Cálculo Diferencial e Integral 1ao 4 - prova1calc4 2011 2 resolu??o

Cálculo Diferencial e Integral 1ao 4 - prova1calc4 2011 2 resolu??o

SEGUNDO SEMESTRE DE 2011 Setembro de 2011

Respostas sem c alculos ou justi cativas n~ao ser~ao aceitas. 1a Quest~ao: Resolva a seguinte equa c~ao diferencial de primeira ordem: (2,0 pt.)

v +x dv x dx.

ou seja, 1 para alguma constante C. Usando a condi c~ao inicial y(1) = 0 conclu mos que C = 0, portanto, a solu c~ao e dada por

= lnx.

2a Quest~ao: Dada a equa c~ao diferencial xdx + (x2 + 4)y dy = 0, determine um fator integrante para esta equa c~ao e a resolva em seguida. (2,0 pt.)

Logo, se µ n~ao depender de x, isto e, se µx = 0 teremos µy µ = 2y, o que nos fornece o fator integrante µ = ey2 . Agora temos que a equa c~ao e uma equa c~ao exata, portanto existe uma fun c~ao φ(x,y) tal que

x3 fazendo a mudan ca de vari aveis

Resolu c~ao: Dividindo a equa c~ao por y3 temos

Como e−t e te−t s~ao solu c~oes da equa c~ao homogenea (e cost n~ao e), o m etodo dos coe - cientes indeterminados garante que uma solu c~ao particular desta edo pode ser encontrada usando como fun c~ao teste yp(t) = At2et + B cost + Csent. Assim,

Logo, para yp ser de fato solu c~ao devemos ter a igualdade 2Ae−t + 2C cost 2Bsent = 2e−t + cost,

2 sen t.

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