Teoria-Tema 1-2011, Notas de estudo de Informática

Baixe Teoria-Tema 1-2011 e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity! UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE MÉTODOS NUMÉRICOS MANUAL TEÓRICO José A. Nhavoto, MSc Julho de 2011 Conteúdo 1 Noções básicas sobre erros 4 1.1 Introdução a erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Representação em Virgula Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Notação cient́ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Vı́rgula Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Erro absoluto, erro relativo e erro percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Erro absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Erro relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Erro percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Tipos de Erro e Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Erro de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Erro de Truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Arredondamento por falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.4 Arredondamento por excesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.5 Arredondamento simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Algarismos significativos e exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.1 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.2 Algarismos exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Aritmética de Ponto Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Propagação dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 José A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011 No caso da notação cient́ıfica, um número representa-se através do sinal, da mantissa e do expoente, na base decimal. O primeiro d́ıgito da mantissa deve ser diferente de zero (o zero é representado à parte) e os outros variam entre 0 e 9. 1.2.2 Vı́rgula Flutuante A representação do número na forma de v́ırgula flutuante é: V F (10, n, t1, t2) e é o conjunto dos números x = ±0, a1a2 . . . an . . .× 10t onde t varia em {t1, . . . , t2} e que inclui o zero. Os números assim representados estão limitados por: • Overflow: Acontece se o valor do expoente t é superior a t2. • Underflow: Acontece se o valor do expoente t é inferior a t1. 1.3 Erro absoluto, erro relativo e erro percentual Seja x o valor exato de um número e seja x o valor aproximado do mesmo número, então, tem-se que: 1.3.1 Erro absoluto Ea é a diferença entre o valor exacto de um número e o seu valor aproximado, ou seja: Ea = |x− x| 1.3.2 Erro relativo Er é a razão entre o erro absoluto e o valor exato x ou, na prática, o valor aproximado de um número x. Logo se tem que: Er = Ea x ou Er = Ea x . 1.3.3 Erro percentual Erro percentual é a representação percentual do erro relativo. Logo, temos: Ep = (Er · 100)% Exemplo 1.1. Seja: x = 0, 00003 e x = 0, 00002. Calcule o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual. Solução: 5 José A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011 • Ea = |0, 00003− 0, 00002| = 0, 00001 • Er = 0, 00001 0, 00002 = 0, 5 • Ep = (0, 5× 100)% = 50% 1.4 Tipos de Erro e Arredondamento Arredondar um número é proceder ao truncamento desse número, na posição desejada, de acordo com a precisão requerida. 1.4.1 Erro de Arredondamento Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas di+j (j = 1, . . . ,∞) de tal forma que: • di seja a última casa se di+1 < 5; • di + 1 seja a última casa se di+1 ≥ 5. Exemplo 1.2. Arredondar π na quarta casa decimal, sendo que π = 3, 1415926535 . . . Solução: π = 3, 1416 1.4.2 Erro de Truncamento Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas di+j (j = 1, . . . ,∞). Exemplo 1.3. Aproximar π truncando na quarta casa decimal, sendo que π = 3, 1415926535 . . . Solução: π = 3, 1415 O erro de truncatura surge cada vez que se substitui um procedimento matemático infinito por um processo finito ou discreto. Exemplo 1.4. A Série de Taylor da função f(x) = ex em torno de x = 0 é expressa por: ex = 1 + x 1! + x2 2! + . . .+ xn n! + . . . . Então e1 = 1 + 1 1 + 1 2 + . . .+ 1 n! + . . . . Utilizando os 5 primeiros termos da série, tem-se: e1 = 2.708 Utilizando os 30 primeiros termos da série, tem-se: e1 = 2.71828182845905 6 José A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011 1.4.3 Arredondamento por falta Quando é feito o simples truncamento de um número, considerando-se apenas algumas casas decimais. 1.4.4 Arredondamento por excesso Quando se trunca um número na posição desejada e, então, acrescenta-se 1 (uma unidade) ao algarismo final. 1.4.5 Arredondamento simétrico Tem-se que considerar, agora, 3 situações diversas, sendo: 1. Quando o primeiro algarismo após a cisão for menor do que 4, é procedido o arredonda- mento por falta. 2. Quando este primeiro algarismo, após a cisão, for maior que 4, procede-se o arredonda- mento por excesso. 3. Quando este primeiro algarismo após a cisão for igual a 4, o arredondamento dependerá do segundo algarismo após a cisão. Exemplo 1.5. 1. Arredonde 14356,4567, de 9 para 6 d́ıgitos, por falta. Solução: 14356,4 valor aproximado de 14356,4567, valor exato. 2. Arredonde 1,873432576, de 10 para 8 d́ıgitos, por excesso. Solução: 1,8734326 valor aproximado de 1,873432576, valor exato. 3. Arredonde 2,85323343, de 9 para 6 d́ıgitos, simetricamente. Solução: 2,85323 valor aproximado de 2,85323343, valor exato. 4. Arredonde 3,2562554, de 8 para 6 d́ıgitos, simetricamente. Solução: 3,25626 valor aproximado de 3,2562554, valor exato. 5. Arredonde 4,26442524, de 9 para 4 d́ıgitos, simetricamente. Solução: 4,264 valor aproximado de 4,26442524, valor exato. 6. Arredonde 5,17432524, de 9 para 4 d́ıgitos, simetricamente. Solução: 5,174 valor aproximado de 5,17432524, valor exato. 7 José A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011 Solução: Valor máximo posśıvel de x = 1.55 e y = 3.44 Valor máximo posśıvel de x+ y = 1.55 + 3.44 = 4.99 Valor mı́nimo posśıvel de x = 1.45 e y = 3.36. Valor máximo posśıvel de x+ x = 1.45 + 3.36 = 4.81 Então: 4.81 ≤ x+ y ≤ 4.99. Exemplo 1.9. Determinar o número de algarismos significativos do resultado de cada uma das operações xy, x y , x+ y e x− y, sabendo que x = 1010 e y = 1000 (todos os algarismos são significativos). Solução: Temos |x| < 0.5 e |y| < 0.5, logo |δx| = |x| x ≈ |x| x ≤ 0.495 · 10−3 e |δy|le0.5 · 10−3. Utilizando as expressões deduzidas acima: |δxy| ≤ |δx|+ |δy| = 0.995 · 10−3 |δx y | ≤ |δx|+ |δy| = 0.995 · 10−3 Dado que xy = 1.010 · 106 e x y = 1.010, temos |xy| = |δxy||xy| ≈ |δxy||xy| ≤ 1.005 · 103. Da mesma maneira, obtemos |x/y| = |δx/y||x/y| ≈ |δx/y||x/y| ≤ 1.005 · 103. Então a multiplicação e divisão têm, pelo menos, 3 d́ıgitos significativos. Para a soma e subtracção, temos: |x±y| ≤ |x|+ |y| ≤ 0.5 + 0.5 = 1. Sendo os resultados aproximados x + y = 2010 (3 algarismos significativos) e x − y = 10 (1 algarismo significativo). 1.7.1 Fórmula fundamental do cálculo de erros Se f é uma função com várias variáveis x1, x2, x3, . . . , xn então o máximo erro posśıvel em f é: ∆f ≈ ∣∣∣∣ ∂f∂x1∆x1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∂f∂x2∆x2 ∣∣∣∣+ . . .+ ∣∣∣∣ ∂f∂xn∆xn ∣∣∣∣ Exemplo 1.10. Considere a seguinte fórmula para determinar o esforço axial num determinado 10 José A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011 material: ε = F h2E onde: F = 72 ± 0.9 N; h = 4 ± 0.1 mm e E = 70 ± 1.5 GPa. Determine o máximo posśıvel erro na medida do esforço. Solução: ε = 72 (4 · 10−3)2(70 · 109) = 64.286 · 10−6 = 64.286µ. ∆ε = ∣∣∣∣ ∂ε∂F∆F ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂ε∂h∆h ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∂ε∂E∆E ∣∣∣∣ . Mas como, ∂ε ∂F = 1 h2E ; ∂ε ∂h = − 2F h3E ; ∂ε ∂E = − F h2E2 , então ∆ε = ∣∣∣∣ 1h2E∆F ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣− 2Fh3E∆h ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣− Fh2E2∆E ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1(4 · 10−3)(70 · 109) × 0.9 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 · 72(4 · 10−3)3(70 · 109) × 0.0001 ∣∣∣∣+ + ∣∣∣∣ 72(4 · 10−3)2(70 · 109)2 × 1.5 · 109 ∣∣∣∣ = 5.3955µ. Portanto, ε = (64.286µ± 5.3955µ). 1.7.2 Algumas aplicações Nesta secção, vamos calcular as estimativas do erro para as operações aritméticas elementares. Soma: y = x1 + x2. Temos: |x1+x2 | ≤ |x1 |+ |x2 | Subtracção: y = x1 − x2. Temos: |x1−x2 | ≤ |x1 |+ |x2 | Produto: y = x1 × x2. Temos: |x1×x2 | ≤ max|x1|, |x2|(|x1|+ |x2|) 11 José A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011 Divisão: y = x1 x2 . Temos: |x1 x2 | ≤ max {∣∣∣∣ 1x2 ∣∣∣∣ , ∣∣∣∣x1x2 ∣∣∣∣} (|x1 |+ |x2 |) Note que a propagação dos erros para a soma e a subtracção são dadas pelas mesmas expressões. Isto parece contradizer o exemplo dado no ińıcio deste caṕıtulo, onde falámos do fenómeno de cancelamento subtractivo. Todavia, é preciso não esqueçer que, por enquanto, estamos apenas a falar de erros absolutos. Mais adiante, veremos que estes erros transportam apenas parte da informação necessária. Logo, não existe aqui nenhuma contradição. Como motivação para o uso desta medida de erro, considere o exemplo seguinte: Exemplo 1.11. x = 2112.9, com |x| ≤ 0.1. Podemos garantir que x ∈ [2112.8, 2113]. Da mesma forma, dado y = 5.3 com |y| ≤ 0.1, temos y ∈ [5.2, 5.4]. 12