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Profª. Suely Trevisam Araújo Conjuntos Numéricos Objetivos Explicar como se resolvem: problemas sobre operações com números inteiros, frações ordinárias e números decimais operações básicas com números inteiros relativos operações que envolvem potências e radicais

Tópicos 1. O que são conjuntos numéricos 2. Operações com números fracionários 3. Números decimais 4. Números relativos 5. Operações com números decimais em fórmulas

1. O que são conjuntos numéricos OBJETIVO Definir os conjuntos numéricos que serão revistos ao longo deste curso.

Freqüentemente, estamos avaliando os objetos, considerando principalmente dois aspectos: qualidade e quantidade. A matemática preocupa se exclusivamente com o aspecto quantidade.

A quantidade envolve a noção de contagem, expressa por números. Um elemento é tomado como base dessa contagem – é a "unidade".

A contagem mais simples dos números sempre existiu, desde os povos primitivos. E era feita baseando se na quantidade de dedos das mãos (contagem digital).

Tal contagem, até dez, não foi suficiente para resolver os problemas que surgiam; houve necessidade de se estender a contagem além de dez. Para representar os números, lançaram mão de sinais (ou símbolos).

Cada povo tinha sua maneira própria de escrever os números, o que acabou sendo muito importante para efetuar os cálculos. No desenvolvimento deste curso, serão utilizados os conjuntos numéricos citados abaixo:

Conjunto dos números naturais

Conjunto dos naturais não nulos

Conjunto dos naturais inteiros

Ao conjunto de todos os números que podem ser escritos da forma , com a e b inteiros, sendo b 0, chama se conjunto dos números racionais. O conjunto dos números racionais é representado pela letra "Q" e o indicaremos assim:

(/ significa "tal que" e "pertence a")

Lembre se que a representação decimal dos números racionais será decimal exata ou dízima periódica (simples ou composta). 1.1 Saiba Mais

Matemática com Humor O problema dos números primos. Todos os números ímpares são primos?

Matemático: 3 é número primo, 5 é número primo, 7 é primo, portanto, por dedução todos os números ímpares inteiros são números primos.

Estatístico: A amostra 5, 13, 37, 41 e 53 contém somente números primos. Portanto todos números ímpares inteiros são números primos.

Físico: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 é ... ops... temos um erro experimental, 11 é primo, 13 é primo. Portanto, todos números ímpares inteiros são números primos.

Físico quântico: Todos números pares e ímpares são primos até serem submetidos à observação. Químico: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo... já é o suficiente! Químico: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo... Uau! Vamos publicar?! Professor: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, o restante fica como tema de casa para os alunos.

Engenheiro: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 é..., 9 é..., vamos usar a aproximação de que 9 é primo!

Engenheiro: 3 é primo, 5 é primo e 7 é primo. A partir deste ponto, precisamos fazer um orçamento do trabalho para saber quanto isto vai te custar.

Economista: 2 é primo, 4 é primo, mas na atual conjuntura dos processos de globalização... Fonte: http:/ / w.humornaciencia.hpg.ig.com.br/ miscelanea/ primo.htm

2. Operações com números fracionários OBJETIVO Rever como se efetuam as operações – adição e subtração, multiplicação e soma – com números fracionários. a) Adição e Subtração

Para somar frações homogêneas (com mesmo denominador), somam se os numeradores e conserva se o denominador. Exemplos: 1º)

Para somar frações heterogêneas (com denominadores diferentes), é necessário reduzi las a um denominador comum. O processo para transformá las a um denominador comum segue os passos abaixo: 1º passo: Determina se o m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das frações dadas. O resultado obtido é o novo denominador.

m.m.c. (4, 5, 10) = 20 (denominandor comum) 2º passo: Divide se o m.m.c encontrado pelos denominadores das frações dadas. 20 : 4 = 5; 20 : 5 = 4; 20 : 10 = 2

3º passo: Multiplica se o quociente encontrado, em cada divisão, pelo numerador da respectiva fração. O produto é o novo numerador.

Logo, temos:

b) Multiplicação

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicam se entre si os numeradores e os denominadores. Exemplo:

c) Divisão

Para dividir uma fração por outra, multiplica se a primeira pela inversa da segunda. Exemplo:

2.1 Saiba Mais

Desafios matemáticos 1. Um caracol sobe um muro com 10 metros de altura. A cada dia sobe 2 metros, mas à noite deixa se escorregar 1 metro. Ao fim de quantos dias chega o caracol ao topo do muro?

Resposta: No primeiro dia, o caracol sobe 2 m e escorrega 1 m. Total de 1 m. No segundo dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega 1 m. Total de 2 m. No terceiro dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega 1 m. Total de 3 m. No sétimo dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega 1. Total de 7 m. No oitavo dia, o caracol sobe mais 2 m e escorrega 1. Total de 8 m. No nono dia, o caracol sobe mais 2 m e não escorrega, visto que 8 + 2 é igual a 10m. Portanto, ele chega ao topo em 9 dias.

2. Um negociante tinha dois cavalos. Vendeu o primeiro por R$ 198,0, tendo um lucro de 10%. No dia seguinte vendeu o outro por R$ 198,0 e perdeu 10%. Nos dois negócios, ele teve lucro ou prejuízo? De quanto? Resposta: Teve prejuízo de R$ 4,0. Seu lucro no primeiro cavalo foi de R$ 18,0, mas ele perdeu R$ 22,0 no segundo animal.

3. Dois homens queriam entrar numa casa, mas tinham perdido a chave; resolveram então descer pela chaminé. Quando conseguiram chegar dentro da casa, olharam se. Um deles estava coma cara preta de fuligem, mas o outro estava com a cara limpa. Sem dizer uma palavra, o homem que estava com a cara limpa foi lavar o rosto, enquanto o homem com a cara suja nada fez. Como você explica isso?

Resposta: Após descerem pela mesma chaminé, cada um dos homens pensou estar igual ao outro. Quando o que estava com a cara limpa olhou para o que estava com a cara suja, resolveu se lavar. O que estava com a cara suja, olhando para o de cara limpa, achou que não era preciso. Fonte: http:/ / w.matematicaemevidencia.hpg.ig.com.br/ index page80.html

3. Números decimais OBJETIVO Definir números decimais e sua forma de representação, explicando como fazer operações com eles.

Os numerais decimais são racionais pois podem ser escritos na forma , como veremos a seguir:

Frações Decimais: São as frações cujos denominadores são 10 ou potências de 10. Exemplos:

As frações decimais podem ser escritas em outra forma, denominada numerais decimais, dividindo o numerador pelo denominador. Os numerais decimais constituem se de 2 partes: uma parte inteira e a outra decimal. Exemplo: quando dividimos 1125 por 100, temos:

Observação: Os algarismos da parte decimal são denominados pela ordem das casas decimais da esquerda para a direita, respectivamente, décimos, centésimos, milésimos, etc... Transformação de numerais decimais em frações

Todo numeral decimal é igual a uma fração em que o numerador é o numeral decimal sem a vírgula e o denominador é a unidade seguida de tantos zeros quantas forem suas ordens decimais. Exemplos:

1) simplificando, isto é, dividindo o numerador e o denominador por 25, iremos obter a fração equivalente: . Logo,

2)

3) Operações com Numerais Decimais

Com o uso da calculadora, ficou mais fácil efetuar operações numéricas, principalmente com números decimais. Porém, é necessário termos um conhecimento de como elas são efetuadas. Afinal, conhecimento nunca é demais. Concorda? 1) Adição e Subtração de Números Decimais

Só podemos adicionar e subtrair unidades de mesma ordem decimal (unidade com unidade, décimos com décimos, etc). Para isso, é necessário que, ao se montar a operação, as vírgulas se correspondam. Exemplos: a) 13,15 + 0,051 + 2,0001 =

2) Multiplicação de Números Decimais

É feita como a de números naturais. Separam se no produto tantas ordens decimais quantas forem as dos fatores. Exemplo:

3) Divisão de números decimais Para se efetuar a divisão, quando o divisor é um número decimal, é preciso transformar esse mesmo divisor em número inteiro (multiplicando o por 10, 100, 1000..., dependendo do número de classes decimais), e compensar no dividendo, efetuando a mesma multiplicação.

3.1 Saiba Mais

Curiosidades matemáticas A origem da palavra algarismo

No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudessem dominar todas as áreas do conhecimento. E, para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época. Entre esses sábios, estava al Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, a quem foi destinada a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.

O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagem a esse matemático árabe, que mostrou à humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos. Observe a semelhança entre algarismo e al Khowarizmi. Fonte: http://www.matematica21e.cjb.net/

4. Números relativos OBJETIVO Definir números relativos e explicar como fazer operações com eles. a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal. c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal.

Operações com Números Relativos 1) Adição e Subtração de números relativos a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai se o numeral de menor valor e dá se o sinal do maior numeral. Exemplos:

2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. Exemplos:

Matemática com Humor Curtpissimas

Se um pedaço de queijo suíço tem muitos buracos, logo, quanto mais queijo, mais buracos. Se cada buraco ocupa o lugar do queijo, logo, quanto mais buracos, menos queijo. Se quanto mais queijo, mais buracos e quanto mais buracos, menos queijo, logo, quanto mais queijo, menos queijo! (Fonte: http:/ / w.beggars.hpg.com.br/ piadas.htm)

Antigamente eu não sabia nada de matemática, mas depois mudei radicalmente: trezentos e sessenta graus! (Fonte: http:// w.hottopos.com/ regeq2/ secao_humor.htm)

P: Por que o livro de matemática cometeu suicídio? R: Porque tinha muitos problemas. (Fonte: http:/ / w.uv.es/ ~jaguilar/ hmate1.html)

P: Quanto é 8 dividido em duas partes? R: Na vertical é 3 e na horizontal é 0. (Fonte: maelmill@EUnet.at (Elisabeth))

5. Operações com números decimais em fórmulas OBJETIVO Explicar como fazer operações com números decimais usando fórmulas matemáticas. Fórmula é um modo abreviado de indicar determinados cálculos matemáticos. É muito comum usarmos fórmulas para resolver problemas da vida profissional. Veja o exemplo abaixo:

De modo geral, encontramos o valor de uma letra da fórmula seguindo os passos abaixo:

substituímos as letras da fórmula pelos valores indicados no problema; fazemos as operações. Para fazer as operações, é preciso obedecer à seguinte ordem:

resolver primeiro as potências e raízes; depois, as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem;

e, por fim, as adições e subtrações na ordem em que aparecem. Exemplo: Determine o valor de A na fórmula A = .r ², sendo r = 12 e = 3,14 (Número Irracional – constante)

A = .r ² A = 3,14 x 12 2 substitua as letras pelos valores dados A = 3,14 x 144 primeiramente, resolva a potenciação A = 452,16 depois, resolva a multiplicação 5.1 Saiba Mais

Gente que faz Pitágoras, o gênio de Samos

"Prestem atenção: num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja: a 2 = b 2 + c 2 . Está claro?"

O professor larga o giz e se volta para a classe: "Pois este é o enunciado do teorema de Pitágoras. Vamos passar agora à demonstração". Enquanto o professor se vira de novo para o quadro negro, alguns alunos se entreolham: "E quem foi esse Pitágoras?"

Um grego – o nome não engana ninguém. Um matemático – óbvio, caso contrário não faria teoremas. Um gênio – claro, senão quem não se preocuparia com ele e seus teoremas 25 séculos após sua morte? Um astrônomo – bem, vá lá, astronomia e matemática sempre andaram juntas. Mas Pitágoras foi mais que isso: conhecia também música, moral, filosofia, geografia e medicina.

Pitágoras viveu há 2500 anos (mais precisamente entre 580 e 497 a.C.) e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. A lenda começa antes mesmo de Pitágoras nascer: por volta de 580 a.C., a sacerdotisa do deus Apolo disse a um casal que vivia na ilha de Samos, no mar Egeu: "Tereis um filho de grande beleza e extraordinária inteligência; será um dos homens mais sábios de todos os tempos." No mesmo ano, o casal teve um filho. Era Pitágoras.

Lenda ou não lenda, a inteligência do jovem Pitágoras assombrava os doutos das melhores escolas de Samos: não conseguiam responder às perguntas do moço de 16 anos. Nessas condições, só havia uma coisa a fazer: despachá lo a Mileto, para que estudasse com Tales – o maior sábio da época, provavelmente o primeiro grego a se dedicar cientificamente aos números. Adulto, Pitágoras resolveu ampliar seus interesses. E começou a somar, além dos números, idéias sobre a ciência e a religião de outros povos.

Acreditando que era preciso ver para crer, arrumou as malas e disse "até logo" a seus patrícios: foi à Síria, depois à Arábia, à Caldéia, à Pérsia, à Índia e, como última escala, ao Egito, onde passou mais de 20 anos e se fez até sacerdote para melhor conhecer os mistérios da religião egípcia. Dizem que quando Cambises conquistou o Egito, Pitágoras foi levado em cativeiro para a Babilônia. Curioso como era, o grego aproveitou a chance para descobrir em que pé andavam as ciências naquele país.

Muito tempo tinha passado e Pitágoras já dobrava a curva dos 50. Seu desejo era voltar a Samos e abrir uma escola. Mas Samos tinha mudado e o ditador Polícrates, que governava a ilha, não queria saber nem de escolas nem de templos. Aí Pitágoras seguiu adiante, a Crotona, no sul da Itália, onde as melhores famílias da cidade lhe confiaram prazerosamente a educação de seus filhos. E Pitágoras pôde, por fim, fundar sua escola, onde passou a ensinar aritmética, geometria, música e astronomia. E, permeando essas disciplinas, aulas de religião e moral. Mais que uma escola, Pitágoras conseguira criar uma comunidade religiosa, filosófica e política. Os alunos que formava saíam para ocupar altos cargos do governo local; cientes de sua sabedoria torciam o nariz antes as massas ignorantes e apoiavam o partido aristocrático. Resultado: as massas retrucaram pela violência e – segundo dizem uns – incendiaram a escola, prenderam o professor e o mataram. Outros são mais otimistas: contam que Pitágoras foi só exilado para

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