Baixe Aula 2 - Conceitos de Erros, Notação de ponto flutuante e arredondamento dia 05 Agosto 2013 e outras Notas de estudo em PDF para Análise de Sistemas de Engenharia, somente na Docsity! UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CIÊNCIAS DA SAÚDE DE ALAGOAS UNCISAL Disciplina: Cálculo Numérico Prof. Msc. Allan Gomes dos Santos AULA 2 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Para manipular os números, que têm grandes quantidades de zeros, os cientistas utilizam a Notação Científica, fazendo uso da potência de dez. Portanto, notação científica é uma forma breve de representar números, em especial muito grandes ou muito pequenos.com o auxílio de potências de base 10. Esses números como o próprio nome já explica é usado em anotações cientificas. Por exemplo, a superfície do sol é de 6,09 × 10¹² km². Imagine o tempo que levaria para escrever isso? Outro exemplo é a massa real de um próton que é aproximadamente, 1,6 multiplicados por dez elevado a vinte e quatro ou 0, 00000000000000000000000000167 gramas. A regra é a seguinte: “Qualquer número real g pode ser escrito como o produto de um número a, cujo módulo está entre 1 e 10, por outro, que é uma potência de 10, com expoente inteiro (10n ) g = a. 10n 1 F 0A 3 / a / < 10 Resumindo: A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição o coeficiente deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira. Exemplos: a) 20000 = 2. 104 b) 5.300.000 = 5,3.106 c) 0,000.000.24 = 2,4.10-7 d) 780 = 7,80.102 e) 822 = 8,22.102 f ) 0,00001 = 1,0.10-5 Exercícios: 1 - Coloque os números seguintes em forma de notação científica: a) 24.500 = b) 78000.000 = c) 3478000 = d) 0,0005667 = e) 0,0085 = f) 3000000 = g) 0,450 = h) 0,000525 = i) 345,65 = j) 7500,3 = k) 120000,7 = 2 - Quais dos números a seguir estão escritos em notação científica? a) 5,4 b) 10.105 c) 4.10-6 d) 0,005 e) 4.10 f) 0,23.105 g) 2.108 h) 65.10-3 i) 9,5.10-3 NOTAÇÃO DE PONTO FLUTUANTE E ARREDONDAMENTO INTRODUÇÃO A ORIGEM DOS ERROS Ao efetuarmos operações matemáticas, mesmo que com números naturais ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim temos de interpretar números que são finitos, mas que possuem representação infinita. Por exemplo, a divisão de 1 por 3 é finita (está entre 0 e 1), todavia possui representação no conjunto do números reais com infinitas casas decimais (0,3333...). Além disso, lidamos também com números que não podem ser expressos como a divisão de dois números inteiros, são os chamados números irracionais, o que acarreta em chegarmos a apenas uma representação aproximada do número em questão. Com a evolução das tecnologias para fins computacionais, os cálculos complexos ficaram a cargo de máquinas que estão sendo sempre aperfeiçoadas a fim de aumentar seus recursos. As máquinas operam diversos cálculos, dos mais simples aos mais complexos, porém por mais complexas que sejam, trabalham com um número finito de recursos, o que não é suficiente quando lidamos com números de infinitos dígitos. Assim, qualquer cálculo, seja realizado por mãos humanas ou por máquinas, que envolva números que não possam ser expressos por um número finito de dígitos, não fornecerá como resultado um valor exato, mas sim um valor aproximado; e, quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. É por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a margem de erro. Vejamos dois exemplos Exemplo 1: A primeira grande crise matemática de que se tem conhecimento foi quando os pitagóricos se depararam com o problema da diagonal de um quadrado. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado qualquer é calculada pela expressão . O número irracional é um número que não pode ser representado, em sua forma decimal, com um número finito de dígitos. Assim, qualquer operação que o envolva estará sujeita a aproximações para sua representação, como por exemplo: 1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097. Por exemplo, na trigonometria, o arco de valor possui seno igual a , o que nos permite infinitas representações, remetendo-nos a resultados próximos do exato, mas que não são verdadeiramente exatos: ; ; . Exemplo 2: A área de uma circunferência, de raio , é obtida através do cálculo da fórmula . Neste caso, para uma circunferência de raio igual a 10m poderemos obter como área: ; ; . Como é um número irracional não teremos um valor exato para o cálculo da área, mas sim valores aproximados. No primeiro cálculo utilizamos 3,14 (três algarismos significativos para ) e no segundo cálculo, utilizamos 3,141592653 (dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte algarismos significativos). Nenhum dos resultados está incorreto, porém o terceiro está mais preciso que o segundo, por sua vez está mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o número de dígitos utilizados nos cálculos, maior a precisão do número, ou seja, mais próximo estamos da representação real do número. 7) Calcule o erro relativo e o erro absoluto envolvidos nos seguintes cálculos numéricos abaixo onde o valor preciso da solução e dado por x e o valor aproximado e dado por x´. a) x = 0,0020 e x´ =0,0021 b) x = 530000 e x´ =529400 c) x= 2x1012 e x´ =1.872 x 1012 8) A função contínua x3 – 3x – 3 deve ter zero (raiz) em algum ponto no intervalo 2 < x < 3 porque 9) a) Seja: Calcule a derivada f´ de f . b) Seja: Calcule: a) A derivada f´de f. b) A taxa de variação quando o valor de x na derivada for 1,24. 10) Custo de Produção de Pranchas: O custo total C(x) (em dólares) que a Companhia UNCISAL tem ao fabricar x pranchas de surfe por dia é dado por a) Calcule C´(x). b) Qual é a taxa de variação do custo total quando o nível de produção é de dez pranchas por dia? Arredondamento Tem por objetivo normatizar a representação de dados, de forma a uniformizar as regras de arredondamento. a) Quando o número a ser arredondado for menos que 5, conserva o último algarismo. Ex.: 6,343 = 6,34 (Lp=0,01) b) Quando o número a ser arredondado for maior que 5, acrescenta-se um ao último algarismo. Ex.: 6,3439 = 6,344 (Lp=0,001) c) Quando o número a ser arredondado for igual a 5: Se depois do 5 tiver número significativo (F 0B 90) aumenta-se um ao último algarismo. Ex.: 6,34509 = 6,35 (Lp= 0,01) 2,51= 3 (Lp = 1) Se depois do 5 não tiver número significativo, observa-se o algarismo anterior, se for par conserva e se for ímpar aumenta. Ex.: 6,345 = 6,34 (Lp=0,01) 14,95 = 15,0 (Lp=0,1) Resumindo teoria acima: Tabela 1: Em conformidade com a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é efetuado da seguinte maneira: Condições Procedimentos Exemplos < 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 53,24 passa a 53,2 > 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 42,87 passa a 42,9 25,08 passa a 25,1 53,99 passa a 54,0 (i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer. 2,352 passa a 2,4 25,6501 passa a 25,7 76,250002 passa a 76,3 = 5 (ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 24,75 passa a 24,8 24,65 passa a 24,6 24,7500 passa a 24,8 24,6500 passa a 24,6 Fonte: Adaptado de CRESPO, 1991 Exercícios 1- Os dados abaixo são os tempos (em seg) alcançados por bebês para responder a um estímulo auditivo. Faça os arredondamentos com Lp = 1 a) 15,4 ____________ b) 15,7 ___________c) 15,0 ______________ d) 15,99____________ e) 15,5 ___________f) 15,55 _____________ g) 15,05 ___________ h) 15,6 ___________i) 15,3 ______________ 02- Em uma pesquisa sobre o tempo, em minutos, gasto por crianças para resolver um teste psicológico observou-se os seguintes dados. Faça os arredondamentos com Lp= 0,1. a) 35,94 b) 18,09 c) 18,009 d) 19,55 e) 19,93 f) 29,97 g) 10,05 h) 10,55 i) 16,66 j) 18,88 l) 10,00 m) 26,06 n) 16,04 o) 17,65 p) 17,75 03- Utilize os dados do exercício 2 e faça o arredondamento para Lp = 1