Relações de Girard

Relações de Girard

Seja ( )um polinômio de coeficientes complexos
de graue as raízes de P(x). Então:

Relações de Girard

( )

Demonstração: Provemos por indução sobre n. Se n=2, então:

( )( )( )
()( ) ( )

Pela identidade de polinômios, temos:

()

Vemos que o teorema é verdadeiro para n=2. Supondo que o teorema é verdadeiro para polinômios de grau n 1, temos:

( )( )( ) ( )
()( ) ( )⏟
()
*
( )
( )
)(∑
)
( )
)( ) ∏

( ( ) ∑ Vamos calcular os coeficientes do polinômio acima:

( )
( )

Assim teremos: ( )

Como os polinômios são idênticos, teremos as identidades enunciadas no teorema.

Pelo princípio da indução, o teorema é verdadeiro para qualquer polinômio de grau n 2.

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