅ 0, pois Z2(K) ≅ 0. Definição 4.24. Dizemos que um espaço topológico de Hausdorš é uma n- variedade se, para cada ponto, existe um aberto que o contém e que é homeo- morfo a uma bola aberta do Rn. Definição 4.25. Por um Toro entendemos o espaço quociente T2 = I × I∼ onde I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação denida por (x , 0) ∼ (x , 1) e (0, y) ∼ (1, y). Definição 4.26. Por uma Garrafa de Klein entendemos o espaço quociente KB = I × I∼ onde I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação denida por (x , 0) ∼ (x , 1) e (0, y) ∼ (1, 1 − y). Definição 4.27. Por um Plano Projetivo entendemos o espaço quociente P2 = S2 x ∼ (−x) , onde S 2 é a esfera unitária do R3. Uma superfície é uma 2-variedade compacta e conexa. As superfícies mais conhecidas são a esfera S2, o toro T2, a garrafa de Klein KB, o plano projetivo real P2, além daquelas obtidas dessas por somas conexas. De fato, essas são todas as superfícies (ver Teorema 5.14 do capítulo 5). Definição 4.28. Uma n-pseudovariedade é um complexo K com as seguintes propriedades: i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 46 — #36 i i i i i i 46 INVARIANTES TOPOLÓGICOS 1. Cada simplexo de K é uma face de algum n-simplexo de K. 2. Cada (n − 1)-simplexo é face de exatamente dois n-simplexos de K. 3. Dado um par σn1 e σ n 2 de n-simplexos de K, existe uma sequência de n- simplexos começando em σn1 e terminando em σ n 2 tal que quaisquer dois termos consecutivos dessa sequência tem uma (n − 1)-face comum. Para n = 2, essa denição é equivalente à denição de uma triangulação de uma superfície (lembrando que no nosso contexto, as superfícies são variedades sem bordo). Exemplo 4.29. A triangulação do toro dada abaixo é um exemplo de uma 2-pseudovariedade. a1 a7 a8 a1 a0 a3 a4 a0 a2 a5 a6 a2 a0 a3 a4 a0 Definição 4.30. Por uma faixa de Möebius entendemos o espaço quociente FM = I × I(0, y) ∼ (1, 1 − y) , onde I denota o intervalo fechado [0, 1]. Exemplo 4.31. A faixa de Möebius d e f a a b c d não é uma 2-pseudovariedade, pois existem 1-simplexos, por exemplo ⟨e f ⟩, que são faces de apenas um 2-simplexo, no caso ⟨b f e⟩. Portanto não satisfaz a con- dição (2) da Denição 4.28. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 47 — #37 i i i i i i Homologia simplicial 47 Definição 4.32. Seja K uma n-pseudovariedade. Para cada (n − 1)-simplexo σn−1 de K, consideremos σn1 e σ n 2 os dois n-simplexos dos quais σ n−1 é face. Uma orientação para K com a propriedade [σn1 , σn−1] = −[σn2 , σn−1] para cada (n − 1)-simplexo σn−1 de K é chamada uma orientação coerente de K. Uma n-pseudovariedade é orientável se a ela pode ser associada uma orientação coerente. Caso contrário, ela é não orientável. Exemplo 4.33. Seja T o toro com orientação induzida por a < b < c < d < e < f < д < h < i. a b c a e i h e d f д d a b c a Em todas as 1-faces temos coerência na orientação. Como exemplo consi- dere a 1-face ⟨h f ⟩ e observe que [⟨ih f ⟩, ⟨h f ⟩] = 1 e [⟨ f hд⟩, ⟨h f ⟩] = −1. Por- tanto o toro é orientável. Exemplo 4.34. Se à faixa de Möebius acrescentarmos do lado direito os dois 2-simplexos ⟨ade⟩ e ⟨abe⟩ e orientarmos conforme a gura abaixo d e f a b a b c d e i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 50 — #40 i i i i i i 50 INVARIANTES TOPOLÓGICOS = (д0 − д5)⟨ad⟩ + д0⟨de⟩ − (д0 + д1)⟨ae⟩ + д1⟨ab⟩ + (д1 + д2)⟨be⟩ + д2⟨e f ⟩ − (д2 + д3)⟨b f ⟩ + д3⟨bc⟩ + (д3 + д4)⟨c f ⟩ + (д4 + д5)⟨ac⟩ − д4⟨a f ⟩ + д5⟨cd⟩. Assim ∂(w) = 0 se, e somente se, д0 = д1 = д2 = д3 = д4 = д5 = 0. Portanto w = 0 e então Z2(FM) = 0. Logo H2(FM) = 0. Além disso, considere as seguintes 1-cadeias: z = ⟨ab⟩ + ⟨bc⟩ + ⟨cd⟩ − ⟨ad⟩, z′ = ⟨ad⟩ + ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ − ⟨a f ⟩. Temos que ∂(z) = ⟨b⟩ − ⟨a⟩ + ⟨c⟩ − ⟨b⟩ + ⟨d⟩ − ⟨c⟩ − (⟨d⟩ − ⟨a⟩) = 0 e analogamente ∂(z′) = 0. Portanto z e z′ são 1-ciclos. Observe ainda que z−z′ = ∂(⟨abe⟩+⟨bc f ⟩+⟨acd⟩−⟨ac f ⟩−⟨be f ⟩−⟨ade⟩) e z é homólogo a z′. Pode-se provar de maneira análoga, que qualquer 1-ciclo é homólogo a z. Então H1(FM) = {[дz] ∶ д ∈ Z} ≅ Z. Armamos também que quaisquer duas 0-cadeias são homólogas a ⟨a⟩. Por exemplo, ⟨a⟩ − ⟨e⟩ = ∂(−⟨ae⟩), donde ⟨e⟩ é homólogo a ⟨a⟩. Portanto H0(FM) = {[д⟨a⟩] ∶ д ∈ Z} ≅ Z. Exemplo 4.38. Consideremos a esfera unitária S2 de R3 com a triangulação K da gura abaixo e com a orientação induzida dada por a < b < c < d. c a b d CalculemosH2(K). Observemos primeiramente que B2(K) = 0, desde que K não possui 3-simplexos. Encontremos agora Z2(K). Para isso tomemos uma 2-cadeia c2 = д0⟨abc⟩ + д1⟨abd⟩ + д2⟨acd⟩ + д3⟨bcd⟩ i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 51 — #41 i i i i i i Homologia simplicial 51 tal que ∂(c2) = 0. Então ∂(c2) = д0(⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ + ⟨bc⟩) + д1(⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩)+ + д2(⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) + д3(⟨bc⟩ − ⟨bd⟩ + ⟨cd⟩) = 0, ou equivalentemente, (д0 + д1)⟨ab⟩ + (д2 − д0)⟨ac⟩ + (−д1 − д2)⟨ad⟩ + (д0 + д3)⟨bc⟩ + (д1 − д3)⟨bd⟩ + (д2 + д3)⟨cd⟩ = 0. Assim д0 = −д1 = д2 = −д3 implica que c2 = д0⟨abc⟩−д0⟨abd⟩+д0⟨acd⟩−д0⟨bcd⟩ = д0(⟨abc⟩−⟨abd⟩+⟨acd⟩−⟨bcd⟩) e portanto Z2(K) ≅ Z. Concluímos assim que H2(K) ≅ Z. Calculemos agora H1(K). Para isto, tomemos uma 1-cadeia c1 = д0⟨ab⟩ + д1⟨ac⟩ + д2⟨ad⟩ + д3⟨bc⟩ + д4⟨bd⟩ + д5⟨cd⟩ tal que ∂(c1) = 0. Então д0(⟨b⟩ − ⟨a⟩) + д1(⟨c⟩ − ⟨a⟩) + д2(⟨d⟩ − ⟨a⟩) + д3(⟨c⟩ − ⟨b⟩) + д4(⟨d⟩ − ⟨b⟩) + д5(⟨d⟩ − ⟨c⟩) = 0, ou equivalentemente, (−д0− д1− д2)⟨a⟩+(д0− д3− д4)⟨b⟩+(д1+ д3− д5)⟨c⟩+(д2+ д4+ д5)⟨d⟩ = 0. Assim д0 = д3 + д4, д1 = −д3 + д5 e д2 = −д4 − д5. Portanto, c1 = (д3+ д4)⟨ab⟩+(−д3+ д5)⟨ac⟩+(−д4− д5)⟨ad⟩+ д3⟨bc⟩+ д4⟨bd⟩+ д5⟨cd⟩, ou equivalentemente, i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 52 — #42 i i i i i i 52 INVARIANTES TOPOLÓGICOS c1 = д3(⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ +⟨bc⟩) +д4(⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩) + д5(⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) = д3∂(⟨abc⟩) + д4∂(⟨abd⟩) + д5∂(⟨acd⟩) = ∂(д3⟨abc⟩ + д4⟨abd⟩ + д5⟨acd⟩). Portanto todo 1-ciclo é um bordo. Logo H1(K) = 0. Calculemos H0(K). Por denição, ∂(c0) = 0, para toda 0-cadeia c0. Desta forma c0 = α0⟨a⟩+ α1⟨b⟩+ α2⟨c⟩+ α3⟨d⟩ é um ciclo e portanto Z0(K) é gerado por {⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩} de modo que é isomorfo a Z⊕Z⊕Z⊕Z. Calculemos B0(K). Para isto tomemos c1 = д0⟨ab⟩ + д1⟨ac⟩ + д2⟨ad⟩ + д3⟨bc⟩ + д4⟨bd⟩ + д5⟨cd⟩ tal que ∂(c1) = c0, para alguma 0-cadeia c0. Desde que ∂(c1) = (−д0−д1−д2)⟨a⟩+(д0−д3−д4)⟨b⟩+(д1+д3−д5)⟨c⟩+(д2+д4+д5)⟨d⟩, procuramos дi , i = 1, . . . , 5, tais que −д0 − д1 − д2 = α0, д0 − д3 − д4 = α1, д1 + д3 − д5 = α2, д2 + д4 + д5 = α3. Por escalonamento, obtemos que o sistema só terá solução se α0 + α1 + α2 + α3 = 0 e neste caso ∂(c1) = (−α1 − α2 − α3)⟨a⟩ + α1⟨b⟩ + α2⟨c⟩ + α3⟨d⟩. Assim B0(K) ≅ Z⊕Z⊕Z e é gerado por {−⟨a⟩ + ⟨b⟩,−⟨a⟩ + ⟨c⟩,−⟨a⟩ + ⟨d⟩}. Mas Z0(K) é gerado por {⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩}, ou ainda, por {⟨a⟩,−⟨a⟩ + ⟨b⟩,−⟨a⟩ + ⟨c⟩,−⟨a⟩ + ⟨d⟩} . De fato, α0⟨a⟩ + α1⟨b⟩ + α2⟨c⟩ + α3⟨d⟩ = = γ0⟨a⟩ + γ1(−⟨a⟩ + ⟨b⟩) + γ2(−⟨a⟩ + ⟨c⟩) + γ3(−⟨a⟩ + ⟨d⟩) se, e somente se, γ0 − γ1 − γ2 − γ3 = α0, γ1 = α1, γ2 = α2 e γ3 = α3. Portanto γ0 = α0 + α1 + α2 + α3, γ1 = α1, γ2 = α2 e γ3 = α3. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 55 — #45 i i i i i i Homologia simplicial 55 ou equivalentemente, дi = 0, i = 1, . . . , 10. Portanto w = 0 e Z2(P2) = 0 e daí H2(P2) = 0. Considere z = ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ + ⟨ f d⟩. Pode-se vericar que qualquer 1-ciclo é homólogo a um múltiplo de z. Assim temos duas classes de 1-cadeias que são 1-ciclos: a primeira classe tem como representante z ou ummúltiplo ímpar de z. Por exemplo: w = ⟨bc⟩ + ⟨ce⟩ + ⟨eb⟩ é homólogo a (2д − 1)z, pois w−(2д−1)z = ∂((д−1)⟨ad f ⟩+д⟨cd f ⟩+д⟨bc f ⟩+(1−д)⟨abc⟩+(1−д)⟨ace⟩ + (1 − д)⟨ae f ⟩ − д⟨be f ⟩ + (1 − д)⟨bde⟩ + (д − 1)⟨abd⟩ − д⟨cde⟩). A outra classe é dada pelos 1-ciclos que são homólogos a um múltiplo par de z. Quando isso acontece, estes são bordos, isto é, representam o elemento neutro do quociente H1(P2). De fato, 2дz = ∂(−д⟨ad f ⟩− д⟨cd f ⟩+ д⟨ae f ⟩+ д⟨be f ⟩+ д⟨bde⟩+ д⟨cde⟩− д⟨abd⟩ − д⟨bc f ⟩ + д⟨ace⟩ + д⟨abc⟩) = ∂(w). Assim (2д + 1)z − z = 2дz = ∂(w), ou seja, (2д + 1)z é homólogo a z e portanto H1(P2) ≅ Z2. Como exercício prove que H0(P2) ≅ Z. 4.2. O GRUPO DE HOMOLOGIA COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO Já denimos grupos de homologia simplicial de um dado complexo K, de- notado por H∗(K ,Z) ou simplesmente, H∗(K). Dada uma superfície S, é pos- sível dar uma triangulação para S e obter os grupos de homologia do complexo K a partir da triangulação de S. Calculamos os grupos de homologia de al- gumas superfícies. Agora vamos ver os grupos de homologia como invariante topológico. Dados dois complexos K e L e uma função contínua f ∶ K → L, associare- mos os respectivos i-ésimos grupos de homologia simplicial Hi(K) e Hi(L) e o homomorsmo induzido f∗ ∶ Hi(K)→ Hi(L). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 56 — #46 i i i i i i 56 INVARIANTES TOPOLÓGICOS O objetivo desse capítulo é provar que se f é um homeomorsmo então f∗ é um isomorsmo. Dessa forma, conclui-se que se f∗ não é um isomorsmo então f não é um homeomorsmo. Definição 4.40. Sejam K e L complexos e {ϕp} ∞ p=0 uma sequência de homo- morsmos ϕp ∶ Cp(K)→ Cp(L), p ≥ 1 tal que o diagrama Cp(K) ∂  ϕp // Cp(L) ∂  Cp−1(K) ϕp−1 // Cp−1(L) comuta, isto é, ∂ϕp = ϕp−1∂. A sequência {ϕp} ∞ p=0 é chamada uma aplicação de cadeias. Observação. Se p é maior que as dimensões de K e L, então ϕp é o homomor- smo nulo. Teorema 4.41. Uma aplicação de cadeias {ϕp} ∞ p=0 de um complexo K em um complexo L induz homomorsmos (ϕp)∗ ∶ Hp(K)→ Hp(L), para cada p ≥ 0. Demonstração. Provemos primeiramente que ϕp(Bp(K)) ⊂ Bp(L). Para isso, tomamos bp = ∂(cp+1) ∈ Bp(K), qualquer. Então ϕp(bp) = ϕp(∂(cp+1)) = ∂ϕp+1(cp+1). Logo ϕp(bp) é o bordo de uma (p + 1)-cadeia de Cp+1(L). Além disso, se p = 0, então a sequência semi-exata é da forma ⋯ // C1(K) ∂ // C0(K) ∂ // C−1(K) = 0. Logo, por denição, qualquer z ∈ Z0(K) é tal que ∂z = 0. Assim Z0(K) = C0(K) e Z0(L) = C0(L), logo ϕ0(Z0(K)) ⊂ Z0(L). Se p ≥ 1, seja zp ∈ Zp(K) e como ∂ϕp(zp) = ϕp+1∂(zp) = ϕp+1(0) = 0, segue que ϕp(zp) ∈ Zp(L). Dessa forma, concluímos que ϕp(Zp(K)) ⊂ Zp(L), ∀p ≥ 0. Denimos assim (ϕp)∗ ∶ Hp(K) → Hp(L) por (ϕp)∗(zp + Bp(K)) = ϕp(zp) + Bp(L). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 57 — #47 i i i i i i Homologia simplicial 57 Definição 4.42. Uma aplicação simplicial de um complexoK emum complexo L é uma função ϕ, do conjunto dos vértices de K para o conjunto dos vértices de L, satisfazendo a seguinte condição: se σ p = ⟨v0 . . . vp⟩ é um p-simplexo de K, então os vértices ϕ(vi), 0 ≤ i ≤ p, são os vértices de um simplexo L (observe que os vértices ϕ(vi) não precisam ser distintos). Se os vértices ϕ(vi), 0 ≤ i ≤ p, forem todos distintos, então o p-simplexo ⟨ϕ(v0) . . . ϕ(vp)⟩ = ϕ(σ p) é chamado a imagem de σ p. Se ϕ(vi) = ϕ(v j), para algum i ≠ j, dizemos que ϕ colapsa σ p. Definição 4.43. Sejam ϕ uma aplicação simplicial de K em L e p ≥ 0. Se дσ p é uma p-cadeia elementar, denimos ϕp(дσ p) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 0, se ϕ colapsa σ p, дϕ(σ p), se ϕ não colapsa σ p. A função ϕp estende-se por linearidade a umhomomorsmo ϕp ∶ Cp(K)→ Cp(L) denido por ϕp(∑ дiσ pi ) = ∑ ϕp(дiσ p i ). Exemplo 4.44. Sejam K o 2-esqueleto de um 3-simplexo ⟨abcd⟩ e L o fecho de um 2-simplexo ⟨e f h⟩ com orientações a < b < c < d e e < f < h, res- pectivamente. c a b d h e f Seja ϕ ∶ K → L denida por ϕ(a) = ϕ(d) = e, ϕ(b) = f e ϕ(c) = h. As aplicações de cadeias ϕp são dadas por i) ϕ0(д0⟨a⟩ + д1⟨b⟩ + д2⟨c⟩ + д3⟨d⟩) = (д0 + д3)⟨e⟩ + д1⟨ f ⟩ + д2⟨h⟩. ii) ϕ1(д0⟨ab⟩+д1⟨ac⟩+д2⟨ad⟩+д3⟨bc⟩+д4⟨bd⟩+д5⟨cd⟩) = д0⟨e f ⟩+д1⟨eh⟩+ д3⟨ f h⟩ + д4⟨ f e⟩ + д5⟨he⟩ = (д0 − д4)⟨e f ⟩ + (д1 − д5)⟨eh⟩ + д3⟨ f h⟩. iii) ϕ2(д0⟨abc⟩ + д1⟨abd⟩ + д2⟨bcd⟩ + д3⟨acd⟩) = д0⟨e f h⟩ + д2⟨ f he⟩ = (д0 + д2)⟨e f h⟩. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 60 — #50 i i i i i i 60 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Lema 4.49. Seja id ∶ ∣K∣→ ∣K∣ a função identidade de ∣K∣. Então [(id∣K∣)p]∗ = idHp(K). Demonstração. Tomemoswp+Bp(K) um elemento qualquer deHp(K). Então [(id∣K∣)p]∗(wp + Bp(K)) = (id∣K∣)p(wp) + Bp(K) = = wp + Bp(K) = idHp(K)(wp + Bp(K)). O teorema abaixo nos permite observar que o grupo de homologia simpli- cial é um invariante topológico. Teorema 4.50. Se ∣K∣ e ∣L∣ são homeomorfos, então Hp(K) e Hp(L) são iso- morfos, para cada p. Demonstração. Sejam f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ um homeomorsmo e f −1 ∶ ∣L∣ → ∣K∣ seu inverso. Assim f e f −1 são contínuas, f ○ f −1 = id∣L∣ e f −1○ f = id∣K∣. Observemos que ((id∣L∣)p)∗ = idHp(L) pois ((id∣L∣)p)∗(wp + Bp(L)) = (id∣L∣)p(wp) + Bp(L) = wp + Bp(L). De modo análogo ((id∣K∣)p)∗ = idHp(K). Pelo Lema 4.48, temos ( fp) ∗ (( f −1)p)∗ = (( f ○ f −1)p)∗ = ((id∣L∣)p)∗ = idHp(L), (( f −1)p)∗( fp) ∗ = (( f −1 ○ f )p)∗ = ((id∣K∣)p)∗ = idHp(K). Portanto, ( fp)∗ ∶ Hp(K)→ Hp(L) é um isomorsmo. Teorema 4.51 (Teorema da Invariância da Dimensão). Sejamm, n inteiros po- sitivos. Se m ≠ n, então: a) Sm e Sn não são homeomorfos. b) Rm e Rn não são homeomorfos. Demonstração. (a) Suponha que Sm e Sn são homeomorfos. Então existe um homeomorsmo f ∶ Sm → Sn, cuja induzida ( fp)∗ ∶ Hp(Sm) → Hp(Sn) é i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 61 — #51 i i i i i i Homologia simplicial 61 um isomorsmo, para todo p. Suponha que m > n. Pela Proposição 4.36, Hm(Sm) ≅ Z. Por outro lado Hm(Sn) ≅ 0 pois m > n. O caso m < n é análogo. (b) Seja m ≠ n e suponha que Rm e Rn são homeomorfos. Então a com- pacticação por um ponto (vide [8, p. 183]) de Rm e Rn respectivamente são homeomorfos. Logo Sm e Sn são homeomorfos, com m ≠ n, o que é um ab- surdo pelo item (a). Definição 4.52. Seja f ∶ Sn → Sn, n ≥ 1, uma aplicação contínua. Considere- mos uma triangulação orientável K de Sn e ϕ ∶ Hn(Sn) → Z um isomorsmo. Seja [Sn] a classe deHn(Sn) tal que ϕ([Sn]) = 1. Essa classe é chamada de classe fundamental de Sn. O inteiro p tal que f∗([Sn]) = p[Sn] é chamado o grau de f , denotado por deg( f ). O próximo teorema usa técnicas avançadas na demonstração que não serão vistas neste texto. O leitor interessado poderá consultar [4, II.8.4]. Teorema 4.53 (Teorema de Classificação de Hopf). Duas aplicações f e д de Sn em Sn são homotópicas se, e somente se, têm o mesmo grau. Proposição 4.54. Se f , д ∶ Sn → Sn são funções contínuas e h ∶ Sn → Sn é um homeomorsmo então: a) deg( f ○ д) = deg( f )deg(д). b) deg(h) = ±1. Demonstração. (a) Sejam K uma triangulação orientável de Sn e ϕ ∶ Hn(Sn)→ Z um isomorsmo. Sejam ( fn)∗ ∶ Hn(Sn) → Hn(Sn) e (дn)∗ ∶ Hn(Sn) → Hn(Sn) os homomorsmos induzidos de f e д, respectivamente. Então existem p, q inteiros tais que ( fn)∗([Sn]) = p[Sn] e (дn)∗([Sn]) = q[Sn] onde p = deg( f ) e q = deg(д). Assim, (( f ○ д)n)∗([Sn]) = ( fn)∗ ○ (дn)∗([Sn]) = ( fn)∗((дn)∗([Sn])) = ( fn)∗(q[Sn]) = q( fn)∗([Sn]) = qp[Sn]. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 62 — #52 i i i i i i 62 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Portanto deg( f ○ д) = pq = deg( f )deg(д). (b)Como h ∶ Sn → Sn é umhomeomorsmo, então h○h−1 = idSn . Portanto deg(h)deg(h−1) = deg(h ○ h−1) = deg(idSn) = 1. Observando que o grau de h é um número inteiro, segue o resultado. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 65 — #55 i i i i i i Característica de Euler 65 A característica de Euler não depende da triangulação. Depende apenas da superfície. Este resultado pode ser provado usando a teoria de homologia. Por enquanto, vamos dar alguns exemplos ilustrando o fato. a a a a b b (a) Esfera (b) Toro (c) Plano projetivo Exemplo 5.7. Tomemos a esfera S2 com triangulação K (gura (a)). Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas hori- zontais. Então temos que v = 2 +mn. Há 3 tipos de arestas: horizontais, verticais e oblíquas. Temos (n + 1)m horizontais,mn verticais e (n−1)m oblíquas, totalizando ((n+1)+(n−1))m+ mn = 3mn. Em cada “fatia” há 2 + 2(n − 1) faces. Como existem m “fatias”, segue que f = (2 + 2(n − 1))m = 2mn e portanto χ(S2) = 2. Exemplo 5.8. Consideremos o toro T2 com triangulação K (gura (b)). Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas hori- zontais. Então temos que v = mn, e = 3mn e f = 2mn. Logo, χ(T2) = 0. Exemplo 5.9. Seja P2 o plano projetivo com triangulação K (gura (c)). Suponhamos que a triangulação tenha m círculos concêntricos no interior de P2 e n diâmetros, de modo que v = 2mn − n + 1, e = 3n(2m − 1) e f = 2n(2m − 1). Assim, χ(P2) = 2mn − n + 1 − 3n(2m − 1) + 2n(2m − 1) = 2mn − n + 1 + n − 2mn = 1. A partir das superfícies conhecidas, vamos efetuar uma operação, chamada soma conexa, para obter novas superfícies. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 66 — #56 i i i i i i 66 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Intuitivamente, a soma conexa de duas superfícies S1 e S2 é a superfície S1#S2 obtida retirando-se o interior de dois discos, um em cada superfície, e identicando-os pelos bordos. Formalmente temos: Definição 5.10. Sejam S1 e S2 duas superfícies, compactas e sem bordo. Es- colhemos D1 ⊂ S1 e D2 ⊂ S2, subconjuntos homeomorfos ao disco D2 e sejam h1 ∶ D1 → D2 e h2 ∶ D2 → D2, os respectivos homeomorsmos. Denimos a soma conexa de S1 e S2, e denotamos por S1#S2, sendo o conjunto (S1 − intD1) ∪ (S2 − intD2) ∼ , onde a relação x ∼ y é dada por: a) se x , y estão no complementar de ∂D1 ∪ ∂D2 então x ∼ y⇔ x = y; b) caso contrário, x ∼ y⇔ h1(x) = h2(y). É possível mostrar que a soma conexa não depende da escolha dos subcon- juntos D1 e D2 e que a soma conexa é uma superfície. Lembramos que consideramos em S1#S2 a topologia quociente. Exemplo 5.11. Denotando S1 = S2 = T2 então S1#S2 = T2#T2 é dada pela gura (c) abaixo: i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 67 — #57 i i i i i i Característica de Euler 67 Exemplo 5.12. P2#P2 = KB. Lembramos que P2 pode ser obtido de um disco D2 comos lados identicados, comona Figura 5.1(a). RetiramosD1 ⊂ D2 eD2 ⊂ D2, subconjuntos homeomorfos ao disco D2, como na Figura 5.1(b), para obter a Figura 5.1(c). Identicando-se os lados sem seta da Figura 5.1(c) obtemos a Figura 5.1(d). Tomando a diagonal como na Figura 5.1(e) e separando as guras ao longo dessa diagonal obtemos a Figura 5.1(f). Dispondo a Figura 5.1(f) como na Figura 5.1(g) e identicando os lados com uma seta da Figura 5.1(g) obtemos a Figura 5.1(h) que pode ser representada como a Figura 5.1(i) que descreve a garrafa de Klein KB. Figura 5.1: Garrafa de Klein como soma conexa de dois planos projetivos (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) Proposição 5.13. Sejam S1 e S2 duas superfícies fechadas (compactas e sem bordo). Então χ(S1#S2) = χ(S1) + χ(S2) − 2. Demonstração. Tomemos K1 e K2 triangulações de S1 e S2, respectivamente. Sejam χ(S1) = v1 − e1 + f1 e χ(S2) = v2 − e2 + f2. K′1 = K1 − ⟨a0a1a2⟩ é uma triangulação de S1−intD2 eK′2 = K2−⟨b0b1b2⟩ é uma triangulação de S2−intD2. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 70 — #60 i i i i i i 70 INVARIANTES TOPOLÓGICOS Teorema 5.18 (de Euler–Poincaré). Seja K um complexo orientado de dimen- são n e para p = 0, . . . , n seja αp o número de p-simplexos de K. Então: n ∑ p=0 (−1)pαp = n ∑ p=0 (−1)pRp(K). Demonstração. Para simplicar a notação usaremos Bp = Bp(K), Cp = Cp(K) e Zp = Zp(K), que sãoQ-espaços vetoriais. ∗ Seja {d ip} um conjunto maximal de p-cadeias tais que nenhuma combi- nação própria dos d ip’s é um ciclo. Seja Dp o subespaço de Cp gerado por esses vetores. Então Dp ∩ Zp = {0}. Além disso Dp + Zp = Cp, logo Cp = Dp ⊕ Zp. Assim vale a seguinte relação: αp = dimCp = dimDp + dim Zp, logo dim Zp = αp − dimDp, p = 1, . . . , n. Para p = 0, . . . , n − 1, seja bip = ∂(d ip+1). Armamos que {bip} é uma base para Bp. Seja v ∈ Bp, ou seja, existe uma (p + 1)-cadeia cp+1 tal que ∂(cp+1) = v. Mas cp+1 ∈ Cp+1 e então notamos que cp+1 = zp+1 + dp+1. Assim v = ∂(cp+1) = ∂(zp+1) + ∂(dp+1) = ∂(dp+1). Portanto, {bip} gera Bp. Mostremos agora que {bip} é linearmente independente. Suponhamos ∑i αibip = 0. Como bip = ∂(d ip+1) então ∑i αi∂(d ip+1) = 0, o que implica ∂(∑i αid ip+1) = 0. Logo∑i αid ip+1 é um ciclo. Por (∗), ∑i αid ip+1 é uma combinação linear trivial, logo os αi ’s são nulos. Seja {z ip}, i = 1, . . . , Rp um conjunto maximal de p-ciclos linearmente independentes mod Bp. Estes ciclos geram um subespaço Gp de Zp e Zp = Gp ⊕ Bp , p = 0, . . . , n − 1. Observemos que Bp ⊂ Zp. Os ciclos que não são bordos pertencem a Gp, poisGp é gerado por {z ip}, que são p-ciclos linearmente independentesmod Bp. Umelemento v ∈ Gp é da forma v = ∑i дiz ip. Logo se v ∈ Bp, então дi = 0 e v = 0. Portanto segue o resultado. Assim, dim Zp = dimGp + dimBp = Rp + dimBp. Então Rp = dim Zp − dimBp = αp − dimDp − dimBp, 1 ≤ p ≤ n + 1. Observe que Bp é gerado pelos bordos das cadeias elementares ∂(1σ p+1i ) = ∑ ηi j(p)σ pj onde (ηi j(p)) = η(p) é a p-ésima matriz de incidência, isto é, ηi j(p) = [σ p+1i , σ p j ]. Então dimBp = posto η(p). i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 71 — #61 i i i i i i Característica de Euler 71 Como o número de d ip+1 é omesmo que o de b i p, então dimDp+1 = dimBp = posto η(p), p = 0, . . . , n − 1. Então Rp = αp − dimDp − dimBp = αp − posto η(p − 1) − posto η(p), 1 ≤ p ≤ n − 1. Observe que R0 = dim Z0 − dimB0 = α0 − posto η(0) e Rn = dim Zn = αn − dimDn = αn − posto η(n − 1). Assim, n ∑ p=0 (−1)pRp(K) = R0(K) − R1(K) +⋯ + (−1)n−1Rn−1(K) + (−1)nRn(K) = α0−posto η(0)−(α1−posto η(0)−posto η(1))+(α2−posto η(1)−posto η(2)) −⋯+(−1)n−1(αn−1−posto η(n−2)−posto η(n−1))+(−1)n(αn−posto η(n−1)) = α0 − α1 +⋯ + (−1)n−1αn−1 + (−1)nαn = n ∑ p=0 (−1)pαp , o que naliza a prova do teorema. Definição 5.19. Se K é um complexo de dimensão n, o número χ(K) = n ∑ p=0 (−1)pRp(K) é chamado a característica de Euler de K. Usando os grupos de homologia com coecientes emZ de algumas superfí- cies, apresentadas no capítulo anterior, e oTeoremadosCoecientesUniversais, que assumiremos conhecido (veja [3, p. 195]), vamos calcular as características de Euler usando o número de Betti. 1. A esfera S2 tem característica de Euler χ(S2) = 2, pois seus grupos de homo- logia são H0(S2,Q) = Q, H1(S2,Q) = 0, H2(S2,Q) = Q. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 72 — #62 i i i i i i 72 INVARIANTES TOPOLÓGICOS 2. O toro T2 tem característica de Euler χ(T2) = 0, já que seus grupos de homologia são H0(T2,Q) = Q, H1(T2,Q) = Q⊕Q, H2(T2,Q) = Q. 3. Por m, para o plano projetivo P2 temos χ(P2) = 1, pois H0(P2,Q) = Q, H1(P2,Q) = 0, H2(P2,Q) = 0. Observação. No caso de uma superfície S, usando a denição acima, temos χ(S) = ∑2p=0(−1)pRp. Pelo Teorema de Euler–Poincaré (Teorema 5.18), temos que χ(S) = ∑2p=0(−1)pαp, onde αp é o número de p-simplexos, ou seja, α0 é o número de vértices, α1 é o número de arestas e α2 é o número de triângulos. Substituindo, temos que χ(S) = (−1)0α0 + (−1)1α1 + (−1)2α2 = v − e + f . Lembrando que se S1 e S2 são homeomorfas, então os grupos de homolo- gias Hi(S1) e Hi(S2) são isomorfos, para i = 0, 1, 2, segue que χ(S1) = χ(S2), demonstrando então que a característica de Euler é um invariante topológico. i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 75 — #65 i i i i i i ÍNDICE REMISSIVO A aplicação de cadeias, 50 simplicial, 51 B baricentro, 52 bola aberta, 6 bordo, 36 ∂, 35 C cadeia(s), 34 aplicação de, 50 elementar(es), 35 caminho, 7 característica de Euler, 57, 62, 65 ciclo(s), 36 homólogos, 36, 44 circunferência, 5, 8 cisão, 11 classe fundamental, 55 complexo simplicial, 30 esqueleto, 31 orientado, 32 conexão, 11 conjunto aberto, 6 denso, 7 fechado, 6 fecho de um, 7, 13 geom. independente, 29 continuidade, 7 E esfera, 9, 31, 44, 58 espaço conexo, 11 por caminhos, 7, 23 métrico, 5 topológico, 6 esqueleto, 31 F face, 30 faixa de Möebius, 40, 41, 43 fecho, 7, 13 de um simplexo, 31 função contínua, 7 G garrafa de Klein, 39, 58 grau, 55 grupo de cadeias, 35 de homologia, 37, 49 i i “versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 76 — #66 i i i i i i 76 INVARIANTES TOPOLÓGICOS simplicial, 49 fundamental, 17, 20 H homeomorsmo, 7 homologia grupo de, 37, 49 simplicial, 29, 49 homomorsmo induzido, 26, 49 homotopia, 18, 53 L laço(s), 17 homotópicos, 18 Lema da Colagem, 7 M métrica, 5 do máximo, 5 N número de Betti, 63 de incidência, 33, 47 O operador bordo ∂, 35 orientação, 32 P plano projetivo, 39, 42, 47, 58 projeção estereográca, 9 pseudovariedade, 39 orientável, 41 S simplexo, 29 soma conexa, 60 subdivisão baricêntrica, 52 superfície, 40 fechada, 61 soma conexa, 60 T Teorema da Invar. da Dimensão, 54 de classicação de Hopf, 55 de superfícies fechadas, 62 de Euler–Poincaré, 64 do Valor Intermediário, 11 topologia induzida, 6, 11 quociente, 60 toro, 39, 41, 58 triangulação, 31 V variedade, 39
Docsity logo



Copyright © 2024 Ladybird Srl - Via Leonardo da Vinci 16, 10126, Torino, Italy - VAT 10816460017 - All rights reserved