Analise no Rn

Analise no Rn

(Parte 2 de 3)

Destacamos a seguir o principal resultado relativo a conexidade:

Teorema 1.36. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e uma aplicacao contınua, entao sua imagem f(X) e um conjunto conexo do IRn.

Corolario 1. (?) (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : X → IR uma funcao real

Veremos a seguir uma serie de resultados sobre conexidade:

Proposicao 1.37. (?) (Teorema da Alfandega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo

C ⊂ IRn contem um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , entao C contem algum ponto da fronteira de X.

Sugestao: use que IRn = intX ∪ frX ∪ int(IRn\X) nao-vazio entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .

Corolario 1. Se X ⊂ IRn e conexo e Y e formado a partir de X adicionando-se alguns ou todos os pontos de seu fecho, entao Y e conexo.

Teorema 1.40. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos com um ponto em comum e um conjunto conexo.

Corolario 1. (?) A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e (necessario e) suficiente que, para quaisquer a,b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a,b ∈ Cab ⊂ X .

Corolario 2. (?) Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e conexo se, e somente se, X e Y sao conexos.

Definicao 1.41. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuniao Cx de todos os subconjuntos conexos de X que contem o ponto x.

E imediato que Cx e o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que contem o ponto x.

Segue tambem que, dados dois pontos x,y ∈ X , suas componentes conexas Cx,Cy em

X, ou coincidem ou sao disjuntas (?) .

Assim, a relacao “x e y pertencem a mesma componente conexa em X” e uma relacao de equivalencia em X (?) e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de equivalencia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.

Nocoes Topologicas no IRn 17

Proposicao 1.42. (?) Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e a componente conexa do ponto x em X, entao Dy = h(Cx) e a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .

Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijecao entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y . (?)

Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida num intervalo I ⊂ IR.

Dizemos que os pontos a,b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X quando existe um caminho f : I → X tal que a,b ∈ f(I)

Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a,b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a,b] = { t.a + (1 − t).b ; t ∈ [0,1] }.

Se a,b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos a,b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.

Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.

Teorema 1.43. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo. (Exercıcio)

Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:

Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:

Teorema 1.4. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.

1.8 Norma de uma transformacao linear

Seja A : IRm → IRn uma transformacao linear. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que

Temos entao: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir

uma norma (?) em L(IRm;IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformacao linear

A : IRm → IRn ∈ L(IRm;IRn) :

Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma em L(IRm;IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, nao vamos esquecer que as normas obtidas neste ultimo espaco sao todas equivalentes.

Proposicao 1.47. (?) Nas mesmas condicoes da definicao anterior, temos:

Obs.: Na segunda parte da proposicao acima, consideramos a mesma norma em IRm .

Nocoes Topologicas no IRn 19

2. Se a norma provem de um produto interno e a 6= b em IRn sao tais que ‖a‖ ≤ r e ‖b‖ ≤ r entao ‖(1 − t).a + t.b‖ < r para todo t ∈ (0,1) (ou seja, a esfera nao contem segmentos de reta).

4. Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a,b ∈ X, o SEGMENTO (RETILINEO) [a,b] = { t.a + (1 − t).b ; t ∈ [0,1]} que os liga cumpre [a,b] ⊂ X . Mostre que a intersecao de uma famılia arbitraria de conjuntos convexos e um conjunto convexo.

5. Dado X ⊂ IRn, a ENVOLTORIA CONVEXA DE X e a intersecao co(X) de todos os subconjuntos convexos do IRn que contem X. Prove que co(X) e o conjunto de todas as

combinacoes lineares α1x1 ++ αkxk tais que x1,...,xk ∈ X , α1 ≥ 0,...,αk ≥ 0 e
α1 ++ αk = 1 .

6. Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IRn e tambem convexo.

7. As seguintes afirmacoes a respeito de uma sequencia (xk) de pontos do IRn sao equivalentes: (a) lim‖xk‖ = +∞ ; (b) (xk) nao possui subsequencia convergente ; (c) Para todo conjunto limitado L ⊂ IRn, o conjunto dos ındices k tais que xk ∈ L e finito.

8. Prove que limxk = a em IRn se, e so se, lim < xk,y > = < a,y > para todo y ∈ IRn . 9. Toda matriz n × n e limite de uma sequencia de matrizes invertıveis n × n .

10. Se nenhum ponto do conjunto X ⊂ IRn e ponto de acumulacao entao se pode escolher, para cada ponto x ∈ X, uma bola aberta Bx, de centro x, de tal maneira que, para x 6= y em X se tenha Bx ∩ By = φ .

1. Todo conjunto discreto e enumeravel. Em outras palavras: todo conjunto nao-enumeravel contem (pelo menos) um ponto de acumulacao.

12. Se A ⊂ IRn e aberto entao sua fronteira frA tem interior vazio. De exemplo de um conjunto X ⊂ IRn cuja fronteira frX seja um conjunto aberto.

13. Se F ⊂ IRn e fechado entao sua fronteira frF tem interior vazio. 14. Seja E ⊂ IRn um subespaco vetorial. Se E 6= IRn entao intE = φ . 15. A ⊂ IRn e aberto se, e somente se, A ∩ cl(IRn\A) = φ .

16. Seja B(X; ) a reuniao das bolas abertas B(x; ) de raio e centro em algum ponto x ∈ X . Prove que clX = ⋂

17. (i) Mostre que para toda sequencia decrescente F1 ⊃ F2 ⊃⊃ Fk ⊃ ... de conjuntos

existe um ponto a ∈ IRn tal que ∞⋂

(i) (Teorema de Baire) Mostre que se F = ∞⋃ k=1 Fk , onde cada Fk e fechado em IRn e tem interior vazio, entao intF = φ . (Sugestao: olhe o livro sobre Espacos Metricos do Elon)

(i) O que podemos concluir se IRn = ∞⋃ k=1 Fk , onde cada Fk e fechado no IRn ?

2. Seja f : IRm → IRn contınua. Se X ⊂ IRm e limitado entao f(X) ⊂ IRn e limitado.

23. Se f : IRm → IRn e contınua entao, para cada parte limitada x ⊂ IRm , a restricao f|X e uniformemente contınua.

Nocoes Topologicas no IRn 21

24. Se a aplicacao linear A : IRm → IRn e injetiva, entao existe c > 0 tal que ‖Ax‖ ≥ c‖x‖ para todo x ∈ IRm .

25. Se B e a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IRn, a aplicacao contınua f : B → IRn

26. Considerando as sequencias de pontos zk = (k,1/k) e wk = (k,0) no IR2 , prove que a aplicacao ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x,y) = xy nao e uniformemente contınua. Use um argumento analogo para provar que uma aplicacao bilinear ϕ : IRm × IRn → IRp so e uniformemente contınua se for identicamente nula.

28. Estabeleca um homeomorfismo entre IRn+1\{0} e Sn × IR .

sao homeomorfos, mas nao existe um homeomorfismo h : IR2 → IR2 tal que h(X) = Y .

demais pontos. Prove que o limite de f(x,y) e zero quando (x,y) tende para (0,0) ao

Mostre que lim x→0

34. O conjunto das matrizes invertıveis n × n e aberto no IRn2 .

35. O conjunto das aplicacoes lineares injetivas e aberto em L(IRm;IRn) . Idem para as sobrejetivas.

37. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 e um conjunto fechado, ilimitado e com interior vazio em IRn2 .

38. O conjunto dos valores de aderencia de uma sequencia limitada e um conjunto compacto e nao-vazio.

39. As matrizes ortogonais n × n formam um subconjunto compacto do IRn2 .

40. Todo conjunto infinito X ⊂ IRn possui um subconjunto nao-compacto.

41. Seja X ⊂ IRn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, entao X e compacto.

42. Seja f : IRm → IRn contınua. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(b) A imagem inversa f−1(K) de todo compacto K ⊂ IRn e compacta.

43. Sejam X ⊂ IRm , K(compacto) ⊂ IRn , f : X ×K → IRp contınua e c ∈ IRp . Suponha que, para cada x ∈ X , exista um unico y ∈ K tal que f(x,y) = c . Prove que esse y depende continuamente de x .

4. Toda aplicacao localmente lipschitziana definida num conjunto compacto e lipschitziana. 45. Um subconjunto conexo nao-vazio X ⊂ Qn consta de um unico ponto. 46. Um conjunto conexo enumeravel X ⊂ IRn possui no maximo um ponto.

47. O conjunto das matrizes invertıveis n × n e um aberto desconexo em IRn2 . Tambem e desconexo (mas nao aberto) o conjunto das matrizes ortogonais.

48. Se X ⊂ IRn e compacto, entao toda aplicacao contınua aberta f : X → Sn e sobrejetiva.

49. Seja X ⊂ IRm . Uma aplicacao f : X → IRn diz-se localmente constante quando para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f|(B∩X) e constante. X e conexo se, e somente se, toda aplicacao localmente constante f : X → IRn e constante.

50. Se X ⊂ IRn e conexo por caminhos e f : X → IRn e contınua, entao f(X) e conexo por caminhos.

51. Se X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn sao conexos por caminhos entao X ×Y ⊂ IRm+n e conexo por caminhos.

Nocoes Topologicas no IRn 23

52. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum e conexa por caminhos.

53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode nao ser conexo por caminhos.

54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IRn sao conjuntos abertos.

5. Dada uma aplicacao linear A : IRm → IRn e fixadas normas em IRm e IRn, a imagem por A da esfera unitaria S = { x ∈ IRm ; ‖x‖ = 1 } e um conjunto limitado no IRn . Pondo, para cada A ∈ L(IRm;IRn) , ‖A‖ = sup{ ‖Ax‖ ; x ∈ S } , a funcao A 7→ ‖A‖ e uma norma no espaco vetorial L(IRm;IRn) , para a qual vale a desigualdade ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ para todo x ∈ IRm . Alem disso, se A ∈ L(IRm;IRn) e B ∈ L(IRn;IRp) entao, fixadas normas em IRm ,IRn e IRp , tem-se ‖BA‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖ .

58. Defina convergencia e convergencia absoluta (ou normal) de uma serie ∑ xk , cujos termos xk = (xk1,xk2,...,xkn) pertencem ao IRn . Prove que a serie ∑ xk converge (resp.

converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1,...,n , a serie ∑ k xki converge

(resp. converge absolutamente). Conclua que toda serie absolutamente convergente no IRn e convergente.

59. Dada uma sequencia de aplicacoes lineares Ak : IRm → IRn , suponha que para todo x ∈ IRm exista Ax = lim k→∞Akx . Prove que a aplicacao linear A : IRm → IRn assim definida e linear, que limAk = A relativamente a qualquer norma em L(IRm;IRn) e que a convergencia

Akx → Ax e uniforme em qualquer parte limitada de IRm .

60. Mostre que para toda aplicacao X ∈ L(IRn) ' IRn2 , a serie k! e absolutamente convergente. Indiquemos sua soma por eX . Usando que eX · eY = eX+Y se XY = Y X , conclua que para toda X ∈ L(IRn) temos que eX e invertıvel, com (eX)−1 = e−X .

Capıtulo 2 Diferenciabilidade

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao

Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenciavel no ponto a ∈ U quando existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com a + v ∈ U, temos

A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximacao linear”para f numa vizinhanca de a. Essa boa aproximacao de f(a+v) por f(a)+T(v) numa vizinhanca de a e expressa pela condicao lim v→0

Alguns resultados imediatos:

Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U.

Entao existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com a+v ∈ U:

Antes do proximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.

Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.

A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e, por definicao: ∂f

∈ IRn quando existir tal limite

f , entao ∂f

(a) ,,

Quando v = ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm, escrevemos ∂f

Diferenciabilidade 27

Consequencias de (B):

(i) A derivada direcional de f em a , se f e diferenciavel em a, depende linearmente do vetor relativamente ao qual e considerada.

(i) A transformacao linear T : IRm → IRn que da a boa aproximacao para f perto de a e unica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f′(a) ou Df(a).

(i) Podemos obter a matriz que representa a transformacao linear f′(a) em relacao as bases canonicas de IRm e IRn, que sera uma n × m matriz chamada a matriz jacobiana de f no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-esima coluna e dada por

(a) ,,
(a)
(a)
(a)
(a)

Temos entao o ...

Teorema 2.2. A aplicacao f : U → IRn e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das suas funcoes coordenadas f1,f2,...,fn : U → IR e diferenciavel em a.

Corolario 1. A aplicacao f = (g,h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x),h(x)) e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicacoes g : U → IRn e h : U → IRp e diferenciavel em a.

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis

A) Aplicacoes constantes: Uma aplicacao constante e diferenciavel em todo ponto e sua derivada em qualquer ponto e a transformacao linear nula O .

B) Transformacoes lineares: Qualquer transformacao linear T : IRm → IRn e diferenciavel em todos os pontos a ∈ IRm e DT(a) = T′(a) = T ∀ a ∈ IRm.

C) Aplicacoes bilineares: Qualquer aplicacao bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e diferenciavel em cada ponto (a,b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a,b) = Dϕ(a,b) : IRm × IRn → IRp e a transformacao linear dada por:

Diferenciabilidade 29

Dµ(a1,, ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)
= IRn × IRn ×× IRn → IR e n-linear e portanto e diferenciavel em
cada n × n matriz real A. Dada A = (A1,A2,...,An) , onde cada Ai = (ai1 ai2ain) e

Exemplo: det : IRn2 a i-esima linha de A, temos que det′(A) : IRn2 → IR e a transformacao linear dada por

E) A derivada da “analise na reta”: Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U. Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite

Ja vimos que f e derivavel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que, para todo t ∈ IR onde a + t ∈ U, tenhamos

Em caso afirmativo, temos ainda que f′(a) = c.

Se considerarmos a transformacao linear T : IR → IR dada por T(x) = c.x ∀x ∈ IR e

observarmos que lim t→0

|t| = 0 podemos entao concluir que f e derivavel em a ⇔ f e diferenciavel em a

F) Caminhos diferenciaveis: Um caminho em IRn e uma aplicacao f : I → IRn cujo domınio e um intervalo I ⊂ IR.

O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ intI e definido por:

∈ IRn desde que esse limite exista

Diferenciabilidade 31

O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for derivavel (ou seja, diferenciavel) em a. Isto ocorrera portanto se, e somente se, f for diferenciavel em a. (ver teorema 2.2).

Teremos, em caso afirmativo:

dfn

que pode ser “visto”tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidade df

quanto como uma transformacao linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por

Aplicacao: Dada uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciavel em a ∈ U , tentaremos obter, via caminhos, uma interpretacao para f′(a)(v) , onde v ∈ IRm.

Temos que ∃ dα dt t = v (v e o vetor veloci- dade de α em t = 0)

Geometricamente, a imagem do caminho α e uma curva (neste caso um segmento de reta) em U, passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.

Vamos agora olhar para o caminho γ = f ◦ α : (− , ) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a aplicacao de f ao caminho α (composicao).

Geometricamente, a imagem do caminho γ e uma curva em f(U) , passando por f(a). Temos:

∃ dγ dt

Portanto, f′(a)(v) e o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e o vetor tangente a imagem de γ, em f(a) ):

G) Funcoes de uma variavel complexa: Seja f : U ⊂ C → C funcao de uma variavel complexa z definida num aberto U ⊂ C.

f e derivavel em z0 ∈ U quando existe o limite

Temos que f e derivavel em z0 se, e somente se, existe uma constante complexa c = a + ib tal que, se z0 + h ∈ U, temos

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