Lista de Geometria Analítica

Lista de Geometria Analítica

(Parte 1 de 3)

Alexandre Teixeira B ehague

1 G.A., Fundamentos basicos5
1.1 G.A., Conjuntos5
1.2 G.A., Operac~oes com numeros reais6
1.3 G.A., Aplicac~oes e func~oes6
2 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana8
3 G.A., Vetores1
3.1 G.A., Soma de vetores14
3.2 G.A., Produto de numero real por vetor16
3.3 G.A., Soma de ponto com vetor2
3.4 G.A., Dependencia linear23
3.5 G.A., Bases27
3.6 G.A., Mudanca de bases30
3.7 G.A., Produto interno3
3.8 G.A., Orientac~oes no espaco R338
3.9 G.A., Produto vetorial39
3.10 G.A., Produto misto45
4 G.A., Sistemas de coordenadas47
4.1 G.A., Mudanca de sistema de coordenadas51
5 G.A., Estudo de retas e planos54
5.1 G.A., Equac~oes de retas54
5.2 G.A., Equac~oes de planos56
5.3 G.A., Intersec~oes de retas e planos60
5.4 G.A., Posic~oes relativas entre retas e planos62
5.5 G.A., Perpendicularidade e ortogonalidade64
5.6 G.A., Angulos em retas e planos65
5.7 G.A., O conceito topologico de distancia (MAT)67
5.8 G.A., O conceito de distancia atraves de vetores69

L’id eal a ch e est celui de la libert e de chacun dans le respect de tous, du droit des peuples a disposer d’eux-memes, d’institutions faites pour garantir le bien-etre social.

’Nascemos matem aticos, n~ao nos tornamos matem aticos.’ Poincar e.

◦ Geometria anal tica n~ao se faz com desenhos, e uma matem atica que analisa v arias quest~oes geom etricas atrav es de equa c~oes num ericas e, portanto, faz uso da Algebra. E mat eria dif cil que exige muita dedica c~ao e interesse, os poucos bons livros que existem em portugues s~ao ou de n vel muito b asico ou demasiado amplo. O texto disponibilizado aqui tem por objetivo resumir as partes centrais e os principais fatos dessa mat eria, e mesmo assim trata-se de um texto bem longo.

Esse texto e completado com coment arios sobre sutilezas da teoria, feitos durante as aulas. Com regularidade, essas sutilezas s~ao exploradas nas provas, a ausencia em uma determinada aula pode custar caro.

N~ao s~ao disponibilizadas listas de exerc cios. Fa ca o m aximo de exerc cio que consta no livro indicado. O texto em uso conta com muitos exemplos e exerc cios, mesmo assim s~ao elaborados e resolvidos outros exerc cios durante as aulas.

Ser~ao feitos duas provas e o crit erio de avalia c~ao para essa mat eria e o de nido pelo

e e aprovado se conseguir m edia nal Mf :=

N~ao s~ao feitas reavalia c~oes de provas a n~ao ser via recurso junto ao chefe de departamento. Prova de reposi c~ao somente e feita nos casos indicados pelo regimento interno dessa universidade.

Fonte bibliogr a ca

O unico livro indicado para t opicos dessa mat eria e Geometria Anal tica, um tratamento vetorial, Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo, Pearson Prentice Hall.

Devido a p essima (nula) forma c~ao te orica dos alunos brasileiros no ensino fundamental/m edio, torna-se obrigat orio ler todo o cap tulo 1 (da p agina 1 at e p agina 47) do livro C alculo com Geometria Anal tica, Vol. 1, Swokowski, Earl W., Makron Books do Brasil Editora Ltda.

Introdu c~ao A esmagadora maioria da popula c~ao mundial n~ao sabe que ciencia e conhecimento exato e racional de coisa determinada, e sistema de conhecimentos com um objeto determinado e um m etodo pr oprio.

Matem atica e ciencia exata por excelencia, se ocupa de id eias e resultados demonstrados rigorosamente. Muitas pessoas acham que Geometria e a parte da Matem atica que se ocupa com desenhos, triangulos, c rculos, etc., Geometria e muito mais do que isso, e uma ciencia exata com nomenclatura e procedimentos pr oprios, que se subdivide em v arios ramos te oricos, de acordo com o objeto de estudo. Existem, entre outras:

Geometria euclidiana Geometria descritiva Geometria projetiva

Geometria de Lobatchevski-Bolyai Geometria de Riemann

Teoria geomØtrica da folheaçıes Sistemas dinâmicos

Topologia diferencial Topologia algØbrica

AnÆlise em uma ou vÆrias variÆveis, reais ou complexas

Teoria de grupos

CÆlculo diferencial e integralGeometria analítica Álgebra elementar e vetorial

Geometria diferencial

Topologia geral Geometria riemanniana

Coube a Ren e Descartes (1596-1650), matem atico e l osofo frances, fundador do racionalismo moderno, cr tico da ausencia de fundamentos te oricos no ensino das ciencias, introduzir o procedimento de associa c~ao de equa c~oes aos entes geom etricos, o chamado m etodo cartesiano, e fundar a Geometria anal tica.

Mais tarde, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) "1"em 1684 e Isaac Newton (ingles, 1642-1727) em 1687 apresentaram os princ pios fundamentais do C alculo In nitesimal, fazendo forte uso da Geometria anal tica e do conceito de limite.

1 Matem atico e l osofo alem~ao, considerado como um dos esp ritos mais brilhantes do s eculo 17, contribuiu com as matem aticas descobrindo, em 1675, os princ pios fundamentais do c alculo in nitesimal. Esta descoberta foi realizada independentemente da de Newton, que inventou seu sistema de c alculo em 1666. O sistema de Leibinz foi publicado em 1684, o de Newton em 1687, epoca na qual o m etodo de nota c~ao imaginado por Leibinz, bastante in uenciado pelos trabalhos de Descartes, foi universalmente adotado

1 G.A., Fundamentos b asicos

1 G.A., Fundamentos b asicos

1.1 G.A., Conjuntos

Conjunto e uma cole c~ao de coisas fundamentais (em Geometria essas coisas s~ao chamados pontos, em Algebra s~ao elementos), indivis veis, minimais, n~ao constitu dos de nada menor e que possuem todos uma mesma propriedade matem atica, que pode ser num erica (quantitativa), ou n~ao num erica (qualitativa). A nomenclatura usual e

’s mbolo do conjunto’ = {’elemento do conjunto’; ’propriedade espec ca do conjunto’g

Um subconjunto Y de um dado conjunto X e uma cole c~ao de pontos particulares de X com uma determinada propriedade comum P, escreve-se

Y = fpontos A 2 X; A veri ca Pg leia ’Y e formado dos pontos A que pertencem a X tais que A veri ca P’

Usa-se a nota c~ao Y X (leia ’Y est a contido em X’, ’Y e subconjunto de X’) para indicar que cada ponto de Y e tamb em ponto de X.

A id eia de igualdade em Matem atica n~ao e t~ao simples com muitos acham: quando se diz ’X e igual a Y’, quer-se dizer que todos os pontos do conjunto X s~ao pontos do conjunto Y, e todos os pontos de Y s~ao tamb em pontos de X. Nesse caso, escrevemos X = Y. Mas, basta um ponto de X n~ao ser ponto de Y para que os conjuntos n~ao sejam iguais, da escrevemos X 6= Y.

Com dois conjuntos podemos formar tres tipos especiais de conjuntos: 1) A uni~ao de X e Y e o conjunto

X[Y = fpontos A; A 2 X ou A 2 Yg 2) A interse c~ao entre X e Y e o conjunto

X\Y = fpontos A; A 2 X e A 2 Yg

Quando X\Y = ?, ou seja, quando X e Y n~ao tem ponto comum, diz-se que X e Y s~ao disjuntos. Mas cuidado, em Matem atica a palavra ou n~ao signi ca ’ou e P ou e Q’, pode ocorrer ’ e P e e Q’. 3) O produto cartesiano de X e Y e o conjunto de pares ordenados, onde os conjuntos X e Y podem ter mesma natureza ou n~ao, um pode ser num erico e o outro n~ao num erico.

1 G.A., Fundamentos b asicos 1.2 G.A., Opera c~oes com n umeros reais

1.2 G.A., Opera c~oes com n umeros reais

reais positivos, bem como R− = f x; x 2 R+g. As opera c~oes sobre R s~ao: 1. Adi c~ao, a cada (x;y) 2 R R se associa a soma x + y; 2. Multiplica c~ao, a cada par (x;y) se associa o produto xy; 3. Subtra c~ao, (x;y) e associado a diferen ca x y := x + ( y);

A rela c~ao de ordem para os n umeros reais e assim pensada: dados x;y 2 R, escreve-se x < y (leia ’x e menor do que y’) quando y x 2 R+. Tamb em, podemos escrever y > x (leia ’y e maior do que x’). Claro que x > 0 quando x 2 R+ e x < 0 quando x 2 R .

Por aplica c~ao entende-se uma regra de associa c~ao matem atica e dois conjuntos tais que, a cada ponto de um, faz-se corresponder um ponto do outro. O conjunto onde a regra e aplicada chama-se dom nio da aplica c~ao, o outro conjunto, que cont em os resultados da aplica c~ao da regra, e chamado contra-dom nio da aplica c~ao. Em s mbolos, escrevemos

A cada x 2 X, f associa um unico y 2 Y e escrevemos y = f(x) (leia ’y e igual a f de x’). O ponto y e a imagem de x por f, o valor de f em x. O conjunto imagem de f e assim f(X) = f(x) 2 Y; x 2 Xg; (leia ’f de X’)

1 G.A., Fundamentos b asicos 1.3 G.A., Aplica c~oes e fun c~oes e pode assumir uma in nidade de formas, dependendo da express~ao de f. A pr e-imagem de um subconjunto E ⊆ Y por f : X ! Y e o conjunto

O termo fun c~ao e reservado exclusivamente para as aplica c~oes que assumem valores reais ou complexos, ou seja, Y = R ou C = fx + iy; x;y 2 R e i = p 1g.

2 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana

2 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana

Segmento de reta AB e o conjunto de todos os pontos alinhados (colineares) com A e B e que est~ao entre A e B. Aqui a id eia de alinhamento e intuitiva.

Semi-reta −! AB e o conjunto AB [ fpontos P; B est a entre P e Ag com um in cio, a origem A, e que se estende in nitamente (inde nidamente) com uma determinada dire c~ao.

AB e a reuni~ao !AB[ ! BA, conjunto in nito formado de in nitos pontos.

Tres pontos s~ao colineares se h a uma reta que os cont em; s~ao n~ao-colineares se n~ao est~ao simultaneamente em uma mesma reta.

A intersec c~ao de duas retas pode ser, no m aximo, um unico ponto e, nesse caso, as retas determinam um plano, se retas r e s tem ponto comum A, escolha B 2 r;C 2 s e o plano que cont em r e s, o plano que cont em A;B e C n~ao-colineares, e a reuni~ao fretas que passam por A e um ponto de BCg [ fretas que passam por B e um ponto de ACg[fretas que passam por C e um ponto de ABg.

Dados uma reta r e um ponto P 62 r, existe um unico plano (pi mai usculo, ’P’) que os cont em. Duas retas s~ao paralelas quando s~ao coplanares (est~ao em um mesmo plano) e disjuntas. Dois planos s~ao paralelos quando disjuntos, in nitos planos paralelos determinam o espa co, muitas vezes denotado pelo s mbolo R3, ou V3.

Dadas duas semi-retas !

AB e ! AC, o plano que as cont em ca dividido em duas partes, sendo que a parte convexa e chamada angulo e denotado por [BAC.

2 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana

Dados uma reta r e um ponto P 62 r, existe uma unica reta s que cont em P e e perpendicular a r, isto e, cam de nidos quatro angulos retos a partir do v ertice A = r\s, e escreve-se r ?A s.

A s r

Existem in nitas retas em um plano que contem (passam) por um dado P 2 e diz-se que uma reta r e perpendicular a por P (r ?P ) se for r perpendicular a duas quaisquer retas s;t com s \ t = P.

P reta r perpendicular ao plano

A proje c~ao (perpendicular) de uma reta r sobre um plano e o conjunto de pontos

2 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana

A rs

Um triangulo de v ertices A;B;C e a reuni~ao AB ∪ BC [ AC.

Dois triangulos s~ao ditos congruentes se existe correspondencia (uma fun c~ao) de angulos e arestas de um para outro tal que: 1. Os mesmos angulos s~ao encontrados nos dois triangulos; 2. As mesmas medidas de arestas s~ao encontradas nos dois triangulos. [Q3 e 4]

A. T. B ehague - Prof. Doutor IME/UERJ 10 Geometria anal tica - 2011

3 G.A., Vetores

3 G.A., Vetores

Existem grandezas (tudo o que se pode comparar, aumentar ou diminuir) associadas a um n umero e a uma unidade dimensional; por exemplo, a frase ’leite vem em uma embalagem contendo 1 litro’ est a completa, n~ao d a espa co para m a interpreta c~ao e n~ao faz diferen ca a posi c~ao da embalagem, nem onde est a. Outras grandezas necessitam tamb em de uma dire c~ao e de um sentido; essas s~ao as grandezas vetoriais e s~ao extremamente importantes em F sica, quando falamos de for ca, velocidade, press~ao, etc.

A B ..Voltando a id eia de segmento de reta, quando se desenha AB com uma r egua, n~ao faz diferen ca se tra camos o segmento desde A at e B, ou de B at e A. Muitas pessoas acham saber o que e um vetor, acham que vetor e como uma echa que se desenha com uma r egua, no entanto o conceito e bem mais complicado do que isso e necessita de uma seq uencia de id eias que passamos a estudar agora. Ap os desenhar AB, pode ser interessante xar um ’come co’ e um ’ m’.

De ni c~ao 1. Dois pontos A e B d~ao origem sempre a dois segmentos orientados, um desenhado de A at e B e denotado pelo s mbolo (A;B), outro desenhado de B at e A e denotado pelo s mbolo (B;A). A primeira letra no par ordenado representa a origem do segmento orientado, a segunda letra representa a extremidade. •

Cuidado, (A;B) n~ao deve ser confundido com um elemento de um produto cartesiano, n~ao e um par ordenado de pontos, mas sim um s mbolo para uma in nidade de pontos alinhados. Agora note bem, dois pontos A e B d~ao origem sempre a dois segmentos de reta e a dois segmentos orientados, sendo que: 1) AB = BA, 2) (A;B) 6= (B;A). Um par do tipo (A;A) e chamado segmento orientado nulo.

De ni c~ao 2. (A;B) e (C;D) s~ao ditos de mesmo comprimento se os respectivos segmentos de reta AB e CD tem mesmo comprimento. Diz-se que (A;B) e (C;D) s~ao de mesma dire c~ao, que tem mesma dire c~ao, quando

AB e CD s~ao paralelos (i.e. !

AB e ! CD s~ao coplanares e disjuntas).

Se (A;B) e (C;D) de mesma dire c~ao forem n~ao-colineares, diz-se que s~ao de mesmo sentido quando AC \ BD = ∅, e s~ao de sentido contr ario quando AC \ BD 6= ?.

! CD) e F de tal

A seguinte id eia e central para se compreender vetor:

3 G.A., Vetores

De ni c~ao 3. (A;B) e (C;D) s~ao equipolentes quando: 1) S~ao nulos, ou, 2) S~ao n~ao-nulos, de mesma dire c~ao, mesmo sentido e mesmo comprimento. •

Descartes introduziu o s mbolo (A;B) (C;D) para indicar a equipolencia entre

(A;B) e (C;D), vamos utiliz a-la freq uentemente. Cuidado, e errado dizer ’(A;B) e igual a (C;D)’, pois freq uentemente esses conjuntos tem pontos diferentes. O correto e dizer ’(A;B) e equipolente a (C;D)’, ou ’(A;B) e (C;D) s~ao equipolentes’.

Como subproduto da id eia de equipolencia, tem-se o seguinte resultado fundamental dessa teoria.

Demostra c~ao. O segmento orientado (A;B) compartilha dire c~ao, sentido e comprimento com ele mesmo, logo e equipolente a ele mesmo e est a provado E1.

E2) Temos que (A;B) e paralelo a (C;D), AC \ BD = ∅ e a distancia de A at e B e igual a distancia de C at e D. Essas informa c~oes matem aticas n~ao levam em conta a ordem em que as letras (pontos) s~ao apresentados, portanto podemos escrever (C;D) e paralelo a (A;B), BD \ AC = ? e a distancia de C at e D e igual a distancia de A at e B. Assim (C;D) (A;B).

Segue claramente que (A;B) e paralelo a (E;F), AE \ BF = ? e a distancia de A at e B e igual a distancia de E at e F, ou seja, s~ao equipolentes os segmentos orientados (A;B) e (E;F).

Demostra c~ao. Desenhamos AC e BD e o resultado e um paralelogramo, de sorte que AC e paralelo a BD, AB \CD = ? e a distancia de A at e C e igual a distancia de B at e D. Segue o resultado.

De ni c~ao 4. A classe de equipolencia de (A;B), tamb em vetor AB, e o conjunto de todos os segmentos orientados (uma in nidade) que s~ao equipolentes a (A;B). Outro nome para esse conjunto e vetor que e representado por (A;B). Usa-se o s mbolo ! AB (leia

A. T. B ehague - Prof. Doutor IME/UERJ 12 Geometria anal tica - 2011

3 G.A., Vetores

A vetor B

Evidente que (A;B) pertence a sua classe de equipolencia. Tamb em, se (A;B) ∼

Algumas observa c~oes:

CD s~ao equipolentes’, o correto e dizer ’ !

AB e ! CD s~ao iguais’,

2) Muitas vezes n~ao e interessante destacar qualquer segmento orientado para indicar um vetor, usamos, ent~ao letras min usculas com uma seta superior tal como !a ; ! b ; !v , etc.

Veremos em breve que vetores s~ao manipulados com se fosse n umeros.

3) Se ocorre de !v ser representado por (A;B), ent~ao

!v = ! AB. E muito comum ver em textos matem aticos a ilustra c~ao que deve ser interpretada com cuidado: o s mbolo !v ao lado do segmento orientado ( echa) est a somente nos lembrando que esse segmento orientado e um dos in nitos representantes do vetor. N~ao e o vetor propriamente dito! Bem ao contr ario do que muitos acham, n~ao podemos desenhar um vetor simplesmente porque vetor n~ao e um segmento de reta.

O conceito de vetor pode parecer complicado, mas e bastante util e f acil de manipular; por exemplo, dados !v e A quaisquer, e f acil ver que existe um unico B tal que (A;B) 2 !v , isto e, ! AB = !v : basta aplicar o 5o postulado de Euclides (Postulado das paralelas: dados uma reta e um ponto n~ao contido na reta, existe, no plano que cont em o ponto e a reta, uma unica reta que cont em o ponto e e paralela a reta dada), escolha (P;Q) 2 !v e considere a reta r que cont em A e e paralela a PQ. Agora e f acil encontrar B 2 r tal que (A;B) (P;Q). [Q8] Antes de avan carmos para as opera c~oes vetoriais, torna-se necess ario estabelecer dois tipos particulares: 1) Por vetor nulo, vetor zero, entende-se qualquer vetor que admite um representante segmento orientado nulo. J a e tradicional escrever ! 0 ,

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