Baixe Mecânica Clássica- Kazunori Watari Vol 1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Ambiental, somente na Docsity! Sumário
Prefácio da Segunda Edição ix
Prefácio xi
1 Introdução 13
1.1 Princípio da Relatividade de Galileo ..lccccccccccc 15
1.2 ano 17
ES Espaço PR RR ERR RR RR 20
VAR Cinemática RR e Pr Re DER EE PES MP 22
LS O IGEERRO IGT leo lo usa E Mr E Ddr DD e E sl nela 27
1-6 REL eiside:NevrbOn der RR RED o ERR DERA 31
1.7 Transformação de Galileo .....iccccccclilc 34
Ti As Leisida) Mecânica O 37
2 Movimento Unidimensional 39
2.1 Forças que Dependem Apenas do Tempo. ....lccccccl 41
2.2 Forças Dependentes da Velocidade ...licccciccccsc 44
oO scila dor Parrmônico Ee Re RR RR RR ES a4
2:4 Oscilador | Harmônico Forçado a 57
2/4 Ressonaneia De DDR SD DDR DR EN 61
2/4 Potencia Dissipada RR RR RR SR RR RR 67
2.5 Forças Periódicas Genéricas .....ccccccccislc 72
2.6. Forças: Impulsivas.. «ass dp RE A Tá
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição ....cccccccccc. 85
2.7.1 Movimento na Vizinhança do Ponto de Equilíbrio. . . cc... 100
A Derivada de Funções Vetoriais 107
Equações Diferenciais Ordinárias 109
B.1 Equação Linear de Primeira Ordem. . ...ccccccccsccrts 112
B.2 Equação de Primeira Ordem Separável . ....ccccccccccts 115
B.3 Equação Linear de Segunda Ordem . ...iccccccicscca 117
B.3.1 Equação Homogênea — Soluções Fundamentais . ,........ 119
Prefácio
Na opinião do autor, Física é um dos ramos mais difíceis da ciência para
um estudante, se não for o mais difícil. Além de ter de enfrentar as dificuldades
inerentes ao assunto devido ao compromisso que a descrição da natureza seja
realística, é necessário estudar e dominar a linguagem matemática adotada pela
Física.
Em vinte e cinco anos, o autor ministrou várias vezes disciplinas relacionadas
com a Mecânica Clássica e com a Física Matemática. Durante esse período, o
autor constatou que os estudantes de graduação de Física tinham deficiências
nos conceitos matemáticos e no treinamento para suas manipulações como fer-
ramenta. Como consequência disso, a dificuldade de estabelecer a conexão entre
a Matemática e a Física era enorme, para a maioria desses estudantes.
A Física (a Mecânica Clássica, em particular) é rica em aplicações das ferra-
mentas matemáticas. A primeira etapa dessas aplicações consiste em transcre-
ver as leis físicas que regem o fenômeno de interesse em equações matemáticas.
Na segunda etapa, essas equações devem ser resolvidas utilizando-se todas as
técnicas matemáticas disponíveis. Na última etapa, com as equações matemá-
ticas resolvidas, deve-se interpretar o resultado e extrair conteúdos físicos dele.
Como pode ser observado neste esquema, a Física já superou a fase da mera ca-
talogação dos fenômenos há muito tempo. Basicamente, na primeira e na última
ctapa o estudante aprende a fazer conexões entre a linguagem matemática c a
física. Im outras palavras, o estudante deve compreender que a Matemática é
uma ferramenta necessária para trabalhar com a Física. Com este propósito em
mente, o autor sentiu a necessidade de escrever um texto que procure mostrar
as manipulações das ferramentas matemáticas de forma mais detalhada do que
se encontra normalmente em textos clássicos e, ao mesmo tempo, aprofunde
mais nas discussões dos resultados.
Este é o primeiro volume de Mecânica Clássica que resultou dos esforços do
autor na tentativa de suprir um texto com as características acima aludidas.
Em nenhum momento, o autor teve a presunção de estar sendo original nem
melhor do que os excelentes textos clássicos existentes. Apenas adaptações e
detalhamentos dos assuntos na ordem que é a melhor, na, opinião do autor,
xii K. Watari
foram feitos.
O conteúdo deste volume é basicamente o movimento unidimensional de
uma partícula. O primeiro capítulo é, em essência, revisão dos conceitos fun-
damentais, culminando com a das leis de Newton. Já o assunto do segundo
capítulo é o estudo do movimento unidimensional propriamente dito. Além
destes capítulos, foram acrescentados apêndices matemáticos com a finalidade
de separar a apresentação de ferramentas matemáticas com a de teorias físicas.
Desta forma, o estudante que já domina as ferramentas matemáticas necessárias
pode prosseguir na leitura da apresentação do conteúdo físico sem a interferência
da primeira. Aquele que ainda não as conhece pode desviar temporariamente
para os apêndices e retornar após ter aprendido os assuntos contidos lá. O
apêndice À introduz, de forma resumida, o conceito de derivada de uma função
vetorial de uma variável real. Um resumo da teoria de equações diferenciais é
apresentado no apêndice B. Para completar, método numérico para resolução
de equações diferenciais está no apêndiec C.
Para poder aproveitar bem o aprendizado da Mecânica Clássica, é necessá-
rio que o estudante tenha conhecimentos anteriores mínimos. É de fundamental
importância um domínio completo de álgebra elementar, trigonometria, com-
portamentos de funções elementares, trigonométricas e hiperbólicas, álgebra
elementar de vetores, números complexos, esboço de gráfico de uma função,
álgebra linear, cálculo diferencial e integral. Um curso de mecânica em nível de
Física Básica, onde sc espera que uma discussão exaustiva dos conceitos básicos
tenha sido feita, é também importantíssimo.
Finalmente, o autor gostaria de mencionar que algumas interpretações dos
conceitos primitivos bem como nuanças de alguns vocábulos dependem um
pouco dos pensamentos filosóficos de cada indivíduo. A discussão referente a
essas dependências não é objetivo deste livro.
Apesar das árduas tentativas de deixar o texto livre de erros, alguns sempre
escapam à revisão. Aos leitores que porventura encontrarem erros de qualquer
natureza neste livro, o autor solicita a fineza de enviarem a lista dos erros para
o endereço eletrônico: kwOifusp.br.
O autor agradece aos professores José Rezende Pereira Neto c Vilma Sidnéia,
Walder Vuolo pela. leitura crítica do manuscrito e pelas inúmeras sugestões.
K. Watari
Universidade de São Paulo
Instituto de Física
São Paulo, junho de 2001.
Capítulo 1
Introdução
Em “ciências exatas”, a construção de toda teoria científica parte de um
conjunto de hipóteses sugeridas pelas observações dos fenômenos naturais. Es-
sas hipóteses representam uma idealização dos referidos fenômenos e são as
bases com que se constroe uma teoria. As leis envolvendo grandezas físicas
são expressas em termos de equações matemáticas que descrevem e prevêem
seus comportamentos sob determinadas condições dentro dessa teoria. Com a
mesma finalidade, medidas experimentais dessas mesmas grandezas podem ser
efetuadas com certa precisão. À comparação numérica entre a previsão teórica
e a medida experimental serve como um parâmetro para julgar sc a teoria é
correta ou não e, se for o caso, em que ponto é necessário introduzir correções
ou modificações. Se a concordância numérica for “boa”, a probabilidade da
teoria estar correta é grande. Por outro lado, se a concordância for apenas
qualitativa, além de dificultar o seu julgamento, se existir mais de uma teoria,
fica difícil escolher entre as diferentes possibilidades.
Às grandezas que aparecem nas equações matemáticas da teoria devem ser
expressíveis nas formas quantitativas. Assim, os conceilos na “ciência exata”
devem ser desenvolvidos de forma que dêem significados numéricos precisos.
Se uma dada grandeza for definida, especificações de como determiná-la quan-
titativamente devem estar contidas na sua definição. Uma definição apenas
qualitativa não é suficiente para ser usada como alicerce da construção de uma
teoria científica. Na prática, apesar de ser muito difícil construir uma definição
idealmente precisa, supõe-se implicitamente que as grandezas envolvidas estão
precisamente definidas quando se escreve uma equação matemática. Nesta
situação, é importante estar ciente em que ponto e em que grau a construção de
uma teoria é afetada pela falta de precisão nessas definições. Existem conceitos
que são definidos em termos daqueles que já foram anteriormente definidos e são
chamados conceitos derivados. Assim, toda vez que um novo conceito derivado
16 K. Watari Introdução
Se se considerar um outro referencial animado de um movimento retilíneo e uni-
forme em relação ao primeiro, experiências mostram que as leis do movimento
são totalmente equivalentes nos dois referenciais, isto é, não é possível distinguir
um referencial do outro por meio de qualquer experimentação ou observação do
movimento. Nesses referenciais, as equações matemáticas, que regem as leis do
movimento, têm as mesmas formas. Assim, existe uma infinidade de referenciais
inerciais, animados de movimento retilíneo uniforme um em relação ao outro.
Em qualquer referencial inercial, as propriedades do espaço e do tempo são as
mesmas, assim como todas as leis da mecânica. Esta afirmação constitui o que
se chama Princípio da Relatividade de Galileo que é um dos mais importantes
da Mecânica Clássica.
De acordo com este Princípio da Relatividade, a posição de um corpo e a
sua velocidade só têm significado relativo a algum referencial. Assim, dados
dois corpos movendo-se com velocidade relativa. constante entre eles, não tem
sentido tentar estabelecer qual dos dois está em repouso e qual está em movi-
mento se não sc referir a um referencial. À aceleração, no entanto, retém um
significado “absoluto”, pois é possível detectar experimentalmente a aceleração
de um movimento, mesmo que não seja possível medir a sua velocidade. Dessa
forma, é possível detectar um referencial acelerado em relação a um sistema
inercial.
Idealmente, pode-se definir que um referencial inercial é aquele em relação
ao qual um corpo isolado! permanece em repouso ou em movimento retilíneo
com velocidade constante. Os referenciais acelerados em relação a qualquer sis-
tema inercial não « inerciais. Muitas vezes, depara-se com um referencial
cuja aparência é o de inercial, mas uma análise mais cuidadosa revela, que não
o é na realidade. Pode-se citar, como exemplo, o referencial de um astronauta
dentro de um satélite artificial. Se o astronauta abandonar um objeto qual-
quer no “ar”, ele ficará em “repouso” ou em “movimento retilíneo uniforme”.
Aparentemente, é o caso de um referencial inercial. Entretanto, após um exa-
me minucioso, conclui-se que a força de atração gravitacional da. Terra sobre
o referido objeto está apenas sendo compensada pela força. centrífuga devido
ao movimento “circular” do satélite ao redor da Terra. Se fosse possível obser-
var num espaço de dimensão bem maior que o do compartimento do satélite,
notar-se-ia que existe um desvio no movimento desse objeto em relação a uma
reta. Portanto, não se trata de um referencial inercial. Numa situação real,
corpo algum jamais poderá estar completamente isolado. Assim, será muito
difícil encontrar um referencial inercial “verdadeiro”. Porém, para todos os
*Aqui um corpo isolado significa que ele está muito afastado de qualquer outro corpo.
1.2 Tempo K. Watari 17
fins práticos, pode-se adotar um sistema de três cixos com a origem no centro
de massa do sistema solar e com as suas orientações dirigidas para as estrelas
“fixas”, por exemplo, como sendo um referencial inercial. Mesmo um sistema,
fixo na superfície da Terra pode, em muitas circunstâncias, ser considerado iner-
cial. 4 hipótese da existência de um referencial inercial é essencial na Mecânica
Clássica.
Todos os referenciais doravante adotados serão inerciais, exceto se o contrá-
rio for dito.
Exercícios
1.5) Discuta o conteúdo do Princípio da Relatividade de Galileo e suas consequências.
1.6) Considere um avião voando num ar completamente calmo, tendo todas as janelas
fechadas. Discuta esse movimento sob o ponto de vista de um observador que
está no interior desse avião nas seguintes situações:
a) quando o avião está sujeito a uma aceleração;
b) quando o avião está voando com velocidade Con E
1.7) Discuta e tente delincar as limitações de se considerar um referencial fixo na
superfície da Terra como sendo um referencial inercial. x
1.2 Tempo
O tempo é um dos conceitos primitivos adotados para construir a teoria da
Ciência Física (Mecânica Clássica, em particular). Como tal, não é possível
definir precisamente o que é o tempo, mas supõe-se que todos já “o conhecem
muito bem”. Como se pode notar, existe uma total falta de precisão para definir
o tempo. Esta situação persiste mesmo que se adote as definições qualitativas
dadas nos dicionários. Entretanto, o que realmente importa aqui não é definir
o que é o tempo com precisão, mas como medi-lo, isto é, defini-lo operacional-
mente.
Uma maneira de medir o tempo é utilizar algum fenômeno que se repete
com certa regularidade dito periódico. Um instrumento construído para medir
o tempo, que foi dado o nome de relógio, tem o princípio do seu funcionamento
bascado nesses fenômenos repetitivos. Um dos primeiros fenômenos periódicos
que a Humanidade adotou para a medida do tempo é o nascer do Sol. Este
fenômeno repete-se indefinidamente e a duração entre dois eventos consecu-
tivos do nascer do Sol é denominada dia. Surge uma questão importante neste
ponto. Será que a duração dos dias é sempre a mesma? Na realidade, esta é
18 K. Watari Introdução
uma questão importante para qualquer fenômeno periódico, não se restringindo
apenas ao dia, no processo de medida do tempo. Tudo que se pode fazer é com-
parar com outros fenômenos de natureza periódica para tentar responder a esta
pergunta. Tais comparações c as análises das leis que governam os fenômenos
repetitivos dão subsídios para se decidir, não só esta questão, como o grau de
confiabilidade dos processos adotados na medida do tempo. Observe, no en-
tanto, que não há maneira de provar que a duração dos períodos de qualquer
dos fenômenos repetitivos é realmente constante. Dessa forma, apenas pode-se
afirmar que a regularidade de um fenômeno concorda com a de outro, ou não,
mediante comparações. Assim, do ponto de vista operacional, a definição do
tempo está baseada na repetição de algum tipo de cvento que, aparentemente,
é periódico.
O dia, acima citado, é devido à rotação da Terra. Então, o período de
rotação da Terra pode ser comparado com, por exemplo, período de revolu-
ção da Terra ao redor do Sol, da Lua em torno da Terra, do Mercúrio em
torno do Sol etc. Observações muito precisas mostraram concordância entre si
desses outros fenômenos dentro de uma pequena margem de discrepâncias. A
partir destas comparações, detectou-se que o período da rotação da Terra tem
pequenas irregularidades da ordem de uma parte em 105. Então, o período de
rotação da Terra, o dia, é um bom “relógio” para muitos propósitos.
Com o passar do tempo, a necessidade de medir intervalos de tempo de
duração menor que o de um dia surgiu. Um dos mais antigos instrumentos,
utilizados para a medida de tempo, são os relógios de sol. Basicamente, a
projeção da sombra de uma estaca sobre uma escala graduada é o mecanis-
mo de medida do tempo nesses relógios. Com os relógios solares, tornou-se
possível medir uma fração do dia com uma. certa precisão. Entretanto, eles
apresentavam o inconveniente de não serem utilizáveis durante a noite e, de-
pendendo da época do ano, de marcarem horas que diferem um pouco. Os
clepsidras (relógios dc água) baseados no escoamento de água, através de um
orifício muito pequeno no fundo de um recipiente para um outro com uma escala
graduada, já eram usados pelos antigos egípcios e babilônios. Eles permitiam
medir o tempo correspondente à fração do dia com uma precisão razoável.
Havia a vantagem do funcionar mesmo à noite. Com a descoberta, do vidro,
as ampulhetas (relógios de areia) que se baseiam num princípio análogo foram
desenvolvidas.
Em 1581, Galileo descobriu o isocronismo das oscilações de um pêndulo,
quando comparou as oscilações de um candelabro da Catedral de Pisa com o
ritmo do seu pulso. Ele observou que o período das oscilações permanecia o
mesmo independentemente da sua amplitude. Logo ele aplicou essa descoberta
1.3 Espaço K. Watari 21
numa barra de platina iridiada depositada sob condições especificadas no Bu-
rcau International de Poids et Mesures de Sêvres, França. Em 1960, o metro
foi redefinido como 1.650.763, 73 comprimentos de onda no vácuo da radiação
característica do 8ºKr (criptônio 86). Esta definição é muito mais precisa e
satisfatória, e está associada a um fenômeno físico de “fácil” reprodução. Fi-
nalmente, em 1983, o padrão de comprimexto foi substituído por um padrão
de velocidade (foi escolhido uma constante universal que é a velocidade da luz
no vácuo, cujo valor exato é, por definição, c = 299.792.458 m/s ), mantendo a
unidade de tempo baseado no relógio atômico. Isto fixa a definição do metro
em termos da definição do segundo como sendo a distância percorrida pela luz
em 1/c segundos. Note que nesta definição, o metro é reajustado automati-
camente cada vez que a definição do segundo é melhorada. Entretanto, na
prática, as reproduções do metro com alta precisão continuam sendo baseadas
em comprimento de onda da radiação do *ºKr acima referido.
Agora que se tem a unidade padrão, o metro, a medida de distância pode
ser cfetuada por comparação com um bastão de 1 metro, como foi referido no
início desta secção. Se for uma distância menor do que 1 metro, pode-se cons-
truir um bastão menor, de fração do metro, para ser utilizado na comparação.
Entretanto, nem sempre é possível aplicar este procedimento. Por exemplo,
seria muito difícil, se não for impossível, medir a distância horizontal entre dois
cumes de montanhas procedendo-se desta maneira. Como um outro exemplo,
poderia citar a medida de distância da Terra à Lua. Felizmente, sabe-se pela,
experiência que a distância pode ser medida pela triangulação. Neste caso,
está sendo usada uma outra definição de distância. Porém, onde & possivel
utilizar ambas as definições de distância, as medidas obtidas concordam com
uma boa precisão. Uma vez que um número muito grande de casos de aplicação
prática mostra que a triangulação obtém distâncias corretas, leva-se a acreditar
que este procedimento funcionará também para distâncias ainda maiores. Uma
medida cuidadosa, realizada através de dois telescópios localizados em lugares
diferentes na face da Terra, encontrou a distância da Terra à Lua como sendo
4x 108 metros.
O método da triangulação está baseado na geometria de Euclides. Por
isso, pode-se introduzir o conceito do espaço como sendo o de Euclides medi-
ante a concordância entre as duas definições de distância. Conforme as escalas
envolvidas, definições de distâncias diferentes das duas anteriores foram uti-
lizadas. Apesar disso, todas as evidências mostram que o espaço de Euclides
descreve extraordinariamente bem os fenômenos no domínio das dimensões que
vão desde 10-18 até 102º metros.
22 K. Watari Introdução
Exercícios
1.12) A medida de distância da Terra ao Sol não é simples, devido à dificuldade de
focalizar-se num ponto determinado do Sol com precisão. Discuta uma maneira
de estender o método da triangulação, ou mesmo uma alternativa de definir a,
distância para poder medi-lo.
1.13) Discuta as dificuldades do método de triangulação quando a distância torna-
se muito grande. Discuta as possibilidades de mclhorar a medida de distância
realmente grande. Observe que a escala referida nesta questão envolve desde as
distâncias dos planetas do sistema solar até as das galáxias longínquas.
1.14) Pesquise e discuta as técnicas utilizadas para medir distâncias muito pequenas
(desde a escala do comprimento de onda de luz visível até algo menor que a
dimensão de um núcleo atômico).
1.4 Cinemática
O primeiro passo para estudar o movimento de um corpo é descrevê-lo. A
descrição do movimento de um objeto real pode ser excessivamente complexa.
Então, é imperativo que se introduza uma idcalização para que possa repre-
sentar uma situação real mediante simplificação de muitos aspectos, tornando
as equações matemáticas mais simples e solúveis. Depois de obter uma des-
crição de um sistema idealizado, correções podem ser introduzidas para que o
resultado se aproxime melhor da situação real. Como primeiro passo, o conceito
de ponto material ou partícula, cujo movimento é o mais fácil de descrever, será
introduzido. Um ponto material ou partícula é um objeto cujas dimensão e
estrutura interna são desprezíveis quando comparadas com outras dimensões en-
volvidas no problema. Por exemplo, a Terra pode ser considerada, partícula? na
maioria dos problemas de movimento planetário, mas certamente não é possível
nos problemas terrestres.
A posição de uma partícula P pode ser descrita localizando-se um ponto no
espaço. Isto pode ser feito fixando-se três eixos mutuamente ortogonais a partir
de uma origem O no cspaço e espcecificando-se suas coordenadas retan gulares
com relação a estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.1. Um sistema como estes
três eixos é denominado sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Dadas
as coordenadas em relação a um sistema. que localiza a posição de uma partícula,
o que se deseja em seguida é descrever a trajetória percorrida por esta partícula
em movimento. Uma representação paramétrica, onde o tempo é o parâmetro,
“Daqui para frente ponto material e partícula serão utilizados como sinônimos, salvo menção
em contrário
1.4 Cinemática K. Watari 23
é uma das maneiras de especificar esta trajetória. Assim, para descrever a
trajetória do movimento de uma partícula, as coordenadas em função do tempo
cl), ut) e 20) (1.1)
são especificadas. O significado físico das funções x(t), y(t) e z(t) é, então,
cada uma das coordenadas de posição da partícula em estudo medidas em cada,
instante t do tempo. Escolhe-se um instante to para O início da medida. do
tempo, geralmente adotado como zero.
Supondo-se que o significado de x(t),
y(t) e z(t) estão claros, pode-se definir as
componentes cartesianas vy, Vy € v; da ve-
locidade num instante t como:
dz A
Uri dt =Z,
dy.
boto (1.2)
e v Ep Ea E
lin bi
Fig. 1.1: Coordenadas cartesianas e
ortogonais, especificando a posição que representam” as taxas de variação de
de uma partícula P em relação à cada uma das coordenadas de posição em
origem O do sistema. função do tempo. Da mesma maneira, as
taxas de variação de cada uma das componentes da velocidade em função do
tempo são definidas como as componentes cartesianas da aceleração, az, Qy €
a; num instante t e dadas por:
3
— dog d?z
“o Ogt — dr
dvy dºy
= = il
Wolad Ta (1.5)
dv dºz x E
e OR o
Dependendo do problema em questão, outros tipos de sistemas de coordenadas
tais como as coordenadas cilíndricas e as esféricas são mais convenientes do que
as cartesianas. Esses sistemas serão estudados detalhadamente no capítulo 3.
2A derivada com relação a t será denotada, também por um ponto em cima de uma
variável dependente (notação de Newton), como é mostrada nas equações (1.2). Qualquer
notação para derivada será utilizada, conforme conveniência, no texto.
26 K. Watari Introdução
Exercícios
1.15)
1.16)
1.17)
Quando um automóvel, movendo-se com uma velocidade constante vg, aproxi-
ma-se de um cruzamento, o semáforo torna-se amarelo. O motorista pode parar
o automóvel sem avançar pelo cruzamento, ou também pode tentar atravessá-lo
antes que o semáforo mude para o vermelho.
a) Se At é o intervalo de tempo que o semáforo permanece amarelo antes de
mudar para o vermelho, qual é a distância máxima do cruzamento ao au-
tomóvel, de maneira que o motorista consiga atravessar o cruzamento antes
do semáforo tornar-se vermelho, mantendo a velocidade do automóvel em vo?
b) O tempo de reação do motorista para tomar decisão e pisar no freio é 7 e
a máxima desaceleração do automóvel devida à frenagem é a. No momento
que o semáforo tornou-se amarelo, qual é a menor distância do cruzamento
ao automóvel de mancira que o motorista consiga parar sem avançar pelo
cruzamento?
c) Determine a velocidade crítica v., em termos de a, At e 7, de maneira
que as duas distâncias obtidas nos itens a) e b) acima coincidem. Este é o
limite onde o motorista consegue tanto parar o automóvel sem avançar pelo
cruzamento, quanto atravessá-lo antes do semáforo mudar para o vermelho.
d) Mostre que, se vo for maior que a velocidade crítica determinada no item
anterior, existe uma faixa de distância do cruzamento ao automóvel no qual
o motorista não conseguirá parar o automóvel sem avançar pelo cruzamento,
nem atravessá-lo antes do semáforo tornar-se vermelho.
Uma barra de comprimento £ tem a extremidade À apoiada numa parede ver-
tical e a outra extremidade, B, apoiada no piso horizontal. Num dado instante,
a extremidade B é puxada na direção horizontal com uma velocidade constante
vo, no sentido de afastar-se da parede.
a) Mostre que o ponto médio da barra descreve um arco de circunferência de raio
£/2 e centro em O, sendo O o ponto de cruzamento da parede vertical com
o piso horizontal.
b) Determine a velocidade do ponto médio da barra no instante em que o extremo
D está a uma distância b < £ da parede.
2
vt ds, .
Mostre que v=vT ea=arT+—n,onde v= E é a velocidade escalar;
p a
d2s N . dr od E
à = a? a aceleração tangencial; 7 = ds o vetor unitário tangente à
a dr us ame e ;
trajetória; e, finalmente, n = p = O vetor unitário normal à trajetória. Aqui,
s é o comprimento da trajetória, medido a partir da posição inicial e p é o raio
de curvatura. da trajetória no ponto em questão. Qual o significado do termo
2
v
p
1.5 Massa e Força K. Watari 27
1.18) Um trem, inicialmente em repouso numa estação, parte e acelera uniformemente
até que uma velocidade de 72 km/h seja atingida no final do terceiro minuto. Os
trilhos são curvos e tem um raio de curvatura de 800 m. Determine as acelerações
tangencial, normal e total do trem no fim do segundo minuto.
1.19) A aceleração máxima de um trem é a e a sua desaceleração máxima é b. Um
trem que estava parado na estação A parte rumo à estação B e pára ao chegar
neste último. Se a distância entre as estações À e B é £, mostre que este trem
1/2
28(a +)
não consegue percorrer esta distância num tempo menor que 5
a
1.5 Massa e Força
Todas as leis físicas são extraídas da observação dos fenômenos naturais.
As leis do movimento também são frutos de experiências acumuladas dessas
observações. Baseados nos estudos do movimento de projéteis e de objetos
movendo-se sobre superfícies lisas, Galileo sugeriu que a variação da veloci-
dade é produzida pela interação com suas vizinhanças. Extrapolando essas
experiências, sugeriu que um objeto completamente isolado move-se com ve-
locidade constante (princípio da inércia). Cabe enfatizar novamente que esta
situação de um corpo estar completamente isolado é altamente idealizada, uma,
vcz que na realidade jamais terá um isolamento completo. Contudo, esta idea-
lização é muito boa, contanto que as influências de outros objetos sobre aquele
em estudo sejam desprezíveis. A descrição baseada nesta, idealização é incrivel-
mente precisa em muitos dos fenômenos reais.
Considere, agora, dois corpos completamente isolados, atraindo-se ou re-
pelindo-se mutuamente com uma força, de intensidade fixa. Uma situação real
bem próxima disso, citada em muitos textos de Física em nível elementar, é o de
dois indivíduos com patins de lâmina sobre uma superfície de gelo, brincando de
cabo de guerra (neste caso, a interação é atrativa). É também um dos sistemas
físicos mais simples possível de se tratar. Pelo estudo cuidadoso do movimento
nesta circunstância c da extrapolação dos resultados, observa-se que os dois
corpos são acelerados em sentidos opostos na direção da reta que os une. Este
fato pode ser expresso por equação matemática como:
Vi =—fivo, (1.6)
quando se expressa V; em relação à aceleração da partícula 2. A constante B19
é positiva e é característica das duas partículas consideradas. O sinal menos
expressa o fato que as acelerações estão no sentido oposto. Se inverter os papéis
28 K. Watari Introdução
e expressar v> em relação à aceleração da partícula 1, obtém-se:
vo = —Boavi - (1.7)
Disto conclui-se que:
1
=>—. 1.8
fia o Ea
Continuando a experiência envolvendo uma terceira partícula, mas isolando-as
duas a duas e mantendo a intensidade da força de interação mútua inalterada,
resulta em:
Y3 = —BaVi (1.9)
e Va = —Bavo. (1.10)
Combinando os resultados (1.6), (1.9) e (1.10), tem-se:
Bsa
pe sena 111
Cia (a
para quaisquer três partículas consideradas. Esses resultados sugerem que a
equação (1.6) ou (1.9) ou (1.10) pode ser usada como uma maneira de definir
operacionalmente o que se chama massa inercial de uma partícula, que scrá
referido simplesmente como massa de uma partícula. Se a partícula 3 for con-
siderada como a de massa unitária padrão, a massa da partícula 1 é dada por
mi = 831. Da mesma maneira, a massa da partícula 2 é dada por mo = 832.
Da igualdade (1.11) conclui-se, então, que:
ms
Bo =—. (1.12)
mai
Substituindo-se este resultado na equação (1.6), uma igualdade, válida para
duas partículas isoladas quaisquer interagindo-se mutuamente,
mavi — — mova, (1.13)
é obtida: Este resultado sugere que o produto massa x aceleração é uma
quantidade importante e será chamada força agindo sobre uma partícula, isto
é
F=my=mi. (1.14)
Assim, da análise cuidadosa dos resultados da experiência acima, obteve-se uma
definição operacional de força.
1.6 Leis de Newton K. Watari 31
1.22) Poder-se-ia utilizar a força como grandeza primitiva em vez da massa, tomando-
se o peso padrão, por exemplo, como unidade de força. Como seria, então,
definida e medida a massa de um corpo? Discuta as diversas possibilidades, se
for o caso.
1.23) Se a massa de um corpo for definida como sugerida no exercício 1.22, discuta
como poderia obter a relação (1.14) ou (1.16). Como se obteria a conservação
da quantidade de movimento [ (1.18) ou (1.19) ]?
1.6 Leis de Newton
A primeira formulação lógica e completa da Mecânica foi dada por Sir Isaac
Newton, e está contida nas três leis que levam o seu nome.
As leis de Newton podem ser enunciadas como segue:
1. Uma partícula permanece no seu estado de repouso ou de movimento retilí-
neo uniforme, a não ser que ação de uma força sobre ela impele-a a mudar.
2. Uma partícula sob ação de uma força move-se de maneira que a variação da
quantidade de movimento em relação ao tempo é igual à força aplicada. A
direção e o sentido são iguais aos da força aplicada [vide equação (1.16)].
3. À cada ação existe uma reação de mesma magnitude e de sentido contrário
[vide equação (1.13) ou (1.15), resumida em (1.17)).
Qual o significado da primeira lei? A essência do seu conteúdo é o princípio
da inércia de Galileo, mencionado na página 27. Newton, provavelmente, her-
dou do Galileo a idéia de que o repouso ou o movimento retilínco uniforme é
o estado natural de qualquer partícula. Note que esta lei não é obedecida em
qualquer tipo de referencial. Por exemplo, uma partícula que está em repouso
para um observador em um referencial, pode estar executando um movimento
circular para um observador em um referencial que está girando com relação
ao primeiro. Somente em referenciais muito especiais será observada a situação
expressa na primeira lei, isto é, o estado de repouso ou de movimento retilíneo
uniforme para uma partícula isolada. Os referenciais nos quais ela é obedecida
são referenciais inerciais, conforme definidos na página 16. Então, a primeira
lei está praticamente definindo referenciais inerciais, onde as propriedades do
espaço e do tempo e as leis da mecânica são as mesmas, de acordo com as dis-
cussões da secção 1.1. Observe que a força é usada como um conceito primitivo
para poder emunciar a primeira lei, ou seja, cla não tem significado algum sem o
conceito de força. Contudo, a primeira lei fornece somente o significado preciso
para uma força nula. Em outras palavras, num referencial inercial, a ausência
32 K. Watari Introdução
de força pode ser detectada. observando se uma partícula isolada permanece em
repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Em relação à, força não nula, a
primeira lci fornece apenas uma noção qualitativa a seu respeito.
O significado mais concreto da força é fornecido pela segunda, lei. A des-
coberta de Newton não foi de que a força é massa vezes aceleração, pois, isso
é meramente definição operacional de uma força atuando numa partícula. Ele
sabia da observação experimental que força, massa e aceleração estavam in-
timamente relacionadas. Como mencionado na secção anterior, ele sabia da
observação que a aceleração adquirida por uma partícula era inversamente pro-
porcional à sua massa quando se aplica uma força de intensidade fixa. Por
outro lado, se a massa fosse mantida fixa, a aceleração era diretamente pro-
porcional à intensidade da força aplicada. Assim, cra mais simples associar a
força à variação da quantidade de movimento. Se a segunda lei de Newton fosse
meramente uma definição de força, ela seria desprovida de qualquer conteúdo
físico. A força resultante F não é dada apenas por (1.16). As forças que
atuam sobre uma. partícula resultam de sua interação com outras e são dadas
por leis de forças que definem F em termos da situação em que se encontra a
partícula em questão. Como exemplo dessas leis de forças podem scr citadas a
lei da gravitação universal para partículas com massas, a lei das forças elétricas
e magnéticas para partículas carregadas, a lei de Hooke para molas etc. A
equação (1.16) associada a essas leis de forças, torna a segunda lei de Newton
uma poderosa ferramenta, capaz de descrever e prever o movimento de uma
partícula isolada sujeita a uma força resultante F, em relação a um referencial
inercial,
Cabe enfatizar neste ponto que, ao contrário do que muitos autores
afirmam, a segunda lei de Newton não contém a primeira. À primeira
lei é necessária para definir um referencial inercial, onde a segunda lei é
válida. Ou seja, a segundo lei só vale num referencial inercial definido
pela primeira lei.
No caso de uma massa constante, a segunda lei de Newton toma a forma da
equação (1.14). Há ainda idéias implícitas contidas nesta lei na forma (1.14).
A massa definida na segunda lei é a massa inercial que se supõe ser uma carac-
terística intrínseca de uma partícula. Uma vez determinada, qualquer que seja a
circunstância, o mesmo valor deve ser empregado em quaisquer outras situações.
Supõe-se também que, enquanto se mantém a identidade da partícula, a massa
inercial é independente da sua posição e da sua velocidade (o que não ocorre
1.6 Leis de Newton K. Watari 33
numa gota de chuva que, até certo limite, aumenta o seu volume e sua massa en-
quanto cai, ou num foguete que ejeta combustível durante o seu deslocamento,
mesmo em problemas que eles podem ser considerados partículas). A vantagem
de enunciar a segunda lei na forma (1.16) é que ela, pode ser aplicada também
nos casos que a massa não permanece constante durante o movimento. Por
outro lado, um procedimento comum para determinar a massa de uma partícula
é comparar o peso desta com o de um corpo padrão. Este procedimento usa
o fato que uma força gravitacional agindo sobre a partícula é o seu peso, isto
é, que P = mg, onde g é à aceleração devida à gravidade. A massa assim
determinada, é chamada massa gravitacional. Galileo e Newton examinaram
experimentalmente a equivalência dessas duas massas e constataram a igual-
dade da massa gravitacional e da massa inercial. As experiências comparando a,
massa inercial com a gravitacional foram sendo constantemente aperfeiçoadas e
a identidade entre as duas massas é aceita dentro de uma precisão de uma, parte
em 10'2 nos dias de hoje. Assim, as massas inercial e gravitacional são con-
sideradas iguais na mecânica de Newton. Essa igualdade é uma das hipóteses
fundamentais “demonstrada” experimentalmente.
Na discussão da primeira e da segunda lei de Newton, foi considerada uma
partícula isolada sob a ação de uma força resultante F. Na secção anterior,
foi discutida. interação entre apenas duas partículas isoladas e o resultado ex-
presso na equação (1.13) ou (1.15) ou (1.17). Qualquer uma dessas equações
é o enunciado matemático da terceira lei de Newton, conhecido também como
princípio da ação e reação. Observe que a ação e a reação são sempre aplicadas
a partículas diferentes. Se houver mais de duas partículas isoladas, o conceito
de ação e reação pode ser estendido desde que seja possível isolar as interações
de duas em duas. Neste caso, tem-se:
SFy= ED Ep (1.20)
ifj
onde Fi;; é a força exercida sobre a partícula i pela partícula je pi; éagquanti-
dade de movimento da partícula 1. Uma consegiiência importante da interação
de duas partículas isoladas, que levou à terceira lei de Newton, é também a
lei da conservação da quantidade de movimento total desse sistema, de duas
partículas [equação (1.18) ou (1.19)]. A quantidade de movimento é conhecida
também como momento linear e a sua lei da conservação é frequentemente
referida como lei da conservação do momento total. Esta lei pode scr estendida
para um sistema de mais de duas partículas isoladas, como em (1.20), desde
que as interações possam ser consideradas duas a duas. Apesar da terceira loi
36 K. Watari Introdução
referencial S'
referencial S
Fig. 1.4:
onde R é o vetor de posição do ponto O! em relação a O. No conceito de
espaço e tempo do Newton, o tempo é comum nos dois referenciais. Denotando,
então, o tempo comum por t e derivando-se (1.21) em relação a t, obtém-se:
r'=t-R, ou seja, v'i=v—V. (1.22)
Derivando-se mais uma vez em relação a t, chega-se a:
pr =E-R ouseja, al=a-A. (1.23)
,
Se se considerar V = constante, a transformação (1.21) pode ser reescrita
como:
r'=r-Vt (1.24)
e (1.23) torna-se:
nro ou a'=a. (1.25)
Deste último resultado, observe que se a aceleração for nula no referencial S', é
também nula no referencial S”, quando o referencial S” estiver em movimento
com velocidade vetorial constante em relação a S. Então, se uma partícula
estiver em repouso em relação a S, está em movimento retilíneo com velocidade
constante em relação a S!. O contrário também acontece, isto é, se uma
partícula estiver em repouso em relação a S!, ela está em movimento retilíneo
com velocidade constante em relação a referencial 5. Numa situação mais geral,
se uma partícula estiver em movimento retilíneo com velocidade constante em
relação a S, também está em relação a S'. Isto significa que se 5 for um
referencial inercial, S! também é, se S! estiver em movimento retilíneo com
velocidade constante com relação a S (como já fora mencionado na, secção
1.7 Transformação de Galileo K. Watari 37
1.1). As transformações (1.24), (1.22) e (1.25) são chamadas Transformações
de Galileo e são consequências das idéias do espaço e do tempo de Newton.
| Note que essas Transformações de Galileo mostram que os estados de
repouso e de movimento retilíneo uniforme foram postos em pé de igualdade
pela primeira lei de Newton.
1.7.1 As Leis da Mecânica
Num referencial inercial, S, a segunda lei de Newton pode ser escrita como:
me=F(r,í,t), (1.26)
para uma partícula de massa m na posição do ponto P, sujeita a uma força
externa F. Se se substituir r, * e E obtidos de (1.24), (1.22) e (1.25), respec-
tivamente, em (1.26), ela se transforma em:
mE'=F(r'+Vtr'+V,?).
Mas a força aplicada, F, como a força devida à mola, à atração gravitacional
etc., podem depender da elongação da mola, da distância entre as partículas
etc., que não dependem do referencial utilizado para representá-las. Um número
razoável de forças da natureza, goza destas propriedades. Assim, F é uma
grandeza intrínseca que também não depende de um sistema de referência par-
ticular. Por isso, F é a mesma força no referencial S e no S!. Dessa forma,
tem-se:
F(r,t,t)=P(r'4AVEr' AV.
Portanto, a segunda lei de Newton (1.26) escrita para o sistema S' fica:
mei Pl(r rr). (1.27)
Comparando-se (1.27) com (1.26), conclui-se que as leis do movimento são as
mesmas em referenciais inerciais diferentes, pois, as equações matemáticas que
as regem mantêm a mesma forma nesses referenciais; o que já foi afirmado na
secção 1.1.
As transformações de Galileo (1.24), (1.22), (1.25) e o resultado (1.27)
mostram que se a velocidade de uma partícula for constante em relação a um
referencial inercial S', será também num outro referencial S! animado de uma
velocidade constante com relação a S. Se uma partícula estiver acelerado em
38 K. Watari Introdução
relação a S, terá a mesma aceleração em relação a $”. Considerando esses
fatos, conclui-se que as leis da mecânica mantém-se a mesma nos dois sistemas.
Assim, um observador no sistema S' pode comparar a sua medida com a de
um observador no sistema 5” e detectar o movimento relativo entre os dois
referenciais. Entretanto, é impossível detectar qualquer movimento relativo
em relação ao outro referencial com as observações ou medições das grandezas
referentes ao movimento baseado em um único referencial.
|
Devido aos fatos mencionados acima, mesmo que existisse um referencial
inercial “absoluto " (e “verdadeiro” ) em algum lugar do universo, é impossível
distinguí-lo de qualquer outro por meio de observações dos movimentos ou
detectá-lo experimentalmente.
Assim, como decorrência deste fato e da conclusão obtida na subsecção
anterior, o Princípio da Relatividade de Galileo, enunciado na página 16, é
estabelecida.
2.1 Forças que Dependem Apenas do Tempo K. Watari 41
descreve o movimento de uma partícula de massa m sujeita a uma força de restituição
linear, — kx, a uma força de resistência proporcional à velocidade, —bv, e a uma
força externa aplicada, F(t). Se se aplicar uma força externa ao sistema da Fig. 2.1
e se este estiver mergulhado, por exemplo, num óleo, o seu movimento é descrito pela,
equação (2.9) no limite de velocidade baixa.
A equação (2.3) é aplicável em todas as situações possíveis sob a ação de
uma força resultante especificada. Em geral, essa equação prescreve somente
a aceleração de uma partícula em cada instante em termos da posição e da
velocidade naquele instante. Se se conhece a velocidade e a posição de uma
partícula num instante qualquer, a sua posição e a sua velocidade num instante
ligeiramente posterior (ou anterior) podem ser determinadas. Uma vez deter-
minadas as novas posição e velocidade, a aceleração em novo instante pode
ser obtida mediante uso de (2.3). Dessa forma, as posições e as velocidades
de uma partícula nos instantes passados ou futuros podem ser traçadas, se a
posição xo e a velocidade vo, chamadas condições iniciais, forem conhecidas
num instante inicial to (geralmente adota-se ty = 0). Não necessariamente as
condições iniciais são especificadas por zo e vo, mas de quaisquer grandezas
que permitem determiná-las, como por exemplo, pela energia mecânica total e
pela quantidade de movimento. As condições iniciais, juntamente com (2.3),
determinam x(t) e v(t) univocamente (pelo menos em princípio). Se não se
conseguir obter uma solução analítica na forma fechada em termos de funções
elementares, sempre existe a possibilidade de lançar mão de recursos numéricos.
2.1 Forças que Dependem Apenas do Tempo
Se uma força F for uma função apenas do tempo, a equação do movimento
(2.3) pode ser resolvida por integração direta efetuada duas vezes. Partindo-se
de
du
i=m— = F(t
mi=ms (t),
a primeira integração leva a:
1 i r 4
vt)=vw+r— | F(tdt'. (2.10)
mM Jo
Agora, como à = v(t), integrando-se (2.10) uma vez mais, obtém-se:
' am
(DE oo ar [ FG. (2.11)
mM Jo 0
42 K. Watari Movimento Unidimensional
Exemplo 2.6 Considere a força do exemplo 2.3 que é dada por (2.6). O movimento
de um elétron é descrito pela equação (2.7). Dividindo-se essa equação pela massa do
elétron e integrando-se uma vez, obtém-se:
7 t E, t
v(t) = v9 — a / cos(wt' + 0)dt' = vo — Ea sen(wt' +0)| ,
0 mw 0
ou seja,
E, É,
v(t) = vo + OO eng — SO sen(wt + 0). (2.12)
mw mw
Integrando-se mais uma vez, resulta em:
2 E E;
u(t) = (a — (E cos0) + (ro as EE send) PERpe o cos(wt +60). (2.13)
mw mts mw?
Suponha, agora, que o elétron estivesse em repouso na origem no instante inicial
(t=0). As soluções (2.12) e (2.13) tornam-se :
e Eo e Eo
t) = sen O — t+ 2.14
ult) mus SM sen(wt + 8) (2.14)
mw
Eo cos8 2 E, 8 E
e Ey cos e Eq sen 4 £Eo
e(t) = — cos(wt + 6). (2.15)
Observe aqui que apareceu um termo constante na expressão da velocidade (2.14), um
mw? mw mw?
termo constante c um termo linear em tempo na expressão da posição (2.15). Qual o
significado físico desses termos? Para se interpretar esses termos, suponha, sem perda
de generalidade, que 6 seja tal que cosê > 0 e sen > 0. Então, —e Eo cos0 < 0.
Essa é a força no instante inicial, quando se “captura” o elétron. A força torna-se
. , ; z m—26
menos negativa conforme o tempo passa, até que no instante ti = SRT anula-se
w
(ver Fig. 2.2 da página 143). Passa a ser positiva e continua a crescer até o instante
s T—
, quando atinge a sua intensidade máxima e começa a diminuir até chegar
é o, 37-20 ;
a zero no instante ty = ——— . Torna-se negativa outra vez, e alcança o seu
E, 2w
R , z Te , .
mínimo no instante t, = ———— , voltando a crescer até zerar novamente no instante
tw
E 57-20 . ” 27
ts = US Observe que quando se chega ao instante t = — , a força encontra-
tw w
se exatamente na mesma situação do instante t = 0. À partir daí, toda a situação é
2
repetida periodicamente. Inicialmente, a força aponta no sentido negativo. Por isso,
a partícula começa a movimentar-se no sentido negativo do sistema de coordenadas.
Então, a velocidade aumenta a sua intensidade no sentido negativo, até atingir o mínimo
no instante ty . Como a força muda para o sentido positivo nesse instante, a partícula
é desacelerada até parar no instante dado por 2 . O sentido do movimento é, então,
invertido e a partícula começa a mover-se no sentido positivo e a velocidade aumenta
2.1 Forças que Dependem Apenas do Tempo K. Watari 43
F(t)
eEo +
—eEg cos 8
—eEq
v(t)
er,
Es (sen 0 41) À
mw
e E
EO senQ El
Mw
E,
Es. (sen9 —1) |
mus
(tb)
mw
e Eo
1- cos0) 5
Aê ( cos 0)
E
Ee E cos0 +
mw?
e Eo
= il ja
Di (1 + cos6)
Fig. 2.2: Gráficos do comportamento de F(t), v(t) e v(t).
até o instante £s, quando atinge o seu máximo. Ela diminui, a partir desse instante, até
tornar-se nula novamente, no instante t. Todo o esquema é, então, repetido a partir
desse instante. Até aqui foi descrito o que acontece durante um período de oscilação
da força. Note que o intervalo de tempo que à velocidade permanece positiva é maior
do que aquele que permanece negativa, conforme pode ser constatada pela Fig. 2.2.
Significa que, calculando-se a média da velocidade durante um período ( t), resulta
em:
46 K. Watari Movimento Unidimensional
que coincide com o resultado para uma partícula em queda livre. Como no começo
do movimento a velocidade é muito pequena, a força resistiva é despresível. Portanto,
espera-se que, no início, o movimento seja aproximadamente o de queda livre.
A velocidade aumenta com o passar do tempo até atingir um valor limite, quando
t > oo (após um tempo longo), dada por — e e denominada velocidade terminal.
O comportamento de v em função de t é mostrado na Fig. 2.4 (a). Observe que
—mg — bUserminal = 0, O que significa que a velocidade aumenta até a força resistiva
equilibrar a força peso.
Lembrando-se que x = v, o espaço percorrido é dado por:
t t
A &(8) dt = a(t) — 2(0) = / volt) de.
0 0
Substituindo-se v(t”) dada por (2.16) e supondo-se que x(0) = 0,
(9 = [- 88 (1-e-4t) de= E (44 Ret")
0
MO (ue m
e 5)»
vlt) | A e(t) | :
(b)
Fig. 2.4: (a) Gráfico de v(t). (Db) Gráfico de v(t).
ou seja,
2
a(t) = 22 (1 PAira e) . (217)
b2 m
: mo. 4 qdioo o a E
Se sc analisar esta expressão para t << + isto é, no início do movimento, como foi
)
feito com v(t), obtém-se:
2 b bo ais To
dont (inte P)=-Soê,
2 m? 2
1
onde Es 1+ÉE+ z €º quando é << 1 foi utilizado. Novamente, este é o resultado
para queda livre, como esperar-se-ia para o começo do movimento. Por outro lado,
mg : z / -
quando t torna-se grande, «(t) > —— Dt, isto é, a partícula tende a cair com
b
2.2 Forças Dependentes da Velocidade K. Watari 47
velocidade constante, que é a velocidade terminal. O comportamento completo de
v(t) é mostrado na Fig. 2.4 (b). Tanto a expressão (2.16) de v(t) quanto a (2.17)
de x(t) mostram que, à medida que a força resistiva aproxima-se da força peso, a
queda dessa partícula tende a um movimento uniforme com a velocidade limite dada
por , em valor absoluto.
Exemplo 2.8 Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força resistiva,
— bv, e de uma força aplicada, F(t) = Fo (1 ii 9 . Determine v(t), sabendo que
a partícula encontrava-se em repouso no instante inicial.
Solução: Orientando-se o eixo no mesmo sentido da força aplicada, a equação dife-
dv
rencial do movimento desta partícula é dada por: m pad bu + (1 oii 5 5
Dividindo-se esta equação por m,, chega-se a:
dv b Fy E
SG Ecv+E(I-e* ) A
dt m m
que também é equação linear do tipo (B.5), onde as correspondências análogas « > t,
b
pla) > te g(z) > FB (1 e ent) podem ser estabelecidas. Também, como no
mM
ul) =e-m! [fede (1-e-*8) ds+C] =
m
t t
oi É [2 (/extas- fas) +€] e juro [E (Gent-o) +€] =
m m Ab
=P (1 Dterht) poeckt,
m
E Eb b
exemplo anterior, tem-se fot) dn = / — dn = a é, c a solução geral é dada por:
B
Ao impor a condição inicial, v(0) = 0, obtém-se C = — Portanto, a solução
= [1- (1+=+) er 4 E
d
Um esboço detalhado do gráfico de v(t), pode ser construído estudando-se E e
deu
dt?
procurada é:
- Têm-se:
dv Fyb E
— > — te” m
dt m?
2
a,
Sa
de mê
48 K. Watari Movimento Unidimensional
d
A função v(t) tem (0) = =0e E > 0, mostrando que Lott)
ela é crescente para A E 0. A concavidade está voltada para
2
> 0. Quando
E m
cima no intervalo 0 < t < ET porque Ea
Pv : =
= = : E =0. Portanto, este é um ponto de inflexão.
m do .
Parat>-—, 5 <0e, portanto, a concavidade muda E
b dt Fig. 2.5: Gráfico vxt.
para baixo, permanecendo assim no resto do intervalo. Note
Fo
que quando t > 00, u(t) — Re e este limite é a velocidade terminal deste problema.
A equação horária, «(t), bem como o esboço do seu gráfico, podem ser obtidos
mediante integração de v(t). Isto será deixado para o leitor como exercício.
Exemplo 2.9 Uma das forças resistivas mais simples, depois da força proporcional
à velocidade, é aquela proporcional ao quadrado da velocidade dada por:
F(v) = boy, (2.18)
onde o sinal é sempre escolhido de forma que a força aponte para o sentido contrário
ao da velocidade. Com a orientação positiva do eixo vertical dirigida para cima, por
exemplo, se uma partícula de massa m for lançada verticalmente para cima, sujeito a
uma força desse tipo, a equação
dv 3
ma So —mg (2.19)
descreve o movimento durante a subida. Por outro lado, o movimento durante a descida,
é descrita pela equação:
dv
m— =bv -m 2.20
E 9. (2.20)
As forças envolvidas em ambos os casos, estão ilustradas na Fig. 2.6.
eu bu
Fig. 2.6: (a) Durante a subida. — (b) Durante a descida.
Tanto a equação (2.19) quanto a (2.20) acima são de primeira ordem separável?.
Suponha, então, que essa partícula seja lançada para cima com velocidade v(O) = vo.
Reescrevendo a equação (2.19) como:
3Ver seção B.2.
2.2 Forças Dependentes da Velocidade K. Watari 51
Assim, têm-se Hi(t)=te
o que leva a:
No instante t = T tem-se v(T) = 0 porque a partícula está na posição de altura
máxima, isto é, iniciando-se o movimento de queda. Disso resultaem C =T c obtém-
se:
v(t) =-4E tgh [e-m
Utilizando-se a aproximação tghé — € para É < 1, v(t) na vizinhança de t = T
torna-se:
: (2.25)
v(t) - —9(t— 7),
que coincide com o resultado da queda livre. Como no caso do exemplo 2.7, a força
resistiva é desprezível no início do movimento e, assim, este é o resultado esperado.
fm
Para t —» oo, tem-se v(t) > — + , que representa a velocidade terminal do
E Mi)
movimento da partícula com esse tipo de força. Como IT v(t),
=(t) = Anar — VE, tgh [Ee — n) dt,
cujo resultado final é:
e(t) — hmaz — = In cosh |V E (t— à) ; (2.26)
O esboço completo do gráfico de v(t) e de x(t) c as respectivas interpretações são
exercícios propostos para o leitor.
Observação: Newton introduziu uma hipótese que a força de resistência do ar
é proporcional ao quadrado da velocidade. O resultado teórico tem uma con-
cordância muito boa com o experimental na descrição do movimento de um
objeto num meio com ar, quando o objeto não é muito pequeno e a sua veloci-
dade não chega a ser comparável à do som nem desprezívelmente pequena. Um
52
K. Watari Movimento Unidimensional
automóvel movendo-se a alta velocidade é um exemplo típico onde se manifesta
uma.
força. de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. En-
quanto um pára-quedista não abre o pára-quedas, ele cai sob a ação da força
de gravidade e uma resistência do ar desse tipo. Por outro lado, quando o
objeto é bem pequeno, assim como a sua velocidade, a resistência do ar propor-
cional à velocidade é incrívelmente precisa para a descrição do seu movimento.
Típicamente, um grão de areia minúsculo, abandonado no ar, cai sob a ação da
gravidade e sofre uma força de resistência proporcional à sua velocidade.
Exercícios
2.3)
2.4)
2.5)
2.6)
Uma partícula de massa m., sujeita a uma força resistiva proporcional à veloci-
Fob
dade, — bu, e a uma força externa aplicada I(t) = te” (bt/m) | inicia o seu
movimento com a condição inicial v(0) = 0. Determinar a sua velocidade v(t)
e esboçar o seu gráfico. As constantes b e Fy são positivas.
Resolver o exercício anterior para uma força aplicada,
Fo
— t, <t<T,
p=, 0" O<tsr,
ho. LET
Uma partícula de massa m., inicialmente em repouso, começa o movimento sob
a ação de uma força F(t), onde F(t) é uma função positivamente definida
satisfazendo as condições
dim Fl) = To,
FO<F, t>0.
Sabe-se que a força de resistência ao movimento nesse meio é proporcional à
velocidade da. partícula. Nessas condições, mostre que existe um limite máximo
para essa velocidade. Qual é esse limite máximo?
Uma partícula de massa m foi lançada verticalmente com uma velocidade vo.
Sabe-se que, além da força da gravidade, essa partícula sofre uma resistência do
ar proporcional à velocidade, — bv, onde b é uma constante positiva.
a) Determine a velocidade em função do tempo e dos parâmetros vo, m, 9 e
b.
b) Esboce v(t) num mesmo gráfico, para os casos vy > 0, — E <v<0
m 4Z .
evo <— EM Inclua o caso que a partícula foi abandonada em repouso.
Interprete os resultados.
2.2 Forças Dependentes da Velocidade K. Watari 53
2.7) Um bloco de metal de massa m escorrega numa superfície horizontal plana,
lubrificada com um óleo muito denso. Nesta superfície, o bloco sofre uma força
resistiva F(vu) = —bv%/2, com b sendo uma constante positiva. Se o bloco
estava inicialmente na origem com uma velocidade vo, mostre que ele não pode
1/2
2mv
b
2.8) Um barco de massa m e velocidade inicial vo é freiado por uma força resistiva
dada por F(v) = -—beº?", com b e q sendo constantes positivas. Determine o
tempo que é necessário e qual é a distância percorrida pelo barco até este parar.
deslocar-se mais do que
2.9) O mesmo barco do problema anterior, é agora, freiado por uma força resistiva
dada por F(v) = —bwê, sendo a constante b positiva. Mostre que a velocidade
Tm
do barco cai para 1% de vo após um tempo = 5000 e tendo o barco
Vo
' nad = m
percorrido uma distância de = 99 Para sc chegar a esses resultados,
Vo
algumas aproximações numéricas devem ser utilizadas. Justifique-as.
2.10) Uma partícula de massa m é abandonada em repouso, e cai sob a ação de força
da gravidade constante e de uma força de resistência do meio dada por be* lo
quando o sentido positivo é orientado para cima. Às constantes b c a são
positivas.
a) Obtenha v(t). Faça hipóteses cabíveis sobre a relação de m, g e b.
b) Obtenha a velocidade terminal.
c) Determine v(t) para agt << 1, mostrando que o resultado não concorda,
com o de queda livre. Por que acontece isso?
2.11) Um pára-quedista salta de um balão com uma velocidade vertical vo > 1/ PRÉ
sendo m a massa do pára-quedista, q a aceleração da gravidade e b o coefi-
ciente de proporcionalidade da força de resistência do ar, suposta proporcional
ao quadrado da velocidade.
a) Determine a velocidade em função do tempo.
b) Qual a velocidade terminal?
c) Determine o tempo necessário para a velocidade reduzir até 1% acima da
velocidade terminal. Adote b = 20kg/m, g = 10m/s? e m = 70kg.
d) Determine x(t) a partir da posição de salto.
2.12) Um revolver é disparado verticalmente para cima. Supondo que o projétil, de
massa m., sofre uma resistência devida ao ar dada por +bv?, onde b é uma
constante positiva, mostre que a sua velocidade varia com a altura de acordo
com as equações:
: º Tm
v2 = Ae 2belm — e E durante a subida,
m
vê = = = Bic crer durante a descida,
56 K. Watari Movimento Unidimensional
Fig. 2.7: (a) Supercrítico. (b) Crítico. (c) Suberítico.
como amortecedores de automóveis ou braços mecânicos de fechamento automático
das portas são construídos de maneira que uma mola esticada retorne o mais rápido
possível à sua posição de equilíbrio. Trata-se, justamente, do amortecimento crítico
aplicado a esses sistemas. Ponteiros de instrumentos analógicos também são projetados
com o mesmo princípio.
Um caso particular quando b = O é um oscilador harmônico simples. A solução
geral pode ser escrita como x(t) = C4 coswot + O» senwgt = À cos(wot +60). Para
as condições x(0) = xo e &(0) = 0, chega-se a z(t) = zo coswot, que é uma oscilação
cossenoidal.
Exercícios
2.14) Uma partícula de massa m sujeita a uma força de restauração linear, — kz, e
a uma força resistiva proporcional à velocidade, — bw, inicia seu movimento na
origem com uma velocidade vo. Determine x(t) para os casos de amortecimento
supercrítico, crítico e subcrítico. Esboce gráficos concernentes ao movimento
para cada caso. Discutir os resultados.
2.15) Acquação mi = —bi+I(x), b> 0, descreve o movimento de uma partícula de
massa m sujeita a uma força resistiva proporcional à velocidade e a uma força
que depende apenas da posição. Nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio
dF
instável, Zz, F(x) pode ser aproximada por (5) (x — =), com
2),
z
dr
(55) > 0. Determine x(t) nas vizinhanças de 7 sabendo que x(0) = Z c
z(0) = vo - Discuta o resultado.
2.16) Um bloco com massa de 1000 kg cai de uma altura de 10m sobre uma platafor-
ma. Deseja-se projetar um sistema de mola e amortecedor, sobre o qual será mon-
tada a plataforma, de tal maneira que ela (a plataforma) atinja a nova posição
de equilíbrio situada a 0,2m abaixo da inicial o mais rapidamente possível, sem
excedê-la.
a) Determine a constante k da mola.
b) Determine a constante b do amortecedor.
2.4 Oscilador Harmônico Forçado K. Watari 57
c) Determine o tempo necessário para que a plataforma atinja a posição que
esteja a Imm da sua posição final. Use dois algarismos significativos na
resposta final.
2.4 Oscilador Harmônico Forçado
Um oscilador harmônico, amortecido ou não, com uma força externa apli-
cada, F(t), é denominado oscilador forçado. A equação diferencial de um
oscilador harmônico amortecido e forçado é: mi + bt + ka = F(t). Sem perda
i : k b =
de generalidades, considere o caso a > (5 , para se obter uma. solução
m
com condições iniciais z(0) = zo e &(0) = vo. Às duas soluções fundamentais
da equação complementar, mk + by + kz =0, são”:
m(t) = e Ycoswt, vo(t) = e Vsenwt,
b k bo? ; .
com y= 2a e wy= mo lo) Seguindo o procedimento descrito
na seção B.3.5, uma solução particular da equação não homogênea, pode ser
obtida por xp(t) = wu (t)x (t) + uo(t)xa(t), onde w(t) e usa(t) são tais que:
du va()F()/m dus ae(BE(tm
> e — = :
dt ts aa (t), ma(t)] dt Wlt; an (t), aa(t)]
É conveniente exprimir wu (t) e u>(t) na forma de integrais definidas como:
Co e(tOF()/m
o Wit; z(t),uo(8)]
FP
) tati = WE), 2200]
ut) = — dt
porque a forma funcional de F'(t) não está especificada. Os extremos inferiores
da integração a e 8 são escolhidos arbitrariamente. Com as expressões de
a1(t) e de xa(t), o wronskiano é Wft; z(t), zo(t)] — wr e. Portanto,
b F(t)
mw
p(t) =— e Vcoswt j e” senwyt' dt! +
a
é alto! ,
+ snort [ (+) e”! coswjt' dt.
8 Mw
“Ver o caso c) do exemplo 2.10.
58 K. Watari Movimento Unidimensional
A solução geral é, então, dada por:
2(t) = Cie Tcosunt + Coe" senunt + my(b) =
t Fr t
= e coswt (a — (€) e” senwnt! at) E
Ja Mw
é (il ,
+eTsenwt (a: + ESSA ef! cosunt! at) .
8 TR
Derivando-se esta expressão com relação a t, obtém-se a velocidade:
é mfu
: Ft J
Lt) =— yx(t) — we senwt (a E it e senwt! at) +
a MU]
E rt!
E F(t ,
+ we cost (co+ [ (8) e” cosw) var) :
8 MU
Impondo-se, agora, as condições iniciais, vem:
0 F(t)
a Mu
e!
e senuwyt dt
to =C —
0 1
F(t
VV =-YZo+uwy (c:+ | E
B MU
o
e” coswit! at) :
Da primeira equação obtém-se:
e P(y /
CG = -[ (oo) et! senunt' dt,
0 Mw
e, da segunda,
;
e” cosuwnt' dt.
zo + ê r(
CG = EE ON aid + [ (é)
wi 0 Mw
Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais estipuladas é:
e Fr(r J!
g(t) = e Tcoswt ( mo &* senunt'dy +
0 mu
“Observação: A solução geral acima tem quatro constantes arbitrárias. Entretanto, devido
nt E t
à propriedade de integral definida Be ES o + -.. + Observa-se que a arbitrariedade
de «a e de 8 pode ser absorvida na arbitrariedade de O ede Cs.
2.4 Oscilador Harmônico Forçado K. Watari 61
2.21) Determine a equação horária do deslocamento de uma partícula de massa m
submetida a uma força restauradora, — kz, e a uma força de amortecimento
+umg (g sendo a aceleração da gravidade) devida ao atrito entre superfícies se-
cas (com coeficiente de atrito cinético |). Mostre que as oscilações são isócronas
(o período é independente da amplitude) com amplitude de oscilação decrescendo
de aee em cada meio período.
õ
2.4.1 Ressonância
Suponha que a força aplicada num oscilador harmônico amortecido seja a
periódica mais simples, do tipo F'(t) = Fu cos(wt + 69). À equação diferencial
desse oscilador harmônico forçado é:
mz+br+kz = cos(wt + 00). (2.34)
A álgebra para se obter uma solução particular dessa equação torna-se mais
simples se se introduzir uma equação complexa”
mi+bi+hz= Fyeiletro), (2.35)
onde a solução final é obtida tomando-se a parte real? de z(t). Uma solução
particular procurada para a equação (2.35) é, então,
mw =meivt, (2.36)
A sua primeira e a segunda derivada com relação a t são dadas, respectiva-
mente, por Zp = it 29 eivt e &p = —w mei“! que substituindo em (2.35)
resulta em:
[(wog — w2) + iZ2yw)z el! = EM giliwt+do),
mM
Portanto,
(Fo/m) eito
fi (og — w2) +HiZyw
Substituindo-se este zo em (2.36), obtém-se:
19 Dm
zolt) = (Fo/m) e!?e ejut — Fo (ug —w?) —iZyw ei uu t+80)
(ww — w2) +iZyw m (02 — w)? +42 w?
Com um pouco de rearranjo, esta expressão pode ser reescrita como:
"Ver seção B.3.6 do Apêndice B.
8Se a força dada fosse do tipo Fo sen(wt +80), a solução particular procurada seria obtida
tomando-se a parte imaginária dessa mesma equação.
62 K. Watari Movimento Unidimensional
(td dad CS a,
2 cm,
o m 2 2 2,3
(vg — w?) +4y2w
(wg — w?) cos(wt + 09) + 27yw sen(w t+ 09)
x
(08 —w2)? + 4y2w2
nt —27yw cos(wt + 89) + (wê — w?) sen(wt + 60)
i
(wg — w2)? +4y2w2
Introduzindo-se uma constante 5 definida pelas expressões:
Dn,
sen 9 = O dus (2.37)
2 ;
(E — w2) +4y2w2
2
e cos 8 = EPE A, (2.38)
(wg — w2)? +42 w2
ou, de maneira mais compacta, por:
wê — 0?
tgh= 1 2.:
gB= To (2.39)
a expressão de zp(t) acima é reescrita como:
Fo sen É cos(wt + 09) + cos 8 sen(wt + 00)
Zp(t) Fe di
(ww — w2)? +472w2
cos 8 cos(t t + 09) — sen 8 sen(wt + 00)
(2 — w2)? + 492 w2
Com relações para seno e cosseno de soma de arcos, obtém-se, finalmente,
Fy sen E +8) j cos(wt + 00 + 8)
Assim, a solução particular procurada? é:
H sen(wt + 09 +
xp(t) = Rezp(t) = 2 Ee o (2.40)
(wg — w2)' +4y2w?
“Se a força aplicada fosse do tipo Fo sen(wt + 06), a solução procurada seria Im zp(t).
2.4 Oscilador Harmônico Forçado K. Watarl 63
Note que este resultado indica uma oscilação com a mesma frequência da força
aplicada, porém defasada de 5 — E . Adicionando-lhe uma combinação linear
das soluções da equação complementar, obtém-se uma solução geral que de-
pende de duas constantes arbitrárias. Com isso, quaisquer condições iniciais
podem ser impostas a essa solução. Entretanto, as soluções da equação com-
plementar tendem a zero no decorrer do tempo, em qualquer dos três casos
(supercrítico, crítico e subcrítico), e são denominadas soluções transientes ou
simplesmente transientes. Passado um tempo longo após o início do movimento,
apenas a solução particular 1º, denominada solução permanente ou solução do
estado estacionário, descreve o movimento. Vale a pena enfatizar que a solução
permanente não depende das condições iniciais. A solução permanente (2.40),
devida à força externa aplicada do tipo Fy cos(w t+ 09), descreve um fenômeno
importante chamado ressonância. Considere-a, então, para uma análise. Trata-
se de uma oscilação com a mesma frequência da força aplicada cuja amplitude,
A(w), é dada por:
KH 1
A(w) = — ===>>>. (2.41)
mM uk wo)? +44 wu?
ã! Fo
Para w = O cesta função vale A(0) = 7 € O seu comportamento para
mw
1
w-—+ 00 é —. À sua derivada com relação a w 6:
tw
dA 2 wg — 27º — w?
Res do ER (2.492)
dw m [(wg — 2) +49202]
Este resultado mostra que, quando wê > 272, A(w) é crescente se w <U,
dA
onde = Vwj — 2Yº, pois, E > 0 neste intervalo. Para w >U, o <0
L tw
e A(w) é decrescente. Assim, A(w) é máximo em W e vale:
K 1
Aj= (2.43)
2my WE — 2 ,
Deste resultado conclui-se que quanto menor for y (parâmetro de amorteci-
mento), maior será o máximo de A(w). A diferença entre as duas freqiiências
onde A(w) é metade do valor máximo é:
92 2 2 2
qu E 3 (145) - juem 3(1+5)
toa tw tw
w
"ºNo caso em questão, a solução (2.40).
66 K. Watari Movimento Unidimensional
A(Q) passa a ser monotonicamente decrescente e, portanto, não mais possuir
E 1 a SR meat. uma?
um máximo, a partir de DP = Gi . Para facilitar a distinção visual deste caso
limite, o seu gráfico está, também, com um traçado mais grosso na Fig. 2.10 (a).
Dessa forma, os gráficos acima deste representam os casos onde ocorrem a res-
sonância ex amplitude e abaixo os casos que já não mais apresentam. Nestes
gráficos, pode ser observado concretamente que os máximos deslocam-se para
a esquerda e que as larguras dos traçados aumentam à medida que T cresce,
como já foi mencionado antes. Além disso, o traçado para T = 0,1 possui
um máximo de A(O) = 5,025 em 0 = 0,99. Este pico é o mais agudo entre
os traçados apresentados no gráfico. Obviamente, ao diminuir ainda mais os
valores de T', os seus gráficos terão picos mais agudos e mais altos do que este.
A posição do máximo aproximar-se-á cada vez mais de Q = 1 à medida que
DP aproximar de zero. Note que essa discussão é válida para qualquer par de
wy e Y que tenha o mesmo TP, de maneira que os traçados da Fig. 2.10 (a)
podem ser considerados curvas universais. Os gráficos do parâmetro 8, apre-
sentados na Fig. 2.10 (b), são também curvas universais e, mostram como a
resposta fica defasada, em função da frequência da força aplicada em relação a
wo. Como antes, os traçados mais grossos correspondem a T=0 e T= -——.
v2
Tp(t
— ol) a expressão (2.40) reescrita em termos
de variáveis adimensionais em questão torna-se:
sen(QT + 0 + 8)
(1—02)2 447202
Definindo-se T=wnt e X(T)
X(T) = (2.47)
O esboço do gráfico de X(T) em função de T paraT =0,3 e 00=0 está
mostrado na Fig. 2.11. Os valores de 92 estão apresentados ao lado de cada
curva como rótulo. À Fig. 2.11 (a) são os traçados das curvas para as frequências
da força aplicada igual ou menores que a frequência de ressonância até chegar a
uma força estática que corresponde a 2 = 0. Note que o período da oscilação,
assim como a sua fase aumenta conforme 9 diminui. A amplitude diminui,
concordando com a discussão anterior. Já a Fig. 2.11 (b) apresenta os traçados
de X(T) para alguns £2 igual ou maiores que a freqiiência de ressonância.
É nítido os comportamentos do período e da amplitude que diminuem com o
aumento de £2. Por causa do período que diminui com o aumento de 9,0
gráfico da função X(T) apresentará um número crescente de oscilações dentro
do intervalo de T' adotado na Fig. 2.11 (b) para Q ainda maiores. Como
exercício, é interessante que o leitor faça um esboço do gráfico de X(T) em
função de 7", para valores de T' diferentes do que foi utilizado nesse esboço.
2.4 Oscilador Harmônico Forçado K. Watari 67
Sy=T = 0.9055
8
ot
0 2 4 6 8 10 0 2 4
(a) (b)
Fig. 2.11: Gráfico X xT para T = 0,3. Cada curva corresponde aos valores de
Q indicados.
2.4.2 Potência Dissipada
A partícula do oscilador harmônico forçado, da subseção anterior, está em
movimento oscilatório descrito pela equação (2.40). A sua velocidade pode scr
obtida derivando-se (2.40) em relação a t, chegando-se a:
&p(t) = Fo — cos(wt+6o+B) (2.48)
a (wê —w2)? +47?
Multiplicando-se esta velocidade por Fy cos(w t+), que é a força aplicada em
questão, resulta numa. taxa de trabalho realizado por ela (potência fornecida
pela força) sobre o oscilador, dada por:
Fyw cos(wt + Oy + 8)
P(9 = (e) F() = :
o (ug — w2)* + 4922
Fo cos(wt + 89) =
— Fêw cos!(wt+6)) cosB — [sen 2(wt+ 0) senf]/2
e (wê wu?) +49? w?2
Observe que esta potência fornecida pela força oscila em relação ao tempo.
Mas, ao calcular a média temporal, num período de oscilação, obtém-se:
68 K. Watari Movimento Unidimensional
E w o.
Preá = (21) P()) = 55 [ Ca) Pat =
Fê =
pese OS pos A / cos!(wt + o) dt +
di PR (wZ— w2)" + 420? 0
“am
TREs
ne ão 8 27
E RREO “sen 2(wt+Oo)dt =
V( wê — w2) +42 w2 4 p
=0
— Fgw cos
2 ii (02 — 2) +40?
ou seja,
Hr HF
o = ESSO E cos 8. (2.49)
2 mM (eu2 —w2) +4y2w?
Note que a expressão entre parêntesis é o do máximo da velocidade tp(t)
da equação (2.48). Assim, a potência média fornecida pela força durante um
período de oscilação pode ser escrita como:
O, Um COS 8, (2.50)
Ped =
onde vm é o valor máximo de ip(t) referido acimalt. Reescrevendo a equação
(2.49), mediante o uso da definição (2.38) para cos , resulta em:
Fêy w?
ma (ww — 2)? + 420?
Poneg = (2.51)
Para determinar os pontos críticos de Pmea e estudar o seu comportamento,
calcula-se a sua derivada em relação a w. O resultado é:
“Um circuito RLC com uma força eletromotriz aplicada é o equivalente elétrico de um
oscilador harmônico amortecido e forçado. Obedece à mesma equação diferencial com a subs-
1
tituição > gq, m>L, b5>Rek> Tc Existe uma relação semelhante a (2.50), dada
por Pmed = > Im cos 8, onde cy c Im são os máximos da força eletromotriz aplicada e
da corrente, respectivamente. O fator cos 8 é chamado fator de potência e 8 representa
um ângulo de fasc entre a corrente c a força cletromotriz. Todos os resultados a respeito da
ressonância na potência, assim como em amplitude, são válidos também para o circuito RLC.
2.4 Oscilador Harmônico Forçado K. Watari 1
wê > 2º. Todas as discussões a respeito de ressonância podem ser realizadas
em termos de Q em vez de y. Só é necessário lembrar que Q é inversamente
proporcional a y. Assim, o comportamento de todas as grandezas (amplitude,
fase c potência) com relação a Q crescente (decrescente) é o mesmo daqueles
discutidos com relação ao parâmetro y decrescente (crescente), como ilustrado
na Fig. 2.13 da página 70.
Exercícios
2.22) A partir da expressão (2.41) para a amplitude de oscilação, A(w), determine
Aw [diferença entre as frequências em que A(w) vale a metade do seu valor
máximo |. Mostre também que quando y > 0, a expressão de Aw tende a
2/34.
2.23) A partir da expressão (2.51), determinc o valor máximo de Pea(tw) e a diferença.
entre as frequências onde Pea(w) vale a metade do valor máximo (A w).
2.24) Esboce um gráfico de 8 em função de w para-tres fatores de qualidade diferentes.
2.25) Discuta o significado físico de cos 8 (fator de potência) e de 8.
FB
Mo
mensional, 92, definida em (2.45) para diferentes valore de T, também definido
em (2.45). Interprete esses gráficos.
2.26) Esboce os gráficos de Pmes em unidades de em função da variável adi-
2.27) Considerando-se a força dissipativa — bv, prove que o valor absoluto da potência
dissipada pelo sistema desta secção é dada por (2.51)
2.28) Um carro move-se ao longo da direção x com uma velocidade constante v. À
estrada é ondulada e o seu perfil é dado por:
y= fts
v=5 em :
onde wy é a direção vertical, perpendicular à de x, a é a profundidade da
ondulação e £ é a distância entre dois vales (ou picos) dessa ondulação. Supondo
que as rodas dianteiras e as traseiras oscilam independentemente na direção
vertical por meio de mecanismos de “suspensão”, determine a velocidade em que
ocorre a ressonância da oscilação das rodas com relação à ondulação da estrada.
Despreze a elasticidade dos pneus e considere a suspensão como constituída de
uma massa m e uma mola de constante elástica k.
2.29) Se, no problema anterior, a massa do sistema carro mais passageiros é 700 kg
e a mola da suspensão tiver sua constante elástica de 22000 N/m., determine a
frequência natural e a velocidade na qual a roda entra em ressonância com a
estrada.
2.30) Encontre uma maneira de determinar a velocidade em que a amplitude de os-
cilação da roda seja 5% da amplitude de ondulação da estrada.
72 K. Watari Movimento Unidimensional
2.5 Forças Periódicas Genéricas
Quando sc discutiu ressonância, a força considerada era periódica do tipo:
F(t) = Mm [
Para um oscilador harmônico amortecido e forçado, a equação diferencial do
movimento é mt+bz+ka= F(t), cuja solução particular é:
n [Ta wt+0+8)
pr ) (to t + 60). (2.53)
cos
Tp(t) = — RITA (2.54)
DRDS
com tg 8 = DT - À solução geral é dada por «(t) = zp(t) + zp(t), onde
en(t) é a solução da equação complementar mi +bi+kx=0.
No caso de uma força periódica genérica de período T, isto é, uma. força
sob a condição:
F(t+T)=F(t), (2.55)
qual seria o procedimento? Note que esta força não necessariamente é do tipo
cossenoidal (ou senoidal). Em primeiro lugar, representa-se F(t) em série de
Fourier como:
a = 2mnt 2mnt
(0) = +55 fon cos ( E) deb en ( A |. (2.56)
n=1
onde os coeficientes a, e bm são dados por:
E
á 2
On = 7 | P6) cos ( q) dt, (2.57)
0
2 f 2
tnt
ba = ri F(t) sen ( = ) dt. (2.58)
0
Assim, F(t) fica escrita como superposição de forças periódicas do tipo (2.53).
Então, a solução particular da equação diferencial do movimento é a super-
posição das soluções particulares do tipo (2.54). O termo constante da série
de Fourier corresponde à componente constante da força e a solução particu-
lar deste termo é também adicionada ao resultado. Se a fregiência de uma das
componentes de Fourier estiver próxima à fregúência de ressonância do sistema,
esta componente será predominante e as outras, em muitas circunstâncias, po-
dem ser desprezadas.
2.5 Forças Periódicas Genéricas K. Watari 73
Exemplo 2.12 Seja uma força periódica, de período T, dada pela expressão:
n = inteiro,
F(t = Fo, nT<t<nT+4T',
“LO, nT+T'<i<n+DT,
cujo gráfico é mostrado na Fig. 2.14. A determinação dos coeficientes da série de
Fourier resulta em:
7
2k mp
0
7
2Fy 2wnt dt Fo 27nT'
= = sen
pa diadas nd ca TR Ti
0
2k 7 2 FR Dn Rh
qnt Ti
e ba a” fem ( ) di= ar fi = cos( T )|
0
Ft)
Fo : q - :
ME DO eg E
0 ip E Re Ba 2T+T' 3T t
Fig. 2.14: Força Periódica Quadrada.
Com isso, a série de Fourier da força em questão é:
e e 2unT! 2qnt
F(t)= T +53) q Sn(— |) cos 7 +
T
“na
+ - [1 cos (= )] sen ( e) (2.59)
e a solução particular da n—ésima componente de Fourier é:
Fo 1
Em)=>—D [>> (se TO t+B,
pn lt) qm nO Ido (ren (ton T) sen (wn t + Ba) +
— [1 — cos (wm T')] cos(wn t + 8) ,
2
2mn CURE . EM
tigBr== 2, Assim, a superposição dessas soluções leva a
onde wn=—— e
á 7 2Ywn
TO K. Watari Movimento Unidimensional
sua ação, que pode ser obtido pela equação vj — 2 am Az, onde Ag é a distância
Ç 0
percorrida pela bola durante o impacto do chute. Tomar Az x 10 em (raio da bola)
como distância percorrida pela. bola enquanto estava cm contato com o pé é uma
estimativa bem razoável. Desta forma,
500
s27— = 2500 m/s.
7x 0,1 500 m/s
Gm =
Com csta aceleração média, a força média exercida sobre a bola é:
Fmn=Mam=0,3x2500=750N.
Observe que a força média! que o pé do jogador exerce sobre a bola, é, então, muito
maior que qualquer outra atuando sobre ela. Por exemplo, o seu peso é 3 N que é
apenas 0,4 % de Fm. As forças de atrito do campo são ainda menores. O intervalo de
tempo de ação da força pode ser estimado por:
o 24
NEEM PANE)
IGOR
que é um intervalo de tempo bastante curto.
A seguir, será desenvolvido um método matemático para resolver a equação
diferencial do movimento de uma partícula sob a ação de uma, força impulsiva.
O resultado será estendido para resolver, de forma genérica, a equação diferen-
cial do movimento de uma partícula sob a ação de uma força genérica F(t).
Para isso, considere um oscilador harmônico com amortecimento subcrítico cuja
massa, constante elástica e constante de proporcionalidade da força resistiva
são, respectivamente, m, k e b. Com esse oscilador em repouso na origem,
inicialmente, suponha que no instante t = ty ele recebe a ação de uma força
impulsiva F(t) cuja duração dt é muito curta. Essa força é, então, apreciável
somente durante o intervalo dt. Uma força deste tipo pode ser aplicada, por
exemplo, dando-se uma “martelada” na partícula. O impulso aplicado é:
to+ôt
Eh / F()di=mv = po. (2.62)
to
Isto representa a quantidade de movimento adquirida pela partícula após a
aplicação desta força.
!.Se levar em conta a resistência do ar para o alcance 4, a velocidade inicial é maior c Fm
estimada seria ainda maior.
2.6 Forças Impulsivas K. Watari 77
Há uma infinidade de formas possíveis da função F(t) que tem essa pro-
priedade. Para o presente propósito, somente a mais simples delas que é
05 Esto;
F(t) = o WSt<to+it, (2.63)
0, t>to+ôt,
será considerada. É fácil ver que esta função, cujo gráfico é mostrado na,
Fig. 2.16, satisfaz a propriedade (2.62). E mais, quanto menor for ót, mais
intensa é a força durante o intervalo que ela não é nula. Será obtida uma
solução que descreve o movimento do oscilador harmônico subamortecido, que
estava em repouso na origem, após receber o impulso da força (2.63), no limite
de ôt > 0.
Antes do instante t = to, isto é, no intervalo
indicado como 1 na Fig. 2.16, não há força apli-
cada. Assim, a equação diferencial do movimento
neste intervalo é:
mi+bi+kz=0, (2.64)
to to+dt t
Fig. 2.16: Gráfico da Força. cuja solução é:
alt) = e (A cos w t+ By sen wt),
k
E—-y2,com wj=>— ey=
m
onde wj = /wy — 9 . Como a partícula encontra-
2m
se em repouco na origem em t = 0, tem-se 44 = B, = 0, isto é, a solução
trivial E (t) = 0] é a que descreve o estado de movimento desta partícula
para t <to. Significa que o oscilador vai continuar em repouso na origem até
o instante t = to. Isto é correto, uma vez que a partícula não deve alterar o seu
estado de movimento até sofrer ação de uma força (lei da inércia). O intervalo
de tempo ty <t < to dt corresponde ao indicado como 2, na Fig. 2.16 e a
equação diferencial do movimento é dada por:
Po
PR o
mz +btzr ka BE
cuja solução geral é:
xo(t) = e T(As cos wt + Bo sen wn t) + me
78 K. Watari Movimento Unidimensional
Para determinar as constantes A, e B, impõe-se zo(to) = alto) = 0 para
posição e to(to) = ii(to) = 0 para velocidade como condições “iniciais”, uma
vez que o movimento deve continuar a partir do instante t = to. A derivada
temporal de xa(t) é:
En
to(t) = — y xo(t) + A +uwe TV (— Ao sen wn t+ Bo cos wi!)
Impondo-se, então, as condições em t = to, obtém-se:
Às cos wi to + Bo sen wy to = — SEU ido
k dt
e — Ao sen w to + Bo cos wr to — — — PO erto,
kw dt
As suas soluções são:
Ag=- PO to (cos wi to — 2 sen un to
k dt Wi
e By=— PO rto sen unto + coswito .
kót um
Substituindo-se esses resultados na expressão de z2(t), após rearranjar c reduzir
os termos, chega-se a:
Po Do
o fp co e dO
= po Ro
Para t > to + dt, isto é, no intervalo indicado como 3 na Fig. 2.16, a força
volta a ser nula e a equação diferencial do movimento é dada novamente por
(2.64). A solução geral para este intervalo é, então,
em tlt-to) [os um (t— to) + E sen w (t — to) (2.65)
1
vs(t) = e TT (As cos un t + B3 sen wt)
e sua derivada é:
ta(t) = — yea(t) + we (— As sen w t+ Ba cos wyt).
As condições são: xa(to + dt) = xolto + 6t) e alto + dt) = alto + dt) desta
vez. Impondo-se estas condições obtém-se:
e Not) [As cos w) (ty + dt) + Ba sen wn (to + 68)] =
kót kót
Po Po er
w
cos wy dt + Sá sen wj a] ,
—ya(to+dt) + we 7 (totôt) [— As sen w» (ty + dt) + Ba cos wi (to + dt)] =
= —qy ga(to + dt) A Ai
PoY | Pow er
kt kôt
— sen w, dt + 2 cos wj | p
wy
2.6 Forças Impulsivas K. Watari 81
No caso de %3(t), pode-se derivar a expressão (2.67) para t = ty, uma vez que
este é o comportamento de xs(t) para ôt —» 0. Assim,
Ta(t) = — yxa(t) + E e T(t-t0) cos wy (t— to).
Para t=to,
is(to) = a (2.69)
que coincide com (2.68).
Quando se faz dt — 0,0 intervalo ty <t < to+ót (intervalo 2 da Fig. 2.16)
torna-se arbitrariamente estreito e a intensidade da força. (2.63) arbitrariamente
- grande. Apesar disso, o impulso que essa força transmite permanece o mesmo,
isto é, 1 = po. Isto quer dizer que, ao tomar ót — 0, (2.63) passa a representar
uma. força impulsiva ideal (isto é, idealmente instantânea e muito intensa). Ao
efetuar este limite, a solução za(t), correspondente ao intervalo to Sb Ss
to + dt, acaba por desaparecer. Então, a solução que descreve o movimento
desse oscilador harmônico subamortecido, sujeito a esta, força impulsiva ideal,
é obtida considerando-se z1(t) e :3(t) e pode ser resumida como:
0, se ÚU<t<tio;,
Lit 4 2.70
(8) Po p-y(t-to) senwi(t—to), se t>t. o
Mw,
Este resultado mostra que a partícula permanece em repouso na
origem enquanto não existir ação de uma força externa. Mostra
também que a partir do momento que recebe um impulso em t = to,
essa partícula deixa de estar em repouso.
Para se obter o resultado (2.70), não é necessário recorrer sempre ao
artifício que foi utilizado nesta seção. Observando-se os comportamentos
de x1(t), x>(t) e za(t) quando dt — 0, nota-se que a posição como
função do tempo deve ser contínua no instante t = tg , isto é,
c(t>to+0)=z(t> ty—0). (2.71)
Por outro lado, lembrando-se que z;(t) = 0 e observando-se os resultados
82 K. Watari Movimento Unidimensional
(2.68) e (2.69), a velocidade deve ter uma descontinuidade de - em
t=to, isto é,
Pi
it>to+0-a(t>to—0) = 22, (2.72)
m
Então, a resolução do mesmo problema resume-se em dividi-lo em duas
partes. A primeira para intervalo t < ty ea outra para t > ty. Em
ambos os intervalos não há força externa agindo sobre o sistema. Assim,
a equação diferencial do movimento será
mi+biz+kz=0 para DAto
Então, resolve-se esta equação homogênea para intervalo t < to,
impondo-se as condições iniciais x(0) = 0 e %(0) = 0. Para t > %,
resolve-se a mesma equação homogênea e impôem-se as condições (2.71)
e (2.72). Com isso chega-se ao resultado (2.70).
Observação: À formulação rigorosa deste tipo de forças está associada
à função Delta de Dirac e à função de Green, que são assuntos estudados
em Física Matemática.
Exemplo 2.14 É interessante reobter o resultado (2.70) para ilustrar o uso de (2.71)
e (2.72). Observe, então, que quando se faz ôt —» O em (2.63), tem-se: F(t)=0 para
táto e pim F(t) = 00. Assim,
O
mi+bi+kz=0, tAto.
Para t < to, a solução geral desta equação é:
e(t) =e P(A cos w t+ B sen wii).
Impondo-se as condições iniciais «(0) = 0 e &(0) = 0, obtém-se: A =B=o0.
Portanto, a solução procurada é x(t) = 0 para todo t < to. Nosinstantes t>t,a
solução geral é dada por:
z(t)=e "HC cosunt+ D sen wnt).
Derivando-se esta expressão em relação a t, obtém-se:
Bb) =-yu(t)+w e "HC senwt+D coswt).
2.6 Forças Impulsivas K. Watari 88
Lembrando-se que x(t > to—-0)=0 e &(t => to — 0) =0 por causa da solução para
t<to, as condições (2.71) e (2.72) fornecem:
e TC cosunto+Dsenunto)=0
e we TO(-Csenuwto+D cos ws to) = 2º.
m
Note que os membros esquerdos das duas equações acima correspondem a a(t > to +0)
e z(t —> to + 0), respectivamente. Os coeficientes C e D são, então, soluções deste
sistema e são dados por:
Cape preto sen um to e Dp=-B ato cos wi to.
mw mun
Assim, a solução x(t) para t > to fica:
e(t) = REP e YW-to)(— sen wy to COS uy t+ cos w ty sen wi t) =
muy
= PO oy(t-to) sen wn(t— to).
mus
Resumindo os resultados para todo t > 0, chega-se a:
0, se O<t<to,
e(t) =
—Po alii) sen en(t—to), se t>to,
mun
que é a mesma expressão de a(t) em (2.70).
Suponha, agora, que o mesmo oscilador esteja sujeito a uma força genérica
F(t), a partir de t=0, de forma que:
mitbirko=F(t). (2.73)
O gráfico esboçado na Fig. 2.17 seria um
exemplo da força genérica referida. Conside-
re um instante genérico t e suponha tam-
bém que se divida o intervalo de O a t
em ny +1 subintervalos pequenos dados por
ôt = tai — tn . Supondo que dt = constante,
considere também uma força “impulsiva” do
Fig. 2.17: Força Genérica. tipo (2.63) dada por:
0, Lista
E (D=4 (tm), Mtb, R=0,..,n0. (2.74)
0, t>tar
86 K. Watari Movimento Unidimensional
Integrando-se esta expressão entre to e t,
to to
resulta em:
1 T
1
qo? muf= [ P(o)de!. (2.78)
zo
O resultado (2.78) mostra que a variação de energia cinética entre os pontos
zo e x é igual ao trabalho realizado por I(x) nesse deslocamento. Seja uma
função V(x) definida pela integral:
z
VIDE A Ela (2.79)
Tref
sendo o extremo inferior, Zref, escolhido arbitrariamente. Esta função repre-
senta o trabalho realizado por F(x) no deslocamento x — zres e é denominada
energia potencial !”, Escolha diferente de zre; altera V(x) somente por uma
constante aditiva, pois,
-L F(a)dz' = -f Fa!) da = [ Crtada!.
" '
“ref ref Tref
Assim, em termos de energia potencial,
[renas = [redor + [É po)as = Veg) -V().
0 To ref
Ao substituir em (2.78), vem:
e — o =V(zo)— V(x),
2 2
isto é,
lia Lo?
gm +V(z) = a mv +Vízo), (2.80)
dV
15 Note que F(r)=——.
ote que F(x) E
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição K. Watari 87
o que mostra que a soma da energia cinética com a energia potencial, deno-
minada energia mecânica total, é uma constante do movimento quando a força
depende apenas da posição. Informações importantes podem ser obtidas a
partir da energia mecânica total reescrevendo-se a equação como:
aj a [E -V(s)), (2.81)
onde E denota a energia mecânica total e pode ser obtida pelas condições
iniciais:
1 2
E = q mv + V(xo).
2
Como ví não pode ser negativo, x só pode admitir valores no intervalo
Vz)
8
e
Eram cn seen aaa
8
V(vo)
a
am quem===
inacessível acessível inacessível acessível
Fig. 2.19: Relações entre as energias potencial, cinética e total.
definido pela desigualdade V(xz) < E, como mostra a Fig. 2.19. Os valores de
« no intervalo em que V(z) > E são denominados valores inacessíveis. Em
outras palavras, é uma região ou intervalo inacessível para a partícula.
Agora, considere a solução x(t) a partir do instante to. Apenas para fixação
de idéias, suponha que a velocidade inicial vg seja positiva. Isto significa supor
que x(t) seja crescente no instante inicial. Se E — V(z) não possui zeros
para x > xo, a velocidade permanecerá sempre positiva, sendo dada pela raiz
quadrada positiva do membro direito de (2.81), isto é,
dz 2
an
a = o [E = Vo),
que pode ser reescrita como:
1 dx
e 1
88 K. Watari Movimento Unidimensional
Integrando-se ambos os membros de to a t, tem-se:
É
= dp o
[aa É sis fita
o que leva, finalmente, a:
[ros
determinando-se, assim, a solução z(t) implicitamente. Isto completa a descri-
ção do movimento.
=t-to, (2.82)
Quando E — V(x) possui um zero num ponto x =b > x9, (2.82) descreve
o movimento da partícula até que ela atinja o ponto b. Se a multiplicidade
dessa raiz for maior ou igual a 2 [o que acontece quando b for um ponto de
extremo de V(x)], a integral
b
Po (2.83)
FE -V(s))
zo
are 2 ,
é divergente. De fato, fazendo — [E-V(x)] = g(x) (x —b)”, onde n é a mul.
m,
tiplicidade da raiz e g(x) é uma função que não possui zero algum no intervalo
(x0,b), tem-se:
[eia
b
de fStop |S
V Imax | — 6]? - V Imax 1-3
onde Gmax é máximo de |g(x)| no intervalo (x9,b). Este resultado diverge
para x =b. Para n=2,o resultado desta integração é In|x — b| que também
diverge para x = b. Dessa forma, a integral (2.83) diverge para n > 2, o que
significa que, quando a multiplicidade da raiz de E — V(x) for maior ou igual
a 2,a partícula atinge o ponto b após um intervalo de tempo infinito. Assim,
De —6)?]
' TURCA
To
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição K. Watari 91
O movimento é periódico, pois, qualquer que seja o valor de E, existem sempre dois
pontos de reversão dados por — /2E/k ec 2E/k [ver Fig. 2.20(a)]. Para sc
sentido de
variação de 8
z
f2E [25 -
Ve Ve
(a) (b)
Fig. 2.20: (a) Energia Potencial do Oscilador; (b) Variável Angular.
determinar a(t), uma variável angular 8, que varia no mesmo sentido de t, será
introduzida e definida pela relação:
2-2 cos 8, (2.86)
como mostra a Fig. 2.20 (b). Tem-se:
de 2E de
tn (—) send
Substituindo x e E em (2.85), obtém-se:
2 g
Renal (Rec pe LA ga de ag
dt m 2 k m
E:
dt) m'
Como 8 é uma função crescente de t, resulta:
2E
k
ou seja,
dO REA de
dr = Er = wo.
Integrando-se esta equação, obtém-se 9 = wo t+ 09, sendo 89 o valor de 8 no instante
t = 0. Substituindo-se este resultado em (2.86), a solução final é a expressão usual
dada por:
u(t) = A cos(wo L + 00),
onde A=,/2E/k é a amplitude de oscilação.
92 K. Watari Movimento Unidimensional
Exemplo 2.16 Como segundo exemplo, considere o movimento radial de uma par-
tícula de massa m no campo gravitacional da Terra. A força gravitacional sobre essa
partícula, a uma distância x do centro da Terra, é dada por:
— GMm
F)=-, (2.87)
onde G é a constante de gravitação e M é a massa da Terra. A energia potencial
correspondente é dada pela integral (2.79), onde xreg = 00 é escolhido para se evitar
o termo constante em V(x). Assim,
z
GMm GMm
V(z) = — E RCA e TR
Víz) 4
Fíraio da Terra)
(b)
Fig. 2.21: (a) Referencial; (b) Energia Potencial de Atração Gravitacional da Terra.
Suponha que essa partícula seja lançada verticalmente para cima com uma, velocidade
inicial vg a partir de uma posição xo. À energia mecânica total da partícula é, então,
GMm
E=>mu—
2 0 To
Quando E é positiva ou nula, a partícula afasta-se cada vez mais da Terra sem retornar,
pois, não existe ponto de reversão. Observe que a sua velocidade é decrescente e
aproxima-se do valor limite:
2E
a
m
quando estiver muito longe da Terra. Existe um ponto de reversão (ou ponto de retorno)
a uma distância
GMm
SE
quando E for negativa. À partícula cai de volta para a Terra após atingir este ponto.
Vale a pena enfatizar que a energia mecânica total mínima para a partícula escapar
do campo gravitacional terrestre é E = 0 e que a velocidade inicial correspondente,
denominada velocidade de escape a uma distância xo, é dada por”:
2GM
Ve = a
to
Tp =
7 Note que ela independe da massa da partícula.
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição K. Watari 93
Se, em particular, xo for igual ao raio da Terra, o valor que se obtém para a velocidade
de escape é ve — 40000 km/h = 11,2 km/s.
Considere, agora, a determinação da solução x(t) para E < 0. Da conservação da
energia mecânica total, tem-se:
dz 2 jp+ ci] ;
x
onde se adota o sinal (+) durante a subida e o sinal (—) durante a descida. Dessa
forma, se tomar t = 0 para o instante do lançamento, x(t) é dada implicitamente por:
i= [= E , (2.88)
di
[rep Estes du
durante a subida, Quando a partícula atinge a posição de reversão (ponto de retorno)
£r , Significa que ela atingiu a altura máxima em relação à superfície da Terra. Deno-
tando este instante por tmax, tem-se:
E ra] / 2 Mm
[E m |
m
Após este instante, a partícula começa a cair. A posição x(t) nessa fase do movimento
é dada por:
(2.89)
t=tm
ia Dem e EI
As integrais em (2.88) e (2.89) são positivas, mas tornam-se negativas se trocar a ordem
dos limites de integração. Então, para simplificar o cálculo da integral e a representação
de «(t) em todas as fases do movimento, considere a equação:
2
dg!
t = tmax + EE
2 :M
Er Va [E+ re]
sendo adotado o sinal (+) durante a subida e o sinal (—) durante a descida. Como
a integral é negativa durante a subida, torna-se — tmax quando x = zo, de acordo
com (2.89). Assim, t = 0 no instante do lançamento, conforme a escolha feita para
o instante inicial. Portanto, a equação (2.90) vale tanto para a fase de subida quanto
para a de descida, com a escolha adequada de sinal em cada fasc do movimento. A
equação (2.90) pode ser reescrita como:
(2.90)
:
m j da!
tits | E tm t Lo
ma: y -2E ) D+ SME max SoaT es E
96 K. Watari Movimento Unidimensional
Para obtenção dos valores numéricos, será considerado o raio da Terra, R, como uma
média entre o raio equatorial (= 6378 km) e o raio polar (= 6358 km). Assim, R —
6368 km e as alturas expressos em quilômetros serão dadas por:
2
h = 6368 (+ 7 cos? 8 — ) . (2.95)
a ] ea ) T (+) o
2GM 221) 2GM/R? Ve 29
[mê
26M
o g2 3/2 6368 x 103 os g? 3/2 À
= E C2x9,8. seg 5) EE min,
o tempo, t, expresso em minutos é, então, dado por:
º E? 3/2 1
L=tmax+9,5 (= = +) (+53 sen20) , (2.96)
Atribuindo-se valores a 9 no intervalo [96,0], obtém-se uma tabela para h em função
de t, por meio das equações (2.95) e (2.96), durante a subida. A altura máxima, Amax
é atingida no instante ! = tmax dado por (2.93). Se a força de gravitacional em questão
fosse considerado constante, igual à — mg, o tempo necessário para atingir a altura
1 [2R 19
máxima seria Emax = £ — min. Os valores da altura máxima, bem como
g
Tabela 2.1: Tabela da altura máxima e do tempo gasto para atingi-la.
E vo hmax | tuas | Danau | mex | fomos — limas | timax — Emas
(km/s) (km) | (min) | (km) | (min) (%) (%)
3/2 To 50944 | 28,14 | 2830,2 | 12,67 444 55,0
21 56 | 21227 | 13,99 | 15920 | 9,50 25,0 32,1
3/1 37 7960 | 741 | 7076 | 6,33 11,1 14,6
4 2,8 424,5 5,18 398,0 475 6,2 8,3
5 De) | 265,3 4,01 254,7 3,80 4,0 3,2
6 | 19 | 1819 | 329 | 1769 | 317 27 3,6
7| 186 132,7 | 279 | 130,0 | 271 2,0 2,9
8 1,4 101,1 2,43 99,5 2,38 1,6 il
9 12 | 79,6 2,15 78,6 211 1,3 1,9
10 11 | 0648 1,93 63,7 1,90 0,9 1,6
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição K. Watari 97
o tempo gasto para atingi-la, em função de €, isto é, em função da velocidade de
escape, estão mostradas na Tabela 2.1, Na mesma tabela estão também as mesmas
grandezas obtidas quando se considera a força de gravidade constante, ou seja, Jimax
e Emax- À penúltima coluna da tabela mostra a diferença percentual entre max
é fmnax em relação a hmax- Observe que, quanto maior for a velocidade inicial de
lançamento, maior é a diferença na altura máxima atingida pela partícula sujeita à força
gravitacional (2.87) e à força gravitacional constante. Os dados nesta tabela mostram
que uma força de gravidade constante é uma ótima aproximação para descrever o
movimento de uma partícula nas proximidades da superlície da Terra, pois, o erro que
se comete com isso é menor do 2% até uma altura de = 100 km. Mesmo na altura. de
= 700 km o erro está em torno de 10%. O gráfico de hmax em função de £ está esbo-
has (km) tmoz (min)
2000 20
1000 10
123456789 E 123456789 €
(a) (b)
Fig. 2.22: (a) mas e (Db) tma: para força F(z) = —(GMm)/z? (curva cheia) e
F(x)=-mg (curva tracejada).
çado na Fig. 2.22 (a). A linha tracejada na mesma figura corresponde a Tunax. Lembre
que a velocidade inicial, vo, diminui à medida que £ cresce. Na escala adotada, as
duas curvas são quase indisdinguiveis para É > 6 que corresponde a uma altura Ss 200
km. O mesmo acontece com os gráficos do tmax apresentados na Fig. 2.22 (b). Significa
que a altura máxima e o tempo necessário para alcançá-la são quase iguais até este
ponto. Para valores de £ menores, a diferença acentua-se cada vez mais à medida que
& diminui (aumenta a velocidade inicial). Já o erro no tempo necessário para atingir
a altura máxima é maior, como pode ser observado na última coluna da Tabela 2.1
(que representa a diferença percentual de tmax € Emaz em relação a tmax). À sua
interpretação fica como exercício para o leitor.
A altura em função do tempo é descrita pelo par de equações (2.95) e (2.96),
expressas em km e minuto, respectivamente. O tempo t é obtido implicitamente por
meio do parâmetro O na equação (2.96) e, com esse mesmo parâmetro, obtém-se a,
altura correspondente ao instante t. De acordo com a equação (2.94), no instante do
98 K. Watari Movimento Unidimensional
lançamento o parâmetro 6 é dado por:
VE 1
z :
Se se considerar É = 2, por exemplo, que corresponde ao caso da velocidade inicial da
partícula igual à metade da velocidade de escape, uma noção mais concreta do ponto
de vista numérica pode ser adquirida. Para este caso, tem-se:
8) = — arccos
ja
89 = — arecos = =—
para 9 nas equações (2.95) e
As
Fixando-se é = 2 e atribuindo-se valores de [- Co 0
(2.96), obtém-se h em função de t, durante a subida, mostrada na Tabela 2.2. A fase
de descida é obtida. atribuindo-se valores positivos entre [0. =| para 8. Como exer-
Tabela 2.2: Tabela da altura em função do tempo para E = 2.
8 (rad) t (min) h (km)
—10 x (7/60) = —n/6 0 0
— 9x (7/60) 1,19 373
— 8x (m/60) 2,43 718
— Tx (7/60) 3,74 1032
— 6x (7/60) 5,10 1312
— 5x (7/60) 6,51 1554
— 4x (x/60) 7,95 1756
— 3x (m/60) 9,43 1915
— 2x (7/60) 10,94 2030
— (m/60) 12,46 2099
0 13,99 2123
cício, o leitor poderá completar a tabela até o instante de chegada da partícula ao solo.
Note que, se desejar uma variação mais refinada de h e de t, basta diminuir o intervalo
de variação de 8. Portanto, esta tabela fornece h(t) que pode ser traçado num gráfico.
Tabelas semelhantes podem ser obtidas para diferentes valores de £. Assim, tem-se
a equação horária h(t) para diferentes velocidades iniciais de lançamento. As linhas
contínuas na Fig. 2.23, da página 99, é o gráfico de h em função de t até o instante que
atinge a altura máxima para €=2,€=3, €=4e é = 6 quando a força gravitacional
sobre a partícula é dada por (2.87). Para comparação, foram traçados também os grá-
ficos referentes a vg t — 3 gt? (que é o resultado para força gravitacional constante e
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição K. Watari 101
Definição 2.5 Pela razão exposta acima, o ponto de máximo da energia potencial
é classificado como ponto de equilíbrio instável.
dV(ax)
Por outro lado, — tem sinal contrário ao do deslocamento se a
partícula tivesse sido colocada em repouso na posição de mínimo de V(x). Isto
quer dizer que surge uma força sobre a partícula que sempre aponta para a
posição de equilíbrio. Assim, se deslocar uma partícula da posição de mínimo
de V(x), ela sempre retorna para onde estava devido à força restauradora que
aparece agindo sobre ela. Dessa forma, define-se esse ponto como segue:
Definição 2.6 O ponto de mínimo da energia potencial é classificado como ponto
de equilíbrio estável.
Note que, para aplicar um deslocamento numa partícula colocada. em re-
pouso num ponto de equilíbrio estável, é necessário aumentar a energia mecânica
total da partícula. Assim, de acordo com a equação (2.81), a partícula executa
um movimento oscilatório na vizinhança da sua posição de equilíbrio após sofrer
um deslocamento dessa posição. O seu período é dado por (2.84), onde a e b
são os pontos de retorno.
Após as discussões acima, fica claro que as condições que um ponto seja o
de equilíbrio estável são dadas por (2.97) e por
(E) > 0. (2.98)
Considere, agora, uma partícula de massa mm em repouso na sua posição
de equilíbrio estável xo. Considere também um pequeno deslocamento dessa
partícula em relação a xo. À energia potencial na vizinhança de zo pode ser
escrita em termos de série de Taylor:
- E Va 217 ;
V(x) = (0) + (el) (-2)+5 (e) a
0 0
À primeira derivada é nula em xo por ser um ponto de equilíbrio. Além disso,
qualquer potência superior de (x — xy) torna-se muito pequena comparada
com (x — xo)? porque o deslocamento é pequeno. Note que o termo Víxo) é
uma, constante aditiva na energia potencial. Então, uma nova encrgia potencial
V(x) que difere apenas por essa constante aditiva será introduzida e tem-se:
V(x) = Sklo- ao? (2.99)
102 K. Watari Movimento Unidimensional
d2 V (x dV
onde k = (e) - Lembrando que — a) = — are) = F(x), a
zo
equação (2.77) para este caso torna-se:
mi=-—k(z— zo). (2.100)
Com a mudança de variável É =x — zo, tem-se: €=% e €=%. Substituindo-
se na equação acima, obtém-se:
mê=-KeE,
que é a equação diferencial do movimento de um oscilador harmônico simples
com constante de força k e massa m. Então, a equação diferencial (2.100)
é a de um oscilador harmônico simples, cujo centro de oscilação é o ponto de
equilíbrio estável zo e (2.99) é a sua energia potencial. Observe que a constante
de força é dada por:
d2V(x)
it |P to - :
( do ), (2.101)
Portanto, a frequência angular de pequenas oscilações na vizinhança do ponto
de equilíbrio estável é:
É d? £
wi = ES (E) . (2.102)
m m da o
Como consequência, o seu período é:
2 d2V(r) 2
T= 50 onvm (Co) (2.108)
wo da fo
Às aproximações discutidas nesta secção são utilizadas em inúmeros proble-
mas de Física tanto Clássica quanto Moderna. Naturalmente, as interpretações
de energia potencial e do pequeno deslocamento são realizadas dentro da óptica
própria de cada ramo. Por isso, essas aproximações são importantíssimas.
Exercícios
2.41) Uma partícula de massa m está sujeita a uma força cuja energia potencial é
V(m)=az — ba”,
onde a e b são constantes positivas.
2.7 Forças que Dependem Apenas da Posição K. Watari 103
a) Determine a força e esboce os gráficos de F(z) e V(z).
b) A partícula inicia o movimento na origem com velocidade vo. Mostre que,
se lvo| < vc, onde vc > O é uma certa velocidade crítica, a partícula fica
confinada numa região perto da origem. Determine vc.
2.42) Uma partícula a num núcleo está sujeita a uma força cuja energia potencial é
da forma . ,
8 Voa? (a? — q?
V(a)=- 222 4 -
8a! + w
onde Vo e a são constantes positivas.
a) Esboce o gráfico de V(z) e determine os tipos possíveis de movimento.
b) Determine a força que age sobre a partícula cr.
243) A partir de (2.84), prove que o período de pequenas oscilações é dada pela
equação (2.103).
2.44) Determine os pontos de equilíbrio estável para as energias potenciais dos exer-
cícios 2.41 e 2.42. Determine o período de pequenas oscilações na vizinhança
desses pontos de equilíbrio aplicando o resultado do exercício 2.43.
2.45) A encrgia potencial para a força de interação entre dois átomos numa molécula
diatômica tem a forma aproximada dada por
b
a
mê gl? ?
V(z) = —
onde a e b são constantes positivas e x é a distância entre os átomos.
a) Determine a força.
b) Supondo que um dos átomos é muito pesado e, portanto, permanece em re-
pouso enquanto o outro move-se ao longo de uma reta, descreva os movimentos
possíveis.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período de pequenas oscilações em
torno da posição de equilíbrio se a massa do átomo mais leve é m.
2.46) Uma partícula de massa m é lançada da superfície da Terra (raio R c massa
M) com uma velocidade vertical vo maior que a velocidade dc escape. Mostrar
que num instante t (medido a partir do lançamento), a distância da partícula
ao centro da Terra é dada pelo par de equações
GMm 9
cv=— Senh Oh,
1 [2GM E 1
q Senh28- 6 = (CM bd senh 280 — Bo,