Analise no Rn

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(Parte 1 de 3)

Analise I (Analise no IRn) Notas de aulas

Andre Arbex Hallack Agosto/2008

Indice

1.1 O espaco vetorial IRn1
1.2 Sequencias3
1.3 Topologia usual6
1.4 Limites e continuidade8
1.5 Homeomorfismos1
1.6 Compacidade12
1.7 Conexidade14
1.8 Norma de uma transformacao linear18
1.9 Exercıcios19

1 Nocoes Topologicas no IRn 1

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao25
2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis28
2.3 Funcoes reais de m variaveis34
2.4 Exercıcios39
2.5 A Regra da Cadeia45
2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio49
2.7 Exercıcios54
2.8 As classes de diferenciabilidade Ck56
2.9 O vetor Gradiente58
2.10 Exercıcios59
3.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz63
3.2 Derivadas de ordem superior67
3.3 A Formula de Taylor70

3 Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 63

4.1 Preliminares71
4.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva72
4.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva73
4.4 O Teorema da Aplicacao Inversa76
4.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita79
4.6 Exercıcios81

4 O Teorema da Aplicacao Inversa 71

5.1 A definicao de integral89
5.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis93
5.3 Integrabilidade em domınios mais gerais98
5.4 Somas de Riemann102
5.5 Integracao repetida105
5.6 Mudanca de variaveis106
5.7 Exercıcios112

Capıtulo 1 Nocoes Topologicas no IRn

1.1 O espaco vetorial IRn

Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos numeros reais.

Produto interno no espaco IRn: Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , >: IRn ×IRn → IR pondo:

< x,y > = x1y1 + x2y2 ++ xnyn ∀ x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) ∈ IRn

Normas:

A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA(?) EUCLI-

DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:

Obs.: Outras duas normas(?) se destacam no IRn:

A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por

‖x‖s = |x1| + |x2| ++ |xn| ∀ x = (x1,...,xn) ∈ IRn

A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por

E facil mostrar(?) que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.

Para todo x ∈ IRn temos(?) :

Metricas, bolas e conjuntos limitados:

A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma metrica d : IRn × IRn → IR (nocao de distancia), pondo:

Seguem definicoes de certos lugares geometricos basicos:

Definicao 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um numero real r > 0, definimos:

Obs.: E claro que os lugares geometricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖ considerada.

A seguir definimos uma relacao de equivalencia entre normas:

Definicao 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao ditas EQUIVALENTES quando, sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e possıvel obter uma bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.

Nocoes Topologicas no IRn 3

A “equivalencia”, assim definida, alem de SIMETRICA (por definicao), e REFLEXIVA E

TRANSITIVA, sendo portanto uma RELAC AO DE EQUIVALENCIA(?) .

existem constantes k,l > 0 tais que:

Ja vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n.‖x‖m , para todo x ∈ IRn. Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES!

E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto

X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a

Proposicao 1.5. (?) Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equi- valente a Norma do Maximo) se, e somente se, todas as suas projecoes

X1 = pi1(X), X2 = pi2(X),, Xn = pin(X)

sao conjuntos limitados em IR.

Definicao 1.6. Dizemos que uma sequencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn (“em relacao a norma ‖ ‖”) quando, para cada > 0 dado, e possıvel obter um ındice

De modo equivalente temos que, para cada > 0 , os termos xk estao na bola aberta B(a; ) (em relacao a norma considerada), para todo k suficientemente grande.

Uma consequencia importante da definicao acima e que, se duas normas no IRn sao equivalentes, entao a convergencia de uma sequencia independe de qual das nor- mas equivalentes e considerada (?) .

Consequencias imediatas: (?)

(i) limxk = a ⇔ lim‖xk − a‖ = 0 (i) Toda sequencia convergente e limitada.

(i) Se limxk = a entao toda subsequencia de (xk) converge para a. (iv) O limite de uma sequencia convergente e unico.

Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo

2 ,, x

i = pii(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n sequencias sao ditas as Sequencias DAS COORDENADAS de (xk).

Proposicao 1.7. (?) Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a coordenada correspondente de a.

Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam limxk = a, limyk = b e limαk = α. Entao: (i) lim(xk + yk) = a + b (i) limαk.xk = α.a (i) lim < xk,yk > = < a,b >

A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:

Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass) (?) Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer norma equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coordenadas, juntamente com a proposicao anterior)

Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.

Demonstracao: Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por

‖x‖s = |x1| + |x2| ++ |xn| ∀ x = (x1,x2,...,xn) ∈ IRn

e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.

Nocoes Topologicas no IRn 5

Temos:

(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema estara demonstrado.

(i) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e equivalente a Norma do Maximo.

‖x‖ = ‖x1e1 ++ xnen‖ ≤ |x1|.‖e1‖ + ...|xn|.‖en‖ ≤ b.(|x1| + ... + |xn|) = b.‖x‖s

onde b = max{ ‖e1‖,...,‖en‖ } (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o maximo em um conjunto finito de numeros reais).

De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn tal que ‖xk‖s > k.‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).

Tomemos, para cada k ∈ IN, uk = xk

‖xk‖s (note que a sequencia (uk) esta bem definida,

Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma da Soma.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj ) convergente (na

Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.

Temos entao que ∥∥ukj

Logo

6 CAPITULO 1 Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.

Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os resultados anteriores sao validos para qualquer norma considerada no IRn.

Proposicao 1.10. (IRn e Banach) (?) Uma sequencia (xk) no IRn e convergente (em relacao a qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e uma Sequencia de Cauchy.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use a norma do maximo, a proposicao 1.7 e o resultado ja conhecido para sequencias de numeros reais)

Prove tambem o resultado acima sem usar o que ja foi provado para sequencias de numeros

1.3 Topologia usual

Conjuntos abertos:

Definicao 1.1. Um ponto a e dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn quando existe > 0 tal que B(a; ) ⊂ X. Se denotarmos por intX o conjunto dos pontos interiores a X (INTERIOR de X), e imediato que intX ⊂ X. Se a ∈ intX entao X e dito uma VIZINHANCA de a.

Um conjunto A ⊂ IRn e dito ser ABERTO (em IRn) quando A = intA.

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .

Consequencias imediatas: (?)

(i) A intersecao A = A1 ∩∩ Al de uma colecao FINITA de abertos e um aberto.

(i) φ e IRn sao abertos.

(i) A reuniao A = ⋃ λ∈L Aλ de uma colecao arbitraria {Aλ}λ∈L de abertos e um aberto.

(iv) Toda bola aberta B(a;r) e um conjunto aberto.

(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: intX = ⋃

A⊂X A aberto

Nocoes Topologicas no IRn 7

Conjuntos fechados:

Definicao 1.12. Um ponto a e dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por clX o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e imediato que X ⊂ clX.

Um conjunto F ⊂ IRn e dito ser FECHADO (em IRn) quando F = clF.

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .

Dado X ⊂ IRn , definimos frX = clX ∩ cl(IRn\X) (FRONTEIRA de X).

Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e DENSO em X quando X ⊂ clY (todo ponto de X e limite de uma sequencia de pontos de Y ).

Consequencias imediatas: (?)

(i) a ∈ clX ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X. (i) F ⊂ IRn e fechado ⇔ A = IRn\F e aberto. (i) φ e IRn sao fechados.

(iv) A reuniao F = F1 ∪∪ Fl de uma colecao FINITA de fechados e um fechado.

(v) A intersecao F = ⋂ λ∈L Fλ de uma colecao arbitraria {Fλ}λ∈L de fechados e um fechado.

(vi) Toda bola fechada B[a;r] e um conjunto fechado. (vii) Toda esfera S[a;r] e um conjunto fechado. (viii) Qn e denso no IRn.

(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: clX = ⋂

F ⊃X F fechado

Pontos de acumulacao:

Definicao 1.13. Um ponto a e dito um PONTO DE ACUMULAC AO de um conjunto

X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X\{a} ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que xk → a . Denotamos por X′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Se a ∈ X nao e ponto de acumulacao de X, entao a e um PONTO ISOLADO de X.

Se todos os pontos de X sao isolados, X e chamado um conjunto DISCRETO.

Consequencias imediatas: (?)

(i) a ∈ X′ ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X\{a}. (i) a ∈ X′ ⇔ toda bola aberta B(a;r) possui uma infinidade de pontos de X. (i) Se X′ 6= φ entao X e infinito. (iv) O conjunto X′ dos pontos de acumulacao de X e fechado. (v) Se X ⊂ IRn e infinito e limitado, entao X′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)

1.4 Limites e continuidade

Estudaremos agora nocoes de limites e continuidade para aplicacoes f : X → IRn , com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicacoes como esta atraves de suas funcoes coordenadas:

Dizemos que b ∈ IRn e o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos

A fim de que lim x→a f(x) = b ∈ IRn e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk)

Proposicao 1.16. (?) Seja a um ponto de acumulacao de X ⊂ IRm. Dada a aplicacao lim

Nocoes Topologicas no IRn 9

Continuidade:

Se f como acima e contınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que f e uma aplicacao CONTINUA.

Proposicao 1.18. (?) Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja contınua em a ∈ X e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk) em X com xk → a se tenha f(xk) → f(a) .

Proposicao 1.19. (?) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua se, e somente se, para cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e um conjunto aberto em X (ou f−1(F) e um conjunto fechado em X).

Proposicao 1.20. (?) A composta de duas aplicacoes contınuas e contınua.

Proposicao 1.21. (?) Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicacao f : X → IRn , cujas funcoes coordenadas sao f1,f2,...,fn : X → IR , tem-se: f e contınua em a se, e somente se, cada uma das suas funcoes coordenadas fi = pii ◦ f : X → IR e contınua no ponto a.

Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1,f2,...,fn) ), para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto x = (x1,...,xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.

A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.

Continuidade uniforme:

Ao estudarmos a continuidade de uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do domınio X, o δ obtido para cada (veja a definicao) depende, em geral, nao apenas do dado, mas tambem depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f.

Quando, para cada dado, for possıvel obter um δ que dependa apenas de e portanto sirva (como na definicao) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenomeno conhecido como Continuidade Uniforme:

Definicao 1.2. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita UNIFORMEMENTE CONTINUA quando, para cada > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que

Resultados relacionados com a continuidade uniforme: (?)

(i) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente se, para todo par de sequencias (xk),(yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk) − f(yk)] = 0 .

(i) Se f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua entao, para todo a ∈ X′ , existe o

Uma fonte natural de aplicacoes uniformemente contınuas:

Definicao 1.23. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita LIPSCHITZIANA quando existe uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que

Alguns resultados:

(i) Toda aplicacao lipschitziana e uniformemente contınua. (?)

(i) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente contınua e portanto contınua.

(i) Se ϕ : IRm ×IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.

Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.

Nocoes Topologicas no IRn 1

1.5 Homeomorfismos

Definicao 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre X e Y e uma bijecao contınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambem e contınua. Diz-se entao que X e Y sao conjuntos homeomorfos.

Resultados imediatos: (i) O inverso de um homeomorfismo e um homeomorfismo.

(i) A composta de dois homeomorfismos e um homeomorfismo.

(i) Se dois conjuntos X e Y sao homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topologica, ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva” abertos de Y em abertos de X. (?)

Exemplos: 1) Qualquer aplicacao linear invertıvel A : IRn → IRn e um homeomorfismo.

4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas bolas fechadas arbitrarias no IRm ou duas esferas no mesmo espaco. (?)

5) Toda bola aberta no IRm e homeomorfa ao espaco IRm. (?)

6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicacao contınua. Seu GRAFICO e o conjunto G ⊂ IRm × IRn formado pelos pontos (x,f(x)) , com x ∈ X . O domınio X e o grafico G da aplicacao contınua f sao homeomorfos.

1.6 Compacidade

Definicao 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera dito um conjunto COMPACTO quando for limitado e fechado.

Buscaremos agora novas caracterizacoes para os compactos do IRn:

Teorema 1.26. (?) Um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda sequencia

(xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.

Teorema 1.27. (?) (Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos

compactos e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃⊃ Ki ⊃ ... , sua intersecao K =

i=1 Ki (limitada e fechada) nao e vazia.

Lema 1.28. (?) Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel

Nocoes Topologicas no IRn 13

Lema 1.29. (Lindelof) Considere um conjunto arbitrario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta

X⊂ ⋃ Aλ admite uma subcobertura enumeravel.

Chegamos entao ao resultado que nos interessa:

Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.

Demonstracao:

(⇒) Borel-Lebesgue: Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).

Seja K ⊂ ⋃ Aλ uma cobertura aberta de K.

Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel

= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪
Para cada i = 1,2,3,∈ IN ponha

Aλi

(IRn\ (Aλ1 ∪∪ Aλi
Aλ1 ∪∪ Aλi
e aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪∪ Aλi

Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado. ) e fechado. Como K e fechado, temos entao que Ki e fechado.

Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.

Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃⊃ Ki ⊃ ...

Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′ (pois K ⊂ ∞⋃

Logo ∞⋂

Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos

⋂ (X\ (Aλ1 ∪∪ Aλi0
)) ⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪∪ Aλi0

Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.

Destacamos a seguir os principais resultados relativos a compacidade:

Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e uma aplicacao contınua, entao sua imagem f(K) e um conjunto compacto do IRn.

Corolario 1. (?) (Weierstrass) Toda funcao real contınua f : K → IR definida num compacto

Corolario 2. (?) Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicacao contınua f : K → IRn e fechada, ou seja, se F ⊂ K e fechado, entao f(F) ⊂ IRn e fechado.

Corolario 3. (?) A inversa de uma bijecao contınua definida num compacto e uma funcao contınua, isto e, toda bijecao contınua definida num conjunto compacto e um homeomorfismo sobre sua imagem.

Teorema 1.32. (?) Toda aplicacao contınua f : K → IRn definida num conjunto compacto

K ⊂ IRm e uniformemente contınua.

Definicao 1.3. Uma CISAO de um conjunto X ⊂ IRn e uma decomposicao X = A ∪ B , onde A e B sao disjuntos ( A ∩ B = φ ) e abertos em X.

Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISAO TRIVIAL X = X ∪ φ .

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO quando so admite a cisao trivial. Caso contrario ele e dito DESCONEXO.

Nocoes Topologicas no IRn 15

Proposicao 1.34. (?) Uma decomposicao X = A ∪ B e uma cisao de X se, e somente se, nenhum dos conjuntos A, B contem um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos clA∩B = φ = A∩ clB .

Proposicao 1.35. (?) X ⊂ IR e conexo se, e somente se, X e um intervalo da reta.

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