Exercicios - resolvidos - algebra - linear

Exercicios - resolvidos - algebra - linear

Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear

Aluno(a):

Soluções dos trabalhos de 1 a 7

1. Classifique as matrizes com todos os tipos vistos em sala.(a)

Solução:

(b) matriz retangular, não quadrada, não simétrica, não;

(a) matriz quadrada, matriz diagonal, matriz identidade, matriz simétrica; (c) matriz quadrada, triangular superior.

2. Multiplique a matriz A pela matriz B em cada caso.

3. O produto de matrizes não é comutativo. Encontre duas matrizes A e B, de ordem 2, de modo que A×B 6= B ×A.

Solução: Nem sempre vale a comutatividade de matrizes: Em geral, A × B é diferente de B × A, como é o caso do produto que segue:

4. Ponha na forma escada e explicite a operação passo a passo:

5. Encontre todas as soluções do sistema.

Solução:

Posto=3

8. Por Laplace ache o determinante das matrizes abaixo:(a)

(a) det

9. Calcule o determinante e ache a inversa das matrizes:(a)

Solução:

10. Mostre que R2 é espaço vetorial com as operações usuais de soma e produto por escalar em R2 .

Solução: O conjunto V = R2 = {(x,y); x,y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definido:

1. Mostre que

Portanto, W é subespaço de R4 .

Portanto, W é subespaço de R4 .

Portanto, não é subespaço vetorial de R2 .

Portanto, S não é subespaço de R3 .

13. Em R2 mantenha a definição do produto αv de um número α por um vetor, mas modifique, das três maneiras a seguir, a definição de soma u + v dos vetores u = (x,y) e v = (x′,y′). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais não são válidos.

Solução: Utilizamos a mesma sequência dos axiomas apresentado na questão 1, temos:

Portanto, W é subespaço de R4 .

Solução: Utilizando o conceito de conjunto LI, temos:

Solução Alternativa: Colocamos cada polinômio representado pelos seus coeficientes na linha da matriz. Em seguida, aplicamos as operações elementares sobre as linhas. As matrizes resultantes

Como não há linhas nulas, nenhum desses polinômios é combinação linear dos outros.

Solução: Podemos fazer isso encontrando a equação do plano, considerando que tal plano passa pela origem (para que seja subespaço), temos:

um polinômio como combinação dos demais. Por exemplo:

Utilizando a identidade de polinômios, temos:

Solução: Podemos fazer isso encontrando a equação do plano, considerando que tal plano passa pela origem (para que seja subespaço), temos:

Solução: Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD, já que o vetor nulo pode ser expresso como combinação linear de qualquer outro vetor:

Daí, nem sequer precisamos conhecer v1 para saber que V é LD.

Solução:

Como a matriz que representa o conjunto B é equivalente a matriz que representa a base canônica de P2, temos que B é base de P2({1,x,x2}).

Como dimensão é o número de vetores da base, portanto Dim(S1) = 3.

2. Para M2×2 encontre: (a) Um conjunto L.I. com mais de um vetor que não seja base de M2×2.

Solução: Por exemplo, o conjunto{[ 1 0

é LI. Para termos uma base de M2x2, bastaria completarmos tal conjunto com o vetor[ 0 0

(b) Um conjunto gerador de M2×2 que não seja base de M2×2.

Solução: Um conjunto do tipo{[ 1 0

é capaz de gerar por meio de combinações lineares o M2×2, portanto ele é um conjunto gerador, no entanto, há um vetor supléfluo que torna tal conjunto LD. Logo, não é base de M2×2.

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