Analise no Rn

Analise no Rn

(Parte 3 de 3)

Pela associacao C ↔ IR2 , que faz corresponder a cada complexo x + iy o par (x,y) e vice-versa, podemos enxergar f como uma aplicacao definida num aberto U ⊂ IR2 e tomando

Consideremos a transformacao linear T : IR2 → IR2 correspondente a multiplicacao pelo numero complexo c = a + ib

Diferenciabilidade 3

Dado h ∈ IR2 tal que z0 + h ∈ U temos:

H) Inversao de matrizes: Seja U = GL(IRn) o conjunto das n × n matrizes invertıveis.

Temos que o conjunto U ⊂ IRn2 e aberto em IRn2 (espaco das n × n matrizes), pois

Esta aplicacao f e diferenciavel em toda matriz A ∈ U e sua derivada em cada matriz

2.3 Funcoes reais de m variaveis

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao real de m variaveis definida num aberto U ⊂ IRm.

Temos: f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformacao linear T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a + v ∈ U, temos:

Em caso afirmativo, temos T = f′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.

f(a + v) = f(a) + A1v1 + A2v2 ++ Amvm + r(v) com lim
(a)

(a)] , chegamos a outra definicao equivalente:

f e diferenciavel em a ∈ U se, e so se, existirem as derivadas parciais ∂f

(a),,
(a).v1 ++

Diferenciabilidade 35

A diferencial

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma funcao diferenciavel em a ∈ U.

Sua derivada f′(a) , em a, e uma transformacao linear f′(a) : IRm → IR, ou seja, um funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f no ponto a:

Nosso interesse agora sera, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinacao linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da base canonica de IRm:

Para todo j = 1,...,m temos que xj = pij : IRm → IR e uma transformacao linear, logo diferenciavel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e a propria transformacao linear xj .

∂xj (a) e pela relacao entre B e B∗ , temos:

(a).dx2 ++

Conseguimos portanto escrever df(a) como combinacao linear dos funcionais da base B∗ (que sao tambem diferenciais), dual da base canonica B de IRm.

Uma util condicao suficiente

Teorema 2.3. Se uma funcao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e cada uma delas e contınua no ponto a ∈ U , entao f e diferenciavel em a.

Diferenciabilidade 37

Um exemplo interessante

Temos g = (g1,g2,g3) , sendo suas funcoes coordenadas dadas por:

Ja vimos que g e um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e topologicamente identico a um “pedaco” U do plano (S e uma superfıcie).

Consideremos agora f diferenciavel em a ∈ U. E imediato entao que g e diferenciavel em a (olhe para as funcoes coordenadas de g). Fixemos v ∈ IR2.

O caminho α : (− , ) → U dado por α(t) = a + tv e geometricamente um segmento de reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)

Temos entao (veja Aplicacao do exemplo F) que g ◦ α : (− , ) → S e um caminho cuja imagem e uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tangente:

Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor tangente a uma curva na superfıcie S, no ponto g(a)

Vamos dar uma olhada para

(matriz de g′(a) em relacao as bases canonicas)

Temos que a dimensao da imagem de g′(a) e igual a 2 e portanto o conjunto dado por

Diferenciabilidade 39

t e admitindo a existencia

2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaco das matrizes n × n (se achar conveniente, identifique

E com IRn2 ). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e diferenciavel em todos os pontos de E (use o metodo do exercıcio anterior para determinar o candidato a f′(X)).

3. (Diferenciabilidade) Sejam f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn e a ∈ U . Mostre que se f e diferenciavel em a nao podemos garantir a existencia do limite

Mostre tambem que se existe o limite lim v→0

‖v‖ entao nao podemos garantir a diferenciabilidade de f em a.

4. (Diferenciabilidade e derivadas direcionais) Seja det : IR32 → IR a funcao determinante. Se

obtenha ∂ det

∂V (A) de duas maneiras diferentes:

(i) Usando ∂ det

(i) Pela definicao (via limite) de derivada direcional.

5. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f,g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U,

6. (Diferenciabilidade e matriz jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 a aplicacao dada por

Mostre que f e diferenciavel (em todos os pontos do IR3).

Dado a = (x,y,z) ∈ IR3 , obtenha a matriz jacobiana de f em a e responda: em quais pontos a ∈ IR3 temos que f′(a) e isomorfismo ?

Qual o posto de f′(b) nos pontos b ∈ IR3 tais que f′(b) nao e isomorfismo ?

a) Prove que f e diferenciavel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana. b) Mostre que a derivada f′(x,y,z) : IR3 → IR4 e uma transformacao linear injetora, exceto no eixo Oz (isto e, para x = y = 0). c) Determine a imagem de f′(0,0,z) : IR3 → IR4.

8. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciavel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulacao a ∈ U entao f′(a) : IRm → IRn nao e injetiva.

1. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciavel, com f(0) = 0. Se a transformacao linear f′(0) nao tem valor proprio 1 entao existe uma vizinhanca V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x para todo x ∈ V − {0}.

Mostre que f′(x,y,z) : IR3 → IR3 e uma aplicacao biunıvoca, salvo se duas das coordenadas x, y, z sao iguais.

Diferenciabilidade 41

13. (Derivada; matriz Jacobiana) Mostre que a derivada da aplicacao f : IR2 → IR2, dada por f(x,y) = (ex + ey,ex + e−y) e uma transf. linear invertıvel f′(x,y) : IR2 → IR2 para todos os pontos z = (x,y) ∈ IR2. Diga se f, considerada como uma funcao complexa, e holomorfa.

14. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2 o espaco vetorial formado pelas matrizes n × n. Indi- cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicacao f : E → E definida por f(X) = X∗. Descreva a derivada f′(X) : E → E. Mostre que f′(X)(H) e simetrica, para cada H ∈ E e que se X e ortogonal (isto e, X∗ = X−1) entao, para toda matriz simetrica S, existe pelo menos uma matriz H tal que f′(X)(H) = S.

15. (Maximos e mınimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um maximo (ou mınimo) relativo no ponto x ∈ U, e f e diferenciavel no ponto x, entao f′(x) = 0 (transformacao linear nula).

16. (Condicoes necessarias, nao suficientes) Obtenha aplicacoes f : U(aberto)⊂ IRm → IRn tais que: a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas nao existem todas as derivadas direcionais (f nao e diferenciavel neste ponto). b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto (f nao e diferenciavel neste ponto). c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto (f nao e diferenciavel neste ponto). d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U, f e contınua nesse ponto, mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, nao depende linearmente de v (f nao e diferenciavel neste ponto). e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U, f e contınua nesse ponto, a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v, mas f nao e diferenciavel neste ponto.

17. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2 o espaco vetorial das matrizes n×n. Sabemos que a funcao determinante det : E → IR e diferenciavel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4 × 4, a validade da expressao

∂ det

linha e a j-esima coluna da matriz A (a expressao foi obtida tambem no exemplo D), escolhendo uma variavel xij.

18. (Caminhos diferenciaveis) Determine as equacoes parametricas das retas tangentes as seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados: a) g : t → (x,y,z) = (t,t2,t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1. b) f : t → (x,y,z) = (t − 1,t2,2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1. c) h : t → (x,y,z) = (2cost,2sent,t) nos pontos correspondentes a t = pi/2 e t = pi.

19. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho

y(n)(t) = F(t, y(t), y′(t), y′′(t),, y(n−1)(t))

Sao dados F : IRnp+1 → IRp

η1, η2,, ηn ∈ IRp

Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equacoes de primeira

x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t),, xn(t))
x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t),, xn(t))
x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t),, xn(t))

Sao dados

η1, η2,, ηn ∈ IRp

Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:

Sao dados f : IRnp+1 → IRnp

Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autonomo

Sao dados g : IRnp+1 → IRnp+1 η ∈ IRnp+1

Diferenciabilidade 43

20. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Usando a ideia do exercıcio anterior, reduza cada problema abaixo a um formado por uma unica equacao de primeira ordem:

Sao dados f : IRn+1 → IRn, contınua a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn e solucao do problema acima se, e somente se:

b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e lipschitziana em relacao a variavel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t,x) − f(t,y)|| ≤ k ||x − y||, para todos

(t,x),(t,y) ) numa vizinhanca de (0,x0) entao existe uma solucao para o problema acima, definida numa vizinhanca de t = 0 de modo unico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece

uma sequencia de caminhos x1,x2,: I → IRn que converge para a solucao, sequencia esta

dada por:

f(s,x1(s))ds ,, xn+1(t) = x0 +

A : IRn → IRn, linear, n × n matriz de coef. constantes x0 ∈ IRn

OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes x′ = Ax se encontram nao so no fato de que uma serie de problemas sao desta natureza, bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo diz que, dado um problema x′ = f(x),f ∈ C1 (note que f nao e necessariamente linear), se x0 e ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) tem todos parte real nao nula (neste caso x0 e dito ser um ponto singular hiperbolico), entao o comportamento das solucoes x = x(t) numa vizinhanca de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das solucoes do sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e linear) numa vizinhanca de 0 (origem do IRn).

2. (Funcoes reais de m variaveis) Mostre que se uma funcao f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e m−1 delas sao contınuas no ponto a, entao f e diferenciavel em a.

23. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = {(x,y,f(x,y))|(x,y) ∈ U} ⊂ IR3 (grafico de f), sabemos que g : U → S dada por g(x,y) = (x,y,f(x,y)) e um homeomorfismo entre U e S (de uma olhada na Secao 2.3). Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao e imediato que g tambem e diferenciavel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a S (grafico de f) no

Seja f : IR2 → IR a funcao dada por f(x,y) = x2 + y2. Faca um esboco de S (grafico de f). Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2,1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e uma reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g ◦ γ)(IR) e uma curva em S (lembremos que g(x,y) = (x,y,f(x,y)), conforme acima) e que o vetor tangente a (g ◦ γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g ◦ γ)′(0) = g′(a)(v), e um vetor tangente a S

24. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Com as mesmas consideracoes do exercıco anterior para uma funcao f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos Tangentes a S (grafico de f) nas situacoes abaixo (faca os esbocos):

Diferenciabilidade 45

2.5 A Regra da Cadeia

Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos, f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp uma aplicacao diferenciavel no ponto b = f(a) ∈ V .

Entao a aplicacao composta g ◦ f : U → IRp e diferenciavel no ponto a e temos ainda que

Algumas consequencias:

(B) Derivada da aplicacao inversa:

Corolario 2. Seja f : U → IRn diferenciavel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma

Entao f′(a) : IRm → IRn e um isomorfismo cujo inverso e g′(b) : IRn → IRm e em particular temos que m = n.

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