Manual Quantica Berkerly01

Manual Quantica Berkerly01

(Parte 1 de 4)

DE SOLUCIONES de física cuántica berkeleypbysicscourse-volumen4 preparadoporPeter Mohr

Eyvind H. Wichmann

Ilro/esor de Física I/Iliversidad de California, Berkeley

EDITORIAL REVERTÊ, S. A. Barcelona - Buenos Aires - Caracas - México

Capítulo1

1.1 (a) El conceptode pesosatómicosy molecularesdefinidossurgecuan(!o seintentaexplicarel hechoobservadode quelos elementosquímicossecombi. nanenproporcionesfijasen peso(Ieyesde proporcionesmúltiplesy constantes) y, enel casode los gases,tambiél1secombinanenproporcionesfijassencilIasd susvolúmenes.Ver Atomic Physics de Bom, página1, paraulteriorestudio. (b) Los valoresprimitivospocoprecisosde los pesosatómicospodíanhuberseinterpretadocomomúltiplosenterosexactosdeI pesodeI hidrógeno,10 cualllevaríaa pensarquelos elementosestabancompuestospor átomosde hi. drógeno.CuandoIas medidasde los pesosatómicosmejoraronde precisión,li descubrieronpesosque no eranmúltiplosexactosdeI hidrógeno,10 que Ilcv( a rechazarIa hipótesisde Proust.Los pesosno enterosse debían,comoesnn·

tural,a Ia presenciadeisótopos.Ver Atamic Physics deBom,página38.

El desarrolloinicialdeIa hipótesisatómicaestádescritoen The warld ar 1{ Atam.

1.2 (a) SeaN(t) el númerodeátomospresentesenel instantet queno sehun desintegradoaún.Si admitimosqueIa probabilidaddedesintegraciónde un :ito mo individuales independientedeI tiempoy deI númerode átomospresenl~'s quetodavíano sehan desintegradO',podemosdesignarpor À Ia probabilidadtll\ desintegraciónde un átomopor unidadde tiempo,siendo). unacOl1stantein, dependientede t y de N(t). El númerode átomosquese desintegranentre1011 instantest y t +Ât esN(t)- N(t +tit). En el casode un númeromuygrand(' de átomos,y despreciandoIa variacióndeN(t) en M comparadaconN(t), cst(· valores iguala (Ia probabilidadde queun átomose desintegrepor unidadd(' liempo)X (númerode átomospresentes)X (intervalode tiempo)=ÀN(t)M. Às( NO encuentra:

N(t +M) - N(t) =_ )'N{t)tit 1 el límitetit-+O, setransformaenIa ecuacióndiferencial:

N(t) - N(t +At) =número de desintegracion~sen At =3,72X 1010

À = N(t)-N(t + At) AtN(t)

1.4 Deseamosencontrar una magnitudasociadaaI circuito con dimensionesde erg-seg.Una magnitudde estetipo es Ia energíajfrecuencia,siendo el numerador

Ia energíaeléctricaalmacenadaen el circuito y el denominadorIa frecuencianatural deI mismo.

CAPITULO 1 CAPITULO 1

La solución,con Ia condiciónlímite N(O) =Ni, es N(t) =Nie-),,t dN(t) =_ ÀN(t)dt

(b) A partir de (a),

De aquíque

Para unoestudio de Ia desintegraciónexponencialen mecánicacuánticaver QuantumMeehaniesde Merzbacher,página471.

1.3 En el casode una ruedadentadatípica en el interior de un reloj, los valores serándeI orden de m~ 0,1 g, r ~ 3 m yw ~ 1 radjseg. El momentocinético sería:

P ÀP 1.6 Númerp de fotones emitidos por segundo= hejÀ =--,:;;-=

Los efectoscuánticosserían de un valor relativo de 10-24, 10 cual es totalmentedespreciable.

Para calcular el número de fotones que entran en el ojo, imaginemosuna

UI'1U1 esferacentradaen el foco luminoso con radio igual a su distanciaalojo.cocienteentre el númerode fotonesque entranen el ojo y el númerototal de tllloncsemitidoses el mismo que el cocienteentre el áreade Ia pupila y el área l/l de Ia esfera.De aquí que, l\lllllemde fotonesque entranen el ojo por segundo=

,áreadeI ojo=numerototal emitIdospor segundoX ---------

area de Ia esfera

1I1,IICIONES B.P.C. IV - 2

(b) Para deducir Ia ley de desplazamientode Wien hemosde obtenerel máximo de Ia distribución de Planck.

P À.P número de fotones por segundo=-h--'- =-h-- =c/À c

1.7 Admitamosqueel diámetrode Ia pupila es4 m.

I~Ilicmpo de resolucióno de persisteneiadeI ojo en estasituaeiónes de 1/20

('KIlIHloaproximadamente.EI número de fotones que entran en el ojo en este IlItel'valocs 1/20 X (5,6X 104)=2,8 X lOB• La fluctuaciónmedia deI número de

1'1llollCScs 'l/N (ver Núcleos y partículas,de Segre,página 195, Editorial Re- V\\1'16,S. A). Por tanto,

Lu fluctuaciónrelativadeI númerode fotoneses demasiadopequenacomopara l\xpllcur cl centelleoobservado.EI centelleose debe a variacionesde Ia densi-

dlld atmosférica.Las variacionesde densidadproducen variacionesen el índice du I'cfl'uccióny como consecuenciadesviacionese interferenciasen Ia luz de IasI'(,lllns.Los planetassubtiendenun ángulo mayor; el área de Ia sección deI hll~ luminoso de un planetaes suficientementegrande para que se compensen

1011 cfcctos que producen Ias fluctuaciones.Para un estudio más completo verJ\slronomy de Baker,página92.

dx . oc: T4 o eX-l que concuerdacon Ia ecuación(39b) deI texto.

JOO Joo ( 81thC) 1R(T) oc: odJ.v E(À.,T) = odÀ. --:;::r;- ehC/1.J,r_ 1

Esta ecuacióndeberesolversenumérieamente.Por simpleinspeeciónse ve que el máximose presentapara x próximoa 5. De aquí que,

(c) Para hallar Ia emisión de energíatotal por unidad de tiempo de un ra- diador tipo cuerponegrose debeintegrarIa distribuciónde Planck para todas Ias longitudesde ondas.

La dependenclacon T se ha descompuestoen factoresutilizando el cambiode va- riable x =hcl\ÀkT. Para un estudio de Ia radiación deI cuerpo negro, ver Fundamentosde Fjsica Estadísticay Térmicade Reif, página373.

fiuctuaeiónrelativa

I.H (o) Ley de desplazamientode Wien: À.maxT= 0,2898cm°K PlIl'tl 'j' =2500oK,

1.9 (a) En el casode un osciladorarmónicode energíaE, se tiene qo =.v2EIK y Po=.v2mE. Así pues, J =1t%Po=21t'l/mlK E =Elv, siendo v Ia frecue~cia naturaldei oscilador.Si E varía en una cantidadnhv, entoncesJ varía en una cantidad nh.

stá en el intervalovisible: 4000- 7000Ã. (b) La expresiónque da Ia energíatotal relaciona q(t) y p(t). Es Ia ecua- ción de una elipseen el plano q- p.qllo n

0,2898cm°K

CAPITULO 1

Capítulo2

2.1. A partirdeIproblema1.2, "li voriableacciónJ =1tqoPo esel áreadeIa elipse.

ta cuantizacióndeBohrdeI osciladorarmónicoseanalizaenAtomicPhysics 130m,página115.

A partirdeIasfórmulasvistasen (a)se tiene:

númerodeátomosde radioquesedesintegran=Àt:..tN =(ln 2)~ N =T siendoNo el númerodeAvogadro.

,yK/m v - 21t E =Jv donde

(c)

energíaemitida _ = energíamediapordesintegración= númerode desintegraciones

La energíadeIaspartículasalfaemitidaspor el Ra'l26 es4,8meV,queesmu- cho menorque Ia energíaobservadapor desintegración.La energíaextrapro- vienede Ias desintegracionessucesivasde los productosde desintegración.El númerodedesÍ\ntegracionessubsiguientesenIa muestraderadioaumentaconsu edad.Finalmente,cuandoseaIcanzael equilibrio,el númerode desintegraciones de cadaproductode vida cortaseráigual aI númerode desintegracionesde] radio.

2.2. (a) Como e] defeetode masa deI radio e~positivo,estáprohibidaIa desintegraeiónespontáneadeIradioenprotonesy neutrones.Sin embargo,el ra-

:lio puededesintegrarseenproduetoscompuestoscontal queIa sumadelos defectosdemasa delosproduetosseamayorqueel defectodemasadeIradio. (b) El radiosepresentademodonaturalcomopartedeIa cadenaradiactivaura- nlo-radio-plomo.El períodotan grandedeI origende Ia cadena(U238,T =4,5 X 109 s) explicaIa presenciade miembrosde Ia mismade vida corta.La cadenacomplola se da en Ia página340 deI texto.

mancuatroprotonesen núcleosde helio máspositrones,neutrinosy rayos gamma. Las seriesde reaccionesvienendadascon detalleen Astronomyde Baker,pág.375, y en Núcleosy partículasde E. Segre(EDITORIALREVERTÉ,S. A.). Para un valor estimadode Ia energíaliberada,utilizaremosIa energíacorrespondientea Ia masa perdidaen Ia transformación.

A partir de Ia ecuación(14b), (freclfencia)/(energía)=2,4 X 1014(ciclos/seg)/ (oV), se tiene

La energíatotal máximaque puedeproducir eI Sol es

Lus energíasque intervienenen Ias desintegracionesnuclearesson deI orden de

I meY, que correspondea tiemposdeI orden de 10-21seg,que es demasiadopequel1o,En el texto se da otro valor estimadoen Ia página329.

".4 (a) La energíaradiadapor eI Sol en un ano es E =Pt =(3,86X 1026joule/seg)(3,16X 107seg)=1,22X 1034joule

Iisle valor correspondea una masadadapor

25 meV

=7,5X 1057meV =1,2X 10~5joule eon estaenergíaeI Sol radiaría duranteun tiempo que es consistentecon Ia edadconocidadeI Sol.

Lu fracciónde Ia masadeI Sol radiadaen un afio es

Densidad=~ _ A(1 uma)

31t(1,2 X 10-13cmN/3)3

Por lanto, Ia fracción de Ia masa deI Sol radiada en 4000 millones de anos es

(b) La energíaqueintervieneen Ias reaccionesquímicasestípicamentedeI orden do 20.0-200.0cal/moI (sección 2.31 deI texto). La masa deI Sol es aproxi-

1I1lldamente2 X 1030kg~ 2 X 1033moles.Así pues,Ia máximaenergíatotal libe-

I'udapor]osprocesosquímicosserá(2 X 105cal/moI)(2 X 1033moles)(4joule/caI)= 2 X 10,39joules. A Ia velocidad dada en el texto, eI sol radiará durante un ticmpo

Esto l'iempoes demasiadocorto. La fuente de energíadeI Sol es Ia reacciónde fusión en Ia que se transfor-

2.6. (a) En eI caso deI nitrógenoa temperaturaambiente

(b) El valor estimadopara este problema se obtiene en Ia sección 3.45 deI texto.

electrónen un átomodeItipo hidrógenoesproporcionala 2. Lo mismodeberá serciertoencasode diferenciadeenergía:AE =C22.freeueneiade colisión=(2 X 109seg-I) X ~ X V _1_ 273°K1 atm A T

•• lJ li frceuenciaópticatípicaes frecueneiadecolisión

ÀH'+=4ÀH ==1640,75Â

1 6562,99Â Estevalorno estáen el intervalovisible:4000~ 7000Á.

.7 Sabemosa partirdeIa meeánieaclásieaquepuedetenerseeneuentael movlrnlcntodeI núcleosustituyendoIa masadeI electrónpor Ia masadeI sistema uloctrón-núcleo.A partirdeIa diseusiónsemiclásieadeIa sección2.23deItexto,

VUIIIOS queIa energíadeIeleetrón,E =Cm.Así pues,esde esperarqueseamos l'UpUCCS deexplicarIa masa nuclearfinitaconestasrelaciones:

Cuandouna partículaalfaalcanzaIa superficienuclearse tiene

(1/2) (Ae) (2e) e2__ ~_ =_ .AZ/3 ro AI/3 ror

E = (Ze) (2e)

ED=Cf1D~Cm(I--~) MD

EH =Cf1H~Cm(I---) MH

1IIIminandoCm de Ias ecuaeionesy obllcncIa expresión:

t)o Ia tabla4A, se tiene

La correecióndemasanuclearfinitasediscuteenel texto,seeción8.46.

2.10 (a) La energíaelectrostáticade una esferacargadauniformemente(véase página14deitexto)es(3/5)(Qz/r). Por tanto,

Segúnel problema2.9,e2/ro =1,2meV.Por tanto

".8 A partirdelosrazonamientosdadosenel texto,sabemosqueIa energíadeI

Con objeto de hallar Ia diferencia de energía electrostática,puede tenerse en 'ucnta Ia diferenciade masa neutrón-protón, meV/c2flE =1lMc2=(0,026uma)(930---) c2=24 meVuma

E =(24 meV)(6 X 1023)/4=3,6 X 102t meV =5,8 X 1011joules Combinandoesteresultadocon el deI problema2.1 (a), se tiene:

La fisión se estudiaen Núcleosy partículasde E. Segre(EDITORIALREVERTÉ,S. A.).

CAPITULO 2 ro I

(b) La repulsión electrostáticade los núcleos de deuterio evita Ia fusión espontáneaa temperaturaambiente.A temperaturasextremadamenteelevadas,es decir, a grandesvelocidades,puedeninteraccionarlos núcleos de deuterio. Debido aI efectotúnel mecánicocuántico (ver sección 7.45)Ia reacciónpuede ocu-

rrir a temperaturasque son másbajas de 10que sería de esperarsi se utilizasen ideas clásicas.

'oucllerdanbiel1con Ia realidad.

energíaliberadapor 1 gm de H2 aI sufrir fusión energíaliberadapor 1 gm de U2J5 aI sufrir fisión

•1 (a) 1 gm de U235contiene(6,02X 1023)/235núcleos=2,56X 1021núcleos. SI sllfriesefisión 1 gm de U235,Ia energíaliberadasería

IIncrgfastípicas para reaccionesquímicasson de 20.000a 200.000cal/moI, o sea do J .000a 10.000cal/gmpara A ~ 20.

(I) En un trozo pequenode uranio, los neutronesexpulsadosen una fisión no lIogadan a producir, en valor medio, una fisión adicional antes de escapar,debiela aI número pequenode núcleos blancos posibles. Sin embargo,si el trozo do uranio es suficientementegrande,los neutronesproducidos en una fisión pro- dllclrán, en valor medio, más de una fisión adicional,siguiendouna reacción en :ndcna.

(c) Admitamos que el U235 rompe en dos trozos aproximadamenteiguales.

2.13(b)

(a) Un electrónen su órbita tieneun momentomagnético)e en!-t=---L=---=2mc 2mc

U.=Al/3 (0,7 meV) (c) Segúnel Handbook of Chemistryand Physics, el volumen molar deI cristal deI hieno es 7,09 cm3• La densidades 8,49X 1022átomos/cm3•La imanaciónvale cambiadapuestoqueel númerodeprotonesquecontieneno varia.Las dimensio" neslinealesdeI bloquede metalmedidascon el metrode París tambiénserán invariables,puestoqueestemetrosufriráIas mismasvariadonesque el bloque demetal.Así pues, r' r'[gmp'j(cma')3] = 1gmp'j(cma')3

1(cma')3 r' 1(cmp')3 1gmp'j(cmp')3

3.1 (a) dones:

Capítulo:3 Entre los númerosde ondaspuedenencontrarseIas siguientesrela-

(b) TI esarbitrario

k) La fórmulamássencillaparaestos niveleses precisamenteIa de losinosdeIhidrógeno:

l'.l esquemadetérminosparaelhidrógenoapareceenIa página387.

DI: À1 =5895,930A VI=16.960,85cm-1D2:

ustituyamosJt(2av)2-+Jt(rNa +rA)2, 10' que incluye un factor

Oebido a Ia naturaleza aproximadade Ia estimación,este valor es todavía un poco pequenocomparadO'con los resultadosexperimentales(ver MitcheIl y Zemansky,ResonanceRadiationandExcitedAtoms,página166).

Estructura fina:

La anchuradei ensanchamientode colisión resultaser entonces

PuedemejorarseIa exactitud dei valor calculado utilizando los radios atómicos aproximados,en lugar de ao, aI calcularIa frecuenciade colisión. Los radios son

Av =(1,4X 10-6)(16.960cm-1) =0,024cm-1 (c) Ensanchamien,topor colisiones:

Todas Ias anchurasson pequenascomparadascon Ia estructurafina.

(li) No. Puesto que Ia inmensamayoría de los átomos estánen el estadO'fun- dllmental(ver problema 3.5), sólo serán dispersadasIas frecuenciasque correspondena transmisionesen Ias que intervieneel estadofundamental.

1,1\ El gráfico inferior de Ia figura para esteprÜ'blemamuestrael espectroque IllHultade un fenómeno denominado"autoinversión". La autoinversiónaparece

1'1 Ia luz emitidapÜ'run tubo de descargagaseosaen el que existeuna región 1'11I\tralde gas excitadO'calienterodeadopor gas fríÜ'sin excitar. El gas caliente Illite luz con una gran anchuradoppler.Esta luz pasaa travésdei gasfrÍo antes .h) salir dei tubo de descarga.EI gasfrío absorbeluz que pasa a su través,pero

I espectrode absorción dei gas no tiene una anchura doppler más pequena. =1,4X 10-1

(b)

(a) Anchura natural:

EnsanchamientoDoppler:

3.2 (a) EI resultado (a) es precisamente'Ia dispersión de resonancia(fluorescenciade resonancia)de Ia luz por los átomosdei hidrógeno.

En el caso (b) no existeninguna dispersiónresonanteporque no hay n,inguna diferenciade energíaen correspondenciaen el talio.

En el caso (c) Ia raya dei mercurioes dispersadacomo en (a). Los rayos dei talio se deben a Ia fluorescencia"sensibilizada" que es un fenómenoen el que un átomo de mercurio en el recipienteC, en el estado excitadopor Ia luz de

2537 Á choca con un átomo de talio y le transfieresu energía de excitación dejándolo en un estado excitado.EI exceso de energíapasa a energíacinética de ambosátomos.Los átomosde talio, excitadospor esteproceso,decaena con- tinuacióny emitenel espectrocaracterísticodei talio.

La placa de vidrio entre el recipienteC y Ia lámparaevita Ia dispersión,porque el vidrio es opacoa Ia luz de 2537A (ultravioleta).

(d) La grananchurade Ia rayade 3776Á se debeai ensanchamientodoppler. Los átomos de talio excitadosmedianteIa fluorescenciasensibilizadatienen una energíacinética mayor que Ia energíacinética media debida ai movimientotér- mico. La energíacinéticaextraprocedede Ia energíaque quedacuandoun átomo de mercurio excitadotransfieresu energíaa un átomo de talio cuya el1ergíade excitaciónes menor.Cuanto más pequenaseaIa energíade excitacióndei átomo de talio, mayor será el excesode energíadisponibley así resultarámás ancha Ia raya resultante.

(Parte 1 de 4)

Comentários