calculo diferencial e integral I 04

calculo diferencial e integral I 04

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PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA Portal Educação

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4 APLICAÇÕES DA DERIVADA

4.1 CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E CONCAVIDADE

Neste módulo usam-se métodos do cálculo diferencial para analisar as funções e seus gráficos, identificando intervalos em que o gráfico da função seja crescente ou decrescente, onde ocorrem seus pontos mais altos e mais baixos, de que forma os gráficos se inclinam e qual o comportamento limite em pontos específicos.

Inicialmente deve-se entender que os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o comportamento do gráfico de uma função em um intervalo, à medida que este é percorrido da esquerda para a direita. Por exemplo, a função descrita na figura 1.53 pode ser descrita como

FIGURA 1.53

Definição 4.1.1. Seja f uma função definida em um intervalo e sejam 1x e 2x pontos deste intervalo, então:

FIGURA 1.54

De acordo com a figura 1.5, se uma função diferenciável f tem o gráfico crescente em algum intervalo aberto, então se pode chegar à conclusão de que qualquer reta tangente ao gráfico de f tem uma inclinação positiva, isto é, '0f . De modo análogo, se f diferenciável tem um gráfico

FIGURA 1.5

Teorema 4.1.1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado ,ab e diferenciável no intervalo aberto ,ab.

Exemplo Resolvido 4.1.1. Encontre os intervalos abertos nos quais as funções sejam crescentes ou decrescentes.

Solução (a). Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, deve-se analisar o sinal da derivada primeira. A derivada primeira da função é dada por:

A distribuição de sinal da função 'f é dada por:

Solução (b). Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, deve-se analisar o sinal da derivada primeira. A derivada primeira é dada por:

Exemplo Resolvido 4.1.2. Seja xgxxe , então, encontre intervalos abertos nos quais a função seja crescente ou decrescente.

Solução. Para encontrar intervalos abertos deve-se estudar o sinal da derivada primeira.

Como 0xe para todo xR , então a distribuição de sinal da derivada é igual ao da expressão 1x , que é dada por:

estude o sinal de sua derivada primeira e encontre intervalos de crescimento e decrescimento.

Solução. Para facilitar o cálculo de sua derivada, pode-se escrever a função da seguinte forma:

Para estudar o sinal da função 'h, pode-se escrever esta função como um quociente, da seguinte forma:

De onde se pode concluir que a distribuição de sinal é dada por:

Tem-se, pois:

Definição 4.1.2. Se f for diferenciável em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é classificado como sendo convexo se 'f for crescente em I, e côncavo se 'f for decrescente em I.

FIGURA 1.56

Como o crescimento e o decrescimento de uma função são determinados pelo sinal da função derivada, pode-se concluir que 'f é

Teorema 4.1.2. Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I, então:

(a) Se ''0fx em I, então f tem o gráfico convexo em I.

(b) Se ''0fx em I, então f tem o gráfico côncavo em I.

Definição 4.1.3. Uma função f é dita convexa ou côncava em um intervalo I, quando o gráfico de f é convexo ou côncavo em I, respectivamente.

Exemplo Resolvido 4.1.4. Encontre intervalos abertos nos quais a função tenha o gráfico convexo e côncavo.

(a) 323qxxx(b) 2ln1pxx

Solução (a). Para encontrar os intervalos nos quais o gráfico da função seja convexo e côncavo, deve-se estudar o sinal da derivada segunda.

As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por:

A distribuição de sinais da segunda derivada é dada por:

Solução (b). Para encontrar os intervalos nos quais o gráfico da função seja convexo e côncavo, deve-se estudar o sinal da derivada segunda.

As derivadas, primeira e segunda, são dadas, respectivamente, por:

x px

Definição 4.1.4. Se f for contínua em um intervalo aberto contendo 0x e se o gráfico de f muda de convexo para côncavo, e vise-versa, em 0x,

diz-se, então, que f tem um ponto de inflexão em 0x e chama-se o par 0,xfx do gráfico de f um ponto de inflexão de f.

FIGURA 1.57

Exemplo Resolvido 4.1.5. Considere a função 214Fxx , então, verifique se a função apresenta pontos de inflexão.

Solução. Tem-se que a função é definida para todo xR . As derivadas primeira e segunda são dadas, respectivamente por:

Os pontos de inflexão são encontrados por meio do estudo do sinal da

tem-se que a função F apresenta os seguintes pontos de inflexão:

(a) h é crescente e decrescente;

(b) h é côncava para cima e côncava para baixo. Solução (a). A função derivada primeira é dada por:

4.2 EXTREMOS RELATIVOS

Definição 4.2.1. Uma função f se diz ter um máximo relativo em 0x se houver um intervalo aberto contendo 0x, no qual 0fx é o maior valor, isto é, 0fxfx para todo x no intervalo. Analogamente, se diz que f tem um mínimo relativo em 0x se houver um intervalo aberto contendo 0x, no qual

f tiver um máximo ou um mínimo relativo em 0x, se diz que f tem um extremo relativo em 0x.

FIGURA 1.58

Teorema 4.2.1. Se uma função f tiver extremos relativos, então eles ocorrem ou em pontos onde '0fx ou em pontos de não diferenciabilidade.

Os pontos onde a derivada primeira é nula, ou seja, '0fx , e os pontos onde não existe a derivada primeira, são chamados de pontos críticos

de f. Os pontos no quais '0fx podem, ainda, ser chamados de pontos críticos estacionários.

Corolário 4.2.1.1. Os extremos relativos de uma função, se houver, ocorrem em pontos críticos. O teorema 4.2.1 diz que se uma função tiver extremos relativos eles precisam ocorrer em pontos críticos e não o inverso disso, ou seja, que se ela tiver pontos críticos, estes são extremos relativos. Então, todo extremo relativo é ponto crítico e não o contrário.

Teorema 4.2.2 (Teste da Derivada Primeira). Suponha f contínua em um ponto crítico 0x.

(a) Se '0fx em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de

0x e '0fx em um intervalo aberto ampliando-se à direita de 0x, então f tem um máximo relativo em 0x;

(b) Se '0fx em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de

0x e '0fx em um intervalo aberto ampliando-se à direita de 0x, então f tem um mínimo relativo em 0x;

à esquerda de 0x e, em um intervalo aberto ampliando-se a direita de 0x, então f não tem extremos relativos em 0x.

Exemplo Resolvido 4.2.1. Encontre os extremos relativos.

Como a função é polinomial, então não há pontos de não diferenciabilidade. Logo os pontos críticos são encontrados resolvendo-se a

A distribuição de sinais da função derivada é dada por:

Aplicando o teste da derivada primeira, tem-se que, como o sinal da derivada primeira muda de negativo para positivo em 1x , a função p

Solução (b). A derivada primeira é dada por:

Como a função é polinomial, então não há pontos de não diferenciabilidade. Logo os pontos críticos são encontrados resolvendo-se a

A distribuição de sinais da função derivada é dada por:

O sinal da derivada primeira muda de positivo para negativo em

Exemplo Resolvido 4.2.2. Encontre os pontos críticos da função

Solução. Como a função é polinomial, então os pontos críticos são dados pelos zeros da derivada primeira. Isto é, deve-se resolver a equação

Tem-se que a derivada primeira é dada por:

Resolvendo a equação '0fx , então:

função f não apresenta extremo relativo neste ponto.

determine os pontos críticos e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

Solução. Inicialmente, encontram-se os pontos críticos. A função pode ser escrita da forma:

A distribuição de sinal da função 'g é dada por:

Como o sinal de 'g muda de positivo para negativo em 1x , então g

FIGURA 1.59

Se a função apresenta um mínimo relativo em um ponto crítico estacionário 0x, então o gráfico da função é convexo, como mostrado na figura 1.59 (a), então, pode-se concluir que em um intervalo aberto contendo 0x, tem-

Analogamente, se a função apresenta um máximo relativo em um ponto crítico estacionário 0x, então o gráfico da função é côncavo, como mostrado na figura 1.59 (b), então, pode-se concluir que em um intervalo

Da análise da figura 1.59 pode-se concluir que para determinar se um ponto crítico estacionário é um extremo relativo basta analisar o sinal da derivada segunda neste ponto, como mostra o teorema 4.2.2.

Teorema 4.2.2 (Teste da Derivada Segunda). Suponha que f seja duas vezes diferenciável em um ponto crítico estacionário 0x.

ponto 0x pode ser um máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Se ocorrer este caso deve-se, então, utilizar o teorema 4.2.1 para determinar se o ponto é ou não um extremo relativo.

Solução. A função derivada primeira é dada por:

A função derivada segunda é dada por:

Exemplo Resolvido 4.2.5. Encontre os extremos relativos para a

A derivada segunda é dada por:

Agora, aplica-se o teste da derivada segunda nos pontos críticos:

4.3 EXTREMOS ABSOLUTOS E GRÁFICOS

Definição 4.3.1. Diz-se que uma função f tem um máximo absoluto em 0x de um intervalo I, se 0fx for o maior valor de f em I; isto é, 0fxfx para todo x em I. Analogamente, se diz que uma função f tem um mínimo absoluto em 0x de um intervalo I, se 0fx for o menor valor de f em I; isto é, 0fxfx para todo x em I. Se f tiver em 0x qualquer um dos dois, máximo absoluto ou mínimo absoluto, diz-se que f tem em

0xI um extremo absoluto.

Teorema 4.3.1 (Teorema do Valor Extremo ou Teorema de Weierstrass). Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito

,ab, então f tem ambos um máximo e um mínimo absolutos em ,ab.

Solução. A função é polinomial, então, ela obedece às hipóteses do teorema 4.3.1. Pode-se concluir que há um máximo e um mínimo absolutos em

extremos absolutos devem ocorrer nos extremos do intervalo 1,3. Então, calculando as imagens dos extremos tem-se:

FIGURA 1.60

Teorema 4.3.2. Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto ,ab, então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de f.

Solução. Inicialmente deve-se verificar se neste intervalo há extremos relativos.

Agora se estuda o sinal da função 'g para classificar os pontos críticos.

FIGURA 1.61

FIGURA 1.62

Solução. Para verificar se a função apresenta extremos absolutos basta determinar os limites infinitos, isto é:

ponto crítico de h.

Os pontos críticos são determinados pelos zeros da função derivada, isto é:

A derivada segunda é dada por:

Disso pode-se concluir que o valor máximo que a função assume é 1

Teorema 4.3.4. Seja f uma função contínua em um intervalo aberto ,ab.

absoluto, porém nenhum máximo absoluto em ,ab;

, então f tem um máximo

absoluto, porém nenhum mínimo absoluto em ,ab;

, então f não tem nem

mínimo absoluto, nem máximo absoluto em ,ab;

mínimo absoluto, nem máximo absoluto em ,ab.

Nas figuras 1.63 e 1.64 podem-se ver claramente as quatro situações apresentadas no teorema 4.3.4. Nestes quatro casos as retas xa e xb são as assíntotas verticais do gráfico da função yfx .

FIGURA 1.63

FIGURA 1.64

Teorema 4.3.5. Suponha f contínua e tem exatamente um extremo relativo em um intervalo I, digamos em 0x.

(a) Se f tiver um mínimo relativo em 0x, então 0fx é o mínimo absoluto de f em I.

(b) Se f tiver um máximo relativo em 0x, então 0fx é o máximo absoluto de f em I.

Para se esboçar o gráfico de uma função deve-se seguir os seguintes passos listados abaixo:

1) Determinar o domínio da função; 2) Intervalos de crescimento e decrescimento; 3) Intervalos de concavidade e convexidade; 4) Pontos críticos e de inflexão;

5) Extremos relativos; 6) Limites infinitos e assíntotas verticais; 7) Limites no infinito e assíntotas horizontais; 8) Fazer um esboço do gráfico.

Solução. O domínio da função é dado por: DFR . Em seguida determinam-se os intervalos de crescimento e decrescimento, e os intervalos onde a função seja côncava e convexa.

As derivadas primeira e segunda são dadas, respectivamente, por:

Os sinais das derivadas primeira e segunda são dados, respectivamente, por:

TABELA 1.6

A função é polinomial e não há assíntotas verticais e horizontais. Devese, no entanto, determinar os limites no infinito. Logo,

de onde pode-se concluir que não há nenhum extremo absoluto.

O gráfico da função é apresentado na figura 1.65.

FIGURA 1.65

Exemplo Resolvido 4.3.5. Seja :fRR dada por 2

então, esboce o seu gráfico.

como soluções 11x e 21x . Neste caso, estes pontos são dito pontos de descontinuidades infinitas. As derivadas primeira e segunda são dadas, respectivamente, por:

Os sinais das derivadas primeira e segunda são dados, respectivamente, por:

De onde se pode concluir que a função apresenta apenas um ponto crítico, em 0x , porém não apresenta pontos de inflexão.

lim lim lim lim

lim lim lim lim

Os limites no infinito são dados por:

de onde pode-se concluir que a reta 1y é a assíntota horizontal do gráfico.

De acordo com as informações dadas pelas derivadas primeira e segunda pode-se construir a tabela 1.7.

TABELA 1.7

O gráfico é, então, apresentado na figura 1.65.

FIGURA 1.6

Exemplo Resolvido 4.3.6. Esboce o gráfico da função xgxxe .

Solução. A função é um produto entre as funções x e xe, que são definidas em toda parte, logo, pode-se concluir que o domínio da função é dado

As derivadas primeira e segunda são dadas, respectivamente, por:

Os sinais das derivadas primeira e segunda são dados, respectivamente, por:

TABELA 1.8

A função é um produto entre uma função polinomial e uma função exponencial, logo não há assíntotas verticais. Em seguida devem-se determinar os limites no infinito,

lim lim lim limxx

lim lim lim limx x

neste caso deve-se escrever este limite da forma indeterminada :

1lim lim lim lim 0x x x x d x dx edee e

Assim, tem-se que a reta 0y é uma assíntota horizontal do gráfico da função. Em seguida tem-se o gráfico da função apresentado na figura 1.67.

FIGURA 1.67

Ao analisar o gráfico apresentado na figura 1.6 pode-se chegar à conclusão que a função apresenta um valor mínimo absoluto de 1e que ocorre

FIGURA 1.68

Este teorema afirma que se o gráfico de uma função cruza qualquer reta horizontal em dois pontos, a e b, então necessariamente deve existir entre eles pelo menos um ponto no qual a reta tangente é horizontal, como mostrado na figura 1.68.

Teorema 4.3.7 (Teorema do Valor Médio). Seja f diferenciável em

f bf a fc

O teorema do valor médio afirma, geometricamente, que se uma função f for contínua em ,ab e diferenciável em ,ab, então existe pelo

FIGURA 1.69

De acordo com a figura 1.69 a reta t é paralela à reta s, logo têm a f bf a m

f bf a fc

4.4 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Os métodos estudados nos tópicos 4.1, 4.2 e 4.3 para encontrar valores extremos têm muitas aplicações práticas em várias áreas do dia a dia, por exemplo: um empresário quer minimizar os custos e maximizar os lucros; um dono de transportadora quer minimizar o tempo de transporte de um produto, etc. O princípio de Fermat na óptica estabelece que um feixe de luz segue o caminho que leva o menor tempo. Nesta seção resolvem-se os problemas tais como maximizar as áreas, os volumes e os lucros e minimizar as distâncias, o tempo e os custos.

Nestes problemas práticos tem-se como maior desafio a conversão do problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo uma função que deve ser maximizada ou minimizada. Os problemas de otimização aplicados incidem nas seguintes categorias:

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